1. Trang chủ
  2. » Sinh học lớp 12

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

9 14 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 9
Dung lượng 17,16 KB

Nội dung

Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.. Một số phương trình lượ[r]

(1)

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một số tốn phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù phương trình, khơng nằm phương pháp nêu hầu hết sách giáo khoa

Một số phương trình lượng giác thể tính khơng mẫu mực dạng chúng, có phương trình ta thấy dạng bình thường cách giải lại khơng mẫu mực

Sau phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực thường gặp I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Phương pháp nhằm biến đổi phương trình lượng giác dạng vế tổng bình phương số hạng (hay tổng số hạng không âm) vế cịn lại khơng áp dụng tính chất:

A2+B2=0 A=0 B=0

¿{

Bài 1.Giải phương trình: tan2x+4 sin2x −2√3 tanx −4 sinx+2=0 GIẢI

¿√3 tanx −1=0

2 sinx −1=0 ¿ ¿tanx=√3

3

¿

sinx=1

2

¿ ¿x=π

6+

x=π

6+2

3 tan2x+4 sin2x −2√3 tanx −4 sinx+2=0 3 tan2x −2

√3 tanx+1+4 sin2x −4 sinx+1=0

2 sinx −1¿2=0 ¿ ¿

√3 tanx −1¿2+¿ ¿ ĐS x=π

6+2 (k∈Z)

II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình f(x)=g(x) , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A → R: f(x)≥ A ,∀x∈(a , b) g(x)≤ A ,∀x∈(a ,b) đó:

f(x)=g(x)⇔ f(x)=A g(x)=A

(2)

Nếu ta có f(x)>A g(x)<A , ∀x∈(a , b) kết luận phương trình vơ ngiệm Bài Giải phương trình: cos5x

+x2=0 GIẢI

cos5x+x2=0⇔x2=−cos5x

1cosx ≤1 nên 0≤ x21⇔−1≤ x ≤1

mà [1,1](− π

2 ,

π

2)cosx>0,∀x∈[1,1]⇒−cos

5x<0,∀x∈ [1,1] Do x2

>0 cos5x<0 nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Bài Giải phương trình: sin1996x+cos1996x=1 (1) GIẢI

(1) sin1996x+cos1996x=sin2x+cos2x

sin2x(sin1994x −1)=cos2x(1cos1994x) (2)

Ta thấy

¿

sin2x ≥0 sin1994x ≤1

sin2x

(sin1994x −1)0,∀x ¿{

¿

¿

cos2x ≥0

1cos1994x ≥0

cos2x(1cos1994x)≥0,∀x ¿{

(3)

Do (2)

sin2x(sin1994x −1)=0

cos2x

(1cos1994x)=0

sinx=0

¿

sinx=±1

¿

cosx=0

¿

cosx=±1

¿ ¿

¿ x=mπ

¿ x=π

2+mπ

¿ x=π

2+

¿ x=nπ

¿ ¿(m , n∈Z)

¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿

Vậy nghiệm phương trình là: x=k π

2(k∈Z)

ĐS x=k π

2(k∈Z)

Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác dạng đặc biệt đây:

sin ax sin bx=1 ¿sin ax=1

sin bx=1 ¿ ¿ ¿

sin ax=−1

¿ ¿

sin bx=−1

(4)

sin ax sin bx=1 ¿sin ax=1

sin bx=−1

¿ ¿ ¿

sin ax=−1

¿ ¿

sin bx=1 ¿ ¿ ¿

Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng:

cos ax cos bx=1

cos ax cos bx=−1 sin ax cos bx=1

sin ax cos bx=−1

III PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thông sụng sau:

+) Dùng tính chất đại số

+) Áp dụng tính đơn điệu hàm số

Phương trình f(x)=0 có nghiệm x=α∈(a ,b) hàm f đơn điệu (a , b) f(x)=0 có nghiệm x=α

Phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x=α∈(a ,b) , f(x) tăng (giảm) (a , b) , g(x) giảm (tăng) (a , b) phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x=α

Bài Giải phương trình: cosx=1−x

2 với x>0

GIẢI

Ta thấy phương trình có nghiệm x=0 Đặt f(x)=cosx+x

2

2 1 biểu thức hàm số có đạo hàm f '(x)=−sinx+x>0,∀x>0 (vì |x|>|sinx|,∀x )

Hàm f ln đơn điệu tăng (0,+∞) f(x)=0 có nghiệm (0,+) Vậy phương trình cho có nghiệm x=0

B.CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN

Bài 1:Giải phương trình: x22xcosx −2 sinx+2

=0 (1) GIẢI

(5)

¿x −cosx=0

sinx −1=0 ¿ ¿cosx=x

¿

sinx=1 sinx −1¿2=0

¿ x −cosx¿2+¿

¿ ¿¿ Phương trình vơ nghiệm

Bài 2: Giải phương trình: sin4x+cos15x=1 GIẢI

Ta có: sin4x+cos15x=1 sin4x

+cos15x=sin2x+cos2x

sin2x(sin2x −1)=cos2x(1cos13x) (1) Vì sin2x(sin2x −1)≤0,∀x

Và cos2x

(1cos13x)≥0,∀x

Do (1)

sin2x

(sin2x −1)=0 cos2x(1cos13x)=0

¿{

sinx=0

¿

sinx=±1

¿

cosx=0

¿

cosx=1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

(6)

x=mπ

¿ x=π

2+mπ

¿ x=π

2+nπ

¿ x=2

¿ ¿(m, n∈Z)

¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿ ĐS x=π

2+kπ hay x=2 , (k∈Z)

C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI Bài 3:Giải phương trình:

1 sin4x+cos4(x+π

4)= (1)

2 tanx+14cotx¿n=cosnx+sinnx(n=2,3,4, .) ¿

GIẢI Ta có: (1)

1cos 2x¿2 ¿ ¿ ¿

1sin 2x¿2=1

1cos 2x¿2+¿ ¿

cos 2x+sin 2x=1 cos(2x −π

4)=√ 2

x=kπ

¿ x=π

4+kπ

¿ (k∈Z)

¿ ¿ ¿

2 Với điều kiện x ≠ k π

2 ta có tanx cotx ln dấu nên:

|tanx+1cotx|=|tanx|+|1cotx|2√|tanx⋅1cotx|=1|tanx+1cotx|

n

(7)

Dấu "=" xảy |tanx|=|1

4cotx|tan

2x=1

4tanx=±

1

+) Với n=2 : phương trình (tanx+1

4cotx)

2

=1 có nghiệm cho bởi:

tanx=±1

2⇔x=±arctan

2+(k∈Z)

+) Với n∈Z , n>2 thì:

cosnx+sinnx ≤cos2x+sin2x=1

Dấu xảy

x=kπ

2khin=2m

¿ x=2hayx=π

2+2khin=2m+1

¿ (k , m∈Z)

¿ ¿ ¿ (đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k π

2 phương trình)

Vậy với n>2, n∈Z phương trình vơ nghiệm ĐS x=±arctan1

2+kπ(k∈Z)

Bài 4: Giải phương trình: cosx

cosx 1+cos 3x

1

cos 3x−1=1 (1) GIẢI

Điều kiện:

¿

cosx>0

cos 3x>0

¿{ ¿

Khi (1) √cosx −cos2x+√cos 3x −cos23x=1 Vì

a −1

2¿

20⇒a − a21

4

a2− a+1

4=¿

Do cosx −cos2x ≤1

4 cos 3x −cos

23x ≤1

4 √cosx −cos

2x ≤1

2và√cos 3x −cos

23x ≤1

(8)

Dấu xảy

cosx −cos2x =1

4 cos 3x −cos23x=1

4

¿cosx=1

2 cos 3x=1

2

⇔x∈∅ ¿{ Vậy phương trình (1) vơ nghiệm D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải phương trình: sin3x+cos3x=2sin4x Giải:

sin3x ≤sin2x ,∀x

cos3x ≤cos2x ,∀x sin3x+cos3x ≤1,∀x

2sin4x ≥1,∀x

Vậy phương trình tương đương:

¿

sin3x+cos3x=1 2sin4x=1

¿{ ¿ ĐS x=π

2+2(k∈Z)

Bài 2: Giải phương trình: sinx+tanx −2x=0 với 0≤ x ≤π

2

Giải:

Dễ thấy phương trình có nghiệm x=0 Đặt f(x)=sinx+tanx −2x liên tục ¿ Có đạo hàm: f '(x)=(cosx −1)(cos

2

x −cosx −1)

cos2x 0,∀x∈¿

1√5

2 <0cosx ≤1< 1+√5

2 cos

2x −cosx −1 <0

⇒f đơn điệu tăng ¿

Bài 3: Giải phương trình: (cos 4x −cos 2x)2=5+sin3x ĐS x=π

2+2(k∈Z)

Bài 4: Giải phương trình: cos4x −sin4x=|cosx|

(9)

ĐS

¿ x=1

y=π

2+2

¿{ ¿

hay

¿ x=−1

y=π

2+2

¿{ ¿

Ngày đăng: 05/02/2021, 14:41

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w