ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI SỐ 11 MƠN: TỐN Câu (2.0 điểm) y = 2x + 2(m + 1)x + m + 4m + a) Cho hàm số điểm có hồnh độ khác b) Tìm tất giá trị thực tham số OA = 3OB A, B m Tìm m để đồ thị hàm số giao với trục hoành cho parabol ( Pm ) cắt Ox hai điểm phân biệt thỏa mãn Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình 2x −11x + 21− 3 4x − =0 x − 2x + x + 3x ≥ 2x 2 b) c) Giải hệ phương trình Câu (3,0 điểm) a) Cho tam giác y + + y y + = x + ( ) ( 1) x + x2 − 2x + = + 2x − y + ( 2) ABC BC , CA có độ dài cạnh Trên cạnh lấy BN = 1, CM = N, M P, ( P ≠ A, P ≠ B ) AN AB điểm cho Trên cạnh lấy điểm cho AP AB PM vng góc với Tính tỉ số b) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD, M ( -2; 0) tring điểm cạnh AB, điểm H( 1; -1) hình chiếu B AD G ( 7/3; 3) trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng HM cắt BC E, đường thẳng HG cắt đường thẳng BC F Tìm tọa độ điểm E, F B D ABC ABC IG ^ IC c) Cho tam giác gọi I tâm đường tròn nội tiếp , biết Chứng minh a +b +c 2ab = a +b (Với AB = c, BC = a, CA = b ) Câu (1 điểm) Cho x,y,z số dương thỏa mãn A= biểu thức 2 x y z + + x+ y y+ z z+ x xy + xz + yz = Tìm giá trị nhỏ Câu 1a) Tìm m để đồ thị hàm số điểm có hồnh độ khác y = 2x + 2(m + 1)x + m + 4m + giao với trục hoành Từ u cầu tốn ta phải có: ∆ ' = −b ≠ 2a ∆ ' > − m − 6m − = −(m + 1) ≠ ⇔ − m − 6m − > ⇔ − ≤ m ≤ −1 Lời giải x − x + m = ( *) Phương trình hồnh độ giao điểm: ( P) ( *) A, B Ox Để cắt hai điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = − m > ⇔ m < Theo giả thiết TH1: x A = xB OA = 3OB → x A = xB ⇔ x A = −3xB x A = 3xB Viet x A = 3xB → xA + xB = → m = x A xB = (TM ) x x = m A B x A = −3xB x A = −3xB → x A + xB = → m = x A xB = −12 (TM ) x x = m A B Viet TH2: Do m = 3, m = −12 2x −11x + 21− 3 4x − Câu 2a) Giải phương trình Phương trình tương đương với: 2x(x-3)-5(x-3) = 3( 4x-4-2) ⇔ ( x − 3)(2x-5) = 3(4x-12) (4x-4)2 + 4x-4 + (*) x= nghiệm phương trình x≠3 ⇔ 2x-5 = 12 (4x-4) + 4x-4 + (*) ⇔x> VP>0 suy 2x – > + Nếu x > 3: VT >1 VP Thay vào phương trình (2) ý Lúc ta x + x2 − x + = + ( ) y2 + + y ⇔ x −1 + ( x − 1) +4=2 ( y2 + + y x −1 x −1 ⇔ + ÷ +1 = y +1 + y u= Đặt x −1 (3) ⇔ u + u2 +1 = y2 + + y Từ (3) cho ta ⇔ u − y + u +1 − y +1 = 2 u+ y ⇔ ( u − y ) 1 + ÷= ÷ u + + y + ⇔u− y+ (4) ( u − y) ( u + y) u2 + + y2 + =0 ) 1+ Do u+ y u2 + + y2 + ( = ) ( u2 + + u + u2 + + y2 + x −1 = y ⇒ x = 2y +1 u=y Nên từ (4) cho ta , hay Thay vào phương trình (1) ta ( y + 1) + y y + = y + ⇔ ⇔ y2 + + y = y2 + + y ( ) y2 + + y = y2 + + y > (do ) Tìm 5 3 ; ( x; y ) ÷ Kết luận: Hệ có nghiệm y = ,x = uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur AN = AB + BN = AB + AC − AB = AB + AC 3 ( Câu 3a) AP = x, ( < x < 3) b) Đặt Ta có ) uuuu r uuu r uuuu r uuur x uuu r PM = PA + AM = AC - AB 3 uuur uuuu r r uuur uuur uuur x uuu AN ⊥ PM ⇔ AN PM = ⇔ AB + AC ÷ AC − AB ÷ = 3 3 3 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2 2x x ⇔ AB AC − AB − AB AC + AC = 9 9 x ⇔ 1− 2x − + = ⇔ x = Vậy ) >0 AP = AB 15 Câu 3c) Ta chứng minh uu r uur uur r aIA + bIB + cIC = uur uuu r uur uuu r uur r uur ⇒ a IC + CA + b IC + CB + cIC = ⇒ CI = ( ) ( ) uuu r uuu r a.CA + b.CB a+b+c ( ) uur uur uuur r r a uuu b uuu ⇒ GI = CI − CG = − ÷CA + − ÷CB a +b +c 3 a +b +c 3 uuu r uuu r uuu r uuu r r ⇔ ( 2a − b − c ) CA + ( 2b − a − c ) CB aCA + bCB = ( Khi ) uuu r uuu r ⇔ ab + CA.CB b ( 2a − b − c ) + a ( 2b − a − c ) = uuu r uuu r ab + CA.CB = ab + ab cos C = ab ( + cos C ) > ( Do Nên ta có: ) b ( 2a − b − c ) + a ( 2b − a − c ) = ⇔ b ( 3a − a − b − c ) + a ( 3b − a − b − c ) = ⇔ 6ab = ( a + b ) ( a + b + c ) ⇔ xy x2 xy xy = x− ≥ x− = x− x+ y x+ y 2 xy Câu 4) Ta có Chứng minh tương tự ta có: yz y2 ≥ y− y+x z2 xz ≥ z− z+x a + b + c 2ab = a+b ≥ x+ y+ z− Suy A ( ) xy + yz + zx = x + y + z − x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇒ x + y + z ≥ Mặt khác ta thấy A ≥ 1− Nghĩa 1 = 2 Vậy minA=1/2 x=y=z=1/3 ...Câu 1a) Tìm m để đồ thị hàm số điểm có hồnh độ khác y = 2x + 2(m + 1)x + m + 4m + giao với trục hồnh Từ u cầu tốn ta phải có: