Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 1) | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.. Họ và tên thí sinh:.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019

Ngày thi: 18/10/2018 Môn: Tốn

Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Bài (6,0 điểm).

a) Cho x y số thực thỏa mãn 2x y 0. Tìm giá trị lớn giá trị

nhỏ biểu thức

2

2

2 .

x xy y P

x xy y   

 

b) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số

3 3 3

y x  x  mx m có hai điểm cực trị nằm khác phía trục hồnh. Bài (5,0 điểm).

a) Tìm số hạng tổng quát dãy số  un biết u  1 2 un12un5,   n *.

b) Cho dãy số  vn thỏa mãn v 1 20181 ,

2 ,

1 2018n

n

n

v v

v

 

 n *.

   Chứng minh rằng vn1vn,   n *.

Bài (4,0 điểm) Giải hệ phương trình

  2

2 2

2 1

.

1 1

xy x y x y

x y y x x y x

    

   

    

Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB AC hai đường cao BE CF cắt, nhau H Các đường tròn  O1 ,  O2 qua A theo thứ tự tiếp xúc với

BC , B C Gọi D giao điểm thứ hai  O1  O2 .

a) Chứng minh đường thẳng AD qua trung điểm cạnh BC ;

b) Chứng minh ba đường thẳng EF ,, BC HD đồng quy. - HẾT

-Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay. Cán coi thi khơng giải thích thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Nội dung Điểm

1 6,0 a Ta có 2 , t t P t t   

  với

1 x t y  

Xét hàm số

2 ( ) t t f t t t   

  với t  Tính 2 2 (t) , ( 1) t f t t     

( )

1 f t t t           Bảng biến thiên

Suy giá trị nhỏ P

3 , giá trị lớn

0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 b

Tập xác định D 

2

'

y  x  x m

u cầu tốn  Phương trình ' 0y  có hai nghiệm phân biệt

1,

x x thỏa mãn y x y x    1

Phương trình y  có hai nghiệm phân biệt 10  m (*)0

Khi đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị

 1; 1,  2; 2

A x y B x y

Ta có  

1

3

x

y   y m x

 

Do y1y x 1 2m1x1

y2 y x 2 2m1x2

   1 4 12

y x y x   m x x 

 x x1   0 m 0 m

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  thỏa mãn toán 0

0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 2 5,0

a n *,

   ta có un1 2un 5 un1 5 2un5 Đặt wn un 5,  n *

Khi wn12 ,wn   n *

Do wn cấp số nhân có w1u1  công bội 7, q  2

Suy 1 7.2 ,1 *

n n

n

w w q   n

    

Vậy un 7.2n 5, n *

      0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b

Chứng minh vn 0,  n *

Khi

*

1

2

,

1 2108 2018 2018

Mặt khác,    ta có n *,

 2

1 2

1 2018

2 2018

0

1 2018 2018 2018

n n

n n n

n n n

n n n

v v

v v v

v v v

v v v

            1,0

3   2

2 2

2 (1)

1 (2)

xy x y x y x y y x x y x

              4,0

Điều kiện xy 0

Ta có x2 1 x0,   nên x y 0 khơng thỏa mãn (2) Do

0

y  Suy x  không thỏa mãn (1).0

Nếu x y, âm (1) vơ lí Do x y, dương

Suy    

2

2

1

(2) x x y y 1

x

     

2

1 1

1 y y y

x x x

     

(3) Xét hàm số f t( )t t2  khoảng t 0;  Ta có

2

2

( ) 1 0,

1 t

f t t t

t

       

 Suy f t( ) đồng biến 0;

Do  

1

(3) f f y y xy

x x

 

      

 

Thay xy 1 vào phương trình (1) ta

  2  2  2

2 x y 1 x y  x1  y1  0 x y

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x y ;  1;1

0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 4 5,0

a Gọi I giao điểm AD BC Ta có IB2 IA ID IC 

Suy IB IC

Do I trung điểm BC Hay đường thẳng AD qua trung điểm I BC

0,25 0,75 0,25 0,25

b

Chứng minh BHC BDC  Suy tứ giác BHDC nội tiếp. 1,0 1,0 A

B C

E F H D

Chứng minh AFHD nội tiếp

Chứng minh EF BC HD, , đồng qui