các chuyên đề ôn thi đh

Vaäy giaù trò lôùn nhaát cuûa A laø 16.[r]

(1)

 Chuyên đề 6: BẤT ĐẲNG THỨC

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Một số ghi nhớ:

 a2 , (a  b)2 4ab ;  a, b  a2 ab + b2 > ;  a, b  a a ;  a  a + ba + b ;  a, b  a  bab ;  a, b  1  sin x  1; 1  cosx  II Bất đẳng thức Cauchy

Cho hai soá a, b không âm

Ta có: a + b  a.b dấu “=” xảy a = b Nếu a + b = const tích a.b lớn a = b Nếu a.b = const tổng a + b nhỏ a = b

B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x  y, x  z

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y z

2x 3y y z z x

  

  

Giaûi

Áp dụng bất đẳng thức 1

1 a b 1     ab với a, b dương ab 

Ta coù: P x y z 1

y z x

2x 3y y z z x 1

x y z

     

     

   

   

1 2

y z x y x

2 1 1

x y z x y

Dấu “=” xảy z x

y z x 1y Đặt t = x

y Với x, y thuộc đoạn [1; 4] x  y t  [1; 2]

Khi đó: P  22

2

1 t

1 t 2t t

2 t

  

  

(2)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

Xeùt hàm số f(t) = 2t2 t

2t 3  [1; 2]

Ta có: f’(t) = 2[4t (t 1) 3(2t3 2 2 2t 3)]

(2t 3) (t 1)

    

  < , x[1; 2]

Suy hàm số f nghịch biến [1; 2] Do đó: f(t)  f(2) = 34 33 Dấu “=” xảy :

z x hoặc x 1

x z y

x

t

y

   

  

  



(*) Deã thaáy x = 4, y = 1, z = thỏa (*)

Vậy giá trị nhỏ P 34

33 x = 4, y = 1, z =

Caùch 2:

Lấy đạo hàm theo biến z ta được: P’(z) =

   

 

 

y x

0

y z z x =

  

   

2

x y z xy

y z z x

 

 

 Nếu x = y P x x z

2x 3x x z z x

  

   = 65

 Neáu x > y P’(z) = z2xy 0  z xy

z xy

P'(z)  + P

 

P xy

Vaäy P  P xy =  x y xy

2x 3y y   xy  xy x =

2 y x

2x 3y  y x =

x

2 y

x x

2 3 1

y y



 

Đặt: t = x

y, t1; 2thì P 

2

t

1 t 2t 3 

Đặt: f(t) = 2t2 t

(3)

Cách 3: Ta có:

y z

x y z x x

P y y z z

2x 3y y z z x

x x x x

     

     

Đặt a = y

x b = zx Vì x, y, z [1; 4] x  y, x  z nên a, b  ; 14

 

 

 

Khi đó: P a b

2 3a a b b

  

  

Lấy đạo hàm theo biến b ta được: P'(b) =

 2  2

a

0

a b b

    =        2

1 a b a

a b b

 

 

 Nếu a = P 1 b

2 b b

   

  

 Nếu a < P'(b) = b2   a b a b

4 a P'(b)  +

P

 

P a

Vaäy P P a = a a

2 3a a   a a 1

Đặt: t = a t 1;

2

     

  P 

2 2

1 t t

t 3t t t 

Đặt: f(t) = 2 2t2 t

t

2 3t t t  =

1 t t

t t

2 3t     =

1 2t

t 3t  

Ta coù:

 22  2

6t f '(t) t 3t     

 , t 1;

 

   

Suy ra: f(t) đồng biến ;

 

 

  f(t)

1 34 f 33       

Dấu “=” xảy 

1 t b a         a b         y x z x        (*)

Dễ thấy x = 4, y = 1, z = thỏa (*) Ta lại có: 34

(4)

Caùch 4 :P = 1 1 1

2 3y 1 z 1 x

x y z

 

  

Đặt a = z

y , b = x

z Ta có a > 0, b > ; ab = 1 x y 

P thành 1 1 1

3 1 1

2 a b

ab

 



Mà 1 1 2

1a1b1 ab a = b dấu “=” xảy

Nên P = 1 1 2

2 3 1 1 2 3 1

ab ab

ab  a b ab   ab

Đặt t = ab, 1 ab x 4 y

   nên 1 t 2

Suy P 

2

2 3 1

t

t   t = 2

4 2 2 34

2 3 11 1 3 33

t

t    t 

=

2

3 12 2(2 ) 34

11(2 3) 3(1 ) 33

t t

 

 

=(2 ) 3(2 2) 2 34

11(2 3) 3(1 ) 33

t t

   

   

 

 

=

2

35 27 48 34

(2 )

33(2 3)(1 ) 33

t t

t

t t

   

  

 

  =

=  

2

8 27( 1) 48 34 34

(2 ) , 1, 2

33(2 3)(1 ) 33 33

t t

    

     

 

(5)

Khi a = b t = P = 34

33

Do P 34

33

 P = 34

33 x = 4, y = z =

Vậy ta có minP =34

33

( Ghi chú:35t227t48 tam thức bậc có a >  0 nên luôn dương )

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Cho a, b số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a33 b33 a22 b22

b a b a

   

      

   

Giải

ª Đặt t = a b

b a ( t > ) : 

2 2

a b a b 2 a b t 2

b a b a

b a

 

      

 



3 3

a b a b 3 a b a b t 3t

b a b a b a

b a

   

        

   

Suy ra: P = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 ª Theo giả thiết ta có: 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2)

 a b 1 ab 2

b a b a

      

   

    (Chia hai veá cho ab  0)

 a b a b 1

b a a b

        

   

    (1)

Ta coù: a b 1 a b

 

    

    

1 a b

a b

 

   

  =

a b

2 2

b a

   

 

  (2)

Daáu “=” xảy a b 1 a b

 

    

 

Với t = a b

(6)

2t 2 t 2      4t24t t 2     

 4t2 4t 15 0  t

 (vì t > 0)

ª Xét P(t) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18, với t5

2

Ta coù: P'(t) = 12t2 – 18t – 12 > 0, t5

2

Do đó: Hàm số P(t) đồng biến 5;

 

 

 

Suy ra: P(t)  P 23

2

     

  Daáu “=” xảy khi:

2 2 2 2

a b

1 a b 2

a b ab 2

ab a b

a b a b a b

t

b a ab

   

       

 



 

    

    

  

 

 

      

 

 



 2

ab

a b 2ab

  

  

 

ab a b

    

 

a a

b b

 

 

   

 

Vaäy minP = 23

 a a

b b

 

 

   

 

Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 3(a2b2 + b2c2 + c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2b2c 2

Giải

Đặt t = ab + bc + ca, ta coù: a2 + b2 + c2≥ ab + bc + ca

 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

≥ 3(ab + bc + ca)

 a2 + b2 + c2 = – 2t vaø0 t 1

Theo B.C.S ta coù: t2 = (ab + bc + ca)2≤ 3(a2b2 + b2c2 + c2a2)

 M ≥ t2 3t 2t f(t)  

f’(t) =  



2 2t

1 2t f"(t) = 



2

(1 2t) < 0, t  0;

3

 

 

(7)

 11

f '(t) f '( )

3 >  f taêng  f(t) ≥ f(0) = 2, t  0;

3

 

 

 

 M ≥ 2,  a, b, c khoâng aâm thoûa a + b + c = Khi a = b = c = M = Vậy M =

Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 1

x xy

Giải

Cách 1:  3x + y = x + x + x + y  4 x y 4  

3

1 4

x y

A =    

3

1 2 8

x xy x xy x y

Khi x = y =

4 ta có A = Vậy A =

Cách 2: Áp dụng: a, b > 0:   

1

a b a b

A =     

 

1 1 1

x y

x xy x x y x

2

  

  

4 8

x y 3x y x

2 Khi x = y =

4 ta coù A = Vaäy A =

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)  5(y + z)3

Giaûi

x(x + y + z) = 3yz    1 y z 3y z

x x x x

Đặt u y 0,v z 0,t u v 0  

x x Ta coù:

                 

 

2

u v t

1 t 3uv 3 3t 4t t 3t t

2

Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa

(8)

           

      

    

3 2

3 3

2 t u v u v u v t 5t

2 t u v 5t t 6(1 u v uv) 5t

1 t

2 t t 5t 4t 6t 4t t 2t t

3

           

            



 

              

 

Đúng t 

Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3 + 4xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) +

Giaûi

3

2

(x y) 4xy

(x y) (x y) x y

(x y) 4xy

   

         



  



 x2y2(x y)2 1

2 dấu “=” xảy :   x y

2 Ta coù: x y2 2(x2y )2

4

 4 2 2 2 2 2

A x y x y 2(x y ) (x   y ) x y 2(x y ) 1

 

2 2

2 2 2

(x y )

3 (x y ) 2(x y )

4 (x y ) 2(x y )

  

      

 

 

    

Đặt = x2 + y2, đk t ≥ 1

2

9 1

f(t) t 2t f '(t) t 0, t f(t) f( )

4 2 16

           

Vaäy: Amin  x y 1

16

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008

Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức   

 

(x y)(1 xy) P

(1 x) (1 y)

Giaûi

Cách 1:

Ta có:

 

   

      

    

(x y)(1 xy) (x y)(1 xy) 1

p p

4 4

(9)

 Khi x = 0, y = p 1

4 GTNN

 Khi x = 1, y = p1

4 GTLN

Cách 2:        

   

2 2

x x y y xy x(1 y ) y(1 x )

p

(1 x) (1 y) (1 x) (1 y)

       

   

2

2 2

x(1 2y y ) y(1 2x x ) x y

(1 x) (1 y) (1 x) (1 y)

Ta có: a 2 1; a

4 (1 a)

   



Neân pmax 1

4 x = 1, y = vaø   p

4 x = 0, y =

Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

     

  

2 2

x (y z) y (z x) z (x y)

P

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

Giải

Ta có: x2(y + z)  2x x Tương tự y (z x) 2y y, z (x y) 2z z 2    

   

  

2y y

2x x 2z z

P

y y 2z z z z 2x x x x 2y y Đặt a x x 2y y, b y y 2z z, c z z 2x x     

Suy ra: x x 4c a 2b, y y 4a b 2c, z z 4b c 2a

9 9

     

  

Do           

 

2 4c a 2b 4a b 2c 4b c 2a P

9 b c a

              

   

 

2 4 c a b a b c 6 2(4.3 6) 2

9 b c a b c a

Dấu “=” xảy  x = y = z = Vậy giá trị nhỏ P

Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

     

         

 

   

x y z

P x y z

2 yz zx xy

(10)

Ta coù: Px2 y2 z2 x2y2z2

2 2 xyz

Do x2 + y2 + z2 = x2y2 y2z2 z2x2 xy yz zx 

2 2

Neân             

     

2 2

x y z

P

2 x y z

Xét hàm số f(t)t2 1

2 t với t > Lập bảng biến thiên f(t) ta suy f(t)3, t 0. 

2 Suy ra: 

9

P

2 Dấu xaûy  x = y = z = Vậy giá trị nhỏ P

2

Cho hai số thực x  y  thay đổi thỏa mãn điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 xy

Tìm giá trị lớn biểu thức A = 13 3

x y

Giaûi

Từ giả thiết ta suy ra: 1  12  12 

x y x y xy

Đặt a,1 b

x y ta coù: a + b = a

2 + b2 ab (1) A = a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 ab) = (a + b)2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 3ab

Vì      

 

2

a b

ab neân a + b ( a + b) (a b)

2

 (a + b)2 4(a + b)    a + b  Suy ra: A = (a + b)2 16 Với x = y =

2 A = 16 Vậy giá trị lớn A 16

Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

  2   2  

A (x 1) y (x 1) y y

Giaûi

(11)

(x 1) 2y2  (x 1) 2y2  4y 2 y 

Do đó: A y    y f(y)

 Với y   f(y) = y  2 y

 f'(y) = 



2

2y 1

y

f'(y) =  2y = y        

 2

y 1

y

4y y

Do ta có bảng biến thiên hình bên:

 Với y   f(y)  y 2 2  Vậy A  + với số thực x, y

Khi x = vaø y =

3 A = + nên giá trị nhỏ A 2

Cho x, y, z số dương thỏa maõn 1 4  

x y z

Chứng minh rằng:   

     

1 1 1

2x y z x 2y z x y 2z

Giaûi

Với a, b > ta có: 4ab          

   

2 a b 1 1

(a b)

a b 4ab a b a b

Dấu “=” xảy a = b Áp dụng kết ta có:

        

      

1 1 1 1 1

2x y z 2x y z 16 x x y z (1)

Tương tự:

        

      

1 1 1 1 1

x 2y z 2y x z 16 y y x z (2)

        

      

1 1 1 1 1

x y 2z 2z x y 16 z z x y (3)

Vaäy:       

       

1 1 1 1 1

2x y z x 2y z x y 2z x y z

y 

+

1 f’(y)

f(y)

 

(12)

Ta thấy bất đẳng thức (1), (2), (3) dấu “=” xảy khi: x = y = z Vậy đẳng thức xảy x = y = z =

4

Chứng minh với x  R, ta có:         

     

x x x

12 15 20 3 4 5

5

Khi đẳng thức xảy ra?

Giaûi

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:          

       

x x x x

12 15 2 12 . 15

5 

    

   

   

x x

x

12 15 2.3

5 (1)

Tương tự ta có:     

   

x x

x

12 20 2.4

5 (2)

    

   

x x

x

15 20 2.5

4 (3)

Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), chia hai vế bất đẳng thức nhận cho 2, ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy  (1), (2), (3) đẳng thức  x =

Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x 3y3  y 3z3  z 3x3 3

xy yz zx

Khi đẳng thức xảy ra?

Giaûi

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có

x 3y33 1.x y3 3 3xy x 3y3 

xy xy

 3   3 

1 y z z x

Tương tự : ;

yz yz zx zx

Suy VT    3.3 3

(13)

Hay VT    3

xy yz zx

Đẳng thức xảy x = y = z =

Baøi 15:

Cho x, y, z laø ba số dương x + y + z 

Chứng minh rằng: x2 12  y2 12  z2 12  82

x y z

Giải

Cách 1: Xem         

     

1 1

u x, ; v y, ; w z,

x y z

Ta coù x2 12  y2 12  z2 12

x y z  

 

        

 

2

1 1 x y z 18

x y z Mặt khác:          

   

1 1 x y z 9x 9y

x y z x y  

 

    

1 9z 10 x y zz 

 18  10 = (do BĐT Cauchy x + y + z  1) Do đó: Vế trái  8218 82 Dấu “=” xảy x = y = z =

3 (ñpcm)

Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia… ta có: x + 1 129 x2 2 12

x x (1)

Bất đẳng thức Cauchy       

 

9

x 9x 80x 9.6 80x

x x (2)

Từ (1) (2)  x2 12  54 80x 

82 x

Tương tự y2 12  54 80y 

82

y vaø     

2

1

z 54 80z

82 z

 VT  162 80 x y z     82

82

Xảy dấu “=” x = y = z =

3 (đpcm)

Bài 16:

(14)

Chứng minh rằng:   

  

2 2

x y z

1 y z x

Giaûi

Ta coù:     

 

2

x y 2 x .1 y x

1 y y

    

 

2

y z 2 y .1 z y

1 z z ;

 

  

 

2

z x 2 z .1 x z

1 x x

Cộng vế theo vế ta được:

           

  

2 2

x y z y z 1 x x y z

1 y z x 4

      

  

2 2

x y z 3(x y z)

1 y z x 4

3.3 xyz 3 (ñpcm)

4

  