* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước. giải sau có liên quan[r]
(1)SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013
Mơn thi: Tốn
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng năm 2013)
SỐ BÁO DANH:……… Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(2.0 điểm)
Cho biểu thức:
26 19
2 3
x x x x x
P
x x x x
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2:(2.0 điểm)
Cho phương trình x2 2mx m 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, thỏa mãn
3 26 x x m b) Tìm m ngun để phương trình có hai nghiệm ngun.
Câu 3:(3,5 điểm)
Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng d thay đổi qua A cắt cung nhỏ AB điểm thứ hai E (EA) Đường thẳng d cắt hai tiếp B C đường tròn (O) M N MC cắt BN F Chứng minh rằng:
a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN
b) Tứ giác BMEF tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh đường thẳng EF ln qua điểm có định d thay đổi qua A
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho c¸c sè thùc dơng a, b, c thoả mÃn a + b + c =6 Chứng minh rằng:
5
6
1
b c c a a b
a b c
Dấu đẳng thức xảy nào?
Câu 5:(1,0 điểm)
Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4
+4n hợp số
(2)SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Mơn thi: Tốn
(Khóa ngày 27 tháng năm 2013)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dn ny cú trang)yêu cầu chung
* Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng.
* Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước
giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm 0.
* Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần
là 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của
từng bài.
* Điểm toàn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất bài.
Câu Nội dung Điểm
1
a) ĐK: 0 x 1.Ta có:
26 19
( 1)( 3)
26 19 ( 3) ( 3)( 1)
( 1)( 3)
26 19
( 1)( 3)
16 16 ( 1)( 16) 16
( 1)( 3) ( 1)( 3)
x x x x x
P
x x x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x x
x x x x x
1,0 điểm
0,25
0,25 0,25 0,25 b)
16 25 25
3
3 3
25
2 ( 3) 10
3
x
P x x
x x x
x
x
Vậy GTNN P =
25
3
3
x x
x
1,0 điểm
0,5 0,25 0,25
(3)2 a) x2 2mx m 4 0
Ta có:
2
2 15
'
2
m m m m
Vậy phương trình ln có nghiệm phân biệt với m. Theo định lý Viet: x1 x22 ; m x x1 m
33
1 2 2
3
26 ( ) 26
8 ( 4) 26 (8 2)
1
0; 1;
4
x x m x x x x x x m
m m m m m m m
m m m
1,0 điểm
0,25 0,25 0,25 0,25
b) Gọi x x x1, (2 1x2) hai nghiệm ngun phương trình Ta có: x1 x2 2 ; m x x1 m 4
Suy x1x2 2x x1 8 2(x1x2) 4 x x1 21 15 (2x11)(2x21)15
TH1:
1
2
2 1
4
2 15
x x
m
x x
TH2:
1
2
2
0
2
x x
m
x x
TH3:
1
2
2 15
3
2 1
x x
m
x x
TH4:
1
2
2
1
2
x x
m
x x
Thử lại m=0, m=1, m=-3,m=4 thỏa mãn điều kiện toán
1,0 điểm
0,25
0,5
0,25
3
C
N
I F M
O
B
A E
3,5 điểm
0,5
a) Ta có: AC//BM suy BMACAN
(4)AB//CN suy BAM CNA
Do tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA Suy ra:
MB AB MB BC
AC NC BC CN
Mặt khác MBCBCN 1200
Suy tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN.
0,25 0,25 0,25
b) BFM BCM NBCBCM BMC1800 MBC600
Mặt khác BEM BCA600 (do t/c góc ngồi tứ giác nội tiếp) Suy BFM BEM 600 Do tứ giác BMEF nội tiếp.
0,5 0,25 0,25 c) Gọi I giao điểm EF với BC
Ta có IBFBMF (câu a), suy IB tiếp tuyến đường tròn ngoại
tứ giác BMEF
Tương tự chứng minh IC tiếp tuyến đường trịn ngoại tứ giác CNEF
Từ đó: IB2 IE IF IC ; IE IF IB IC hay I trung điểm BC. Vậy d qua điểm cố định I
0,25 0,25 0,25
4
Đặt x a 1;y b 2;z c 3 (x, y, z >0)
2
y z z x x y y x x z y z
VT
x y z x y z x z y
y x z x y z
x y x z z y
Dấu xảy x=y=z, suy a=3, b=2, c=1
1,5 điểm
0,5 0,5 0,25 0,25
5
n số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k số tự nhiên lớn
- Với n = 2k, ta có 2 k¿4+42 k
n4+4n=¿ lớn chia hết cho Do
n4
+4n hợp số -Với n = 2k+1, tacó
4 4 2 2
2
2
4 4 (2.4 ) ( 2.4 ) (2 .2 )
2.4 .2 2.4 .2
( ) ( )
n k k k k
k k k k
k k k k
n n n n n
n n n n
n n
Mỗi thừa số lớn Vậy n4 + 4n hợp số
1,0 điểm
0,25 0,25
0,25 0,25