Một số bài toán của môi trường đàn hồi và môi trường đàn dẻo

Thermal stress problem for mixed heat conduction boundary around an arbitrarily shaped hole with crack under uniform heat flux. Stress analysis o f a semi-infinite [r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

TÊN ĐÉ TÀI:

MỘT SỐ BÀI TỐN CỦA MƠI TRƯỜNG ĐÀN H ổ i VÀ MÔI TRƯỜNG ĐÀN DẺO

MÃ SỐ: QT-05-04

C H Ủ T R Ì ĐỂ TÀI: PGS TS PH Ạ M C H Í VĨNH

— — — — — — — — —

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN *** .

TÊN ĐÉ TÀI

MỘT SỐ BÀI TỐN CỦA MƠI TRƯỜNG ĐÀN H ổ i VÀ MÔI TRƯỜNG ĐÀN DẺO

MÃ SỐ: QT-05-04

C H Ủ T R Ì ĐỂ TÀI: PGS TS P H Ạ M C H Í V ĨN H Các cán tham gia:

BÁO CÁO TÓM TẮT

1 Tên đề tài: M ột số tốn mơi trường đàn hồi m ôi trường đàn dẻo M ã số: Q T -0 -0 4

2 Chủ trì đề tài: PG S TS Phạm Chí Vĩnh 3 Các cán th a m gia:

GS TSKH Đ ẳo H uy Bích PGS TS Đ V ăn D ũng

4 M ụ c tiêu n ội d u n g n g h iên cứu củ a đè tài a M ụ c tiêu n g h iê n cứu

- Các c ô n g thức củ a vận tốc sóng R a y le ig h tro n g m ôi trường đ n hồi trực hướng. - N g h iên cứư tư ơng tác củ a m ột vết nứt th ẳn g với m ộ t lỗ h ìn h v u ô n g -v ết nứt của đàn hồi, tác d ụ n g củ a d ò n g n h iệt đều.

b Nội d u n g n g h iê n cứu:

- X ây d ự ng c ác n g thức vận tơc sóng R a y le ig h tro n g m ô i trư n g đàn hồi trực hư ớng tập k h ác nh au củ a th am số.

- Chỉ m ộ t tro n g c h ú n g m rộng c ô n g thức củ a vận tốc són g R ayleigh tro ng m ôi trường đàn hồi đ ẳn g hướng.

- Á p d ụ n g p h n g p h p h m biến phức tìm n g h iệ m c ủ a toán: + L ỗ hình v u n g -v ế t nứt tác d ụ n g củ a d ò n g nh iệt đều.

+ Lỗ hình v u ô n g -v ế t nứt tác d ụ n g lệch n h iệt đ ộ p h ân b ố liên tục đoạn th ẳng vết nứt.

+ L ỗ h ìn h v u n g -v ết nứt tác dụ n g củ a lệch ứng suất p h ân b ố liên tục đoạn th ẳng vết nứt.

+ Sử d ụ n g n g u y ê n lý c h n g chất n gh iệm , x ây dự ng n g h iệ m c ủ a to án tương tác củ a m ộ t vết nứt th ẳn g với m ột lỗ hìn h v u n g -v ế t nứt c ủ a đàn hồi dưới tác d ụ n g c ủ a d ò n g n h iệt đều.

-Tính tốn s ố m ộ t s ố ví dụ cụ thể. c Các kết q u ả đạt được:

(i) V ề NCCB:

- X ây d ự ng cá c c ô n g thức củ a vận tốc só n g R a y le ig h tro n g m ôi trường đàn hồi trực hư n g m iền k hac n h a u c ủ a cá c th a m số M ột ch úng m rộ n g c ô n g thức củ a V ận tốc só n g R a y le ig h tro n g m ôi trư ờng đàn hồi đẳn g hướng.

- Tìm n g h iê m d ạn g đ ó n g củ a toán: + Lỗ h ìn h v u ô n g -v ế t nứt tác dụ n g d ò n g n h iệt đều.

+ Lỗ h ìn h v u ô n g -v ế t nứt tác d ụ n g củ a lệch n h iệt độ ph ân b ố liên tục m ột đ o n th ẳng

+ L ỗ h ìn h v u ô n g -v ế t nứt tác d ụ n g củ a lệch ứng suất ph ân b ố liên tục trên m ột đ o n th ẳn g

- G iải số m ộ t s ố ví d ụ cụ thể Các kết q u ả tính to án đ u a đ ến m ộ t kết luận đ án g chú ý: Dưới tác d ụ n g c ủ a d ò n g nhiệt, tư ơng tác c ủ a vết nứt có thê dẫn đến sự triệt tiêu c ác hệ s ố tập trung ứng suất.

Các kết q u ả ch ín h c ủ a đ ề tài đ ã đ ăn g b o sau:

1 P h am Chi V in h a n d R O g d en, O n the R a y le ig h w av e sp e ed in o rth o tro p ic elastic solids, M a cc an ic a, (2005), 147-161.

2 P h am Chi V in h , N o rio H asebe, X ia n g -F e n g W a n g and T a k a h iro Saito, Interaction b etw ee n a crac k e d hole and a line crack u n d e r u n ifo rm heat flux, Int J Fracture, 131 (2 0 ), 367-384.

(ii) Về triển khai ứng dụng:

Áp dụ n g c ô n g thức vận tốc sóng R ay leig h để phát h iệ n vết nứt, h h ỏ n g trong vật liệu Sử d ụ n g kết q u ả toán tương tác lỗ với vết nứt dưói tác d ụ n g củ a d ò n g n h iệ t để k tác d ụ n g xấu vết nứt có sẵn.

(iii) Về đ o tạo: G ó p ph ần đ tạo 01 cử n h ân 01 thạc sỹ.

5 Tinh hình sử d ụ n g k in h phí:

a Đươc cấp: 2 0 0 0 đ

b.Chi tiêu:

- Thuê k h o n c h u y ê n m ô n : 12.000.000 đ - Hội nghị, hội th ảo k h o a học: 3 0 0 0 đ

- Chi khác: 5 0 0 0 đ

T ổ n g cộng: 2 0 0 0 đ

KHOA QUẢN LÝ (Ký

CH Ủ T R Ì ĐỂ TÀI

SUMMARY

1 Title o f the Project: Som e problem s o f elastic and elstop lastic m edia Code o f the project: Q T -0 -0 4

2 Head o f the research group: Ass Prof Dr Pham Chi Vinh

3 Participants: Prof Dr Sc Dao Huy Bich Ass Prof Dr D ao Van D zung

4 A im s an d C o n ten ts o f the Project: a A im s o f the project:

- F o rm u las for R a y le ig h w ave speed in o rth o tro p ic elastic m e d ia

- Studying the in tera ctio n betw een a line crack and a crac k ed sq u are hole o f a elastic plate u n d e r u n ifo rm heat flux.

b C ontents o f the project:

- To find fo rm u las for R ay leig h wave speed in o rth o tro p ic elastic m edia co rresp o n d in g d iffe ren t sets o f param eters.

- To show that on e o f th e m is an e x ten tio n o f the fo rm u la for R ay le ig h wave speed in iso tro p ic elastic m edia.

- To find the s o lu tio n s o f the follow ing pro b le m s ap p ly in g the theo ry o f co m p le x functions:

+ A c rack ed s q u a re ho le u n d er an un ifo rm heat flux

+ A cra ck e d sq u are h o le u n d e r distribu ted te m p e tu re d islo ca tio n alo n g the line crack surface.

+ A c rack ed s q u a re h o le su b jec te d to d istrib u ted e d g e d islo c a tio n alon g the line crack surface.

- To co n stru ct the s o lu tio n o f the p ro b le m o f in te c tio n b e tw e e n a line crack and a c c k e d s q u are hole o f a elastic plate u n d e r u n ifo rm h eat flux usin g the principle o f su p erp o sitio n

- To in v estig ate n u m e ric a lly som e ex am p les. c M ain o b ta in e d re su lts :

- The solution in th e clo se d form o f the fo llw ing p ro b le m s h av e b ee n o btained: + A c c k e d sq u a re h o le un d er an u niform heat flux

+ A cra ck ed s q u are h o le u n d e r distrib u ted tem p eratu re d islo c a tio n alo n g the line crack surface.

+ A crack e d sq u are h o le su b jec ted to d istrib u te d e d g e d islo catio n alo n g the line crack surface.

- The integral e q u a tio n s for the interaction b e tw ee n the c c k e d square hole and the line crac k h av e b e e n established.

- Some e x a m p le s are investigated n u m erically an d m u m e ric a l results show n that u n d er u n ifo rm heat, the interaction o f crack s m ay lead to v an ish in g SIFs (stress in tensity factors).

- The m ain results o f the project are presented in th e fo llo w in g papers:

(i) P ham Chi V in h an d R O gden, O n the R a y leig h w ave sp e ed in orth otro p ic elastic solids, M a c c a n ic a , (2005), 147-161.

(ii) P ham Chi V in h, N o rio H asebe, X ia n g -F e n g W a n g a n d T a k a h iro Saito, Interaction b e tw een a crack ed hole and a line crack u n d e r u n ifo rm heat flux, Int J Fracture, 131 (20 ), 367-384.

5 F inance

a R ec eiv in g : b Spending:

- F o r rese arch works:

- F o r C o n fe re n c e s and Seminars: - F o r o th e r w orks:

2 0 0 0 V N Đ

MỤC LỤC

T rang

M đ ầu 0

Chương I: C ô n g th ứ c vận tốc sóng R ay leig h tro n g m ô i trường đàn

hồi trực hư ớn g 1

1 Đặt to án 1

2 Phương trình tán sắc 2

3 Cơng thức m rộ n g củ a vận tốc sóng R a y le ig h 5

4 Các cô n g thức k h c 14

Tài liệu th am k h ả o 18

Chương II: Sự tư ơng tác lỗ hình vng- vết nứt m ộ t vết nứt

thẳng tác d ụ n g c ủ a dò n g nhiệt 19

1 Đ ặt to án 19

2 Á n h xạ hữu tỷ 21

3 Các cô n g thức 22

4 N g h iệ m c ủ a to n B 23

5 N g h iệ m củ a to n c 26

6 N g h iệ m củ a to án D 29

7 N g h iệ m c ủ a to án A: Các phư ơng trình tích phân 31

8 Các kết q u ả b ằ n g s ố 34

9 Kết luận 35

Tài liệu th a m k h ả o 36

MỞ ĐẦU

Sóng m ặt R a y le ig h L o rd R ay leig h p hát h iện n g h iê n cứu từ hơ n m ộ t th ế kỷ qua, n ă m 1885 N ó tiếp tục n g h iê n cứu k h m ph n h ữ n g ứng d ụng to lớn c ủ a tro n g nhiều lĩnh vực k h c n h a u c ủ a k h o a họ c k ỹ thuật như: Â m h ọc, K h o a h ọ c vật liệu, K h o a h o c đ n h giá k h ô n g hư hại (N ond estructiv e ev alu atio n ), K h o a học k iể m tra k h ô n g h h ỏ n g (N o n d e stru c tiv e Testing), Đ ịa vật lý, C ô n g n g h ệ viễn t h ô n g ,

Đối với só n g R a y le ig h , vận tốc m ộ t đại lượng b ản q u a n trọng N ó thu hút qu an tâm đặc biệt c ủ a nh n g hiên cứu tro n g lĩnh vưc k h o a học ứng dụng nói H n nữa, n ó cịn sử dụ n g đ ẻ xây d ự ng c ác h m G reen đối với toán đ ộ n g c ủ a bán k h ô n g gian C ho n ên viêc tìm c n g thức vận tốc só n g R a y le ig h , dạn g hiện, cầ n thiết có ý n g h ĩa hai phương diện: lý th u y ế t lẫn ứng dụng.

Do tính chất qu an trọ n g vận tốc sóng R a y le ig h , trước tìm n g thức chính xác (n ăm 2000), nhà n g h iê n cứu đ ã tìm m ộ t s ố cô n g thức xấp xỉ củ a d ạn g đơn giản, dễ sử dụng.

Đến n ê m 0 , n g thức chín h xác hồn ch ỉn h đ ầu tiên c ủ a vận tốc sóng R ay leigh tro n g m i trường đàn hồi d ẳn g hư ớn g tìm M a lis c h e w s k y (W ave M o tio n 31 (2 00 ), 9 3-97) b ằn g c ch sử d ụ n g trực tiếp M A T H E M A T IC A Sự ch ứ ng m in h chặt ch ẽ m ặt toán h ọ c c ủ a c ô n g thức đu ọ c ho àn th n h vào 0 P ham O g d e n (W av e M o tio n 39 (2 0 ), 191­

197) Dựa vào p h n g p h p ng m inh, hai tác giả P h a m O g d e n cịn tìm được m ộ t c ô n g thức k h c c ủ a vận tốc só n g R a y le ig h với đói m ô i trư ờng đ àn hồi dẳng hướng.

N goài vật liệu đ ẳ n g hướng, vật liệu dị hư ớng đ a n g sử d ụ n g rộng rãi n h ữ n g ứng d ụ n g to lớn c ủ a ch ú n g D o vậy, việc tìm n g thức của vận tốc só n g R a y le ig h m ô i trư ờng đ àn hồi dị hư ớn g h ết sức cần thiết.

M ục tiêu th ứ n h ất c ủ a đề tài là: Tìm cơng thức vận tốc són g R ayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng nén được.

Sử d ụ n g lý th u y ế t p h n g trình bậc ba, tác g iả đ ã tìm đư ợc c ô n g thức k h ác n h au c ủ a vận tốc só n g R a y leig h tro n g m ôi trư n g đ n h i trực hướng, tương ứng với m iề n k h ac củ a th am số M ộ t tro n g c h ú n g m rộng củ a c ô n g thức M a lisc h e w sk y

Bài tốn đ àn hồi có lỗ vết nứt tác d ụ n g c ủ a tải trọ n g c họ c nhiều tác giả n g h iê n cứu T uy nhiên, cịn k ế t q u ả c h o to án đàn hổi có lỗ vết nứt tác d ụ n g tải trọng nhiệt.

Mục tiêu thứ hai đề tài là: Sự tương tác vết nứt thẳng với lỗ hình vng - vết nứt đàn hòi tác dụng dòng nhiệt đều. Áp dụ n g n g u y ê n lý c h n g chất n g h iệm , to án đ ù a tìm n g h iệ m ba toán sau:

- Bản có lỗ h ìn h v u ng -v ết nứt dưc tác d ụ n g củ a d ò n g n h iệt đểu

- Bản có lỗ h ìn h vụ ơn g -vết nứt tác d ụ n g c ủ a lệch n hiệt độ phân b ố dọc th eo đo ạn th ăn g vết nứt

- Bản có lỗ h ìn h vng-vết nứt tác d ụ n g củ a lệch ứng suất phân b ố dọc th eo đo ạn th ăn g vết nứt

Bài toán ttương tác dẫn đ ến việc giải p h n g trình tích phân Các kết bằng số dẫn đ ến kết luận qu an trọng: K h ác với trường h ợ p tải trọ n g học, tác d ụ n g củ a d ò n g nhiệt, tương tác củ a vết nứt d ẫn đ ến triệt tiêu hệ số tập tru n g ứng suất.

Các kết củ a đề tài trình bầy hai b o sau:

1 P h am Chi V in h and R O g den , O n the R a y le ig h w ave sp eed in o rthotropic elastic solids, M a c c a n ic a , 40 (2005), 147-161.

2 P ham Chi V in h , N o rio H asebe, X ia n g -F e n g W a n g and T a k a h iro Saito, Interaction b etw e e n a crac k ed hole an d a line crack u n d e r u n ifo rm heat flux, Int J Fracture, 131 (2 0 ), 367-384.

Chương I C ông thức vận tố c sóng R ayleigh trong m ôi trường đàn hồi trực hướng

1 Đ ặ t to n

Sóng mặt Rayleigh Lord Rayleigh [7] phát nghiên cứu cách dây kỷ, vào năm 1885 Nó dược nghiên cứu khám phá cách mạnh mẽ ứng dụng to lớn nhiều lĩnh vự khác khoa học kỷ thuật nhu: Am học, Dịa vật lý, Khoa học vật liệu, Khoa học đánh giá không hư hỏng, công nghệ viồn thõng,

Dối vứi soil”, Rayleigh, vận tốc dại lượng ban quan trong, thu hút quail tâm dặc biệt cùa nhà nghiên cứu lĩnh YƯC ứng đụng Hơn 11Ĩ cịn đưực sứ dụng dể xây dựng hàm Green cho toán động bán không gian, nên công thức vận tốc sóiig Rayleigh vừa có ý nghĩa lý thuyết lẫn ứng dụng.

Dối với môi trường đàn hồi dẳng hướng nén dược Rahmann and Barber [6] tìm Gơng thức vận tốc súng Rayleigh miền hạn chế tham số 7/ = + 2fj)vho năm

1995, cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba, A ỊJ số Lame Năm 1997, Nkemzi [5] tìm cơng thức vận tốc sóng Rayleigh miền đầy đủ tham số ĩ] phương pháp hàm phức, song cồng kềnh sai in ấn Với số trường hợp đem í;ian cua vật liệu monclinic nén được, vận tốc sóng Ravleigh tìm dược bới Ting [9] và Dcstmclc nghiệm phương trình bậc hai.

Gần day báng cách sử dụng phần mền MATHEMATICA, Ma]ischmvsk\ 4' dã t ìm cơng thức vận tốc sóng Rayleigh chơ giá trị tham số T], nó có dạng sau:

trong p m ậ t độ khối lượng vật liệu, c vận tốc sóng Rayleigh:

/1, (77) = 3a/33 - 1867? + 321772 - 1927?3, /12(77) = 45r; - 17 + M??)

/>.3(77) = 17 - 4577 + /1 1(77), /14(77) = -77 + 1/6 (2) Chú ý rằng, để có (1) Malischewsky dã sử dụng phương trìng tan sắc sau (xem [7]):

X3 — x + 8(3 — rj)x — 16(1 — 77) = (3)

trong dó X = pc?/ /i Việc chứng minh công thức (1) thưc P ham Ogden [10]

Mục đích chương mở rộng công thức (1) cho vật liệu trực hướng nén được Bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba, cơng thức vận tốc sóng Rayleigh cho vật liệu trực hướng nén được tìm Nó mở lộng (1) Nó hàm ba tham số: a, d, 7 dó a > ,0 < d < 1, < 7 < a, hoặc, < a < l , < d < l , <

7 < a, 7(a — 1) + 2nd > 0.

2 P h n g trìn h tá n sắc

Xét bán không gian đàn hồi trưc hướng nén hệ toạ 0X;X2Z:Ì với 0x3 vng

góc với m ặt biên vật thể chiếm miền X 'i <

Xét toán biếu dạng phẳng:

'U, = u t {xi.x-ẰJ ) , i = 1,3, u = (4)

trong dó l thời gian.

Giả thiết biến dạng nhỏ, dó phương trình trạng thái, liên hệ thành phần ứng suất

ơ tJ thành phần gradiên dịch chuyển Itjý (— d u , / d x j ) , có dạng(xera Chadwick [1]:

^11 = Cn«i.i + Ci3«3,3, Ơ33 = C13U11 + C33U3.3 13 = C55(I/.L.3 + tí3il) (5)

trong dó f | i , C;ì;ì, c,rt5 f]3 th o ả m ãn bất đẳng sau (điêu kiện cần đủ đẻ biến

dạng xác định dương):

r„ > , i = , , , C1 1C33 - c23 > (6)

Cár plurơíigỉ rrìnli c.hiiyen dộn^ có clạng:

Gil«-I.n + CICTi.33 + (i i:i + C'»5) = fầ'i 1

C55^3.11 + C33Ĩ/;j,33 + (('13 + C55) ỉ/1,1 ;ỉ = fJll'i (7)

trong p m ậ t độ khối lượng,

à

Điều kiện tự dối với ứng suất có dạng:

0'SI = 0, i = 1,3 Z3 = (8)

Chúng ta địi hỏi (điều kiện tắt dần vơ cực):

Ui —> (i = 1,3), ơij —> ( i , j = 1, 3) 1 3 —> - 0 (9)

Xét sóng điều hồ truyền theo hướng Xi'.

Ui = ộ i ( y ) e x p \ i k { x - cí)], i = 1,3 (10)

ở dây k số sóng, c vận tóc sóng, y = kx-i hàm 4>i, I — 1,3 cần xác định Thế (10) váo (7) (lỉm (lốn:

(í'n — pc2)ộ 1 — C5r,ộ" I — i(ci:j + C55)0/3 = 0

(C55 - p c2) ệ 'i - C:i:iậ ” :í - ỉ( c i:ì + c r ) ợ/ j = (1 1)

trong phiĩTTng trìn h (11) phương trình sau, dắu phẩy é , dạo hàm y

Tính đến (5), (10), điều kiện biên (8) trở thành:

icvsệi + C33 Ộ'^ = 0, (Ị)>1 + ÍỘ3 = y = (12) Từ (9) ý đốn (10) ta có:

ộj, ộ'ị —> y —> -DC, i = 1,3 (13)

Dề dàng t.hấy nghiệm (11) (13) là:

ỚI = /li e x p ( s ! y ) + A2e x p ( s 2ỉ/), ộ.i = .4i«i exp (qỵy) + A 2a 2 exp (q2y) (14)

trong S], s-2 nghiệm phương trình.

Ai, i = 1,2 số xác định từ điều kiện biên (12) Từ (15) ta có:

s ị + s ị = - [ ( c i3+ C55)2 + c33(pc2 - C n ) + c 55(p c - C55)]/C33C55

6 1S = (C u - p c ) ( c 55 - PC2 )/C 33C55 (17)

Nếu nghiệm .Sj và sị phương trình bậc hai (15) (lối với s thực cliÍMig phải dương, Iiếu phức chúng liên hợp Trong hai trường hợp, tích *2 phải dương Từ (6), (17) ta có:

Do vậy, < ịìc1 < inin(cn, C55), hoặc pc2 > m ax(cn, C55) Tuy nhiên, bất đẳng tliức sau đúng, dễ dàng khẳng định (15) có hai nghiệm thục ịsỊ, s ị và sị < , sị < Diều này mâu thuẫn với «!, S2 có phần thực dương.

Vì vậy, vận tốc sóng Rayleigh phải thoa mãn bất đẳng thức sau:

Thay (14) vào (12) dẫn đến hệ phương trình đại số tuyến tính (lối với

Ai, i — 1,2 Để hệ có nghiệm khơng tầm thường, định thức phái khung Dó chính phương trình tán săc Sử dụng(16), (17), phương trình tán săc sóng Rayleigh trong mơi trương dàn hồi trực hướng nén dược có dạng (xem Chadwick [1]):

( c « - p c2)[c\3 - c 33( c n - p c 2)} + v /c 33C55 p c2 \ / { c n - p c2) { c55 - pc.2 ) = (2 )

C hú ý 1

Chadwick [1] chứng minh với C n , C;(3 C-,5, Ci3 thoả mãn (6) phư(Jng trình

(20) có n^liiụi) thực thoả m ãn (19) đảm bảu (15) có hai nghiệm phân lìiệt với cáci pliằ.11 thực dưíing Trường hợp S] = S) khơng dẫn đến sóng mặt

C hú ý 2

Tính đrii (19) pliương trìnli (20) tương đương với:

Phương trình nhận Royer and Dieulesaint [8], dó ( = p r c* — r u -

CỈ3/C33 < Cl

(Cu - /3C2 )(c 55 - pc2) > 0 (18)

0 < pc1 < m in(cii,C55) (19)

(2 1)

Trong [8], với giả th iế t C55 < C1 1, tác giả sử dụng (21) dể khẳng định pc2 = c

không thuộc khoảng ( c ii,+ o o ) lặp luận \Ị}{Q) > V ( ( c n ,+ o o ) Tuy nhiên, c € (cu , + o c ) phương trình tương đương với (20) (2 1) mà phương trình

sau:

i>{0 - c + \ — ^ ậ ị ể - O = V 0 (22)

C55 C 11 - c

(C55 - pc2) = - \ / ( c f , - pc2 ) 2 nếu (C55 - pc2 ) < (23) Dặt

X = p (? ! C55 ( )

từ (19) ta có:

• < £ < < - n ế u < C55 < cn 7

• < X < - < n é u < C 11 < C55 (25) 7

T (25), suy ra:

X € (0,(7), |1Ỏ ở = m in (l, ơ), ơ — / (26)

Sử dụng(24) ý đến (26), dễ thấy (20) tương đương với:

ự ã \ / ì — rịtrd — x ) = X \ / l — 72’ (27)

trong X G ( ,ỡ), từ (6) tham số phương trình (27) th o ả m ãn bất đẳng

thức sau:

0 > 0, 7 > 0 0 < (I < 1 (28)

3 C ông th ứ c m rộng vận tố c són g R a y leig h Bình phương hai vế (27) ta có:

F ( x ) (7 - a).rs + (o + 2aơd - 1).T‘ - (Iơdiơd + 2).r + n 2d2 = 0 (29)

C h ứ n g m inh : Theo [1], khống (0, ỡ), phương trình (27) có nghiệm thực nhất X o và Xo tương ứng với sóng Rayleigh Từ (27) suy X o G (0, t ) Theo (28), < <7 <

vì (0, t ) c (0 ,a ) Diều suy khoảng (0, ơ»), phương trình (27) có nghiệm thực XQ Vì khoảng ( ,ơ„) phương trình (27) phương trình (29) là tương đương nên mệnh đề chứng minh.

Dối V(')i giá trị a, 7 cho a ^ 7, phương trình (29) tương dương với:

trong đó:

Từ (30), (31) ta có:

Fi (x ) = X + a2x + ã\X + d() = 0

a 2cp aơ dị ơd + 2) a — 1 + 2aơd

(lữ = -, - - , C12 =

7 — a 7 — a

/m _ aơ2f/2 r / n _ 1 77 / ^ - 1)

F i(°) = F i(!) = : ’ FÁơd) =

(30)

(31)

(32)

7 — a 7 — a 7 — a

Giả s» E không gian Euclid ba chiều với liệ toạ dộ oad'y, ký hiệu diểm nó

) Ta xác định tậ p C011 sau E:

Í2 = { M e E a > 0 , < (/ < , > 0}

{ M Gn a > }, ÍỈ2 = { M ẽ : 0, < 7}

ũ ỵ = { M n ữ — T'}, s ^ • > 1}

ÍỈ5 = { M € 4 : < 7 < 1}

— { M E a > 0, 0 < < 1, < < m in ( l,ơ ) }

fill = { M e : ỗ < 0}, Q12 = { M € ÍĨ! : ỗ > 0;a > 1}

= { M G0 1 : ổ > 0; a < 1; (a — 1 )*) + 2nd > 0} = { M e : ổ > 0; a < 1; (a — 1)" + 2nd < 0}

E = { M € : ổ = 0}, El = {AI £ E :(0 - 1 ) 7 + 2ad > 0} s2 = { M 6 V (a - 1) 7 + 2a d < 0}.

trong dó:

ổ = (í 2 — 3«1

(33)

C h ú ý 3: Khi 7 7^ a, ỗ = 0, F i(x ) m ột hàm đơn điệu, vậv phương trình (30) có

m ộ t nghiệm thự c d u y n h ấ t

Bây t a p h t biểu địn h lý liên q uan đến công thứ c mở rộng c ủ a vận tốc sóng Rayleigh

Đ ịn h lý 1:

Trong miền = f ỉn u £ i u f ỉ i2 u ÍỈ13, x ữ vận tốc sóng Rayleigh cỉược xác đinh

bởi cóng thức »au:

Xo = /9C“/C',55 = - — a c r r f + s i g n ( - ỗ )d sign(—ố ) [/? + \ Í D \ - \ Ị - R + \ Í D (35)

3(a - 7) v

trong (phức) lấy giá trị chính, argument m ột số phưc U! (Argỉti) đước lấy khoảng ( —7T,7r], R, D xác định teởi công thức sau:

ỉỉ — (9qiơ2 — 27ơo — 2*^)/54

D = (4(10(12 — a \ ị — I8O0O1Ơ2 + 27a0 + a i)/1 (36)

tro n g đỏ ( ì , , / = , , xác đ ịn h (31)

Đ u i v>)i Ậ1 l i ệ u c ỉ.ín g h n g t a có : í ' u = C3 3 = A -T- ụ t m = / í, f'l.'i = A , clo v â y

a = 1, d = 47/(1 - 7/), = 7/ = f.i/(X + 2ụ.) (0 < 1] < /4 ) T đ ẳ n g thứ c (31),

(34), (3G) ta có:

ỏ = 48(// - 1/6), R = 8(4577 - 17)/27, D = 64(11 - 62r; + 107t]2 - 64?73)/2 (37) Sử dụng (37) dễ dàng khẳng định (1) trường hợp đặc biệt (35).

Cũng cần ý phương trình (3) m ột trường hợp đặc biệt (30) với «0 =

- ( - Ij), a1 = 8(3 - 21]), a-2 = - , cơng thức (1) có th ể viết d n g (35) tro n g

m iền = { M : a — 1, (ỉ — 4/7(1 - 77), < ĩ] < /4 < 1} c Q ,, C55 = /J, 7 = -q, TỈ —

4r;(l - 7/), ổ, l ù D xác định bỏi (37) Vì vậy, dạng cơng thức (1) khơng thay đỏi khi

chuyên t Ị*í, saĩlg Q„.

Do chinig miiiỉi clịnh lý ta cần i i dề Sciu:

B ố đ ề 1: a) E n r?3 = ; b) E n ỈỈ2 = ; c) E n = ;

Chứng minh: a) Diều đủng ổ không xác' (lịnh t ú 7 = a (xem (31) va (34)).

b) Từ (32) đá dàng suy (30) có ba nghiệm thực phân biệt VA/ e íl-2 - iíế t luận b)

suy từ (liều y 3.

Từ bổ đề 1 suy m ặt £ nằm Q5 Chú ý tập hợp E2 nằm tro n g Q5 với các giá trị a cho 0 < a < 1.

Xác dinh tập hợp sau: Q12^ = { M : a > ,0 < d < < 7 < l , ổ >

0}, = { M : a > 1,0 < d < l , a > 7 > 1,0 > 0}, a = n ịy u n u

C h ú ý 4; Rõ ràng ÍỈ12 = u và từ (32) ta có:

F i(0 ) < 0, Fj( 1) > 0, ^ ( ) > in Q „ (38) B ổ đ ề 2: Tập hợp là m ột tập liên thông.

Chứng minh:

G iả sử G'{a0) là giao và Iĩiặt phiing P ( a0) : 0 — ữn = const > 0, Í2*, = |J[J|;>0 G (a0) Ta sẻ Ơ(ơo) có hình dạng ch hình vẽ H l.

(a) (b) (c)

H l DỒ thị đường cong d = , tức r(<2o), không gian (ổ, 7) với 7 (trục tung) phụ thuộc vào ỏ (trục hoành) (a) ao > 1, (b) ao — 1, (c) < ao < Trong (a),

(c) m iền d < ũ dược bao r(a0), tro n g (b) r(flo) t r ụ c 7 T ro n g (c) đường th ả n g

(«0 - 1 ) 7 + 2aứỗ — 0 cắt r(flo) điểm cực clại ố = ỗo = (1 - ữ0) /2 , 7 = Go- Trong (a), (b) G ( a0) lcà miền phía ngồi r (fl0) bên (0, l ) x ( ,1) Trong (c) G'(flo) nằm hình chữ nhật (0, l)x (0 , íío), bên ngồi r ( a 0) đường thẳng (ao - 1 ) 7 + 2(ỉoỏ = 0 Chú ý d không xác- định (ỏu,fio)

Theo hmh vẽ H l C { a 0) tập liên thông: G'(«o) chứa tập T { a 0) = { M G G (a 0) : / i < d < < 7 < «o}- Rõ ràng (lải \ J aữ>0T { a ữ) m ột tập liên thõng Vì vậy, nối hai điểm A /i(« i, di -;i), M o ị a dì "2) O , băng (lirờng đơn giản M i M ĩ M ị M - ĩ , dó M e T { a 1), M ị 6 T{ ( ' 2), đường A /iA/3 e C{o 1) dương

M ì M ị G C(a>) VÌI M-iMị € dải Do tập ũ , t liên thông.

Bây ta khẳng định G( a o) có hình dạng hìnli vẽ H l Ký hiệu fỉi(flo) giao của fìi va m ật phẳng P ( a o) Từ (31) (34) suy rằng, rỉi(oo) phương trình ỏ' = 0

tương dương với:

trong d £ (0 ,1 ) tham số, ố > g(-y) > Ta ký hiệu đường cong

(39) r ( a 0)

Dễ dàng thấy rằng:

i) Với số đương a0 cho trước, phương trìn h (39) khơng có nghiệm thực kill d G (2/3 1)

Nó có hai nghiệm thực dương phân biệt 7[ 72- (7i < 72) (ì e ( /3 ) , có mơt

nghiệm tliựí đương (krp) 7o = 7i = klii d = 2/3

2i) D n g (()11|Ị| r ( f ì 0) n ằ m tro n g íìa(ao) = fỈ5 n P ( a o ) (th eo b ó (lề 1), 11Ĩ m ộ t tillin g

cong liên tục.

3i) Dối vcìi <tn > 1, < 7i, 72 < 1, V d € (0 ,2 /3 ] (chú ý lằng <7(1) =■ («0 — — (I()(ì)2 +

3ao(^ > V (lị) > 0, (I > 0).

Đối với (ỉ ) clio < « < 1, < i, < «0 V d ẽ (0 ,2 /3 ], d, Ỷ (1 — tftJ/2 Khi ẩ =

( l - f l o ) /2, 72 = «u- Chú ý M ( a lh (1 - « o ) / , no) thuộc dường thăng (1 - « 0)7 + 2a(,(/ =

( n h n g khón.ụ; th u ộ c r ( a o )

4 i) Với mỗ i (10 Ỷ 1 72 t iến đế n (ỉ —* K h i ao = i t iế n đế n , t r o n g (ló

7 tiến đến (ỉ —►0

Si) ỡ ( t ) < l) ^ £ ('>1 72)- D iều có n ghĩa rằ n g H l ( a ) H l ( c ) b ê n tro n g G ( a 0) : ổ < 0 H l(b ): <) < 0 miền giới hạn G(ao) true 7.

T i)-õij su v l a C7(«o) iiìn h (lạng n h h ìn h vẽ H l b ổ d ề '2 đư ợ c c h ứ n g m in h

B ổ đồ 3: a) Giả sử r = - R r = trong dỏ N ctiôm uốn (lường cong bậc l)ii ỊJ = F\ (x ).

b) Khi ỗ > F i ( x ) có clioni cực dại cỉiểm cưc tiểu ký hiệu là: Zm a\- rmn c) Tròng miền Q ,, ta có:

Chứng minh Kết luận b) hit'll nhiên Sử (lung (30) (3G) 1 dỗ đàng thay ã) <lún^ Từ

(30) ta có:

g(7) = [(a0 - l)2 + 6a0d ] Ý - aad(4 - 3 d + 2a0)7 + aĩ)d2 = 0 (39)

Khi ỏ > 0, F [( x) có hai nghiệm thực phân biệt £ m jn , £m ax- Từ (31) định nghĩa f2,«, dàng thấy bất đẳng thức sau trong

ũị

x mirrXmax ~ X >

Vì suy (•).

B ổ đ ề 4: Trong Q „ , D > 0, R < 0.

Chứng minh Chú ý V M e Ỗ(M) > Giả sử tồn m ột điểm M1 e fỉ** cho D ( M \ ) > 0, but R ( M \ ) > 0.

+ Nếu Rí M ị ) — r ( M \ ) — Vì ỗ{Mi) > ũ, theo bổ đề 3(a,b ), (30) có ba nghiệm thực phân tại M \ Vì vậy, theo ý 5(iii) ( nêu đay), D < Diều II y mâu thuẫn với D ( M \ ) > 0

+ # u Iì{ Mí ị) > 0, r( A/]) < Nếu D { M \ ) = từ { M \ ) > (38), (40), bổ

đề 3(a) va r ( M ị ) < suy rang (30) có hai nghiệm thực p h â n biệt tro n g khoảng (0,(7,),

nhưng diều máu thuẫn với mệnh đề Vì D ( M i) > ũ.

Dỗ dàng thấy điểm 71/2(1,3/4,3/4) G và D ( M2 ) < Vì Ả/1, M2 G theo bổ đề ta nối hai điểm M \ and M2 đường cong đdn giản liên tục L \2 € ữ t t

Vì D hàm licn tục L12 D(AÍ 1) > D ( M 2) < 0, nên phải tồn m ột điểm Mo G L]2 - A/(, ỷ h Í2 cho D(Mq) — D { M ) > V M G L 10 (trừ A/o), đãy L10

phần L n nối M\ Mo- Tương tự, R không th ể triệt tiêu điểm A ỉ € L 10 Vì

R hàm liên tục L\ữ R { M 1) > 0, nên R ( M ) > V M G Lio, R ( M q ) > 0, i.e r(Mo) < Diều với Ỗ{0) > 0, D(o) = 0, (38), (40) bổ đề 3(a,b) dẫn đến phương trình (30)có hai nghiệm thực phân biệt khoiing ( ,ơ ,) , but điều mâu llniần Vi'ji mrnh dề, bổ đề chứng minh.

Ta co (lu diồu kiện dễ chứng minh địnli lý 1. Với )iến t

(42)

= X + u 2/3 (4.'í

phương trình (30) GĨ dạng

- t f z + r = 0 (44)

trong đó

q1 = («2 _ « i)/9 - r — - f ì (45)

ãị, i = ,1, xác định (31), R (31), (36), q2 âm.

Theo lý thuyết phương trình bâc ba, ba nghiệm cuả (44) xác định công thức sau (xem Cowles and Thom pson [2]):

Z\ — s + T

22 = - - ( S + T ) + -tV S ( S — T )

= - ị ( S + r ) - ị i ự ( S - T ) (46)

trong i2 — —\ và:

s = ự R + y/D, T = \ Jr - \ Í D

D = R + Q \ R = - ị r , Q = - q = - ỏ / (47)

D xác định (31) (36) Chú ý /?, D (47) đồng với R' D xác định bởi (36)

C h ú ý :

i) Căn bậc ba m ột số thực âm số thực âm.

ii) Khi /í + \ Í D số phức, tức D < 0, T = s * , S ' liên hợp s iii) Nếu D > 0, phương trình (44) có nghiệm thưe hai Iighiệm phức liên hợp If

D — 0, phương trình (44) có ba nghiệm thực hai nghiệm trùng If D < 0, phương trình (44) có ba nghiệm thực phân biệt.

Ký hiệu Co nghiêm tlníc c ủ a (44) tương ứng vài Xo để chứng m in h đ ịn h lý t a xét

các trường hợp khác tuỳ theo tập của

• Trên Ỉ7i 1:

Trên Í2n, ta có ó < Từ (4 7)3, (47)5 D > ta cỏ:

R + S d > 0, - R + ự D > (48)

Vì D > liên (44) có m ột nghiệm thực ro? xác định (46)!, (47) (ló cat­ call thứ (lược hiểu thực Vì giá tr thực số dương trùng với

giá trị chm h củ a phức tương ứng củ a n i nên (35) suy r.i từ (31), (43), (48)

• Trẽn :

B ổ đ ề 5: Trên £ 1 R < (Sò chứng minh sau).

Nếu R = D — 0, từ (46), (47 suv (44) có nghiêm thưc z = (bội ba từ dó suv ra (35).

Chứng minh bổ đề 5.

Giả sử Mo(ao, do, 7o) m ột điểm thuộc E l, i.e ậ{Mo) = 0).

Nếu R ( M 0) > ũ, D ( M 0) > theo (4 7)3 Vì D liên tục tập mở f ỉ5 D £ 1 A/0 e

Q5, tồn m ột lân cận đủ nhỏ ưo(Mo) — { M : (a — ao)2 + {d — do)2 + (7 - 7o)2 < K2} (k số dương đủ nhỏ) Mo cho Uq( Mq) c ÍÌ5 D ( M ) > ũ V M e Uo{M0) Dặt u = ữ tt n ơo(M o) Ỗ(M) > 0, D { M ) > V A / e , R ( M ) < V A / G theo bổ đề Vì R liên tục ÍÌ5 D u , Mo điểm biên u , suy fí(Aío) < 0- Nhưng diều mâu thuẫn với R ( M 0) > 0.

C11Ú ý lằng: ÍÌ12 u Qi:j = U Í ì Ị ị Ta kiổni tra (35) Í7,,, i l j | \

• Oil fì„ :

Theo định nghĩa í ỉ , ổ > ơ.

Nếu D > 0, (44) có m ột nghiệm thực Z(Ị, xác định (46) 1 (47) Vì

R < ũ, theo bổ dề 4, ỏ > 0, suy từ (4 7)3, (47)5 rằng

~ { R + y / D ) > 0, - R + Vd > (49)

rinh đến (31), (43), (49) ý lằ n g giá trị thực số dưưng trùng với ỊÍá trị phức tương ứng 11Ổ, ta suy (35.

Nếu D = 0, theo bổ đề 4, R < Tính đến (47)3 — (4 7)5 ta có R = —(f (q > ) , r — 2qi /à (44) trở thành:

( z - < i ) 2(.z + 2<i)=Q (50)

Mglũệin c ủ a 11Ó là: q (n g h iệ m kép), —2q.

Với cliu ý (30) có m ột nghiệm thực Iihất (0 ơ*) theo m ệnh đề từ (38) 1 (40)

ÌUV To nghiệm thự c n hỏ n h ấ t (30) tro n g trư ờng hợp này, 20 n g h iệm thự c nhỏ

ìhất cua (44), i.e Co = —2(7, từ dó suy (35). Xét trường hợp D < 0:

Thing trường hựp (44) (30) cỏ ba nghiệm thực phân biệt T heo mệnh dề (38) 1

40), rõ ràng ríing x 0 n ghiệm thực nhỏ n h ắ t c ủ a (30), vỆy Z(i nghiệm thực nhỏ

'ủa (44) Khi D < ba nghiệm thực phân biệt (44 ) xác định (4G) (47) (ló

'ác phức bậc ba (bậc hai) lấy ba giá tiị có th ể c ủ a c h ú n g Síio ( ho I = S ' Ta

sẽ lấy giá trị chúng Z2 xác định (46)2 nghiệm thực nhỏ nhắt của (44).

Từ (47) ta có:

5 = ỷ / R + i y / - R * - Q \ T = s* (51)

Ký hiệu 39 argum ent R + Vì Ự —D > 36 € ( , 7r) nên góc pha

tương ứng với giá trị € ( ,7r /3) Tử (51) suy |5 | = q, s và T dược biểu diễn sau:

s = q e ‘e , T = q e ~ ie (52)

trong dó G (0,7r/3)ộthả mãn:

COS 3Ớ = — — (53)

2 qs nhận cách thay:

z — s + T — 2(7 COS (54)

vào (44).

Chú ý D < 0 dẫn đến | —r/2(j:i\ < 1, (liều đảm bảo (53) có m ột nghiệm nhất trẽn (0, 7t/3).

Từ (46), (52) dễ dàng thấy:

2 = 2q COS 6

2 = 2(7 cos(i9 + 27T/3)

z = 2qcos{8 + 47ĩ/3) (55)

T (55) chu ý 9 ( , 7r/3) suy ru Zi > > Z'>,tức Z-2 nghiệm th ự c n hỏ n h ấ t c

(44), vì vậy:

2q = 2q C08{0 + 271-/3) (56)

Dể chứng minh (35) c ỏ' > 0, h o t r n g h p D < 0, ta cần bất đẳng thức sau:

- \ / —R + \ f D - \ J - ( R + ' / [ ) ) = 2(/cos (6 + 2tt/3 ) (57) Tliực ta có : A rg( R + \f~D) — 30, Arg( R — \ f D ) — —39 , 39 ẽ ( ," ) nghiệm

c ủ a ( ) , v ì v ậ y A r g { - ( R + \ / D ) } = 30 - T, A r g [ - ( / { - \ Í D ) ] ^ - ( + 7r C h ú ý r n g t a k ý

Từ (58) ta có:

- \ J - R + \ / D - y j — ( R + Ự Õ ) = —2ộcos (ớ — t /3)0 = 2ợcos ( 8 + 2tt/3) (59)

do (57) dược chứng minh. • T rên ũ ^2

-Trên & 2 , 7 > 1; vậy: < (7, < từ (32) ta có:

Từ (60) suy (30) có hai nghiệm thực khác nhau, D < theo mệnh d(' .To là nghiệm thực nhỏ nhắt Chú ý (30) hai nghiệm thực phân biệt, tức /) = 0, R 0 Ly luạn li09.il tOctii tự nhừ trừờn^, liđp 0** tron^ (io ổ > 0, l) < 0, suy (35) í ỉ p 1, định lý đươc chứng minh.

4 C ác c ô n g th ứ c khác

4.1 C ông thứ c vận tố c s ó n g R ayleigh u s

Đ ịn h lý 2:

Trong m iằ i Í2]4 u Eo Xo vận tốc sóng Rayleigh cỉươc tínli theo cơng thức sau:

trong dỏ (phức) lấy giá trị chính, argument số phức lấy trong khoảng ( —7T,7r], R , D xác định (31) (36).

Dr chứng m inh định lý ta cần bổ dề sau: B ổ đ ề 6: Trẽn ÍỈ14, D > 0, R > 0.

Chứnf>; minh Mãc (.lù bổ đề tương tự bổ đề 4, song việc chứng minh uó đơn giản hơn nhipu i lu re vạy ổ > 0 <1 \ > 0 «2 > 0 í>n, nén điểm cực dại cực tiễu <ĩủa

Fị {x) ậ ủ n cũé làng buộc sau:

Từ bát dang thức bổ (lề '3(a) F\(0) < 0 MJY bể dề G.

B ổ đ ề 7: Trên ỉỉ > Bổ đề tư()ng tư bổ <lầ Chứng, minh cua 11Ĩ ”ión» như clnì'112; miiih cua bổ đè dó bổ dề (lược sử đụn^.

14

F i(0 ) < 0, F A , ) > 0, F i ( l ) < in (60)

(61)

Dể chứng minh (61) ÍÌ14, ta làm tương tự chứng minh định lý 1 trẽn íì,*

trong đó, th a y cho bổ đề t a sử d ụ n g bổ đề ý D < 0, Xo nghiệm lớn n hất c (30) C hứng m inh c ủ a địn h lý trê n E tương tự n h chứng m in h đ ịn h lý trẽn

£ i dó bổ đề thay bổ đề 7.

4.2 C ông th ứ c vận tố c són g R ayleigh 0,2 and Q3

Sử dụng (32) mệnh đề, suy ÍỈ2, (30) có hai nghiệm thực khác (vì D < 0) Xo nghiệm trung giíin.

Khi a — (29) biến thành:

(7 + 2d — \ ) x — d ị d + 2) x + d = (63) Sử dụng mệnh dề, suy (63) với 7 + 2d — 7^ có hai nghiệm thực khác To nghiện nhỏ 7 + 2d — > 0, nghiện lớn 7 + 2d — < Khi 7 + 2d — = 0, tức

d = (1 — ) /2 (d > => > 1), vận tốc sóng Rayleigh là:

pc2/ c 55 = { - l)/(cr + 3) (64) Từ điều nêu trên, dễ dàng suy định lý sau:

T h e o r e m 3

a) Trên Q-2 , vận tốc: sóng Rayleigh xác định công thức sau: ũ — + a d 7Ị2 3/ ~ /7- —1»> 3/~T

pc / c 55 = — —-— — -— + e 3 ự R + s / D + e 3 ỷ R - ự D (65) 3 (a - 7)

trong (ló nong (phức) lấy giá trị chính, R, D (< 0) xác định (31), (3G) argument số phức lấy khoảng (-7r,7r).

b) Trên íĩ-s vận tốc sóng Rayleigh là:

2 d( d + 2) - d \ / ( d ,2 + — 4íi)

P<?/C55 = -+ ị d _ 1} - 'Vlien 7 + 2d - ? n (66)

pc,2/cõ = (ơ - \ ) / { + 3) for + 2í/ - = (G7)

1.3 C ông thức vận tố c són g R ayleigh với giá trị th ứ hai bậc ba

Giả sử V) m ột số phức khác khơng a rgum ent đượr lấy tro n g khoang [0 27!-)

tức < ArgIV < 2ĩĩ, n, m số nguyên dương cho tiước cho n > 2, < 111 < n

Ta định nghĩa giá trị thứ m phức bậc n w, ký hiệu "‘ự w , sau:

I ' Ả T g u ) ( m - 1)2tt

"‘■ựw |u i |e x p ỉ { — 2— I -} (68)

n n

Với m = ta có giá trị (thứ nhất) bậc n IV Trong phần này, cách sử dụng giá trị thứ hai phức bậc ba, ta thu cõng thức vận tốc sóng Rayleigh trên miền í ì t

Đ ịn h lý 4

Trong miồn í l *, To vặn tốc sóng Rayleigh xác định công thức sau:

.r0 = p c 2/ c t t = - ~ — ~ " ơl1 + sig n (ỏ ') ự s i g ĩ ĩ ( ổ ) ĩ / ^ + \ f i5} + \ J R - v/7 (G9 ) 3( a - ) v

trong dó cãn (pliức) bâc ba lấy giá trị thứ hai, (phức) bác hai lấy giá trị

chính, ỉỉ, I) ( < 0) xác định (31), (36), argum ent củ a m ột Hố phức dược: lấy

khoảng [0, 27r).

C hú ý Từ dịnh nghĩa giá trị thứ 7ìĩ phức bậc n m ột số phức suy rằn

giá trị th ứ hai c phức bậc ba c m ột số thực âm trù n g với thự c bậc ba c 11Ó

Chứng minh Tương tự trẽn, ta xét định ]ý tập C011 ũ * • T rên ũ n

Như dả biết từ phần 3, r in , ỏ < 0, D > và

- ( R + \ Í D ) < , R - \ Í D < (70)

Vì D > phương trình (44) có nghiệm ihưc z0, xác định (46) 1 (47)trõiig thức thực Tính đến ý c, rỏ làng (69) suv tư (70).

(31), (43)

• T rên Ej:.

T h e o bổ (lề 5, t r ê n E l R < 0.

N ế u R < t h eo ( 47) 3, ( 47)5 D > vi vẠy (-1-1 ) có mó t |] i i Ị mi t hưc (luv nliất va SUY (69)

Nếu R = D = Từ (46), (47) suy phương trình (44) có nghiệm thưc đu\ ihất (bội ba) z0 = suy (69).

• T rên Q„.

Dối vđi trường hợp D > 0, việc chứng minh (69) tương tự chứng minh (35) cho trương hợp D > 0, ý sử dụng.

Xét với trường hợp D < Như đẫ biết từ phần 3, trường hợp (44) có ba

r.ghiệm thực phân biệt Zo nhỏ Khi D < ba nghiệm thực phân biệt (44 )

xác định (46), (47) thức bậc ba (bậc hai) láy ba (hai) giá trị có th ỉ soa cho T - s * Trong phần lại, thức bậc ba (bậc hai) láy giá trị thứ hai (giá trị chính) Chú ý A rg5 = e [0, 2iĩ) Argố'* = 27T — Tương tự phần 3, ta cũng có:

Zữ — 2qcos{6 2 -n/2>) (71) trong (ỉó E ( ,7T/3 ) nghiệm (53).

Dễ chứng minh (G9) ta cằn chứng minh:

ỳ j R + \ Ỉ D + \ Ị R - \ Í D = 2(/cos (0 + 2tt/3) (72) Thực : Arg( R + \ f D ) — 3(9, Arg( R — \ Í D ) = '277 — 39 Vì vậy, theo (68)

R + \ f ĩ ) = qel[0+2*r i \ \ j R - \ Í D = qel{^ /3~6) = f p-' &ri +o) = (73) và (72) suy từ (73) Chứng minh định lý kết thúc.

Dối với vật liệu đẳng hướng, tính đến (37), (69) có dạng:

— = í{ - i - sign[/i4(7/)]v/sign[/?.4(rj)](17 - / - / l i (■/?)) + ựAbĩ ] - 17 - M Ũ ) } (74)

// ó

trong dó // = ụ / ( \ + 2ịi), (0,77 < 3/4) /1 1(7/), I1 O1 ) xác dịnli (2) cán thức bậc ba

láy giá trị th ứ hai C ùng với công thức tìm l>ỏi P h a m Ogden [10], Malischewskv

[4], ta có cơng thức khác vặn tốc sóng Ravleigh vật liệu dẳng hướng.

D(' kết t húc td 11 r n m n h <jác kết q u ả tlm dược đ ã v dược sử d ụ n g cho

những vật liệii clị hướng khác Royer and Difulfsaint [8] chứng minh dược kết quả

Tài liệu th a m kh ảo

[1] Chadwick, p., 1976 T he existence of pure surfar? m odes in elastic m aterials with

orthorhombic symmetry J Sound Vib., 47(1), 39-52

[2] Cowles, w H., and Thompson, J E., 1947 Algebra, D Van Nostrand Company, New York

[3] Destrade, M., 2003 Rayleigh waves in s y m m e try planes of crystals: explicit secular

equations and some explicit wave speeds Mech Mat To be appeared

[4] M aliftlirwsky, p G., 2000 Comment, to " A new formula for velocity of Rayleigh waves " by D.Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199 - 205] Wave M otion 31, 93 - 96 [5] Nkemzi, D., 1997 A new formula for the velocity of Rayleigh waves.Wave Motion, 2f, 199-20.')

[6] Rahman, M and Barber, J R., 1995 Exact expression for the roots of the secular equation for Rayleigh waves ASME J Appl Mech., 62, 250-252

[7] Ravlcúgh, L., 1885 On waves propagated along the plane surface of an elastic solid Pioc Loml Math Soc., 17, 4-11

[8] Royer, D and Dieulesaint, E., 1984 Rayleigh wave velocity and displacem ent in orthorhombic, tetragonal, hexagonal, and cubic crystals J Acoust Soc Am , 76(5),

1438 - W4

[9] Ting, T c T., 2002 "A unified formalism for elastostatics or steady state motion of compressible or incompressible anisotropic elastic materials", Int J Solids Structures

39, 5427 - Ì45

[10] Vinh, P c and Ogden R w , (2004) Oil formulas for the Rayleigh wave speed, Wave Motion, 39, 191-197

CHƯƠNG n s ự TƯƠNG TÁC GIỮA LƠ HÌNH VNG- VẾT NÚT VÀ MỘT VẾT NÚT THẢNG d i t c d ụ n g

CỦA DÒNG NHIỆT ĐỂU

1 Đặt tốn

Có nhiều cơng trình nghiên cứu lỗ có vết nứt m ép (Bowie, 1956; Tweed and Rooke, 1973; Hasebe and Ueda, 1980; Schijve, 1983; Z hang and Hasebe, 1993; Hasebe et al., 1988, 1994a, 1994b; Chao and Lee, 1996; Hasebe and Chen, 1996) Tuy nhiên cịn cơng trình liên qu an đến tương tác m ột lỗ có vết nứt vết nứt độc lập, đặc biệt tương tác dưới tác dụng tải trọng nhiệt.

Do vậy, m ục đích chương nghiên cứu tương tác lỗ hình vng có vết nứt vết nứt thẳng tác dụng củ a dòng nhiệt Bài tốn mơ tả H l(a ) ký hiệu toán A Rõ ràng rằng, theo nguyên lý chồng chất nghiệm , toán A đưa ba toán sau:

Bài t o n B: Lỗ hình vng có vết nứt tác dụng dịng nhiệt (H l(b )).

Bài toán C : Lỗ hình vng có vết nứt tác dụng lêch nhiệt (temperature dislocation) phân bố dọc theo đoạn thẳng vết nứt thẳng (H l(c)).

Bài tốn D: Lỗ hình vng có vết nứt tác dụng lệch ứng suất phân bố dọc theo đoạn thẳng vết nứt thẳng (H l(d )).

r

\

> X

(b).Problem B

+

A

H l N guyên lý chổng chất ngh iệm

2 Ánh xạ hữu tỷ

z - plane

H.2 Ánh xạ hữu tỷ

Xét mơi mặt phẳng vơ hạn chứa lỗ hình vng có vết nứt nh trên H.2 Bằng phép biến đổi Schwarz-Christoffel (H asebe and Ueda,

1980):

y K ^ - e ' r ) V2{ g - e - ' y Ỷ l { g + \ ) [ l l { g - \ ) d g

phía ngồi lỗ m ặt phẳng z bị ánh xạ phía ngồi củ a hình trịn đon vị m ặt phẳng g K hệ số tỷ lệ, y p góc chỉ H Rõ ràng ánh xạ (1) không bảo giác lân cận đỉnh của hình vng m ũi vết nứt Điều ảnh hưởng đến tính khả nghịch của phép biến đỏi (1) Vì phép biến đổi (1) đựoc xấp xỉ ánh xạ hữu tỷ sau:

r = *>($•) = £ 0Í- + X - ^ - + £ l (2 )

trong E0, Ek , gk {k - \ , ., N) là số phức \ gk \< I với k = l , 2, N V iệc xác định số giải thích chi tiết (H asebe Ueda, 1980; Yoshikavva Hasebe 1999) T h e o kinh ng h iệm ta chọn N=48.

3 Các công thức bản 3.1 Trường nhiệt độ.

Trong m ặt p hảng g, hàm nhiệt độ 0(g,g) toán đàn hồi nhiệt dừng hai chiều thoả m ãn phương trình Laplace Vì phần thực hàm giải tích Y{sY'

ỡ(q,~g) = ụ Y { s ) + Ỹ ^ ) ] (3)

Dòng nhiệt xác định qua Y($) như sau (Han Hasebe, 2001):

- % = ~ k

q t, - i<io

Y { g ) ( » X ị )

C ũ7(g)

(4)

(5) I ga)\s)\

trong q và q v là thành phần dòng nhiệt theo trục X và trục V, q và q g là thành phần dòng nhiệt hệ toạ độ co n g suy rộng trực giao tạo ũ)(g), &là hệ số truyền nhiệt Đ iều kiện biên dịn g nhiệt m tả n h sau (Han and Hasebe, 2001):

- k [ Y ( ) - r(<x)] = 2i ị q „ d + const (6)

ở (7 và ÍỊIÊ là giá trị g và thành phần pháp tuyến củ a dòng nhiệt

biên, tích phàn láy dọc theo biên Từ (6), điều kiện đoạn nhiệt (q = 0) dọc theo đường tròn đơn V là:

Y ( ) - Y ( ) — const í 7)

3.2 Trường ứng suất n hiệt

Sử d ụ n g th ế phức ộ{g) i//(g), ứng suất vật thể đàn hồi biểu diễn nh sau (M uskhelishvili, 1963):

ệ ( g ) ơ, + cr, = Re

(?)

&l($) Ị ( £ ) ( í )

ơ y - x +2ỈTxy = 2

ơg + p = <rv + ,

crỡ - , + 2/r (<7, - ơ, + /r„ )

ỉO) ( g ị

Ĩ Ỹ 0>{g) Đ iều kiện biên lực là:

^(cr) + (ơ-) + ^(cr) = /' \ { p x + ipv)ds+const ( { )

trong p x , p, là thành phần lực theo trục X, y.

( )

(9)

(10)

( 1 )

(12)

Sử dụn g hàm ứng suất ệ(g), tịỉ(g) hàm nhiệt độ Y{g), điều kiện biên theo ch u y ế n dịch có dạn g sau:

Kệ(g) - ^ ẵ Ằ ệ \ g ) - y/{g) + G a j'Y{g)co 0g )d g = G( u + i v ) (13)

Cữ Cr)

trong G là m đun cắt, a: = 3- 4v , a = ( \ + v ) a toán biến dạng phẳng, K - ( - v)/(l +v), a - a đối với toán ứng suất ph ẳng suy rộng; V và a hệ số P oisson hệ số giãn n nhiệt.

4 N ghiệm c ủ a bài toán B 4 1.Trường nhiệt độ

thiết biên c ủ a lỗ v m ặ t củ a vết nứ t đ o n nhiệt H m n h iệ t đ o YH(g) bài toán B c h ia làm hai p h ần :

+ (14)

trong ph ần th ứ n h ấ t n g h iệ m củ a toán m ặt p h ẳ n g k h ô n g lỗ chụi dòn g n hiệt T (4), suy H(g) có dạn g sau :

(15)

k

Tha y (14), (15) vào (7) ta có:

Kh(ơ ) ~ Y ĩ A ) - — e~'ổa>(cr)- — e' s co(ơ) + const ( )

k k

Nhcln (16) với d / [ 2m( - g)] lấy tích ph ân Cơsi dọ c th eo đư n g tròn đơn vị ta thu Y7H{g) , cuối cùng:

Yh( $) = - ^ - ( e " e EaS + e '0 ~ ) + const ( )

k £

4.2 Trường ứng suất

Các h àm ứng suất ch ia làm hai phần: p h ầ n k h n g giải tích YmẢĩ )] p h ần giải tích [ệ2H{ g \ ụs2H(g)]:

( M í ) = ^i«(?) + ^ « (f)

V ' Aỉ ) = V/ìh(S) + V/ As) ( )

Số hạn g cuối c ù n g c ủ a v ế trái củ a (13) ứng suất nhiệt T íc h p h ân n ày chứa m ộ t số h ạn g log arit m gây k h n g n trị Đ ể k h nó, ta d ù n g các h àm ứng suất Ww {g) (F lo ren ce and G o o d ie r, 1960):

^i«(í) = ^ i o g ^ ụsịH(g) = B \ o g g (19)

tron g A , B đư ợc xác đ ịn h đ iều kiện là: trư ng n h iệt độ dừng k h ô n g g âv lực n g o ài q u a n h lỗ ch u y ể n dịch n trị T h a y ( ) , (19) vào ( 12 ), sử d ụ ng đ iều k iện p x = P Y = , ta có:

B = A (20)

Tha y (18), (19) vào (13) sử dụn g điều kiện đơn trị củ a c h u y ể n dịch ta

trong R = (1 + v )/(l - v ) đối với toán biến d ạn g p h ẳ n g R = (1 + v) đối với toán ứng suất p hẳng suy rộng.

Tha y (18) vào (12) ý đến điều kiện tư ứng suất biên của lỗ m ặt c ủ a vết nứt (p = Py= ) ta có:

N h ân (22) với Ơơ l\2nì{ợ - q)\ và lấy tích phân Cơsi dọ c th e o đư ờn g tròn đon vị ta thu được:

N 1 p N D ^

= + <2 )

t i c - ? * k \ S - S k

tro n g Bk = Ekị ( ị { g k ) với gk = \Ịqk Ak = ỷ 2H(gk ). Ở phần thực ph ần ảo củ a A k đực xác địn h hệ 2N phương trìn h tu y ến tính n h ận được

bằn g cách đ ạo h m (23) thay g = g\.

T (19), (23) hà m ệ H( g) là: có:

(2 1)

+ = = = ^ 2* (°-) + a> (c)

(22)

ệ» (<r) = A log í + X T r r + A X 7 (24)

*=l * = l ĩ ~ k

trong A xác đ ịn h (21) Xét hàm:

«> (IÌS)

T (12) (25) ta có:

ệ \ { ) = ệ - H(ơ), o - e r = {$■:!£• 1=1}

(25)

Đ iều có n g h ĩa h m ậB( g ) , q e S ~ thác triển liên tục củ a hàm ậgiq), g e s* = ịg :| q |> 1} từ ngồi đường trịn đơn vị vào T (26) suy ra:

= - ệ H{ U g ) - ^ ộ'B{g), g e S * (27)

<o{g)

Chú ý ta sử d ụ n g n g thức sau để tính lựfí(g).

Ì ( Ã Ĩ | ) ) = - - L / Õ T Ĩ ) ( )

d g y ' g2

5 N ghiệm c ủ a bài toán c

Xét m ột m ặt p h ẳn g vơ hạn với lỗ hình vng có vết nứt c h ụ i tác d ụ n g sự lệch nhiệt độ (te m p e ratu re dislocation) phân bố dọ c theo đo ạn thẳn g vêt nứt, n h m ô tả h ìn h vẽ H l(c ) Biên củ a lỗ m ặt củ a vết nứt giả thiết đo ạn n h iệt tự ứng suất T h eo ng u y ên lý c h n g chất ng h iệm , bài toán c được đư a tốn E: lỗ hình vng có vết nứt chụi tác dụ n g của m ột đ iểm lệch n h iệt đặt z 0(=íủ(g0) ) củ a đo ạn AB Đ ể giải toán E ta cần tìm h m G reen cho trường nhiêt độ trường ứng suất, n g h iệ m của bai toán c n h ận cách tích phân n g h iệ m củ a toán E dọc theo đoạn AB

Dễ dang thấy rằng, đ ối với trường nhiêt độ h àm G reen củ a toán E (H aseb e and H an , 001):

i n k

e‘s e ~ " d «(£■(>) à { g ữ) { g - g p)

trong k là hệ số tru y ề n nhiệt, (3 góc A B trụ c X, r m ật độ (độ lớn) củ a đ iể m lệch nhiệt (the den sity o f the te m p e tu re point d islo catio n ), g0 =<y"'(z0), gp = \ / g v

Đ ối với trường ứng suất hàm G reen ệ (g) I / / I ; ( g ) c ủ a toán E

biểu diễn n h sau:

= + (30) Ve(s) = V u i W + V i M

trond ệ n:{g) y/2K(g) giải tích s* \ ệ u.:{g) y/ÌE(g) có dạng:

ệ\K l s ) = - ị - logte - g 0) + Aì ogg

“■ 2 71 "

V\g te) = - T I [og(^ - g'o) + ị - _ ■, } ■■— + B lQg f

(31)

.V,toV5 ^0/ ■ + ^ 'nợ r

2 n 2 n ũ ) \ g ồ){g - g0)

với c = r e'19 Thay (30), (31) vào (12), vòng q u a n h đường tròn k{K + ])

đơn vị m ột lần, từ yêu cầu trường nhiệt độ dừng k h n g sinh lực ngồi ta

B = A (32)

Thay (30), (31) , (32) vào (13), vòng q u an h đường tròn đơn vị m ột lần, ch y ên dịch đơn trị nên:

A= — Y —.— -ĩ + ỉ - I ể L (33)

2 í r t í f o ( ợ 0){g0 - g k ) 2 * c o ' ( g 0) T ính đến (30), (12) có dạng:

<P2l {ơ) + ^ Ằ ệ li:( a ) + ụ/v :( ) ^ - ậ ịi:( ) - ^ l ỷ ui ) - i / / u.:(ơ) (34)

(ù ( c ) ứ) (cr)

Đ ể xác định ậ 2/.;(g), ta thay (31) vào (34), n h n hai v ế (34) với d ỉ \ 2m( - q)Xq e S +) , sau lấy tích phân Cơsi dọc theo đư ờng tròn đơn vị Dễ dàng thấy rằng:

i) T~7 ỉVi/ J Ỡ ) - ^ - = 0 (35)

lĩTi ’ <7 - g

ii) 7": JV|| (cr)_^ ~ = T^ J lo g - ^ - (36)

1 f 7ZT\ d ơ L

2m f Ơ - g 2 n

iii)

- l o g ( - - f 0) + l o g ( - f 0) + -c o > t e o ) - s p

l n a ' t e o X c - f p ) - ế Ị hs

d ơ

ơ - g (37) Sử dụng kết q uả sau:

i) H àm - ^ Ộ2E ( \ l g ) giải tích S ' trừ đ iểm gk {k = l, ,ýV) C ú \ \ l g )

cực điểm với phần chính:

ĩk ~ í (O ( c * )

ii) H àm ~ — — ệ \ n { \ l g ) giải tích s trừ đ iểm g k ( k = \ , ., N) và g ( { \ l g )

là cực điểm với phần chính: E k

(ị(g\ ){g-gk) c ĩ p - $ k

ta có (M uskhelishvili, 1963):

i) _ L dơ - ± ỄL ể j ịM

r (ủ ( ) ơ ~ s H Í - ?* co (c*)

và

2 * < ( ỉ ' ) í - ĩ f

rrư(cr) • d Ạ E k

r <y (cr) c - í *-1 íy (sí )($■-£■*)

c gngk

2 * í p - c *

(38)

C Cữ{gp) gị 2x co\gr)S-gP

(39)

- c —

K hô n g màt tông quát ta đăt 0,, (oo) = —- l o g ( - f 0) , và từ ( )-(39) suy :

' 2ĩĩ

n I A’

</>:, (g) = T - l o g ( - - Co) + X = 2tt g *=1 rư

Ek

*=1 rư' ( c \ ) { g - g k)

C \tứ{c0)-a>(gp)]sị

2t r ( ^ ) ( c - c r )

ậ'2i;(ck ) + Agk - c gngk

2 'T Ĩ n - S k

(40)

Chú ý phần thực phần ảo ộ '2i-:{gk) (40) xác định hệ 2N phương trình tu y ến tính có cách đạo h àm (40) thay

s =

ĩ'k-Cuối ta có:

C g„gk

c I N E

<t>E (?) = -ỉr- ' ° g ( - - í o ) + Z — — - :

2 n g co {qk )(g - gk )

ỷ ĩ i : ( g k ) + Agk

-c [ũ){gữ ) - a ( g )]?J c

• - T ^ l o g ( f - ? ũ) + /ílo g

í-(41)

2;r <y'(c0) ( í - ^ ) 2;r

trong A xác định (33) Tương tự n hư phẩn 4, h àm ứng suất ụ/' (g) tìm được cách thác triển giải tích Nó xác định n g thức sau:

= - ệ, ( 4 )

(ứ{g)

trong dó ệ xác định (41) co(g) (2).

Chú ý rằng, hàm nhiệt độ Y(.{g), hàm ứng suất ệ, {g), Iựt (g) c a a bai toán

c nhận cách tích phân Yi:(g), ậ,.(g) dọc theo đ o ạn AB. 6 Nghiệm c ủ a bài tốn D

Bài tốn D m tả hình vẽ H l ( d ) , m ột m ặt p h ẳng vơ hạn có lỗ hình vng-vết nứt chiụ m ột lệch ứng suất phân b ố dọc theo đo ạn thẳng vết nứt AB Biên c ủ a lỗ m ặt vết nứt đựoc giả thiết đoạn nhiệt tự ứng suất T h e o n g u y ên lý c h n g chát n g h iệ m , toán D đươc qui toán F: mặt p hẳng vơ hạn có lỗ vết n ứ t-h ìn h v u ơng chụi m ột lệch ứng suất với m ật độ (độ lớn) D đặt đ iể m z ữ{=co{gữ)) củ a đ o ạn AB Tương tự p h in trước, hàm Green cù a F: ệ, {g) ụ/r (g) biểu diễn dạng sau:

K ^ ) = - ~ ^ o g { g - g 0) L7t

Ú — (44)

( \ - D D <y(c0)

Vw (g) = iog(g- - ĩ o )+ f ^ J ~ y '^ —

-2/r 2«- ( f o X f - f o )

T (43), điều kiện biên (12) tốn F có dạng:

ệ 2M{ơ) + = Ú = ệ \ 1 (,ơ) + ụ/2l. (<x) = - ệ u {ơ) - ệ \ Ể( ) - ụsìt (ơ) (45)

co ( í ) íy (cr)

N hân hai vế (45) với d l [ n i { ơ -£■)], ( g e S * ) , sau lấy tích phân Cơsi dọc theo đường trịn đơn vị ta tìm â ợ c ý 2l.- ( g ). Rõ ràng rằng:

i) = (46)

2m ơ - g

i i ) - ! - k ( < T ) — = ( )

2m X ơ - q

“0 -T3 ỹ i/ = - ~ z - l o g ( - - f 0) + log(-^0)

27ĩi • ơ - g i n g

+ (48)

2n to (fo)(C c p) Từ kết q u ả sau::

i) Hàm Ộ2h{\ l g) giải tích â trừ điểm gk (k = I, , N) các ( { Mg )

điểm cực vứi phần chính:

£* ệ ụ t ) S k - S (0 {gk)

ii) Hàm (1 /g) giải tích S" trừ đ iểm gk {k = \, ,N) và (O ( /c )

g đ iểm cực với phần chính:

D E k a n d D C^ £ A Ẻ d ) ( c k)(,- - C* ) í r - ^ 2;t ( è r ) S - $ t

suy (M u sk h elish vili, 1963):

i) - L = ỳ E‘ (49)

2^7 í (ứ (<t) ơ ~b *=I £ bk (0 {gk )

1 t<o(ơ) s — d Ek gkgn D (o{qp ) g \

* u — I = = < 1/ { ) ~ - = Y — = = = * - —

2 ^ r Jíy ( CT) Ơ S- t i <y ($■; )($■ - g k) gk - gp 7 T f y ( g ) g - g

(50)

K hông m ất tổng quát ta đăt ệ u (oo) = — lo g (-f0) , từ (46)-(50) ta có:

* 2n

( ? * ) ( ? - í t ) D [»(£,, )-< y (s -„ )k ỉ

D 1

ệ /'(í'*)+ — = - —

2 *

(51)

2* < y (c0) ( ? - ? , , )

Chú ý phần thực phần ảo ệ'u-:(g'k) trong (51) xác định hệ 2N phương trình tuyến tính có cách đạo hàm (51) thay

£■ = £*•

Tính đến (43), (44) (51), h mệjị{g) là:

D

^ f ( Ó + f - — — 2;r ĩ P - á

D

(52)

- ^ I o g ( ? - f o ) + I o g ( - - ệ - 0)

2 * « ( ? o ) ( f f - f , > 2 * 2ff <r

H m y /,,^ ) nhận cách thác triển giải tích:

M í ) = -#/ o ^ ) - — V f V /.te ) , -eS*

ô ($ ã)

(53)

N ghiệm D: sốc hàm ệ D{g) ụ/0 (g) nhận cách tích phân ệ t (g) ụ/,, (í) dọc theo AB.

7 N ghiệm toán A: Các phương trình tích phân.

T h eo ng u y ên lý ch ổn g chút nghiệm , n ghiệm củ a toán A là: H àm nhiệt độ:

trong Y„(g) x ác định (17) Yv {g) nh ận bằn g c ách tích phân Yh (g) dọc theo AB.

H àm ứng suất:

K í ) = Vb (?) + V v i g) + Vd (?)

trong ệ H(g) ụ/B(g) xác định (24), (27); ậc (g) ụ/f.(g), ệ Di 0 ^ộís') nhận cách tích phân ệ,.:(g) ụ/, (g) , ệ,.\g) ụ//.(c), dọc theo AB.

Chú ý (54) (55), có hai hàm chưa xác định r ( D{(). T điều kiện đoạn nhiệt m ặt vết nứt AB ta có:

trong v0 m ột điểm mặt vết nứt AB Đ ó phương trình tích phân để tính f ( - T h n g thường tìm dạng:

và /•(/) đựoc tìm bằn g cách giải số phương trinh tích phân tương ứng với (56) bằng phương p h p thông thường (E rdogan, 1969; E rd o g an and Gupta,

1972).

Ta định ng h ĩa m ật độ (độ lớn) độ lệch ứng suất sau: (Chen and H asebe, 1992):

T điều kiện tự úng suất (p x = p v = 0) mặt vết nứt AB (12), ta thu được phương trình tích phàn sau để xác định h , ự) :

Im | r ( / ) i ; ;( v , / ) í / / - | r ( / ) r ,( !o ,o ]< / / = - i m [ r /(( A - ) - ) 'fl(.v0 ) ] , \s\<b (56)

h -h

V(t) = ylb2 - r r ( t ) (57)

(58)

(59)

trong N t (t,s) Tj(t, s) ( j = n,T) thành phần ứng suất p h áp tu y ến và tiếp tuyến vết nứt A B đ iểm s gây độ lệch ứng suất đơn vị theo hương j đ iểm t C húng xác định (8 )-(l 1), (52) (53) Các ứng lực ( Nh + iTfị) ( N r +iT(.) tính (8 )-(l 1) hàm ứng suất bài toán B c.

T điều kiện đ o n trị c ủ a ch u y ể n dịch q u a n h vết nứt AB, hj{t) (ỹ = n,T) phải th o ả m ãn điều kiện sau (Chen and H asebe, 1992):

Ị[hnự) + iht it)](ỉt = 0 -b

Đối với tốn vết nứt hn(t) hr(í) thưịng tìm dang: /?,(/) = H, ( / ) / v V - r , j = n,T

(60)

(61) Thay (61) vào (59) (60) ta thu phương trình tích ph ân tương ứng để tìm H nỤ) c h ú n g giải cách sử sụng cô n g thức tích phân G au ss-C h e b y sh ev (Chen and Hasebc, 1992; E rd o g a n , 1969; Erdogan and Gupta, 1972) Các hệ số tập trung ứng suấl (ihe stress in ten sity factors) tại mũi vết nứt ( crack tips) tính n g thức sau (Chen and H asebe, 1992; H a s e b e and Chen, 1996):

( j - \ ) ĩ

4 M

( j - \ ) ĩ ĩ 4 M

(62)

(63)

/ = bCOS h

K r = K„ + {{//(0^/ (/) + r(0Ả',(/)]í//

-b hỌ) = h„{t) + ihr(í)

(64)

(66)

y j ỉ \ c)

trong ơ c vị trí tương ứng củ a c trong m ặt phẳng g đư ờng tròn đơn vị K c tính bởi:

8 Các kết số.

Để làm ví dụ ta xét tốn tương tác với thông số n hư sau: e ỉ a = 0.5, d / a = 3, b ỉ a = ỉ D òng nhiệt giả thiết song song với trục y ( ổ = 90"), và V - 0.3 Các hệ số tập trung ứng suất chuẩn hoá hệ số tập trung ứng suất m ode II K 0 mũi trái vết nứt độ dài b tác dụn g dòng nhiệt theo hướng vng góc với vết nứt, tức là:

Sự phụ thuộc hệ số tập trung ứng suất chuẩn hoá ^HA' ^ I B ’ PllB’ F IC, F IIC vào f/a góc định vị vết nút AB hình vẽ H.3, 4, , , 7, 8.

Khi vết nứt AB xa lỗ (f/a=1000): FIIAK - \ , Fiihk \ at /? = / > « V/?, Fm ~ -0.628 = c o n s t , V /? Đ iều c ó nghĩa là: vết nứt lỗ k h n g có tương tác với q u xa Đ ièu phù hợp với thực tế.

Từ hình vẽ H 3-8 ta thấy rằng: lỗ vết nứt lân cận nhau, tương tác m ạnh.

Các kết qua số cũ n g cho thấy, vết nứt A B xa lỗ FỊA % Fm = V/? ổ = 90" Tức d ị n g nhiệt k hơng ảnh hưởng đến hệ số tập trung ứng suất m ode I mũi A B vết nứt AB, xa lỗ.

M _ ,

K ' = K « + Z t W ( ', ) + (‘ - ■<) >r <'y )* ,■ (',)} /=!

(67)

b J n b q a G R

(68)

2 k

9 Kết luận

Bằng cách sử d ụ n g n g u y ê n lý ch n g chất n g h iê m , toán tương tác lỗ hình vng-vết nứt với m ột vết nứt thẳng đưa ba toán N ghiệm củ a to án cơ bản tìm d n g đ ó n g n h p h ơng pháp hàm biến phức án h xạ hữu tỷ Chú ý h m G re e n c ủ a toán này được x e m n h n hữ n g n g h iệm sử d ụ n g tro n g n h iều toán khác Bài toán tương tác dẫn đến việc giải p h n g trình tích phân Các kết q u ả số c h o thấy tương tác lỗ h ìn h vu ô n g -v ế t nứt với m ột vết nứt thẳng m ạn h c h ú n g g ần n h au Các kết q u ả chương I trình bầy báo sau:

P h a i n Chi V inh, N orio H asebe, X ian-F eng W ang and T ak ah iro Saito, Interaction betw een a cracked hole and a line crack under uniform heat flux, International Journal o f Fracture, 2005, Vol 131, pp 367-384.

Tài liệu tham khảo

Bowie, O.L., 1956 A n aly sis o f an infinite plate c o n ta in in g radial cracks originating at the b o u n d ary o f an internal c ircu la r hole Jo u rn al o f M athem atical P hy sics ,6 -

Chao, C.K., Lee, J.Y., 1996 Interaction b etw een a cra ck an d a circu lar elastic in clu sio n u n d e r rem ote uniform heat flow In te rn atio n al Jo u rn al o f Solids and S tructures 33, 865-3880.

Chen, Y.Z., H a^ebe, N., 1992 A n alternative F re d h o lm integral eq u atio n approach for m u ltip le crack problem and m ultip le rigid line p ro b le m in plane elasticity E n g in e e rin g F racture M ech an ics 43, 25 -2

E rdogan, F., 1969 A p p ro x im a te solution o f sy stem s o f sin g u la r integral equations A IS M Jo urn al o f A pplied M ath e m a tics 17, 1041-1059.

Erdogan, F., G upta G.P., 1972 On the n u m eric al solution o f sin g u lar integral equations Q u a rte r A pplied M ath e m a tics 29, 5 -5

Florence, A.H., G oodier, J.N., 1960 T h erm al stresses d u e to d istu rb a n c e o f uniform heat flow by an insulated ovaloid hole A S M E Jo u rn al o f A pplied M ec h an ics 27, -6

Han, J., H aseb e, N., 2001 T h erm al stress p ro b le m for m ix e d heat co nduction b o u n d a ry a ro u n d an arbitrarily sh ap ed h o le w ith crac k u n d er uniform heat flux J o u rn al o f T h erm al Stresses 24, -7

H asebe, N., Inohara, s., 1980 Stress analysis o f a sem i-in fin ite plate w ith an oblique ed g e crack In g e n ie u r A rchive 49, 51-62.

Hasebe, N., U eda, M , 1980 Crack origin atin g fro m a c o rn e r o f a sq uare hole E n g in e e rin g F ractu re M e ch an ics 13, -9

Hasebe, N., T om id a, A., N ak am u ra, T., 1988 T h erm al stresses o f a cracked circular hole due to u n ifo rm heat flux Journal o f T h e rm al Stresses 11, ­ 391.

Hasebe, N., Y o shikaw a, K., e d a , M., N ak am u ra, T., 1994a Plane elastic solution for the second m ixed boundary value p roblem and its application Archive o f A pplied M ech an ics 64, 295-306.

Hasebe, N., N ak am u ra, T., Ito, Y., 1994b A nalysis o f the second m ixed boundary value problem for a thin plate A S M E Journal o f Applied M echanics 61, 555-559.

Hasebe, N., Chen, Y.Z., 1996 Stress intensity solutions for the interaction between a hole edg e crack and a line crack International Journal o f Fractures 77, 351-366.

Hasebe, N., Han, J.J., 2001 Interaction betw een elliptic hole and crack in thin plate under uniform bending heat flux P ro ceedin g s o f the rd International C onference on the Boundary E lem en t M ethod, 3-12

M uskhelishvili, N.I., 1963 Some basic problem s o f m ath em atical theory of elasticity N oordhoff, Netherlands.

Schijve, J., 1983 Stress intensity factors o f hole ed g e cracks C om parison between one crack and two sym m etric cracks International Journal o f Fractures 23, 111-115.

Tw eed, J., Rooke, D.P., 1973 The distribution o f stress near the tip o f a radial crack at the ed ge o f a circular hole In tern atio n al Journal of E ngineering Science 1, 1185-1195.

Y oshikaw a, K., H asebe, N., 1999 G re e n ’s function for a heat source in an infinite region w ith an arbitrarily shaped hole A S M E Jo u rn al o f A pplied M echanics 66, 204-210.

H.3 Sự phụ thuộc F|A vào góc định vị vết nứt

H.4 Sự phụ thuộc F||A vào góc định vị vết nứt

H.5 Sự phụ thuộc F |U vào góc định vị vết nứt

H.7 Sự phụ thuộc F|C vào góc định vị vết nứt

H.8 Sự phụ thuộc cúa F,|C vào góc định vị vết nứt

K ẾT LU Ậ N

NÍội dung ch ín h củ a đề tài là:

[ M rộng cô n g thức vận tốc sóng R a y le ig h từ m ô i trư ờng đàn h ồi đẳn g hướng ;ang môi trường đ àn h i trực hướng.

I N ghiên cứu tương tác lỗ hình vu n g -v ết nứt với m ột vết nứt thẳng. Zác kết ch ín h củ a đề tài:

• Xây dựng c n g thức vận tốc só n g R a y le ig h tro n g m ôi trường 3àn hồi trực hư ớng m iền k h c n h a u c ủ a th a m số M ột :húng m rộ n g c ô n g thức V ận tốc sóng R a y le ig h tro n g m ôi trường đàn lồi đẳng hướng.

- Tim n g h iệ m d ạn g đóng tốn:

f Lỗ hình v u n g-v ết nứt tác dụ n g d ò n g n h iệt đều.

+■ Lỗ hình vng-vết nứt tác d ụ n g lệch n hiệt đ ộ phân b ố liên tục một đoạn thẳng.

+ Lỗ hình v u ng-vết nứt tác dụ n g lệch ứng suất phân b ố liên tục trên đoạn thẳng.

-Thiết lập phương trình tích ph ân để giải to án tương tác.

- Giải số m ột số ví dụ cụ thể Các kết tính to n đ u a đến m ộ t kết luận đán g chú ý: Dưới tác d ụ n g c ủ a d ò n g nhiệt, tương tác củ a vết nứt d ẫn đến sự triệt tiêu củ a hệ số tập trung ứng suất m ũi vết nứt.

Page o f 2

I e«™ : FSS

Articles

Home / Publication /

Issue

i« Meccanica

£ Publisher: S pringer N e th erland s

s | | f ISSN: 0 25 -645 (Paper) 1572 -964 (O nline) Issue: V olum e 40 N um ber

Date: April 2005

Expo I ỉelt.ctcd Citations: RIS I Text Seloct All Unselect All

On the Rocking Behavior of Rigid Objects Fran ;i‘ic o P rieto and Paulo B Loureru.o 0 i: 10 'S 10 12 - 0 - -

Optimization of Axisymmetric Membrane Shells Against Brittle Fracture

N V B an ich uk, F J Barthold, M Serra DOI 10.10 /s 110 12-004-6367-x

(121 -1 3 )

(135 - 145)

Issue o f 175 Previous Issue Next Issue Articles to o

L_ , r + > - Ị B I " V'10 : 1Í p iT j- Nsfu: ; La'>l

Linking Options Quick Search S e a r c h w ith in till

For

S f t iir c h fitl(=;

S e a itti A u I h S e a r c h r u l l t ’

Search [JOI

On the Rayleigh Wave Speed in Orthotropic Elastic So lid s -1 ) Pham Chi V in h and R w Ogden

DOI: 10 0 /s i 12 -005 -16 03 -6

Thermal Residual Stresses in Graded Ceram ic Com posites: (163 - 179) A M icroscopic Computational Model Versus Homogenized

Models Vena

DO' HI ’ 007/si 12-005.-3054-:i

Regular and Chaotic Vibrations of a Parametrically and Self- (181 - 202) Excited System Under Internal Resonance Condition

Je rzy W a rm in s ki

DOI 10 100 /s 1 01 2-00 5-3 30 6-4

Kinematic Model for Determination of Human Arm (203 - 219) Reachable W orkspace

N ives K lo p ca r and J a d n Lenarcic

Page o f 2

DOI 10 100 /s 11 01 2-00 5-3 06 7-0

B o o k Review

I Linear and Nonlinear Structural M echanics (221 -2 2 ) D O I: 10 0 / s 1 - 0 - -y

r Calender (M 9-M 16)

D O I: 10 0 / S 1 -0 -0 -2

Frequently asked questions I General information on journals and books

© Springer Part o f Springer Science+Business Media I Privacy, Disclaimer, Terms and Conditions © Copyrig Rr rr ()\ •? /’/]■ i’iii* 20 1* * S -rv -r f'/i-'W'Zfi Ì '

Meccanica (2005) 40: 14 -16 DOI 10.1007/s 11012-005-1603-6

© Springer 2005

On the Rayleigh Wave Speed in Orthotropic Elastic Solids

PHAM CHI VINH and R w OGDEN11

Faculiy o f Mathematics Mechanics and Informatics, Hanoi National University, 334 Nguyen Trai Street, Thanh Xuan Hanoi, Vietnam;

1 Department o f Mathematics, University o f Glasgow Glasgow G 12 8QÍV UK (Received: 22 June 2004; accepted in revised form: January 2005)

Abstract Recently, a formula for the Rayleigh wave speed in an isotropic elastic half-space has been given by Malischewsky and a detailed derivation given by the present authors This study deals with the generalization o f Ihis formula to orthotropic elastic materials and Malischewsky's formula is recov­ ered as a special case The formula IS obtained using the theory o f cubic equations and is expressed as a continuous function o f three dimensionless material parameters

Key words: Rayleigh waves Wave speed, Surface waves, Orthotropy

1 Introduction

Recently, there has been considerable interest in obtaining explicit formulas for the Rayleigh wave speed in an elastic half-space For isotropic materials such formu­ las have been given by Rahman and Barber [1], Nkemzi [2] and Malischewsky [3] In obtaining his formula Malischewsky used Cardan's formula for the solution of a cubic equation together with Mathematica A detailed derivation of this formula was given by Pham and Ogden [4] together with an alternative formula See also the recent analysis of Malischewsky [5],

For non-isotropic materials, for some special cases of compressible monoclinic materials with symmetry plane a:3 = 0, formulas for the Rayleigh wave speed have been found by Ting [6] and Destrade [7] as the roots of quadratic equations, while for incompressible orthotropic materials an explicit formula has been given by Ogden and Pham [8] based on the theory of cubic equations Further, in a recent paper [9] we have obtained explicit formulas for the Rayleigh wave speed in compressible or­ thotropic elastic solids One of the formulas is analogous to that of Malischewsky in the isotropic case, but we were not able to establish its validity for all relevant ranges of values of the material parameters.

The main purpose of the present paper therefore is to provide a generalization of Malischewsky’s formula for compressible orthotropic materials that is valid for all appropriate ranges of values of the material parameters We consider a compress­ ible elastic body possessing a stress-free configuration of semi-infinite extent in which

148 Pham Chi Vinh and R w Ogden

the material exhibits orthotropic symmetry The boundary o f the body is taken to be parallel to the (001) mirror plane of the material and we choose rectangular Carte­ sian axes (jC|,jC2,;t3) such that the Jt3 direction is normal to the boundary, the body occupies the region XỊ and the Rayleigh wave propagates in the (JC|, JC3) plane and decouples from any transverse motions (which are not considered here); (see, for example, [10,1 1]).

We recall that for an orthotropic material with the symmetry planes coinciding with the Cartesian coordinate planes the stress-strain relation may be written in the

standard com p act form ơj = C j j e j , i, j € { , , 6), where Ơ,, e, are the stress and strain

components and Cj j = C j i the elastic constants ( C j j = 0 for i / j when i = , or 6) In

terms of the tensor components ơ j j , e , j we have

Ơ/= ° i i < i= 1,2,3, Ơ4 = Ơ23, ơ5 = ơ|3, Ơ6 = Ơ!2, (1)

ei = ea, i = , , , £4 = 2^23, ^5 = 2^13, ^6 = 2e 12 (2)

For the considered specialization, however, the relevant material constants (those appearing in the equation of motion) are just C11, C33, C55, C|3 Necessary and sufficient conditions for the strain energy of the material (under the considered restriction) tó be positive definite are

C//> , i = 1, 3, 5, C1 1C33 - c 2tĩ > (3)

It is convenient to pursue the analysis in terms of three dimensionless material parameters, defined by

a = c 33/c ii, y =c s s / c u, 5 = - r f3/ci|C33, (4)

so that, in accordance with (3),

or>0, y >0, 0< Ổ <1 (5) These parameters may also be expressed in terms of other elastic constants For example, if V|3,V3i are the Poisson’s ratios in the (JC|, JC3) plane then

a = V3i/V|3, ổ = l - v 13v31( (6)

while Y = ỖG|3/E l , where ƠI3 is the shear modulus associated with the (X |,.r3) plane

and E\ the Young’s modulus for the X\ dừection.

2 The Secular Equation

The equations of motion have been examined in detail previously (see, for example, [9] and references therein) and are not therefore repeated here We begin with the form of the secular equation given by Chadwick [10], namely

Rayleigh Wave S peed 149

(C5 5- (0C2)[C?3- C33 ( C| - p c 1)] + VC3 3C55 p c 2y/{cII - p c 2)(c$i - p c 2) = , (7)

where c is the Rayleigh wave speed and p the mass density of the material As dis­ cussed previously (see, for example, [9]), the wave speed must satisfy the inequalities inequality

0 < p c < min(C| I, Cjj) (8)

Note that for CH,C33,C55,C|3 satisfying (3), Chadwick [10] showed that equation (7) has a unique (real) solution satisfying (8) and corresponding to a surface wave.

We now introduce the notation

x = p c 2/ c iS. (9)

Then, from (8), we deduce that

0 < ; t < ] $ í if 0<C55^C|1.

0< X < a < if < C|1 < C5 5, (10) where, for convenience, we have also introduced the notation

<7 = 1 / y (11)

It follows that

*6(0, ỡ), ỡ s m in { l,ơ ) (12)

Equation (7) can now be written in the form

V a V l - x ( ẳ —x ) = x y / ỉ - yx (13)

with J t e ( , Ỡ) and the param eters a , y , s satisfying the inequalities (5).

3 A Formula for the Rayleigh Wave Speed

From equation (13), after squaring and rearranging, we obtain the cubic equation

F(x) = (ỵ - a ) x ĩ + (ữ + 2aơ& - >JC2 - a ơ8 (ơ8 + ĩ)x + a 2S2 = (14) for X.

PROPOSITION In the interval (O.Ơ.), where CT, = min| 1, ơ5}, equation ( 14) has a

Proof According to Chadwick [10], in the interval (0, Ở), equation (13) has a

unique real solution xo corresponding to the Rayleigh wave From (13) it follows that ỉ0e (0 ,ơ t) By (5), < < 1, and hence (0,a*) c (0, Ở) Thus, in the interval (0,ơ*), equation (13) has a unique real solution Jto, and since in this interval equations (13) and (14) are equivalent, the proposition is established.

For the values of a and y such that Qf#y, equation (14) may be written

Fi ( x ) = x ĩ + a2X2 + a\ x + ao = 0, (15)

where

arơ2á2 aơSịơS + 2) a —ì + a ơS

a0= — , a\ = - — - , a2= - — - (16)

ỵ — a a — Y y — a

From (15) and (16), we then have

a ĩ ẵ* y - Ơ2S2(S — 1)

F,(0) = ^ — , F|(l) = ^ - A F| (ơ S) = v - ■ (17)

Y — a Y — a y — a

Let £ denote the three-dimensional Euclidian space of points (a, y, S) and let

M = M(a, y,S) denote a point of £ We define the following subsets of £:

í ] = | M e í : t t >0, ỵ > 0,0< k l | ,

= ( M Í2 : a > y ) , a < y \ ,

£^3 = [ M e Í : a = y }, ÍỈ4 = [ M í ì | : Y ^ }> Í25 = (M e í | : 0< Y < 1}.

Í2|ịậ = [M €ÍỈJ: d < 0}, £1\ = {M e£l \\ a \ , d >Q),

í i = { A / e í i : o f < l , í / > , (Of— l ) ỵ + a S > ) ,

Í214 = {M 6 f? |: a < 1, d > 0, (a — )y +2aS < 0),

E = ( M e f i |: d = 0), Ei = [A /eE : (a - l)y + 2aS > 0},

£2 = [ M € L : ( a - \ )y + o t & < } ( )

In (18) we have used the notation

d = áị — 3ứ|, (19)

where a\ and Ũ2 are given by (16) Note that 4d is the discriminant of the quadratic F[(x) Thus, when y /o r and 0, /•'lOO is a monotone function and equation (15) has a unique real root Note also that fl] > in Oj and that Ũ2 = when (a — l)ỵ + 2aS = 0; therefore, for a point M eĩ ì ị such that (a — l)y + 2tt<5 = 0, d < 0, i.e M € £21 I and hence M ặ E.

We now state a theorem concerning a formula for the Rayleigh wave speed. THEOREM I In the region Í2* = £2|| u £2|2u ft|3 u S i, *0, and hence the Rayleigh wave speed c, with V0 = pc2/c55 is given by

150 Pham Chi Vinh and R w Ogden

T ot — +2ữơS .1/ "" _ r— ỉị _ ^

pc-/css = — ————— + sign(-i/)Jsign(-</)[/? + VD] - V -/? + V£), (20)

Rayleigh Wave Speed 151

where the (complex) roots take their principal values, the principal argument of a complex u\ Argiu, is taken in the interval ( -7T,7r], and R and D are given by

R = (9a\ai — 27ao - 2aỊ) /54,

D = (4aoaỊ - ị a ị — 18aoa|fl2 + 27aổ + 4aj*) /108, (21)

in terms of ao,ứi,ứ2» as defined in (16).

For the ca se o f an isotropic m aterial we have C|| = C33 = Ằ + 2/z, C55 = /X, C|3 = Ằ and hence a = 1, <5 = ỵ ( l - ỵ ) , Y = 0 < Y < /4 , where X and ụ are the

Lamé moduli From these and equations (16), (19) and (21) we obtain d = 48(ỵ - 1/6), /? = 8(45ỵ — 17)/27,

D = 64(11 — 62y + I07y2 — 64ỵ3)/27 (22)

Using (22) it is easy to show that formula (20) reduces to Malischewsky’s formula given in [3], namely

pc2/M = I {4 - + s i g n [ M ^ ) ] ^ Ĩ M ^ Ỡ Õ Ị , (23) where the functions hj(T}),i = 1, 2, 3,4, are given by

h\(i)) = 3\/33 — 186r? + 321 r]2 — 192rj3, /12(77) = 45q — n + h\(r)),

hi(n) = \ -4ĩ>ĩ) + h\{ĩ)), h4(r]) = - r ] + i / 6 (24)

with T) = y in our notation.

We also note that (23) can be rewritten in the form (20) in the region 0)„ = { M : 0 1 = 1, = ỵ ( l — ỵ ) , < Y < /4 } c fi*, in which c $ $ = fí, y = ĨÌ and d, R and D are

specialized according to (22) Thus, the form of (23) does not change when passing from ù)t to Í2*.

In order to prove Theorem we need a number of lemmas. LEMMA (a) S n í = 0,- (b) E n n = 0; (c) E n f t = 0.

Proof, (a) This follows immediately from the definitions of £23 and E (b) Since £J| < in ÍÍ2 it follows that d > VA/ Hence the result, (c) From (17), since

ơS < 1, equation (15) has at least two distinct real roots when M €£24 But, for d = 0, F|(a) is monotonic so that the result is established.

From Lemma 1, therefore, the surface £ is located in Q5 We also note that the

set E2 is in ^5, with the values o f a necessarily restricted according to < a < 1.

We now introduce the sets defined by

f 2j j = [M : a 'ỷ 1, < y < , < <5 < 1, d > 0},

£2(p = [M : a > i , a > y ^ 1,0 < < 1, d > 0},

Í2** = ÍỈ(,2) U Í2|3 (25)

It is clear that S2i2 = and from (17) we have

152 Pham Chi Vinh and R w Ogden LEMMA The set fi** is a connected set.

Proof Let G(ao) be the intersection of with the plane P(ot(j) defined by

a = a o > , where a0 is a constant Then, ÍÌ** = Ua0>oG(ao) We shall show below that G(aro) defines a region in the (s , y ) plane, as illustrated as in Figure 1.

From Figure we see that G(ữ0) is a connected set, and G( ao) contains the set defined by

T (aro) = [ M € G(a o): 2/3 < <5 < 1, < ỵ < iíũ ío ^ ỉ 0 < ỵ < Gio if < ao < 1}. (27) It is clear that the strip U a o o ^ ^ o ) *s a connected set Thus, two arbitrary points and Mi ( a2 ,Y2 , h ) in Í2** can be connected by a simple curve M1M3M4M2, with M3 e T{a\), M4 € T(), M13 € G(ữ|), M2M4 € G(q?2) and 3M4

in the strip Hence, the set Í2** is connected.

We now establish the properly of G(ao) stated above Let £2|(ao) denote the inter­ section Í2| n /J(ũ'o)- From (16) and (19) it can be seen that, in Í2i(ữũ) the equation

d = 0 may be written as a quadratic equation for y, namely

g( y) = [(»0 - )2 + 6at08] y2 - »0^(4 - 3ổ + 2a0)y + a ị s2 — 0, (28) where s € (0, 1) is considered as a parameter and d > if and only if g( y) > We denote the curve (28) in the (<5, y) plane by r(Qio).

We note the following facts, that may easily be verified.

(i) For any given positive value of a0> equation (28) has negative discriminant for <5e(2/3, 1) and therefore has no real solution for such values of s On the other

hand, it has tw o distinct positive real roots, d enoted Ki , y2( > y i ) , for s ( ,2 / ) ,

and has a unique (double) positive real root, denoted yo, when 8 = 2/3.

(ii) The curve r(oro) is located in i25(»o) = ^5nP(Qio) (according to Lemma 1), and it is a continuous curve.

(a) (b) (c)

Figure I Plot o f the curve (1 = 0, i.e r(ữ0) in ( ỗ ỵ ) space with Y (vertical axis) against s (horizontal axis) for (a) a o > l (b) « = (c) < o r0 < l In (a) and (c) the curve encloses Ihe region < !< {): in (b) the curve and the Y a x >s enclose the region d < In (c) the line defined by (a (, - l) ỵ + a 0á = is also shown; it cuts the curve d = at its m aximum point ỗ = ỗ(, s (1 - Qf0)/2, y = a n Within the square (0, I) X (0, 1) in (a) and (b) the connected region outside the curve i/ = is the set G (a n)

Rayleigh Wave Speed 153

(iii) For oro ^ 1, < Y\ < Yi < for all s € (0, 2/3] Note that g( 1) = («0 - - aoá)2 +

3aro<52 > for all ao > 0, > For < »0 < we have < Y\ < Y2 < oro for all

<5 e (0,2/3], <5/ (1 — ao)/2 When ỗ = ( l —tt0)/2 ỵ2 = “0- The point M(ao, «0, (1 —

<*o)/2) belongs to the line («0- l)ỵ + 2aoỉ = but not to r(Qro).

(iv) For any £*0^ 1, Y\ and Yi tend to zero as Ổ-> For (*0= 1, yi tends to zero

while Y2 tends to as <5->-0.

(v) Clearly, g(y) < for all y € ( y i , y2) This means that, in respect of Figure 1(a)

and (c), d < inside r(ao), while for Figure 1(b) d < in the domain bounded by r(ao) and the Y axis.

The facts (i>—(v) show that the set G(ao) has the structure shown in Figure 1, and the proof of Lemma is completed.

LEMMA (a) Let r = —2R; then r = F\ On), where JtN Ú the inflection point on the

cubic curve y — F\ (jc) (b) When d > 0, F\ (x) has maximum and minimum stationary

points, which we denote by JCmax and JCrnin, respectively, (c) In £2,*, we have

0 < -*max <- ( )

Proof The assertion (b) is clear Using (15) and (21 )| it is easy to see by direct

calculation that (a) is true From (15), we have

When d > 0, F[(x) has two distinct real zeros, namely From (16) and the definition of Q*,, it is clear that the following inequalities hold in Í2,*:

Hence, (c).

LEMMA In Í2„, R < if D^Q,

Proof We note that for all M d ( M) >0 Suppose that there exists a point Mị € ÍÌ** such that £ )(M |)^ but If /ỉ(M|) = then r(Mị) = Since

d{M\) > 0, then by Lemma 3(a) and (b), equation (15) has three distinct real roots

at M\ Thus, by Remark l(iii) below as will be shown shortly, it follows that D < This contradicts the assumption D (A /|)^ Next, consider R ( Mi ) > (and hence r(A /|)< ) If D ( M ị ) = then from d ( Mị ) >0 , (26), (29), Lemma 3(a) and r ( M | ) <

we deduce that equation (15) has two distinct real roots in the interval (0, a*) This contradicts Proposition Thus D( M{ ) >0.

It is not difficult to verify that the point Mi ( l , 3/4, 3/4) € and D( Mi ) < Since M ị , M l e Í2** then by Lemma we can connect M l and Mi by a simple con­ tinuous curve, which we denote by Li2ẽ£2** Since D is a continuous function on Lp and D{M\ ) > 0, D( Mi ) < , there must exist a point M0 € L\1 , M0 Ỷ M \ , Ml such

that D(M0) = and D(M) > for all M e Li0 (except M0) where L10 is the part of L p connecting M1 and M{j Analogously to above arguments, one can see that

F[(x) = 3.V2 + 2aix + ữ|. (30)

154 Pham Chi Vinh and R w Ogden

R does not vanish at any point A/eZ-10 Since R is a continuous function on L|0

and R( Mị ) >0, then R( M) > for all M e L |0 Hence /ỉ(A/o)>0, i.e /-(Mo)<0 This together d( Mo) >0, D( Mo) =0, (26), (29) and Lemma 3(a), (b) shows that equation (15) has two distinct real roots in the interval (0,ƠẬ) But this contradicts Proposi­ tion 1, and the proof of Lemma is therefore completed.

We are now in a position to prove Theorem 1.

Proof of Theorem In terms of the variable z defined by

z = x + a2/3i, (32)

equation (15) becomes

z3- 3<72z + r = 0, (33)

where

q1 = (aị — 7>a\)/9 = d/9, r = - R (34)

By the theory of cubic equation the three roots of equation (33) are given by the Cardan’s formula (see, for example, [12])

Zi = S + \ Z ĩ = - ị ( S + T ) + ụ V Ĩ ( S - T ) , Z3 = - ^ ( + r ) - ^ i ( - r ) , ( 35)

where i2 = — 1,

S = J r + ^/d, T = ^ R - ^ Í D ,

D = R2 + Q \ R = ~ r , Q = - q \ (36)

and D is given by (16) and (21) It is noted that R and D in (36) are given by the values defined in (21).

Remark (i) For the cube root of a real, negative number, we take the real, neg­

ative result, (ii) When D < and hence R + yÍD is complex, then T = s*, where s* is the complex conjugate of s (iii) The nature of three roots of equation (33) depends on the sign of the discriminant D In particular, if D> 0, equation (33) has one real root and two complex conjugate roots; if D = 0, it has three real roots, at least two of which are equal; if D < 0, it has three distinct real roots.

Let zo denote the real root of equation (33) coưesponding to -To (defined in Prop­ osition 1) and the Rayleigh wave speed given by (20) In order to prove Theorem we examine the distinct cases associated with different subsets of

First, we consider £2|| On fill, we have d <0 From (36)3 5, and the fact that D> we have

K + y z j > , - R + y / D> (37) Since D > equation (33) has a unique real solution, namely Z() = Z|, given by (35)I

Rayleigh Wave Speed 155

real root of a positive real number coincides with the principal value of its corre­ sponding complex root, it is clear that inequalities (37) together with (16), (32) ensure that (20) is valid.

Second, on £| we make use of the following lemma. L E M M A O n X i R ^0

This result is established below.

If R < 0, then, by (36)3 5, D > 0, so that equation (33) has a unique real solution

and (20) is valid If R = then D = 0, and it is clear from (35), (36) that equation (33) has a unique (triple) real root zo = and in this case (20) is also valid.

We now show that R ^ o on £{ Suppose that Mo(ao, }U, So) 's an arbitrary point of £ |, so that d(Mo) = If R(Mo)>0, then D(M0) > by (36)3 Since D is a con­ tinuous function in the open set ÍĨ5 D El (according to Lemma 1), and Mo e í ĩ í , there exists a sufficiently small neighborhood Uo(Mo) = ( M : (a - a0) + (y - ỵo)2 + (<5-<5o)2 < K2} of the point A/o, with tc a sufficiently small positive number, such that

Uo(Mo) C&S and D ( M) > for all M eUo(Mo) Defining u = £2«* n Uo(Mo), we have d(M) > 0, D(M) > for all M 6 Ơ, and hence, by Lemma 4, R(M) < for all M eU Since R is continuous on Qs DU, and Mo is a boundary point of u, we conclude that R(Mo)^0 But this contradicts the assumption that R(Mo)>0.

Next, noting that Í2n = £2»* we examine formula (20) on ÍỈ,* and separately.

On ÍĨ**, by definition, d > 0.

If D > 0, equation (33) has a unique real solution, namely Z0 = Z| given by (35)I and (36) Since, by Lemma 4, R < and d > 0, it follows from (36)3 5 that

+ - R + y / D> (38)

Taking into account (16), (32), (38) and the fact that the value of the real root of a positive real number coincides with the principal value of its corresponding complex root, it is easy to see that (20) is valid.

If D = 0, then, by Lemma 4, R < Taking into account (36)3_5, we have r =

- R = 2qĩ (q > 0), and equation (33) becomes

( z - q ) 2(z + 2q) =0, (39)

whose solutions are q (double root) and - q Bearing in mind that equation (15) has a unique real solution in the interval (0, Ơ*), it follows from (26)| and (29) that the Rayleigh wave speed is determined from the smallest real root of (15) in this case,

and thus Jo is the sm allest real root o f equation (33), i.e zo = - q and (20) is appli­ cable.

In the case D < equation (33) has three distinct real roots, and hence so does equation (15) From Proposition 1, (26)I and (29) it is clear that Vo is the small­ est real root of equation (15), and thus zo is the smallest real root of (33) When

D < the three real roots of (33) are given by (35) and (36), in which complex cubic

is the smallest real root of (33) Throughout the remainder of this section, for sim­ plicity, we take the complex roots as their principal values.

From (36) we have

156 Pham Chi Vinh and R w Ogden

S = j R + i J - R * - Q \ T = s*. (40)

Let 30 denote the principal argument of R + \ s / - D Since s / - D > 0, 3ớ e (0,7r), and the phase angle corresponding to the principal value of s is 0e(O,7T/3) From (40) this implies that |S| = Ợ, and hence s and T can be expressed as

s = q é e, T = qe~'9, (41)

where e ( , 7T/3) satisfies the equation

cos 30 = - r /2 ợ 3, (42)

which is obtained by substituting Z = s + T = ợ c o sớ into equation (33) N o te that

D < implies that \—r / 2qĩ \ < 1, which ensures equation (42) has a unique solution

in the interval (0, ;r/3).

From (35) and (41) it may be verified that

Z \ = q c o s , z2 = 2<7COs(ỡ + tt/3 ), Zì = 2q cos(ớ + 47T/3) (43)

With reference to (43), taking into account that 6 € (0,7T/3), it is clear that Z\ >23 >22 i-e Z2 is the smallest real root of (33) Therefore,

Zũ = 2ợcos(ớ + 27t/3 ) (44)

It is dear that to prove (20) for the case d > 0, D <0, we need the equality

- j - R + y / D - J — (R + y/~D) = 2q cos(ớ + tt/3 ), (45)

where the roots are complex roots taking their principal values Indeed, we have Arg(tf + \f~D) = 3ớ, A ĩ g ( R - T / D ) = - , 3Ớ e (0 ,7T) being the solution of (42) Thus, Arg[—(/? + \/ỡ )] = 3ớ — It, Arg[—(/? —>/D)] = —30 + 7T Note that by Argu,' we denote

the principal argum ent o f the com plex number UI Since \ R ± y / ĩ \ = q ỉ it follow s that

j - ( R + vrD ) = q& 7r/3), ỳ / - ( R - V D ) = q e l- e+n/ĩ) (46)

From (46) it follows that:

(47)

—\Ị — R + 'J~D — \ j - ( R + -Jd) = - q cos (ỡ - 7T/3) = 2q COS (6 + 277-/3)

and (45) is established.

On f i(j2 we have y ^ 1, and hence 0<ơ+ < 1, and from (17) we have

F | ( ) < , F | ( , ) > , F | ( K i n i ^ (48)

It follows from (48) that on b * (15) has at least two distinct real roots, and therefore

D ^O and, on account of Proposition J, -To is the smallest real root It is noted that

Rayleigh Wave Speed 157

analogous to those used for Í2,*, for which d > 0, D ^0, one can see that formula (20) is valid in £2(,2, and the proof of Theorem is completed.

Finally in this section, we illustrate the dependence of the wave speed on the parameters a, y, s in Figure 2, in which p c 2/c$s is plotted agi- nst y > for several

values o f a > and on e value o f s (results for other values o f s are very sim ilar)

These are the continuous curves Also plotted, for comparison, is the corresponding result for an isotropic material (dashed curve), for which a = 1, < Y < /4 and & depends on y This crosses the a = i curve at values of Y corresponding to (5 = 0.8, which are marked by the bullet points For the isotropic case the left-hand limit

( y = ) c o e sp o n d s to incom pressibility.

4 Alternative Formulas

4.1 The Region f i | ux;2

THEOREM In the region Í2|4U £2, -*0 and hence the Rayleigh wave speed, is given by

xo = p c 2/css = - + ^ R + V D + ỳ / R - ^ D , (49) 3 ( a - y )

where the (complex) roots take their principal values, the principal argument of a complex number is taken in the interval ( -7r, 7r], and R and D are given by (16) and (21).

To prove Theorem we need the following lemmas.

Figure Plot o f the curves p c 1/ ^ against y for <5 = 0.8 and a = 0.2, 1, 10, 100 For other values o f

Rayleigh Wave Speed ] 59 (b) on ÍĨ3 the Rayleigh wave speed is given by

, ỗ(ơỉ + 2) — 5-v/ơ(ơẵ2 + — 4ỗ) ,

pc 2/ c $s = — - ’ ■ - for ỵ + 2Ổ - / (54)

2 (y + 28 - 1) and

pc2/cis = (ơ - l)/(ơ + 3) forỵ + - l = (55)

4.3 A Formula Using the Second Valuesof Cube Roots

Let w be a nonzero complex number with its principal argument taken in the interval [0,2»), i.e x; Ar^ U) ^ 2jt Let ĨĨ dnd ÌĨ1 be ^1V6T1 integers such tlicit n ^ 2, ^ ỉtĩ ^ ĨỈ We define the m th value of the complex root of order n of w, denoted ml/w , by

/— /— fArgw (rn - 1)27T 1

"X/uJ= vTui|exp i —— - -Ị (56) Corresponding to the value ffl= l we have the principal (first) value of the order-n root In this subsection, by using the second value of the complex cube roots, we obtain an alternative formula for the Rayleigh wave speed in the region £2*.

Remark From the definition of the m th value of the complex root of order n

of a complex number, it is clear that the second value of a complex cube root of a negal ve real number coincides with its real cube root.

THEOREM In the region £2*, X o, and hence the Rayleigh wave speed, is given

by

*0 = p c 2/ c ss = a ~ * + 2aơ& + sjgn(d) Vs\gnịd)[R + sfD] + \ j R - \ / d , (57) 3 ( a - y ) Y

where the (complex) cube roots take their second values while the square (complex) roots take their principal values, the principal argument of a complex number is taken in the interval [0, 2n), and R and D are given by (16) and (21).

Proof Analogously to the proof of the Theorem I, we consider Theorem on

each subset of the set Í2*.

First, we consider ÍZi'| As is known from Section 3, on fill d <0, D > and - ( /T + v > ) < , R - y / D < (58) Since D > equation (33) has a unique real solution, namely zo, given by (35)i and (36), the radials being understood as real roots Noting Remark 2, it is clear that inequalities (58) together with (16) and (32) ensure that (57) is valid.

Next, consider E| By Lemma 5, on Li R ^ If R < 0, then, by (36)3 5, D > 0,

and hence equation (33) has a unique real solution and (57) is again valid If R =

then D = 0, and it is clear from (35) and (36) that eq u ation (33) has a (triple) unique

160 Pham Chi Vinh and R w Ogden

Third, we consider íỉ„ For D ^ o , the proof of (57) is analogous to that of (20) for D 'ỷ 0, and we use Remark For D < 0, as is known from Section 3, in this case equation (33) has three distinct real roots and among them Zo is the smallest real root When D < three distinct real roots of (33) are given by (35) and (36) with complex cube (square) roots taking one of three (two) possible values such that T =

s* Throughout the remainder of this subsection, the cube (square) roots take their

second (principal) values It is noted that if ArgS = €[0, In) then ArgS* = 27T - 6

Analogously to Section 3, we also have

Z0 = 2<?cos(ớ + 2;r/3), (59)

where 6 6 (0, n / 3) is the solution of equation (42).

It is clear that to ensure (57) is valid we have to show that

/ ' R + J~D + j R - V d — 2q COS (6? + 2jt/3) (60)

Indeed, we have Arg(/? + \Td) = 7>0, Arg(/? - yfD) — 2n - 39 Thus, by (56) ý R + ự D = qel{0+2ĩr/ĩ\ ÌỊr- s/d = ei(4’r/3"9) = qe~,aw/ĩ+e) (61) and (60) follows The proof o f Theorem is completed.

For isotropic materials, taking into account (22), equation (57) reduces to p c2/ ( ± = J Ị4 — s i g n [ / i4(rj)]>ỵs i g n[ / i4( ^ ) ] ( l — 45r ] — h \ ( ì ] ) ) + Ợ A 5tị - - / i | ( ỉ j ) Ị , ( )

where T) = n / ( k + /i), < r / < / ) , h\(ĩì) and /1 4(77) are given by (24) and the cube

roots take their second values.

Together, the formulas obtained by Pham and Ogden [4] and Malischewsky [3] provide alternative formulas for the Rayleigh wave speed for compressible isotropic elastic materials.

In conclusion, we emphasize that the results obtained in this paper can be used for other types of anisotropy Indeed, Royer and Dieulesaint [11] have shown that with respect to surface (Rayleigh) waves, the results established for the orthotropic case may be applied to 16 different symmetry classes, including cubic, tetragonal and hexagonal anisotropy.

References

1 R ahm an M and Barber, J R , ‘ Exact expression for the roots o f the secular equation for R a y ­ leigh waves’ , A S M E J Appl Mech 62 (1995) 250-252.

2 Nkem zi D., ‘A new formula for the velocity o f Rayleigh waves' Wave Motion 26 (1997) 99­ 205

3 M alischewsky, P.O., ‘ Com m ent to "A new formula for velocity o f Rayleigh waves” by D Nkemzi [Wave M otion 26 (1997) 199-205]’ , Wave Motion (2000) 93-96.

4 Pham c v and Ogden R.W., ‘On formulas for the Rayleigh wave speed’ Wave Motion 39 (2004) 1- 19

5 M alischewsky Auning P.G 'A note on Rayleigh-wave velocities as a function o f (he material param eters’ , Geofisica International 43 (2004) 507-509.

Rayleigh Wave Speed 161

7 D eslrade, M , ‘ R ayleigh waves in symmetry planes o f crystals: explicit secular equations and some explicit wave speeds’ , Mech M aterials (2003) 31-9 Ogden, R.w and Pham , C.V., ‘On Rayleigh waves in incompressible orthotropic elastic solids'

J Acoust Soc Am 1 (2004) 530 -533.

9 Pham , c.v and Ogden R.W , ‘ Form ulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic sol­ ids’, Arch Mech 56 (2004) 247-265.

10 C hadw ick, p., ‘The existence o f pure surface modes in elastic materials with orihorhom bic sym ­ m etry’ , J Sound Vib 47 (1976) 39 -52.

1 Royer, D and Dieulesaint, E , ‘ Rayleigh wave velocity and displacement in orthorhom bic, tetrag­ onal, hexagonal, and cubic crystals', J Acoust Soc Am 76 (1984) 14 38 -14 4

Page o f 2

:£ ^ e ;w p ' f e« * s I Articles

> Home / Publication /

Issue

Is s u e 15 of 511 Previous Issue Next Issue Articles to o

Firs' ‘'-fir Prg%i:‘ i:fi p - !-e Nlixs p-n-tir

L i n k i r y O p t i o n s

Quick Search S c a r c h w ith in th i

For

oe a ic h I Itle, A note on a correspondence principle in nonlinear (L47 - L52)

visco elastic materials

K R R a:a go pa l and A R Srinivasa DOI 10 1007/s 70 4-00 5-2 59 9-6

Fracture a n alysis of magnetoelectroelastic so lids by using (311 - 335) path independent integrals

w Y Tian an d R K N D R ajapakse DOI: 1007/s 70 4-00 4-5 10 3-9

Effects of fiber anisotropy on the m icrobuckling loads for a (L53 - L59) fiber composite

Y L a p u sta and w W a g n e r DOI 10 / S 10 -0 - 0 -

Validation of the state-space model of fatigue crack growth (337 - 349) in ductile alloys under variable-amplitude load via

com parison of the crack-opening stress data K jv in d r a P a ta n k a r and Rong Cu

D O i 10 1007/s - 0 - ^ /

Transform ation toughening behavior of two edge cracks (351 - 366)

emanating from a circular hole in zirconia ceram ics J Luo and z M X ia o

DOI 10 1007/s 10704-004-5678-1

Interaction between a cracked hole and a line crack under (367 - 384) uniform heat flux

S t i l l ciI Auth Sf.ai ;h Fullt- Search DOI Export Selected Citations: RIS I Text

Select All Unselect All

International Journal of Fracture P ublisher S pringer N e th erland s

ISSN: 0376-942S (Paper) 1573-2673 (O nline; Issue; V olum e 131 N u m be r

Date February 2005

Page o f 2

Pham Chi Vinh, Norio Hasebe, Xian-Feng W ang, T a ka h iro S aito DOI 10 Ũ /S 10704-004-7133-3

Wood: a quasibrittle material R-curve behavior and peak (385 - 400) load evaluation

Stéphane Morel, Nuno Dourado, Gérard Valentin DOI: 10 1007/s10704-004-7513-0

Underpinning of a sim ple blunt flaw fracture initiation (401 -405) relation

Edwin Smith

DOI: 10 1007/s 0704-004-8143-2

Frequently asked questions I General information on journals and books

© Sprm qer Part o f Springer Science+Business Media I Privacy Disclaimer Terms and Conditions © C o p yn g

Rerrot J / ,d j;e si 203 150 í • Ser-/sr f'.'ìP'.'Vĩữ1ó

368 p c Vinh et al.

Figure I Superposition o f problems.

infinity The interactions of a hole and a rigid inclusion, respectively, with a crack were considered by Hasebe et a]., (2003a) The problem of a crack initiating from a rigid inclusion interacting with a line crack was also solved by Hasebe et al (2003b).

It is known that when steady heat flow is disturbed by the presence of crack, there is a high local intensification of temperature gradient at the crack tips and large thermal stresses arise around them Thermal disturbances of this kind may, in some cases, cause crack propagation resulting in serious damage to structural components Consequently, the study of the behavior of thermal stresses near the crack tips is of importance in fracture mechanics.

The aim of this paper is to investigate the interaction between a cracked hole and a line crack under uniform heat flux The hole edge and the faces of the cracks are assumed to be adiabatic and traction free The problem to be considered is shown in Figure la It is clear that the original problem A can be reduced to three following problems by the principle of superposition:

Problem B: Problem of the hole with an edge crack under uniform heat flux (Fig­ ure lb).

Problem C: Problem of the hole with an edge crack under distributed temperature dislocation along the line crack surface (Figure lc).

Problem D: Problem of the cracked hole under distributed edge dislocation along the line crack surface (Figure Id).

Interaction between a cracked hole and a line crack 369

problem c (D) can be reduced to a problem named problem E (F), in which the cracked hole sụbjected to a temperature point dislocation (an edge point dislocation) placed at some point on the crack line AB After problem E (F) is solved, the solu­ tion of problem c (D) can be obtained by integrating the Green’s functions of prob­ lem E (F) along the line AB By summation of the solutions of problems B, c and D, we can ascertain problem A’s solution, in which there are two unknown functions: the distribution density of temperature dislocation along AB (coming from prob­ lem C’s solution) and the distribution density of edge dislocation along AB (com­ ing from problem D’s solution) These functions are determined from the singular integral equations which are derived from the adiabatic and traction-free conditions along the faces of the line crack AB Finally, by numerical integration of the singular integral equation, stress intensity factors (SIFs) at crack tips are obtained It is inter­ esting to find that the interaction between the cracked hole and the line crack under uniform heat flux can lead to the vanishing of the SIFs at the hole edge crack tip The fact has never been seen for the case of a cracked hole and a line crack under remote uniform tension.

2 Rational mapping function

As mentioned above, the rational mapping function technique is used to deal with the cracked hole with arbitrary shapes in an infinite plane In the computation, we will consider a cracked elliptical hole and a cracked square hole as examples Here, with­ out loss of generality, the general form of rational mapping function is given (Hascbe and Ueda, 1980; Hasebe et al., 2003b):

which maps the exterior of the cracked hole in the z-plane onto the exterior of the unit circle in the g-'plane as shown in Figure Here £ _ |, Eo, Ek, Sk(k= 1,2, 3, , N) are complex constants and |f*| < for all k = 1, 2, 3, , N It should be noted that other configurations can be readily tackled using this general formulation Taking Eq^O and Ek — (k = 1, 2, 3, , AO in (1), the mapping function is reduced to the one for a circle.

Likewise, when Eo = (a +b ) / and E\ = (b — a ) / 2, i i = and Ek = {k = 2, N) are

taken, the m apping function is for ellipse with sem i-axes on the X and y-axes being a and

b, respectively. 3 Basic formulae

3.1 Te m p e r a t u r e f i e l d

In the f-plane, the temperature function 6 (g, Ỵ) for the two-dimensional steady-state

thermoelasticity satisfies the Laplace equation Thus, the temperature function can be expressed as the real part of an analytic function K(s-), which gives temperature and heat flux (Hasebe et al., 1988; Han and Hasebe, 2001) as:

(1)

370 p.c Vinh et al.

z - plane

y

a

1 - plane

Figure Rational mapping functions for a cracked square hole and a cracked elliptical hole.

?"'(?) , , „

qfl- i q H = — — — -(qx - i q Ỵ),

(ff)l

(3) (4) where qx and qy denote the heat flux components in the V- and 7-axes, respectively,

qn and q» represent these in the orthogonal curvilinear coordinates generated by co{g), and k signifies the thermal conductivity of the material Also the heat flux

boundary condition is given as follows:

- k { Y ( o ) - Y { o ) ]

- * / qn{a)ia + const., (5)

where Ơ and qn denote a value of g and the normal heat flux component on the boundary, respectively, and the integration is carried out along the boundary From (5), the adiabatic condition (<7„ =0) along the boundary is:

Y(ơ) - Y(ơ) = const.

3.2 Thermal stress h e l d

(6)

Employing complex functions <p(g) and \Ịf(g), the stresses in the elastic body are (Muskhelishvili, 1963):

ax +Ơ, = 4Re

V ( ? ) J ’

7y - a t + ÌT„ = ^ Ã T ) (p Ệ ^ + Ỷ'(g) /co'ig).

(7)

Interaction between a cracked hole and a line crack 371

Oft + p = x + y , (9)

( 10)

The stress boundary condition is written as:

ộ(ơ) + ^=Lự>'(ơ) + Ỷ(ơ) = iJ (Px + Í Pv )d s + const. (11)

where px and P y denote external force components applied to the boundary in the V- and ^-directions, respectively.

Using the complex stress functions ộ{q), ir(s) and the temperature function Y(g), the displacement expression can be put into the following form:

where G is the shear modulus, K and a' are: K — - v , a' = (l + v)ữ for plane strain and K = (3 — ư)/(l + v), a' —a for generalized plane stress; V and a are Poisson’s ratio and the coefficient of thermal expansion, respectively.

4 Solution of problem B

4.1 T e m p e r a t u r e h e l d

Consider the heat conduction problem shown in Figure lb, in which q is the inten­ sity of the uniform heat flux; s is the angle between the direction of the heat flux and the x-axis Herein the hole edge and crack faces are assumed to be adiabatic The temperature function Yb(^) of problem B can be broken down into two parts:

where the first function denotes the one induced from the uniform heat flux; the sec­ ond one denotes the complementary part From (3), function KibÍsO can be obtained:

oj(c)— —

-K ệ { c ; ) - ^ ằ ± ộ ' ( g ) - Ỷ { s ) + 2Ga' Y (g)co'(g)dg = 2G(u + iv)

v ’(s) J ( 12)

(13)

Y ^ ) = - q-e-^oj{g) k

Substituting (13) and (14) into (6) yields:

( )

^2B(ơ) - K2B(ơ) = - e ~ lScư(ơ) - ị e lSu>(ơ) + const

k k ( )

4.2 T h e r m a l s tr e s s h e l d

The stress function for the thermoelastic problem can be split into two parts: a non- holomorphic part [</>ib(í) iAib(S')] and a holomorphic part [02b(?) ^BÍS-)]:

0b ( í ) = 0i b ( í ) + 2b ( í ) ,

ỷ b ( ĩ ) = ỷ i b( ĩ ) + ỷ2b(s)- ' '

The last term of the left-hand side of (12) denotes the thermal displacement This integration contains logarithmic term which represents dislocation in the thermo­ elasticity To remove it, we consider the following stress functions 0ib(<t), 'Aib(s) (Florence and Goodier, 1960):

0ib(s-) = Ab logs’, VfiB(S’) = BBlogS’, (18) where the constants AB and fiB are determined using the conditions that the stress and the displacement components around the hole are single-valued Substituting (17) and (18) into (1 1), and using the stress single valuedness condition, we have

Bb = Ảb (19)

Next, substitute (17) and (18) into (12) Multiple values of logarithmic terms must be cancelled due to the single-valuedness of displacement Consequently, the constant

Ab is determined as:

372 p.c Vinh et aỉ.

where R = (1 + v)/(l - 1>) for plane strain and /? = (l + u) for generalized plane stress. Now we consider the boundary condition to derive the holomorphic functions

02b(?) and ỶỉBÌĩ)- The hole edge and crack faces are assumed traction free without loss of generality, i.e., px - p y = Substituting (17) into (11) yields

Multiplying (21) by the factor ảơ/[2ni(ơ - f)] and carrying out the Cauchy integra­ tion along the unit circle, we obtain Ộ2b(ĩ) as:

in which Bk = Ek/co'{g'k) with gi = \/ệk and Ak =ộ'2B{g'k) Here the real and imagi­

nary values of Ak are determined by the simultaneous equations of 2N derived by differentiating (22) and substituting g = sỊc.

Thus, the stress function ậs(g) is (Hasebe et a]., 1988):

( )

<p 2b(ơ) + (21)

(2 2)

, \ - AkBk 2 ^-7, BkSk

ộ B(g) = AB log ff + J 7T7 + 2^ Z 7

*=1 ? « *=| 5

Interaction between a cracked hole and a line crack 373

The stress function Ỷfí(g) can be derived by analytic continuation along the free- traction boundary of the unit circle Indeed, by introducing the following function:

„ co(c) -

-0B(O = _ W ) g e S - = { g : \ g \ <l ) (24) from (11) with regarding px = py = on the unit circle and (24), we have

<Pữ(o) = ệ - ( ) , ơ € r = ( ? : M = l } (25)

This means the function <Pb(s), g e s~ is a continuation of the function 4>b(£), g <E s + = ( í : I S'I > 1} fr°m the outside of the unit circle to its inside From (25) it follows:

ịAbCs") = — 0b( /s-> — - T T T ^ b( S ' ) ’

co'(c) (26)

5 Solution of problem c

Consider an infinite plane with a cracked hole subjected to distributed tempera­ ture dislocations along the line crack surface, as shown in Figure lc The hole edge and crack faces are assumed to be traction-free and adiabatic As previously said, by means of the principle of superposition, problem c can be reduced to a problem E, in which the cracked hole subjected to a temperature point dislo­ cation placed at some point Zo (= <ư(go), 50 is a point in the <-plane correspond­ ing to Zo) on the line AB To solve problem E, we need to find the Green’s function for the temperature field, as well as the stress field of the cracked hole under a temperature point dislocation After problem E is solved, the solution of problem c can be obtained by integrating the Green’s function along the line AB.

It is not difficult to verify that, for the temperature field, the Green’s function of problem E for a couple temperature dislocation is (Hasebe and Han, 2001):

Ye(s) = ~ Ink

II? 7Ĩ

» = ị + p (27)

where k is thermal conductivity of the material, p is the angle between the line AB and the x-axis, r denotes the magnitude of the couple temperature dislocation, and

So = w _ l (zo) gp = l / ?

-Next, for the stress field, the stress functions 0 e ( ? ) and ịAeCs") for problem E can be expressed in the following form:

(28)

0e(sO = Ie( ? ) + 2e( ? )

= ÝiEÌS) + ỷ2e(s)<

where ệ i í ( g ) and Ỷ2t ( s ) are holom orphic in s + : Ội e( ?) and Ỷì g) are expressed as (píĩ) = - J r lo g (? - So) + Ae log

V/.EÍ?) = - £ l°g(f - so)+ + ỠE log ? (29)

with c = %Ệ!ựỊjeit> and Aelogs’ and logs’ are functions to cancel the dislocation of both stress and displacement around the hole Substituting (28) and (29) into (1 1),

and m oving around the unit circle once, the requirement that the stress are single val­ ued around the hole gives

Be = Ăe (30)

Substituting (28), (29) and (30) into the displacement expression (12), after mov­ ing around the unit circle, the displacements must recover their initial values This requirement fixes the constant Ae in the following expression:

c A Ek c E o d

+ (31)

l n fr i w (io)(ffo - Sk) 2 n W'(?0)

On account of (28), the traction-free boundary condition (11) is of the form: e ( ) + = 2 ự > ;E ( ) + ựr2 E (ơ ) = - i e ( ) - ^ Ằ ệ \ E( ) - ỷ\e(ơ). ( )

w \a )

For obtaining 02e(<T), we substitute (29) into (32), multiply both sides of the resulting equation by the factor á / [ ĩ t i ( a — £■)], (g- G s +), and carry out the Cauchy integra­

tion along the unit circle Using the following:

(i) The function (cư(g)/ã)'(ỉ/g))ộ'2B(l / g) is holomorphic in s~ except the points

$•*(& = N), which are poles with the principal parts: 'Ạ1

(ii) The function (co(g)/ũ>'(ỉ/g))<ị>\E (1/?) is holomorphic in s~ except the points

gk ( k= 1, , N) and gp, which are poles with the principal parts, respectively, being:

Ek rc and ,33,

2 ĩ ĩ c o '(go) Í

v ' ( s ’k)(s - it) L2jr

and taking 4>2e(oo) = £ log(-io), we obtain the function 02E(?) as:

c

c , / _ \ A Ek - log - - go + > —

-V? ' *=| <"'(&')(?-?*) c [co(so) -t oi Sp)] s 2p

ự>2E(?) = ^-log'{ -2- s o —

S p - Sk

I L (34)

271 aj’(go)(g - g,,)

Interaction between a cracked hole and a line crack 375

Similar to Section 4, the stress function ỷ e(s) can be derived directly by analytic

continuation along the traction-free boundary as:

* E ( f f ) = - Ã Ỡ / f f ) - ^ í * Ê ( f f ) ( )

it/(c)

As previously stated, by means of the principle of the superposition, after problem E is solved, the solution of problem c is obtained by using the Green’s functions Ke(s-), and </>e(?) and ỷ e(s), respectively, along the line AB (see Equations (45) and (48)). 6 Solution of problem D

Problem D is shown in Figure Id, in which an infinite plane having a hole with an edge crack is under distributed edge dislocations along the line crack AB The hole edge and crack surfaces are traction-free Naturally, by means of the principle of superposition, problem D can be reduced to a problem F, in which an edge point dislocation with magnitude D is placed at a point £o (=co(?o)) on the line AB Simi­ lar to the previous sections, the Green’s function of problem F: <pp(g) and iAfC?) can be found in the form:

Ộf( S ) = Ộ \f( S ) + Ộ 2f( S ) ,

'I'f(s) = ỷ ì f(s) + ỷ ĩ f(s)'

where 02f(?) and Ỷ2FÌs) are functions holomorphic in s +and (Hasebe and Chen, 1996):

(38)

D D ( v ( s o )

Ỷ Ìf ( ? ) = - r - log(? - g o ) +

2n 2jt a>'(so)(s - So)

From (37), the traction-free boundary condition (11) for problem F is of the form:

a > ( o) —— — - — —— w { a )

-+ —— (pyp{ ơ) + Ỷ2FÌƠ) = - > ì f ( ) - ■■-ộ'iF(ơ) - iAif(ơ) (39)

c ) ùf(ơ)

Multiplying both sides of (39) by the factor dơ/[27TĨ(ơ - £-)], (g- € s+), and carrying out the Cauchy integration along the boundary yield the result of Ộ2f(s)- Similar to the procedures used in the section 5, we obtain:

/ \ N

4>2f(s) = r - log ( - - fo ) + £ = T =\ g / “ aj'(sl

E k

)(? -? * )

D

271 SO - St D [q ;(g -o )-C L > (g -;,) ] g -

+ n a / (£•<))( S’ - i> )

(40) It should be noted that the real and imaginary parts of ộ'2p(g'k) in (40) are deter­

376 p.c Vinh el a i

and substituting g = q'k Taking into account (37), (38) and (40), the function <pF(g) is obtained

N

^(<r) = £ = &iĩi£k) + D _ 1_ ĩ * ữ>-ỈÍ. k=1 v ' i s ' k K i - s t )

D [w (? o )-w (fp )]d D D /1 \

+ ^ " ^ k ^ T “ ẽ ,08(s a ) + s 108 ( 7 - ■ (4,)

The stress function ựrpCs") is derived directly by analytic continuation along the traction-free boundary of the unit circle as:

(42) By means of the principle of superposition, the solution of problem D can be obtained by using Ộf(s) and ỷ f(s), respectively, along the line AB (see Equation

(48)).

7 Solution of problem A: Integral equations

The original problem A can be reduced to the superposition of three subproblems B, c and D which have been studied in Sections 4—6, respectively Thus, from these results, the solution of problem A is derived as follows:

Temperature function:

y(?) = yB(?) + J/c(?) (43)

where Kb(S') is defined by (17) and yc(<r) is obtained by integrating Kn(g-) with corresponding density along the line AB.

Stress functions:

<t >( g) = </>B(f) + c (? ) + d ( í)

(44)

Ỷ ( s ) = Ỷữ( s) + Ỷ c i s ) + ỷ d(ĩ),

where ỘBÌg) and are defined by (23), (26); <pc(ĩ) and Ỷc(ĩ ), and 00(5") and i/ídCs-) are obtained by integrating the Green’s functions 0 e ( S " ) and Ỷĩ (g), and <pp(g)

and respectively, along the line AB.

It should be noted that in (43) and (44), there are still two unknown functions n o and D{t) Therefore, in order to calculate the solution of problem A we need

to find eq u ation s (singular integral equations) for the unknown functions: the distri­ bution density of the temperature dislocation ỵ(f)d/ = dr(/) and the density of edge dislocation D(t) From the adiabatic condition along the crack faces expressed by (6)

and (43), the following singular integral equation for y ự ) is derived:

Im

I, the following singular integral equ

■ h h

ị ỵ(í)KE( j ,r ) d f - Ị ỵơ)*E(ío.O]dí

r-h -h .

L-b

Interaction between a cracked hole and a line crack 111

y(t) = Vb2 - t 2G(t) (46)

where G(f) denotes an unknown function By the transformation of integral variable

t = - b cos e and the standard integral method, the unknown function G(t) can be

obtained numerically (Erdogan, 1969; Erdogan and Gupta, 1972). We define the edge dislocation densities as (Chen and Hasebe, 1992):

"2.G d

M O = j = n , T (47)

From the traction-free condition ( p x = P y = 0) on the line crack surfaces, represented by (1 1), the singular integral equation for the determination of hjU) is:

h

Ị {hnự)[Nll(t,s) + iTllự,s)] + hrự)[Nĩ ( t s ) +i Tĩ ự.s)])àt

~h = - [ N B(s) + Nc(s) + i(TB(s) + Tc (s))], \s\<b, (48)

where Nj ( t , s ) and Tj (t, s) (j = n, r) arc, respectively, normal and tangential traction

com p on en ts to the crack line at point s caused by the unit point dislocation in the

ý-direction located at point t They are determined by (7)—(10), (41) and (42) The tractions (Nb + ìTb) and (Nc + iTc) are calculated from (7) to (10) and the stress

functions of problems B and c.

From the condition of single-valuedness of displacement around the line crack,

hj(t) {j — n, r) must satisfy the following condition (Chen and Hascbe, 1992): b

j [ h „ U) + ihAt)]dt = (49)

- h

Further, for a crack problem, the functions hn(t) and hT{t) are expressed as:

h j{t) = H j{t) / yj b2 — t2 , j = n , T (50)

Accordingly, //„(/) and Hxự) become the unknown functions Inserting (50) into (48) and (49), and after transformation of integral variable t = - bcos d, the singu­ lar integral equations can be solved using the Gauss-Chebyshev integration formula (Erdogan 1969; Erdogan and Gupta, 1972; Chen and Hasebe, 1992) Then, the stress intensity factors at the crack tips A, B and c can be obtained by (Chen and Hasebe,

1992; Hasebe and Chen, 1996):

Ị I M

K^ yỊ 7L H ( - b ) , H( - b ) = ị ỉ ỵ / ( - \ ) j+M[Hnụj ) + ‘ Hĩ U] )]t

- H l b ) , f H b ) = - Ị - T l - \ ) i+' [ Hn ( t j ) + i H A t ị ) ] c o i

b M U

(2j - 1 )7T

Mb

4 M

(2> — 1 >7T

4M

(51)

(52)

y = l M, (53)

378 P c Vinh et al.

h

Kc = kB+ ị { / i „ ( * F » ( + M í)* M + ỵ ) * E ( f ) } d f , (54)

(55) where kj (j = B, E, F„ and Fr) are stress intensity factors at tip c corresponding to Problems B, E, and F, respectively Fn and Fr are obtained for the point dislocations in the normal and tangential directions, respectively, to the crack line in problem F

ac is the corresponding position of the crack tip c on the unit circle (ac = 1 in this case, see Figure 2) Kc is obtained as

8 Numerical results and discussions

Stress intensity factors are all normalized by the SIF A'o of the crack with length 2b under remote uniform heat flux in the direction perpendicular to the crack face i.e.

_ Kx b\fnhqaGR

Ầ = K ' X = A’ B- C- * « = -2* -■ (57)

It is clear that when heat flux is applied perpendicular to the crack face, the normal­ ized SIF in mode I at crack tips A, B, c , namely F|A, F|B, F[C, are zero.

8.1 SIFS AND THE EFFECT OF HOLE SHAPE

First, we consider the problem specified in Figure The heat flux is assumed flow­ ing along the y-axis (5 = 90°), the line crack is located on the x-axis (£ = 0, f Ịa = 0),

b/a = 2, e/a = 0.5 and u = 0.3 To show the effect of the hole shape, the interaction

of the line crack with a cracked square hole, and cracked elliptical holes of differ­ ent ratios of x/a (= 0, 1,3) is considered It should be noted that the elliptical hole of x/a = degenerates to a crack The dependences of Fiia, Fiib, Flic, on c/a for different shapes of hole are shown in Figure It is seen that SIFs increase with the line crack moving toward the edge crack tip c , and when c/a tends to zero Fua Flic increase significantly This represents the singularity of SIFs for tips A and c in the interaction For the right hand side crack tip B, Fiib tends to certain value of stress

intensity factor with a cracked hole o f crack length (e + 2b) when c / a goes to zero.

In the four types of hole shapes, we can see the elliptical holes of x/a — and

x/a = induce the highest and lowest values of F», respectively, especially on the tips A and c , whereas it seems the effects of circle and square on the interaction are

almost the same: both curves located intermediate to those of the elliptical holes We can also see that the intervals between the curves become larger as c/a decreases This means that the hole shape will have a stronger influence on the interaction when the line crack approaches the hole edge crack.

M

Kc = kB + M ị H n ( t j ) k F n ( t j ) + HT(tị)kFỵ(tị) + (b2 - ỘG( t j ) kE(tj)] (56)

Interaction between a cracked hole and a line crack 379

c/a

Figure Effect o f hole shapes on normalized SIF s F|| (,s = , (t = 0, f/ u = 0, bỊu — l e/a =

u = 0.3)

8 V a n i s h i n g o f t h e SIFs a t t h e c r a c k t i p c

Figure shows the variation of Flic for a larger range of c/a From Figures to 4

it can be seen that there exists a corresponding value Co o f c/a such that F |ic ( c o ) =

for a given hole It means that under uniform heat flux, the interaction between a line crack and cracked hole may lead to vanishing SIFs at the crack tip c This fact has not ever been seen for the case of uniform remote tension Physically, this may be explained roughly as follows: in the cases shown in Figures and 4, which is under a uniform heat flux, the lower surface of the crack AB is stretched in comparison with the upper one, and Fiia becomes greater for more comparative stretching The simi­ lar things are happened for the hole crack and Flic The comparative stretch of the crack AB reduces the one of the hole crack and vice versa Therefore, when the crack AB is enough closed to the hole crack, the comparative stretch of the hole crack may become zero, i.e., F||C=0

From Figure it is seen that for the zero values of F lic , the smaller of value k/a, the smaller o f value Co.

For a given hole and f / a — 0, /3 = 0, 8 = 90°, e/a = 0.5, F|IC is a function of b/ a, d/ a (or c/a) From the equation Fnc(d/a, bịa) = we can find bo of b/a as a func­

380 p c Vinh et al.

c/a

Figure Vanishing o f Flic (<5 = 90 , fi = 0, f / a = 0, h/a = 2, i7ii = 0.5, u = 0.3).

d/a

Figure Dependence o f b0/a on d/a for F|!C = 0

8 D e p e n d e n c e o f n o r m a l i z e d S I Fs o n t h e l i n e c r a c k p o s i t i o n

We now focus on the cracked square hole and a line crack only and study the prob­ lem specified in Figures 6 -11 The dependences of the normalized SIFs F i a , Fiia, F i b , F i i b , Fic, and Flic on f/a and the orientation angle of the crack AB are shown in Figures 6-11, respectively.

When the crack AB is far from the square hole ( f / a = 1000): F||A~1, F h b ^ -1 at

p = and F | C ~ , and Flic ~ -0.628 =const, Vy3 It means that the interaction effect of the cracked square hole and the line crack AB is almost zero when they are far from each other.

Interaction between a cracked hole and a line crack 381

0° 60° 120° 180“ p

Figure Normalized S IF F i a against location angle Ịi for cracked square hole.

Figure Norm alized S I F Fiia against location angle (i for cracked square hole.

0° 60° 120° 180° p

382 p c Vinh et a i

p

Figure Normalized S IF Fiib against location angle /Í for cracked square hole.

p

Figure 10 Normalized S I F F|C against location angle fi for cracked square hole.

Interaction between a cracked hole and a line crack 383

Also from the numerical results, when the crack AB locates far away the cracked square hole, Fia *^0 and F|B%0 Vị3 It means that the heat flux has no effects on the mode I SIFs at the crack tips A and B in the case of crack AB being far from the cracked square hole.

9 Conclusions

In this study, the interaction problem of a cracked hole with arbitrary shapes and a line crack was considered The problem is concerned with a doubly con­ nected region of which the boundary value problem for plane elasticity possesses an inherent difficulty We converted the original problem into three subproblems by using the principle of superposition and the latter two subproblems are tackled using the Green’s function method The rational mapping function approach is used and the stress functions are obtained in the closed form for the cracked hole There­ fore the boundary condition is satisfied completely for the cracked hole Singular inte­ gral equations are derived for the original problem and are numerically solved by the standard method Thus the boundary condition on the line crack AB is satisfied

at finite points It is interesting to find that the SIFs at the hole edge crack tip can

vanish under the uniform heat flow due to the present of a line crack.

Combining the analysis of the details of stress distribution and SIFs with macro­ modeling of mechanics should be a prospective project following this work Such

a study w ould be expected to reveal failure mechanisms o f materials or structures,

particularly as it relates to statistical distributions of defects and damage mechanics. References

Bowie, O L (19 Í6) Analysis o f an infinite plate containing radial cracks originating at the boundary of an internal circular hole Journal o f Mathematical Physics 35, 60 -71.

Chao, C.K and Lee, J.Y (1996) Interaction between a crack and a circular elastic inclusion under remote uniform heat flow International Journal o f Solids and Structures 33, 3865-3880.

Chen Y z and Hasebe, N (1992) An alternative Fredholm integral equation approach for multiple crack problem and multiple rigid line problem in plane elasticity Engineering Fracture Mechanics 43 257-268

Erdogan F (1969) Approximate solution of systems o f singular integral equations A Ì S M Journal o f Applied Mathematics 17 , 10 1-10 59

Erdogan F and G upta, G.p (1972) On the numerical solution o f singular integral equations Quarter Applied Mathematics 29, 525-534.

Florence A H and Goodier, J.N (1960) Thermal stresses due to disturbance o f uniform heat flow by an insulated ovaloid hole A S M E Journal o f Applied Mechanics 27, 635-639.

Han J and Hasebe N (2001) Thermal stress problem for mixed heat conduction boundary around an arbitrarily shaped hole with crack under uniform heat flux Juurnul o f Thermal Stresses 24 725-735 Hasebe N and Inohara, s (1980) Stress analysis o f a semi-infinite plate with an oblique edge crack

Ingenieur Archive 49 1-6

Hasebe N and Uedu, M (1980) Crack originating from a corner o f a square hole Engineering Fracture Mechanics 13, 13-9 3.

Hasebe N Tomida A and Nakamura, T (1988) Thermal stresses o f a cracked circular hole due to uniform heat flux Journal o j Thermal Stresses 1 38 1-39

Hasebe N Yoshikaw a K Ueda M and Nakamura, T (1994a) Plane elastic solution for the second mixed boundary value problem and its application Archive o f Applied Mechanics 64 295-306 Hasebe N., N akam ura, T and Ito Y (1994b) Analysis o f the second mixed boundary value problem

384 p c Vinh et al.

Hasebe, N and Chen, Y z (1996) Stress intensity solutions for the interaction between a hole edge crack and a line crack International Journal o f Fractures 77, 351-366.

Hasebe, N and Han, J.J (2001) Interaction between elliptic hole and crack in thin plate under uniform bending heat flux Proceedings o f the 23rd International Conference on the Boundary Element M ethod - 12

Hasebe, N., Wang, X F and Kondo, M (2003a) Interaction between crack and arbitrarily shaped hole with stress and displacement boundaries International Journal o f Fracture 119 , 83-102.

Hasebe, N., Wang, X F and Kondo, M (2003b) Green’s functions for plane problem under various boundary conditions and applications International Journal o f Solids and Structures 40 5037-5049. M uskhelishvili, N.I (1963) Some Basic Problems o f Mathematical Theory o f Elasticity NoordhofT

Netherlands

Schijve, J (1983) Stress intensity factors o f hole edge cracks Comparison between one crack and two symmetric cracks International Journal o f Fractures 23, 1 - 1

Tweed, J and Rooke, D.p (1973) The distribution o f stress near the tip o f a radial crack at the edge o f a circular hole International Journal o f Engineering Science 1 , 118 - 119

Yoshikawa, K and Hasebe, N (1999) Green’s function for a heat source in an infinite region with an arbitrarily shaped hole A S M E Journal o f Applied Mechanics 66, 204-210.

Đ Ạ I HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRUỜNG ĐẠ I HỌC KHOA HỌC T ự N H IÊ N

KHOA TOÁN - C - TIN HỌC

Nguyễn Thị Thu

S Ó N G R A Y L E I G H T R C N G M Ô I T R Ư Ờ N G Đ À N H Ớ I Đ Ẳ N G H Ư Ớ N G , N É N Được, C Ó B IẾ N D Ạ N G T R Ư Ớ C

K H O Á L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P H Ệ Đ ẠI H Ọ C C H Í N H Q U Y

Ngành : Cơ học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VÀ CÕNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN Cơ HỌC

NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH

DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG TRONG TRƯỜNG HỢP

XẤP XỈ SÓNG DÀI

Chuyên ngành : c HỌC VẬT THỂ RẮN Mã s ố : 60.44.21

LUẬN VĂN THẠC s ĩ■ •

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS PHẠM CHÍ VĨNH

T Ó M T Ắ T C Á C C Ô N G T R ÌN H N C K H C Ủ A CÁ N H Â N Ngành: Cơ học

Chuyên ngành: C hoc vật rắn biến dạng Bài báo 1

1 T ên tác giả: P h m C h í V ĩn h R O g d en 2 N ăm : 2005

3 Tên báo: V ề v ận tốc sóng R ay leig h m ôi trường đàn hồi trực hướng 4 Tên tap chí, số, trang: M e ccan ica, 40, 147-161

5 T ó m tắt c n g trìn h b ằ n g tiếng Việt:

G ần đây, m ộ t c ô n g thức d ạn g h iện củ a vận tốc sóng R ay le ig h môi trường đàn h ồi đ ẳ n g h n g nén được, tìm M a lic h e w sk y M A T H E M A T IC A , việc chứng m in h chặt chẽ cô n g thức thực bởi tác giả c ủ a b áo Bài báo tiến h àn h m rịng kết trên, tìm n g th ứ c h iệ n củ a vận tốc sóng R a y le ig h m ôi trường đàn hồi trực hư ớng n én được, b ằ n g cách sử d ụ n g lý th u y ết phương trình bậc ba Nó hàm liên tục c ủ a b a th a m s ố vật liệu k h n g thứ ngun

ó.Tiếng A nh

Title: On the R ayleigh W ave Speed in O rth otrop ic E lastic Solids Journal, no, p ages: M e c c a n i c a , 40 (2005), 147-161

Sum m ary:

Recently, an ex p lic it fo rm u la for the R ay leig h w ave speed in an isotropic elastic half-space has b e e n g iv en by M alisc h ew sk y using M A T H E M A T IC A and a detailed d e riv a tio n g iv e n by the authors o f this paper T his stu d y deals with the g en eralizatio n o f this fo rm u la to o rth o tro p ic elastic m aterials and M a lis c h e w s k y ’s fo rm u la is recovered as a special case T he fo rm u la is o b tained using the th eo ry o f c u b ic e q u atio n s and is e x p ressed as a c o n tin u o u s function o f three d im e n s io n le s s m a te ria l param eters.

Bài báo 2

1 T ên tác giả: P h m C h í V ĩnh, N orio H asebe, X ia n g -F e n g W a n g and TaKahiro Saito

2 N ăm : 2005

3 Tên báo: Sự tư n g tác lỗ-vết nứt m ột vết nứt th ẳn g tác d ụ n g của d ò n g n h iệ t đều.

toán lỗ có vết nứ t dớđưới tác d ụ n g củ a d ò n g n h iệt đều; Bài tốn lỗ có vết nứt d- dưới tác d ụ n g c ủ a lệch n hiệt đ ộ p h â n b ố d ọ c th eo đo ạn thẳn g vết nứt; Bài tốn lỗ có vết nứt dớdưới tác d ụ n g củ a độ lệch ứng suất phân b ố dọc theo đoạn thẳng vết nứt N g h iê m c ủ a toán th ứ cũ n g n h n g h iệm c toán thứ hai, b a tìm đ ợc b ằ n g p h ơng ph áp h m biến phức ánh xạ hữu tỷ Từ điều k iện đ o ạn n h iệ t tự d o ứng suất m ặ t vết nứt ta nhận phương trình tích p h â n k ỳ dị Bài b o đ ã tiến hàn h tính tốn hệ số tập trung ứng suất tại m ũi vết nứt C ác kết q u ả cho thấy sư tương tác m ộ t lỗ vết nứt với một vết nứt th ẳ n g có th ể dẫn đến triệt tiêu hệ số tập trung ứng suất mũi của vết nứt H iệ n tư ợng chưa xảy trường hợp tương tác giữa m ộ t lô vết nứ t với m ộ t vết nứt th ẳn g tác dụ n g củ a lực kéo vô hạn.

6 Tiếng A n h

Title: In teraction betw een a cracked hole and a line crack under uniform h e a t flux.

Journal, no, pages: I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f F r a c t u r e , 131 (2 0 ), 36 -3

Summary:

This article d ea ls w ith the interaction betw een a crac k ed hole an d a line crack under u n ifo rm h ea t flux U sing the principle o f su perposition, the original problem is c o n v e rte d into three p articu lar crack cd hole problem s: the first one is the p ro b le m o f the h o le w ith an ed g e crack u n d e r u n ifo rm heat flux, the second and third o n es are the p ro b le m s o f the hole u n d e r d istrib u ted tem p eratu re and edge d islo ca tio n , resp ectiv ely , along the line crack surface The solution o f the first p ro b le m as w ell as the fu n d am en tal solutions o f the seco n d an d third, is obtained in the c lo se d fo rm using the c o m p lex variable m e th o d along with the rational m a p p in g fu n c tio n approach.

SCIENTIFIC PROJECT BRANCH: M ech an ics

PROJECT CATEGORY: V ietnam N ational U n iversity Level 1 Title: Som e p rob lem s o f elastic and elstop lastic m edia 2 Code: Q T -0 -0 4

3 M a n a g in g In stitu tio n : V ie tn a m N atio n al U n iversity, H a Noi 4 Im p le m e n tin g In stitu tio n : U niversity o f Science

5 C ollab oratin g Institutio ns:

6 C oordinator: A ss Prof Dr P ham Chi V inh 7 K ey im p lem en ters:

8 D uration: o n e y e a r (fro m 3/2005 to 3/2006) 9 Budget: 0 0 0 V N D

10 M ain results:

- Results in s c ie n c e an d technology:

The fo rm u la s fo r R ay leig h wave speed in o rthotropic elastic m edia correspo n d ing d iffe re n t sets o f p aram eters have b een found O n e o f them is an extention o f e x te n tio n o f the form u la for R a y le ig h wave speed in isotropic elastic m edia.

T he in te c tio n b e tw e e n a cra ck ed sq u are hole and a line crack under uniform h eat flux is investigated In terestingly, the results sho w that the interaction b e tw e e n a crac k e d hole and a line crack u n d e r un iform heat flux can lead to the v a n ish in g o f the SIFs at the crack tips This fact h as nev er been seen for the case o f a c r a c k e d hole an d a line cra ck u n d e r rem o te u niform tension. - R esults in p ractical application: O b ta in e d results have a w ide application in various field s o f sc ie n c e an d technology.

- R esu lts in tra in in g : T o h ave a part in tra in in g one BSc and o n e MSc - P u b licatio n s: tw o p ap ers p u b lish e d in In te rn a tio n a l jo u rn a ls

PHIẾU ĐÃNG KÝ

KẾT QUẢ NGHIÊN cứu KH-CN

Tên đề tài :

Một sơ tốn m ôi trường đàn hồi m ôi trường đàn dẻo Mã số: Q T -0 -0 4

Cơ quan c h ủ trì đ ề tài: T rư ờng Đ H K H T N

Địa chỉ: 3 N g u y ề n Trãi, T h a n h X uân, H Nội

Tel: 58 11 35

Cơ qu an q u ả n lý đ ề tài: Đ H Q G H N Địa chỉ:

Tel:

Tổng kinh p h í th ự c c h i : 2 0 0 0 V N Đ Trong đó: - T n g â n s ch N h nước: 0 0 0 V N Đ

- K in h p h í c ủ a trường: - V a y tín d ụ ng :

- V ố n tự có: - T h u hồi:

Thời g ian n g h iê n cứu: 01 n ăm Thời gian bắt đ ầ u : /2 05 Thời gian kết th ú c :3 /2 0 6

Tên cán p h ố i h ợ p n g h iên cứu: PGS TS P h m C h í V ĩn h : C h ủ trì G S T S K H Đ o H u y Bích: T h am gia PGS TS Đ o V ă n D ũ n g : T h a m gia

Số đ ă n g ký đề tài

N gày:

Số c h ứ n g nh ận đăn g ký k ết q u ả n g h iê n cứu:

Buo mật:

Tóm tắt kết qu ả nghiên cứu:

- X â y d ự n g cô n g thức c ủ a vận tốc só n g R a y le ig h tro n g m ôi trường đàn h i trực h n g đ ối với c ác m iề n k h c n h au c ủ a th a m số M ột chúng m rộ n g c ô n g thức c ủ a V ận tốc só n g R a y le ig h tro n g m ôi trường đàn hồi đ ẳn g hướng.

- Tìm n g h iệ m d n g đ ó n g củ a tốn: + Lỗ hình v u ô n g -v ế t n ứ t tác d ụ n g củ a d ò n g n h iệt

+ Lỗ hình v u ô n g -v ết nứt tác d ụ n g củ a lệch n hiệt độ ph ân b ố liên tục một đo ạn thẳng.

+ Lỗ hìn h v u ô n g -v ế t nứ t tác d ụ n g củ a lệch ứng suất phân b ố liên tục một đoạn th ẳn g

-Thiết lập p h n g trình tích ph ân để giải tốn tương tác.

-Giải sơ m ộ t sơ ví d ụ cụ thể C ác kết q u ả tính tốn điía đến m ột kết luận đáng chú ý: Dưới tác d ụ n g c ủ a d ò n g nhiệt, tương tác củ a vết nứt dẫn đến sự triệt tiêu h ệ s ố tậ p trun g ứng suất

Kiến nghị q u y m ô đối tượng áp d ụ n g n g h iên cứu:

Áp dụn g c ô n g thức vận tốc sóng R ay leig h để phát vết nứt, hư hỏng trong vật liệu.

Sử dụng kết q u ả c ủ a tốn tương tác lỗ với vết nứt dưói tác dụng dòng n h iệt đ ể k h c ác tác d ụ n g xẩli củ a vết nứt có sẵn.

Chủ n h iệ m đề tài

/

Thủ trưởng qu an chủ trì đề

tài

C hủ tịch Hội đ n g đá n h giá

ch ín h thức

T hủ trưởng q u an quản lý đề

tài

Họ tên % :

V ìb í' L f X

uỉÚÌ L an

* # *■ \ + ■ A L, Học hàm

học vị P Ố Í T * Pfrs TS >

Ĩ

Kí tên Đ óng

dấu P Ý k

K

V

rn ò p \ \

^ "-ĨVyCụ» '

ì A1

h o a n Ọ C Ị Ị

- - V ' \

ĩsk:

s r: n ’ Jr ' Xj3T