Học kì 2 toán 9 tổng hợp nhiều trường 2021

BỘ ĐỀ THI THỬ TOÁN VÀO 10 CÁC TRƯỜNG HÀ NỘI 2020-2021 HDedu - Page 1 PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG THCS N HỊA NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN ĐỀ THI THỬ (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề số Câu ( điểm) Với x > , cho hai biểu thức A = x −1 + − B = x +3 x+3 x x −2 x a) Tính giá trị biểu thức B x = b) Chứng minh A = Câu ( x x −2 ( ) x +3 ) c) Tìm giá trị tham số m để phương trình A : B = m có nghiệm ( điểm) ) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Đầu năm, hai công ty chế biến nông sản tỉnh Bình Thuận dự định xuất 1010 long Nhưng thực tế dịch bệnh Covid 19 diễn biến phức tạp Trung Quốc nên sản lượng xuất long công ty thứ giảm 15% , cơng ty thứ hai giảm 10% Vì vậy, hai công ty xuất 900 long Hỏi theo dự định, công ty xuất long? ) Một chai dung dịch rửa tay khơ hình trụ cao 12 cm, đường kính đáy cm Tính thể tích chai dung dịch Câu ( điểm) 3 ( x + 1) + ( x + y ) = 1) Giải hệ phương trình:  4 ( x + 1) − ( x + y ) = 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d ) : y = ( 2m + ) x + 2m + ( m tham số) parabol ( P ) : y = x a) Khi m = xác định tọa độ giao điểm đường thẳng ( d ) parabol ( P ) phương pháp đại số b) Tìm giá trị m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 = Câu ( 3,5 điểm) Cho đường tròn ( O ; R ), đường kính AB Gọi M làm điểm thuộc đường tròn cho MA > MB Đường thẳng vng góc với AB A cắt tiếp tuyến HDedu - Page 2 M đường tròn ( O ) điểm E Vẽ MP vng góc với AB ( P ∈ AB ), MQ vng góc với AE ( Q ∈ AB ) a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh tứ giác AQMP hình chữ nhật, từ chứng minh ba điểm O , I , E thẳng hàng c) Gọi giao điểm EB MP K Chứng minh K trung điểm MP Tìm vị trí điểm M ( O ) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Câu (0,5 điểm) Cho x , y , z số thực thỏa mãn x ≥ , x + y ≥ 12 x + y + z = 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + z Hướng dẫn giải Câu ( điểm) Với x > , cho hai biểu thức A = x −1 + − B = x +3 x+3 x x −2 x a) Tính giá trị biểu thức B x = ( b) Chứng minh A = x −2 x ( ) x +3 ) c) Tìm giá trị tham số m để phương trình A : B = m có nghiệm Lời giải a) ĐKXĐ: x > Thay x = (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức B , ta được: x − 3− = = 3 x Vậy x = B = B= b) A = = x −1 x −1 2x − x + − x − x + −1 = + −1 = x +3 x+3 x x +3 x x +3 x x +3 ( x−4 x +4 x ( x +3 ) = ( x x −2 ( ) ) ( ) x +3 ) (đpcm) c) ĐKXĐ: x > ; x ≠ Ta có: HDedu - Page 3 A: B = ( )= ( x − 2) ⋅ x −2 : x x ( x + 3) x ( x + 3) x −2 2 x = x −2 x −2 x +3 Xét phương trình: x −2 = m ⇔ m x + 3m = x +3 Với m ≠ ta có x= x − ⇔ ( m − 1) x = −3m − (*) 3m + 1− m x > Theo đkxđ ta có  x ≠  m ≠   3m + Để pt (*) có nghiệm cần  >0 − m   3m +  − m ≠ +) m ≠ 5m ≠ 3m + 3m + 3m + − + 2m ⇔ −2≠ ⇔ ≠0 ⇔ ≠2 ⇔ 1− m 1− m 1− m m ≠ m ≠ +) 3m + >0 1− m (1) −2  3m > −2 3m + > −2 m > Trường hợp :  ⇔ < m m < −2  3m + < 3m < −2 m < Trường hợp :  ⇔ ⇔ ⇔ m ∈∅ 1 − m < m > m > ⇒ −2 3m + >0 < m < để 1− m KL: Từ (1) Câu ( 2) ta có ( 2) −2 < m < , m ≠ phương trình có nghiệm ( điểm) ) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Đầu năm, hai cơng ty chế biến nơng sản tỉnh Bình Thuận dự định xuất 1010 long Nhưng thực tế dịch bệnh Covid 19 diễn biến phức tạp Trung Quốc nên sản lượng xuất long công ty thứ giảm 15% , công ty thứ hai giảm 10% Vì vậy, hai cơng ty xuất 900 HDedu - Page 4 long Hỏi theo dự định, công ty xuất long? ) Một chai dung dịch rửa tay khơ hình trụ cao 12 cm, đường kính đáy cm Tính thể tích chai dung dịch Lời giải 1) Gọi sản lượng long xuất theo dự định công ty thứ x (đơn vị: tấn, < x < 1010 ) Gọi sản lượng long xuất theo dự định công ty thứ hai y (đơn vị: tấn, < y < 1010 ) Theo dự định, hai công ty xuất 1010 long, có phương trình: x+ y = 1010 ( ) Thực tế: + Sản lượng long xuất công ty thứ 85%.x = 0,85x (tấn) + Sản lượng long xuất công ty thứ hai 90%.y = 0,9 y (tấn) Thực tế, hai cơng ty xuất 900 tấn, có phương trình: 0,85 x + 0,9 y = 900 ( ) Từ ( ), ( ) ta có hệ phương trình: 1010 909 x + y = 0,05 x =  x = 180 0,9 x + 0,9 y = ⇔ ⇔ ⇔  900 900 1010 = 0,85 x + 0,9 y = x + y = 0,85 x + 0,9 y =  y 1010 − 180  x = 180 (thỏa mãn) ⇔  y = 830 Vậy công ty thứ dự định xuất 180 long, công ty thứ dự định xuất 830 long 2) Gọi d , r thứ tự đường kính bán kính mặt đáy chai dung dịch d = cm ⇒ r = 2,5 cm Thể tích chai dung dịch là: V = π r h = ( 2,5 ) 12π = 75π ( cm3 ) Câu ( điểm) 3 ( x + 1) + ( x + y ) = 1) Giải hệ phương trình:  4 ( x + 1) − ( x + y ) = 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d ) : y = ( 2m + ) x + 2m + ( m tham số) parabol ( P ) : y = x HDedu - Page 5 a) Khi m = xác định tọa độ giao điểm đường thẳng ( d ) parabol ( P ) phương pháp đại số b) Tìm giá trị m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 = Lời giải 1) Giải hệ phương trình: 3 ( x + 1) + ( x + y ) =  4 ( x + 1) − ( x + y ) = 1 3 x + + x + y = 5 x + y = 5 x + y = 11x = 11 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 10 5 4 x + − x − y = 6 x − y = 3 x − y = 3 x − y = 3 − y = x = ⇔  y = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y=) (1; −1) 2) Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng ( d ) parabol ( P ) là: x2 = ( 2m + 5) x + 2m + ⇔ x − ( 2m + 5) x − 2m − =0 (*) a) Thay m = vào (*), ta phương trình: x − x − = ( a = , b = −7 , c = −8 ) Ta có: a − b + c =1 + − = nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = −1 , x2 = Với x1 = −1 ⇒ y1 =x12 =− ( 1) =1 Với x2 = ⇒ y2 = x22 = 82 = 64 Vậy với m = , tọa độ giao điểm đường thẳng ( d ) parabol ( P ) là: ( −1;1) (8;64 ) − ( 2m + ) , c = b) Xét phương trình (*): a = , b = −2m − Ta có a − b + c =1 + 2m + − 2m − = nên phương trình (*) có hai nghiệm phân x2 2m + biệt là: x1 = −1 , = Để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm phân biệt: 2m + ≠ −1 ⇔m≠ −7 x2 2m + Vì vai trị x1 , x2 nên ta giả sử: x1 = −1 , = HDedu - Page 6 6  2m =  2m + =  2m + = −1 + 2m + = ⇔ 2m + = 6⇔ ⇔ ⇔  2m = −12  2m + =−6  2m + =−6  2m =  m = 0(tm)  2m = ⇔ ⇔ ⇔  2m = −12  m = −6(tm)  2m = −12 Vậy m = m = −6 để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 = Câu ( 3,5 điểm) Cho đường tròn ( O ; R ), đường kính AB Gọi M làm điểm thuộc đường tròn cho MA > MB Đường thẳng vng góc với AB A cắt tiếp tuyến M đường tròn ( O ) điểm E Vẽ MP vng góc với AB ( P ∈ AB ), MQ vng góc với AE ( Q ∈ AB ) a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh tứ giác AQMP hình chữ nhật, từ chứng minh ba điểm O , I , E thẳng hàng c) Gọi giao điểm EB MP K Chứng minh K trung điểm MP Tìm vị trí điểm M ( O ) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Lời giải E M Q I A K O P B  =° 90 a) Vì EA ⊥ AB A (gt) ⇒ EAB = 90° Vì EM ⊥ MO M (gt) ⇒ EMO  + EMO = ⇒ EAO 1800 HDedu - Page 7 ⇒ Tứ giác AEMO nội tiếp đường trịn  =° 90 b) Vì MP ⊥ AB ( P ∈ AB ) ⇒ MPA = 90° MQ ⊥ AE ( Q ∈ AB ) ⇒ MQA = MQA = MPA = 90° Xét tứ giác AQMP có EAB ⇒ Tứ giác AQMP hình chữ nhật (dhnb) ⇒ Hai đường chéo PQ AM cắt trung điểm đường (tính chất hình chữ nhật) Mà I trung điểm PQ (gt) ⇒ I trung điểm AM Vì AE , EM hai tiếp tuyến từ E tới ( O ) nên AE = EM (tính chất hai tiếp tuyến đường tròn) ⇒ E thuộc đường trung trực AM Mà AO = OM ⇒ O thuộc đường trung trực AM ⇒ OE đường trung trực AM ⇒ OE qua trung điểm I AM ⇒ Ba điểm O , I , E thẳng hàng c) Vì AE , EM hai tiếp tuyến từ E tới ( O ) AOM (tính chất hai tiếp tuyến đường trịn) ⇒ OE tia phân giác  =1 Mà OBM AOM (góc nội tiếp góc tâm chắn cung AM đường tròn ( O ) )  AOE = OBM ⇒ Xét ∆AEO ∆PMB có: = MPB =( 90° ) EAO   (cmt) AOE = OBM ⇒ ∆AEO ∽ ∆PMB (g – g) OA EA BP ⋅ EA (hai cặp cạnh tương ứng) ⇒ MP = ⇒ = PB MP OA BP ⇒ MP = EA (1) AB Ta có KP ⊥ AB , mà EA ⊥ AB nên KP / / EA BP PK Xét tam giác ABE có KP / / EA ⇒ = (hệ Talet) AB EA PK Từ (1) (2) suy MP = EA = 2PK EA Mà K thuộc MP ( 2) Vậy K trung điểm MP HDedu - Page 8 Đặt AP = x (điều kiện x > ) ⇒ PB = R − x  AMB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( O ) ) ⇒ ∆AMB vuông M Áp dụng hệ thức lượng tam giác ∆AMB vuông M có đường cao MP , ta có: = MP = AP= PB x ( R − x ) ⇒ MP x ( 2R − x ) x ( R − x ) x S AQMP = = AP.MP x = x ( 2R − x ) Vì AP > , MP > , PB > nên x > , Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương x >0 x 2R − x > 2R − x có x x x ( R − x ) ≤  + ( R − x ) =R − 3  ⇒ x x x ( R − x ) ≤ x  R −  3  ⇒ x x x x ( R − x ) ≤ 3  R −  3 3 (1) Vì vế trái dương x > ⇒ R − x >0 Áp dụng Cô-si cho số dương x R− x có : x x 1 x x R R−  ≤  +R−  = 3 3 23 3 x x  R2 ⇒ R− ≤ 3 3 x x  3R ⇒3 3⋅ R−  ≤ 3 3 (2) Từ (1) (2) suy S AQMP ≤ 3 R HDedu - Page 9 Dấu “=” xảy x 2R − x = 3R 3R ⇔ x = ⇔ AP =  2  x= R − x  3 Diện tích hình chữ nhật AQMP lớn M giao điểm đường tròn tâm O với đường trung trực đoạn thẳng OB Câu (0,5 điểm) Cho x , y , z số thực thỏa mãn x ≥ , x + y ≥ 12 x + y + z = 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + z Lời giải Ta có: x ≥ , x + y ≥ 12 x + y + z = 15 ( x − 7) ≥ 0, ∀x ⇔ x − 14 x + 49 ≥ ⇔ x ≥ 14 x − 49 ( y − 5) ≥ 0, ∀y ⇔ y − 10 x + 25 ≥ ⇔ y ≥ 10 y − 25 ≥ 0, ∀z ⇔ z − z + ≥ ⇔ z ≥ x − ( z − 3) ⇒ A = x + y + z ≥ 14 x + 10 y + z − 83 ⇒ A ≥ ( x + y + z ) + ( x + y ) + x − 83 ⇒ A ≥ ( x + y + z ) + ( x + y ) + x − 83 ⇒ A ≥ 6.15 + 4.12 + 4.7 − 83 (vì x ≥ , x + y ≥ 12 x + y + z = 15 ) A ≥ 83 Dấu “ = ” xảy x = , y = , z = (thỏa mãn) Vậy A đạt giá trị nhỏ 83 x = , y = , z = HDedu - Page 10 252 PHÒNG GD& ĐT LONG BIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TRƯỜNG THCS BỒ ĐỀ Mơn thi: TỐN Năm học 2019-2020 Thời gian làm bài: 120 phút Đề số 29 Ngày thi: Câu 26 Cho hai biểu thức A = x +3 B= x−4 , với x ≥ 0; x ≠ − + x −2 4− x x +2 a) Tính giá trị biểu thức A x = 16 x −2 c) Biết C = B : A , tìm giá trị nguyên x cho C − x ≥ b) Chứng minh B = Câu 27 a) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Qng đường Thanh Hóa – Hà Nội dài 150 km Một ôtô từ Hà Nội vào Thanh Hóa, nghỉ lại Thanh Hóa 15 phút, trở Hà Nội, hết tất 10 Tính vận tốc ơtơ lúc về, biết vận tốc lúc lớn vận tốc lúc 10 km/h b) Một hình trụ có bán kính đường trịn đáy cm, chiều cao cm Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ Câu 28  + y −1 = 3  x 1) Giải hệ phương trình sau  2 − y − =  x 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng parabol ( P ) : y = x Tìm giá trị m ( d ) : y = mx + m + để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung Câu 29 Cho đường tròn tâm ( O ) , điểm A nằm bên ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp b) Tia AO cắt đường tròn hai điểm J K ( J nằm A K ) cắt BC H Một tia Ax nằm hai tia AB AO cắt đường tròn hai điểm D E ( D nằm A E ) Chứng minh  AHD =  AEO c) Tia Ax cắt BJ , BC , BK thứ tự F , G, I Chứng minh FG.IA = FA.GI Câu 30 Cho bốn số dương a, b, c, d Tìm giá trị nhỏ biểu thức : HDedu - Page 253 253  a b c d  b c d a  A =  + + +  + + +  + a + b + c + d − ab − bc − cd − da + 2004  b c d a  a b c d   HẾT  ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT MƠN TỐN TRƯỜNG THCS BỒ ĐỀ Năm học: 2019-2020 Câu Cho hai biểu thức A = x +3 B= x−4 , với x ≥ 0; x ≠ − + x −2 4− x x +2 a) Tính giá trị biểu thức A x = 16 b) Chứng minh B = c) x −2 Biết C = B : A , tìm giá trị nguyên x cho C − x ≥ Lời giải: a) Tính giá trị biểu thức x = 16 Thay x = 16 (TMĐKXĐ) vào biểu thức A = Tính A = 12 b) Chứng minh B = B= 16 + 16 − 4 x −2 − + x −2 4− x x +2 = = = = ( ( x −2 x +2 )( ) x +2 + ) ( x −2 )( x +2 + ) ( x −2 x −2 )( x +2 ) x +6+4+ x −2 ( x −2 ( ( x −2 )( x +2 x +2 )( ) x +2 ) ) x −2 HDedu - Page 254 254 c) Biết C = B : A , tìm giá trị nguyên x cho C − x ≥ x +3 x +8 : = x −2 x−4 x +3 = C B= :A x +8 −3 x − x + −3 x ≥ ⇔ ≥0 x +3 x +3 C −3 x ≥ ⇔ ⇔ (1 − x )(3 x +8 x +3 ) ≥ ⇒ 1− x ≥ ⇔ ≤ x ≤1 Do x số nguyên kết hợp ĐKXĐ ta có x ∈ {0;1} Câu Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: a) Qng đường Thanh Hóa – Hà Nội dài 150 km Một ơtơ từ Hà Nội vào Thanh Hóa, nghỉ lại Thanh Hóa 15 phút, trở Hà Nội, hết tất 10 Tính vận tốc ôtô lúc về, biết vận tốc lúc lớn vận tốc lúc 10 km/h b) Một hình trụ có bán kính đường trịn đáy cm, chiều cao cm Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ Lời giải: a) Đổi 3h15' = 13 h Gọi vận tốc lúc ôtô x ( km/h ) ( x > ) Vận tốc ôtô lúc x + 10 ( km/h ) Thời gian ôtô từ HN-TH 150 (h) x + 10 Thời gian ôtô từ TH-HN 150 (h) x Do tổng thời gian đi, về, nghỉ 10 h nên ta có pt: 150 150 13 + + = 10 x + 10 x Giải phương trình: Quy đồng khử mẫu Đưa phương trình: x − 310 x − 2000 = Tìm x1 = − 50 (loại), x2 = 40 (TM) HDedu - Page 255 255 Vậy vận tốc lúc ôtô 40 ( km/h ) b) Diện tích xung quanh hình trụ là: S xq = 2π rh S xq ≈ 2.3,14.6.9 ≈ 339,12 ( cm ) Câu  3  1) Giải hệ phương trình sau  2  + y −1 = x − y −1 = x a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y= mx + m + parabol ( P ) : y = x Tìm giá trị m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung Lời giải: 1) ĐKXĐ: x > 0, y ≥   + y −1 = 3 7  x  ⇔ ⇔ 4 − y − = 4 − y −1 =  x  x 1  x = 1( tm )  =1 ⇔ x ⇔ y = ( tm )  y − =   3   2  + y −1 = x =7 x  =1  ⇔ x  y −1 = − y −1 =  x 2a) ( d ) : y = mx + m + (1) ( P) : y = x2 ( 2) Từ (1) (2) ta có phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x = mx + m + ⇔ x – mx – m – = (3) ∆= ( m + 2) ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 Khi phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 HDedu - Page 256 256 nên ∆= ( m + 2) > ⇔ m ≠ −2 2b) Do phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m ≠ −2 m x + x = Theo định lí Vi ét ta có:   x1.x2 =− m − Nên ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung Khi phương trình (3) có hai nghiệm x1 < 0, x2 <  x + x < m < ⇔ ⇔ −m − >  x1.x2 > m < ⇔ ⇒ m < −1 m < −1 Kết hợp với đk m ≠ ta có m < −1 m ≠ −2 Câu Cho đường tròn tâm ( O ) , điểm A nằm bên đường tròn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp b) Tia AO cắt đường tròn hai điểm J K ( J nằm A K ) cắt BC H Một tia Ax nằm hai tia AB AO cắt đường tròn hai điểm D E ( D nằm A E ) Chứng minh  AHD =  AEO c) Tia Ax cắt BJ , BC , BK thứ tự F , G, I Chứng minh FG.IA = FA.GI Lời giải: B E D F A I G J H O K C a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp Vì AB, AC tiếp tuyến đường tròn ( O ) nên  ABO=  ACO= 90° Xét tứ giác ABOC có  ABO +  ACO = 180° mà hai góc vị trí đối nên HDedu - Page 257 257 tứ giác ABOC nội tiếp b) Chứng minh  AHD =  AEO  chung;  Xét ∆ADB ∆AEB có : BAD ABD =  AEB (cùng chắn cung BD ) ⇒ ∆ADB ∽ ∆ABE ( g g ) ⇒ AD AB = ⇒ AB = AD AE AB AE (1) Mặt khác, ∆ABO vuông B có BH đường cao nên AB = AH AO AD AE Từ (1) (2) suy = ⇒ (2) = AH AO ( AB ) AD AO = AH AE  chung; AD = AO Xét ∆ADH ∆AOE có DAH AH AE ⇒ ∆ADH ∽ ∆AOE ( c.g c ) Suy  AHD =  AEO (Hai góc tương ứng) c) Chứng minh FG.IA = FA.GI Xét đường tròn tâm ( O ) , ta có: )   (cùng chắn cung BJ ABF = BKJ  = BKJ  (Cùng phụ BJK  ) nên   ⇒ BF đường phân giác Mà JBH ABJ = GBJ BG FG = tam giác ∆ABG ⇒ (3) AB FA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ⇒ BJ ⊥ BK ⇒ BK tia Mặt khác, KBJ BG GI = phân giác ∆ABG ⇒ (4) BA IA FG GI = ⇒ FG.IA = FA.IG FA IA Cho bốn số dương a, b, c, d Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Từ (3) (4) suy Câu  a b c d  b c d a  A =  + + +  + + +  + a + b + c + d − ab − bc − cd − da + 2004  b c d a  a b c d  Lời giải:  a b c d  b c d a  A =  + + +  + + +  + a + b + c + d − ab − bc − cd − da + 2004  b c d a  a b c d  HDedu - Page 258 258  a b c d  b c d a  Chứng minh  + + +  + + +  ≥ 16  b c d a  a b c d  Dấu “=” xảy a= b= c= (1) d Chứng minh a + b + c + d − ab − bc − cd − da ≥ (2) Dấu “=” xảy a= b= c= d Từ (1) (2) => A ≥ 2020 Dấu “=” xảy a= b= c= d Vậy giá trị nhỏ A 2020 a= b= c= d > HDedu - Page 259 259 UBND QUẬN LONG BIÊN ĐỀ KHẢO SÁT VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG THCS ÁI MỘ Năm học 2019 – 2020 Mơn thi: TỐN Đề số 30 Câu 31 Thời gian làm bài: 120 phút ( 2,5 điểm) Cho hai biểu thức: A= x +1 = B x +3  x −  x −1 −   : x − x +   x −3 ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ) a) Tính giá trị biểu thức A x = 49 b) Rút gọn biểu thức B c) Tính giá trị nhỏ biểu thức: M= A − x +3 Câu 32 ( 2,5 điểm) a) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một đội xe dự định chở 24 hàng Thực tế chở đội bổ sung thêm xe nên xe chở dự định Hỏi dự định ban đầu đội có xe? (Biết khối lượng hàng chở xe nhau) b) Nhà hát Cao Văn Lầu, Trung tâm triển lãm văn hóa nghệ thuật tỉnh Bạc Liêu có hình dáng nón lớn Việt Nam, mái nhà hình nón làm vật liệu composite đặt hướng vào Em tính thể tích mái nhà hình nón biết đường kính 45m chiều cao 24m (lấy π ≈ 3,14 , kết làm tròn đến hàng đơn vị, ba hình nón có bán kính nhau) Minh họa hình sau: S A O Câu 33 ( 2, điểm) 3(x + 1) − y = − 2y 1) Giải hệ phương trình  2x − y = HDedu - Page 260 260 2) Trên mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ( d ) : y= ( 2m + 1) x − m2 − m + parabol ( P ) : y = x a) Tìm tọa độ giao điểm d ( P ) m = b) Tìm m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho: x12 − x22 = 50 Câu 34 ( 3, điểm) Cho đường tròn ( O ; R ) , đường kính AB cố định CD đường kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đường tròn ( O ; R ) B cắt đường thẳng AC , AD E F 1) Chứng minh tứ giác ABCD hình chữ nhật 2) Chứng minh BE.BF = R , tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh I nằm đường thẳng cố định Câu 35 ( 0,5 điểm) Học sinh chọn hai câu sau 1) Cho hai số x > , y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức    M = 1 −  1 −  x  y   2) Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu cịn lại bồn (lấy π ≈ 3,14 , kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, theo đơn vị m3 ) Mặt đáy minh họa hình vẽ sau: C A B H O  HẾT  HDedu - Page 261 261 ĐÁP ÁN UBND QUẬN LONG BIÊN ĐỀ KHẢO SÁT VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG THCS ÁI MỘ Năm học 2019 – 2020 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu ( 2,5 điểm) Cho hai biểu thức: A=  x −  x −1 − , ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ )   : x − x + x − 3   x +1 = B x +3 a) Tính giá trị biểu thức A x = 49 b) Rút gọn biểu thức B c) Tính giá trị nhỏ biểu thức: M= A − x +3 Lời giải a) Khi x = 49 suy = A 49 + 15 = = 49 + 10  x −  x −1 = − b) B  , ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ )  :  x +3 x−9  x −3 2 B  ⇔=   ( ( ) ( x − 5)  ⋅ x + 3) ( x − 3)   x −3 − A− c) Ta có: M = x −3 = x −1 x −1 x +3 ⋅ = x −1 x +3 ( ) x +3 −6 x +1 x = − = = = 2− x +3 x +3 x +3 x +3 x +3 x +3 Với điều kiện x ≥ : Ta có: x ≥0⇔M ≥0 Hay M ≥ , dấu “ = ” xảy x = Vậy giá trị nhỏ M x = Câu ( 2,5 điểm) a) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: Một đội xe dự định chở 24 hàng Thực tế chở đội bổ sung thêm xe nên xe chở dự định Hỏi dự định ban đầu đội có xe? (Biết khối lượng hàng chở xe nhau) b) Nhà hát Cao Văn Lầu, Trung tâm triển lãm văn hóa nghệ thuật tỉnh Bạc Liêu có hình dáng nón lớn Việt Nam, mái nhà hình nón làm vật liệu composite đặt hướng vào Em tính thể tích mái HDedu - Page 262 262 nhà hình nón biết đường kính 45m chiều cao 24m (lấy π ≈ 3,14 , kết làm tròn đến hàng đơn vị, ba hình nón có bán kính nhau) Minh họa hình sau: S A O Lời giải a) Gọi x (chiếc) số xe ban đầu đội ( x ∈  * ) 24 Số hàng xe dự định chở (tấn) x Thực tế đội bổ sung thêm xe nên số xe thực tế x + (chiếc) 24 Số hàng xe thực tế phải chở (tấn) x+4 Vì xe thực tế chở dự định nên ta có phương trình: 24 24 96 − =1 ⇔ =1 ⇔ x + x − 96 =0 ⇔ x x+4 x ( x + 4) x =  x = −12  Vì x ∈  * nên x = Vậy ban đầu đội có tất xe b) Mái nhà hình nón đường kính 45m suy bán kính R = 45 m 2 1  45  Thể tích mái nhà hình nón V = π R2 h = ⋅ 3, 24   24 = 12717 m3 3   Câu ( 2, điểm) 3(x + 1) − y = − 2y 1) Giải hệ phương trình  2x − y = 2) Trên mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ( d ) : y= ( 2m + 1) x − m2 − m + parabol ( P ) : y = x a) Tìm tọa độ giao điểm d ( P ) m = HDedu - Page 263 263 b) Tìm m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 cho: x12 − x22 = 50 Lời giải 3(x + 1) − y = − 2y 3x + y = 5x = 10 x = ⇔ ⇔ ⇔ 1)  2x − y =7 2x − y =7 2x − y =7  y =−3 y 3x + 2) a) Khi m = suy ( d ) : = Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng ( d ) Parabol ( P ) là:  x = −1 x = 3x + ⇔ x − 3x − = ⇔  x = +) x =1 ⇒ y =1 +) x = ⇒ y = 16 Vậy tọa độ giao điểm đường thẳng d Parabol ( P ) ( −1;1) ( 4;16 ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng ( d ) Parabol ( P ) là: x − ( 2m + 1) x + m + m − = (1) Phường trình (1) có ∆= ( 2m + 1) − ( m + m − 6= ) 4m2 + 4m + − −4m2 − 4m + 24= 25 >  2m + − 25 = m−2  x1= Phương trình có hai nghiệm phân biệt   2m + + 25 = m+3  x2=  Ta có: x12 − x22 = 50 ⇔ ( m − ) − ( m + 3) = 50 ⇔ −10m − 5= 50 2 11  m= −  50  −10m − = ⇔ ⇔  −10m − =−50 m =  11 Vậy m = − m = ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hoành độ 2 50 x1 , x2 cho: x12 − x22 = Câu ( 3, điểm) Cho đường tròn ( O ; R ) , đường kính AB cố định CD đường kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đường tròn ( O ; R ) B cắt đường thẳng AC , AD E F 1) Chứng minh tứ giác ABCD hình chữ nhật 2) Chứng minh BE.BF = R , tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn HDedu - Page 264 264 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh I nằm đường thẳng cố định Lời giải 1) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB , CD cắt O O trung điểm đường, nên ACBD hình bình hành = 90° (góc nội tiếp chắn đường kính CD ) Mà CAD Suy ACBD hình chữ nhật 2) +) Trong tam giác AEF vuông A , đường cao AB , ta có: BE.= BF AB = R) ( 2= 4R2  + CAB = +) Ta có: CEB 90° (vì ∆EAB vng B ) (1)  (vì ∆OAC cân O ) + Ta có: CDA ACD =° 90 mà  ACD = CAB  + CAB = Suy CDA 90° ( 2)  = CDA  Từ (1) ( ) suy CEB =  + CDA Ta có: CDB 180° (hai góc kề bù) =  + CEB  = CDA ) ⇔ CDB 180° (vì CEB Do tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp 3) Gọi K trung điểm EF Ta có: ∆FEA vng A có trung tuyến AK ⇒ AK = KF =  ( 3) KFA ⇒ ∆AKF cân K ⇒ KAD  ) ( 4)  = DBF  ( = Sđ  Ta có: CDA AC = Sđ BD 2 HDedu - Page 265 265  + KFA  =° Tam giác BDF vuông D ⇒ DBF 90  + KAD  =° ⇔ CDA 90 (do ( 3) ( ) ) ⇒ AQD = 90° ⇒ AK ⊥ CD Q Mà IO ⊥ CD (do IO đường trung trực CD ) Nên AK //IO ( 5) Ta có: AO ⊥ EF (gt), IK ⊥ EF (vì IK đường trung trực đoạn EF ) ⇒ AO //IK ( 6) Từ ( ) ( ) suy AOKI hình bình hành ⇒ IO = AO = R Hay I cách đường thẳng EF khoảng R Vậy điểm I nằm đường thẳng cố định d //EF cho d cách EF khoảng R Câu 10 ( 0,5 điểm) Học sinh chọn hai câu sau 1) Cho hai số x > , y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức    M = 1 −  1 −  x  y   2) Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu cịn lại bồn (lấy π ≈ 3,14 , kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, theo đơn vị m3 ) Mặt đáy minh họa hình vẽ sau: C A B H O Lời giải 1) Với hai số x > , y > x + y = ta có: 2   ( x − 1) ( y − 1) ( x − 1)( x + 1)( y − 1)( y + 1)  = M = 1 −  1 −  = ⋅ x  y  x y2 x2 y  HDedu - Page 266 266 = ( − y )( x + 1)( − x )( y + 1) x y = xy + ( x + y ) + xy Ta có: x + y ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy ⇔ ⇔ 1+ = 1+ ( x + y) 2 xy ≤ 1 ⇔1≤ ⇔8≤ xy xy xy ≥ ⇔ M ≥ xy Dấu xảy x= y= Vậy giá trị nhỏ M x= y= 2) Ta có: HO =OC − CH =1 − 1 = 2 ( m) 1 Ta có: HB = OB − OH = 12 −   = ⇒ AB = HB = 2 Ta có:= S ∆OAB 1 AB = OH = 2 ( m) (m ) HB = 60° ⇒  = 120° AOB= HOB = ⇒ HOB OB Gọi S1 diện tích hình quạt trịn OACB , ta có: = Tam giác OHB có sin HOB = S1 π R 120 π = m2 ) ( 360 Gọi S diện tích hình viên phân giới hạn dây AB cung nhỏ  AB , ta có: 4π − 3 π S =S1 − S ∆OAB = − = 12 (m ) ( 4π − 3 = S 36 5π Thể tích thùng dầu là: V = = π R ( m3 ) 3 Thể tích phần dầu hút là: = V1 Thể tích dầu cịn lại thùng là: V2 = V − V1 = ) ( (m ) ) 5π 4π − 3 − ≈ 4, 21 ( m3 ) 36  HẾT  HDedu - Page 267 ... x2  x1 + x2 = Khi đó, theo hệ thức Vi-et, ta có:  x2 2m −  x1.= (2) (3) Do x1 = x2 nên x1 = x2 x1 = ? ?2 x2 Trường hợp 1: x1 = x2 Kết hợp với (2) ta x1 = 2; x2 = ( thỏa mãn (*)) Trường hợp. .. x1 , x2 nên ta giả sử: x1 = −1 , = HDedu - Page 6 6  2m =  2m + =  2m + = −1 + 2m + = ⇔ 2m + = 6⇔ ⇔ ⇔  2m = − 12  2m + =−6  2m + =−6  2m =  m = 0(tm)  2m = ⇔ ⇔ ⇔  2m = − 12  m... 25 Dấu “=” xảy x= y= 2, 5 ( thỏa mãn)  HẾT  HDedu - Page 15 15 KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG AMSTERDAM NĂM HỌC 20 20 – 20 21 Môn thi : TOÁN Thời gian làm thi : 120 phút ĐỀ SỐ Bài (2, 0