UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS Tháng 3 / 2012 MôN: Toán (Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề) Đề chính thức Bài 1. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không là số chính phương. Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a, 3 2 x− + 1 − x = 1 b, =+ =+ =+ 2 2 2 2 2 2 yxz xyz zxy Bài 3. Cho ∆ ABC có 3 góc đều nhọn. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC; R, r theo thứ tự là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ∆ ABC; M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, BC và AC. a, Chứng minh: BN . OM + BM . ON = BO . MN b, Đặt ON = d 1 ; OM = d 2 ; OP = d 3 . Tính R + r theo d 1 , d 2 , d 3 ? Bài 4. Lấy một số tự nhiên có 2 chữ số chia cho số có 2 chữ số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 4 và dư 15. Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một số bằng tổng bình phương của 2 chữ số tạo thành số đó. Tìm số tự nhiên ấy? Hết Họ tờn thớ sinh: Số bỏo danh: áp án Đ1 UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS Tháng 3 / 2012 hớng dẫn chấm toán 9 Bài 1: 3,5 điểm C1: Gọi 5 số nguyờn liờn tiếp là n-2, n-1, n, n+1, n+2 với n nguyờn, dễ thấy tổng cỏc bỡnh phương của 5 số đó là 5(n 2 + 2) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không thể là số chính phương. C2: Xét tính chẵn lẻ của 5 số nguyên liên tiếp đó. Bài 2: a. 3,5 điểm Đặt a = 3 x2 − b = 1−x 0≥ Ta có : ( ) I 1ba 1 2 b 3 a =+ =+ ⇒ a 3 + a 2 - 2a = 0 ⇔ a ( a 2 + a -2) = 0 ⇔ =−+ = 02a 2 a 0a Hệ ( I ) có ba nghiệm : ( 0 ; 1) ; ( 1 ; 0) ; ( -2 ; 3) nên phương trình đã cho có nghiệm : 2 ; 1 ; 10 b, 3,5 điểm Từ (1) ; (2) ta có : (x – z)(x – y + z) = 0 (4) Từ (2) và (3) ta có: ( y - x)(x + y –z) = 0 (5) Từ (3) ; (4) ; (5) ta có hệ : ( ) ( ) ( )( ) =+ =−+− =+−− 2 2 yxz 0zyxxy 0zyxzx Để giải hệ trên ta giải 4 hệ ( ) ( ) + = + = + = 2 xy z 2 1 2 yz x 2 2 2 xz y 2 (3) ( ) ( ) B 2 2 yxz 0zyx 0zx A 2 2 yxz 0xy 0zx =+ =−+ =− =+ =− =− ( ) ( ) D 2 2 yxz 0zyx 0zyx C 2 2 yxz 0zyx 0xy =+ =−+ =+− =+ =+− =− Giải 4 hệ trên ta được 8 bộ nghiệm của hệ phương trình : (1; 1; 1) ; ( -1;-1; -1 ) ; ( ) 2;0;2 ; ( ) 2;0;2 −− ( ) 0;2;2 ; ( ) 0;2;2 −− ; ( ) 2;2;0 ; ( ) 2;2;0 −− Bài 3: 6 điểm a, Ta có BMO = BNO = 90 0 => OMBN là tứ giác nội tiếp Trên BO lấy E sao cho BME = OMN => ∆ BME ∆ NMO => NO NM BE BM = => BM . NO = BE . NM Chứng minh tương tự BN. OM = OE .MN Cộng theo từng vế BM .ON +BN . ON = MN . BO b. Đặt a , b , c là độ dài các cạnh BC , AC , AB của ∆ ABC theo câu a ta có d 1 . 2 a + d 2 2 c = R . 2 b áp dụng câu a đối với các tứ giác OMAP , ONCD ta có d 1 . 2 b + d 3 . 2 c = R. 2 a d 3 . 2 a + d 2 . 2 b = R. 2 c Cộng theo từng vế : 2 R . ( a+b+c) = 2 1 . ( d 1 b + d 2 b + d 3 c + d 3 a + d 1 a + d 2 c) mặt khác S ABC = 2 r . ( a+b +c ) = 2 1 .( d 1 c + d 3 b + d 2 a ) Do đó ( R + r )( a+b+c) = ( a+b+c)( d 1 +d 2 +d 3 ) hay R + r = d 1 + d 2 + d 3 Bài 4: 3,5 điểm Gọi số phải tỡm là (a , b N; 1 a, b 9) A 0 B N O d1 M P E d3 d2 C Ta cú hệ 2 2 4. 15(1) 9 (2) ab ba ab a b = + − = + C1 : Từ (1) ta thấy nếu => a = b = 9 khụng thỏamón (1) và (2) Vậy b = 1 thay b = 1 vào (2) ta được: – 9 = a 2 + 1 10a + 1 – 9 = a 2 + 1 a 2 – 10a + 9 = 0 a 1 = 1; a 2 = 9 (*) a = 1 => a = b loại (*) a = 9 => = 91 thỏa món (1) 91 = 4 * 19 + 15 Vậy: Số phải tỡm là 91 C2: Từ hệ trờn cú thể dựng PP thế để giải. Rút 1 ẩn từ PT (1) thế vào PT (2) ta sẽ được một PT bậc 2. Giải PT bậc 2 đó sẽ tỡm được nghiệm. Chỳ ý: - Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. - GK có thể bàn để thống nhất điểm cho từng phần nhỏ của mỗi bài. . UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS Tháng 3 / 2012 MôN: Toán (Thời. & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS Tháng 3 / 2012 hớng dẫn chấm toán 9 Bài 1: 3,5 điểm C1: Gọi 5 số nguyờn liờn tiếp là n-2, n-1, n, n+1, n+2 với. được: – 9 = a 2 + 1 10a + 1 – 9 = a 2 + 1 a 2 – 10a + 9 = 0 a 1 = 1; a 2 = 9 (*) a = 1 => a = b loại (*) a = 9 => = 91 thỏa món (1) 91 = 4 * 19 + 15 Vậy: Số phải tỡm là 91