NHĨM TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018 - 2019 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN – Hệ : THPT Ngày thi : 18/01/2019 Thời gian: 180 phút Họ tên: SBD: Câu 1: (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x3 3x m 1 x 3m có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 x2 Câu 2: (4,0 điểm) 2.1 Cho a log b log 12 Tính log3 60 theo a b 2.2 Giải phương trình 1 x x x2 NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG Câu 3: (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để sơn phần tô đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết AD 4m , DC 3m AE EF FB Câu 6: (4,0 điểm) 6.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB , AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt 2a phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC 6.2 Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có AB , AA ' Gọi M , N , P trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ', BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng AB ' C ' MNP Câu 7: (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình x y xy x y 2 2 m x y x x y y có nghiệm x; y thỏa mãn x 1, y Câu 8: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x y z x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ( x y )( y z )( z x)( xy yz zx) - HẾT - https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;0;3 , B 3;1;3 , C 1;5;1 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy cho biểu thức T | MA | | MB MC | có giá trị nhỏ Câu 5: (2,0 điểm) k k 2019 Tính tổng S 22 C2019 32 C2019 1 k 2C2019 20192 C2019 NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x3 3x m 1 x 3m có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 x2 Lời giải Tập xác định: D y 3x x m 1 NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 1: (2,0 điểm) x 1 m y x 1 m Hàm số có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m x 1 m +) TH1: x2 m Khi x1 x2 m 1 m m (TM) Khi x1 x2 m 1 m m Vậy m NHĨM TỐN VD – VDC x 1 m +) TH2: , x2 m (TM) giá trị cần tìm Câu 2: (4,0 điểm) 2.1 Cho a log b log 12 Tính log3 60 theo a b x2 2.2 Giải phương trình 1 x x Lời giải 2.1 Cho a log b log 12 Tính log3 60 theo a b log a log b 1 log a Ta có: log 12 b log 12 a.b log a b 1 log 60 log 60 log 12 ab ab log log log a a b 1 a b https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC 2.2 Giải phương trình 1 x x x2 Điều kiện: 1 x t2 1 x , với t NHĨM TỐN VD – VDC Đặt t 1 x x t Phương trình theo t có dạng: t t 2 t 4t 8 t 2 1 x x 1 x x Vậy phương trình có nghiệm x Câu 3: (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD sơn trang trí hình bên Chi phí để sơn phần tơ đậm 250.000 đồng/ m phần lại 160.000 đồng/ m Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách bao nhiêu? Biết AD 4m , DC 3m AE EF FB Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Gọi H , K trung điểm AB CD ; I giao điểm CE DF EH EF 1 Ta có: EH KC IH HK (m) , EF KC IK (m) Ta có: S ABCD 3.4 12 (m ) S ADE S BCF 1.4 2(m ) 1 S IEF IH EF 1.1 (m2 ) 2 1 S ICD IK CD 3.3 (m ) 2 Gọi S1 diện tích phần tơ đậm S diện tích phần lại Ta có: S S ADE S BCF S IEF S ICD (m ) Suy ra: S1 S ABCD S (m ) Vậy tổng số tiền để làm là: T 3.250 000 9.160 000 2190 000 (đồng) Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;0;3 , B 3;1;3 , C 1;5;1 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy cho biểu thức T | MA | | MB MC | có giá trị nhỏ Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC NHĨM TỐN VD – VDC Gọi K trung điểm BC , ta có: K 1;3;2 MB MC 2MK Suy ra: T | MA | 2 | MK | MA MK Nhận xét: A, K nằm khác phía so với mặt phẳng Oxy Gọi A ' điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng Oxy Khi đó: T MA MK MA MK Suy : Tmin MA MK min A, M , K thẳng hàng hay M giao điểm A ' K với mặt phẳng Oxy Ta có: H 1; 0; A 1; 0; 3 AK 2;3;5 Do đó: Phương trình tham số A ' K NHĨM TỐN VD – VDC x 1 2t M ; ;0 y 3t 5 z 3 5t Câu 5: (2,0 điểm) k k 2019 Tính tổng S 22 C2019 32 C2019 1 k 2C2019 20192 C2019 Lời giải - Trước hết ta chứng minh đẳng thức: k Cnk n n 1 Cnk22 nCnk11 1 k n, k , n Thật vậy: k Cnk k k 1 Cnk kCnk Mà: kCnk k 2 n 1! n n 1! n! n nCnk11 k ! n k ! k 1! n k ! k 1! n 1 k 1 ! Áp dụng (3) hai lần ta được: k 1 kCnk k 1 nCnk11 n k 1 Cnk11 n n 1 Cnk22 3 4 Từ , 3 , ta 1 - Áp dụng 1 ta được: 2019 k 2019 k 2019 S 1 k C k 2 k k 2 k 1 1 2019.2018.C2017 2019.C2018 k 2 2017 2018 k k k 2018.2019. C2017 1 2019 C2018 1 k 0 2018.2019 1 1 k k 1 2017 2019 1 1 2018 2019 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Vậy S 2019 NHĨM TỐN VD – VDC Câu 6: (4,0 điểm) 6.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB , AD H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt 2a phẳng ( ABCD) khoảng cách hai đường thẳng DM SC Tính theo a thể tích khối tứ diện SHMC Lời giải Theo giả thiết ABCD hình vng, suy ADM DCN (c.g.c) DM CN Từ suy ADH DCN HM MD HD NHÓM TOÁN VD – VDC CD 2a DC.DN a a a Vậy có: NC DC DN a ; HC ; HD ; CN NC 5 2 a a 3a 1 2a 3a 3a S HMC HC.HM 10 2 10 10 Mặt khác, ta có SH ( ABCD) SH DM Theo chứng minh DM CN , suy DM ( SCN ) Kẻ HK SC HK khoảng cách DM SC Suy HK Tam giác SHC vuông H , đường cao HK suy 2a 1 2 HK SH HC 1 1 1 SH a 2 2 SH HK HC a 2a 2a 5 1 3a a3 Vậy VSHMC S HMC SH a 3 10 10 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD – VDC 6.2 Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có AB , AA ' Gọi M , N , P trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ', BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng AB ' C ' MNP NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Cách 1: A C P B Δ G A' C' N I Q M Gọi I , Q trung điểm cạnh MN B ' C ' , AQ 2, PI Giả sử PI AQ G G AB ' C ' MNP MN MNP , B ' C ' AB ' C ' Hơn nên giao tuyến mặt phẳng AB ' C ' MNP MN B ' C ' đường thẳng qua G song song với MN B ' C ' Ta có B ' C ' AA ' QP AG Chứng minh tương tự ta có PG Do AG, PG Mặt khác IQ AP , theo định lý Ta-lét có AB ' C ' , MNP GQ GI IQ 2 GA 2GQ AQ 2 ; GP 2GI PI GA GP AP 3 2 GA GP AP Xét tam giác AGP có cos AGP 2GA.GP Vậy cos AB ' C ' , MNP 10 Cách https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 2 2 32 10 Trang NHĨM TỐN VD – VDC B' NHĨM TỐN VD – VDC A T A' NHĨM TỐN VD – VDC X P Q I Gọi I , Q, X trung điểm cạnh MN , B ' C ' AA ' Ta có AP PQ QA ' A ' A A ' AP 900 tứ giác APQA ' hình vng IPQ XQA ' c g c IPQ XQA ' PI QX 1 Ta có B ' C ' APQA ' B ' C ' QX , mà MN B ' C ' MN QX 2 Từ 1 QX MNP Chứng minh tương tự ta có A ' P AB ' C ' Do A ' P, QX AB ' C ' , MNP TP TQ PQ TA TX AX Từ ta TP 2, XQ Xét tam giác PTQ , theo định lý côsin ta có Ta có XA PQ , theo định lý Ta-lét có 2 TP TQ PQ cosPTQ 2TP.TQ 2 2 32 10 NHĨM TỐN VD – VDC Vậy cos AB ' C ' , MNP 10 Cách Gọi I , O, J trung điểm cạnh B ' C ', MN AP Ta có MN B ' C ' A ' I B ' C ' MN A ' I Đặt hình lăng tru tam giác ABC A ' B ' C ' hệ trục tọa độ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Oxyz với gốc tọa độ O 0;0;0 , chiều dương Ox trùng với tia ON, chiều dương Oy trùng với tia OI , chiều dương Oz trùng với tia OJ Khi ta có : Khi cos cos n1 , n2 04 02 22 22 02 2 12 Vậy cos AB ' C ' , MNP 10 Câu 7: (2,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình x y xy x y 2 2 m x y x x y y có nghiệm x; y thỏa mãn x 1, y Lời giải x y xy 1 Xét hệ x y (với x, y ) 2 m x y x x y y NHÓM TOÁN VD – VDC A 0; ;3 , B ' 3; ; , C ' 3; ;0 , M ; 0; , N ; 0;0 , P 0; ; Gọi n1 , n2 véctơ pháp tuyển mặt phẳng AB ' C ' MNP Ta có n1 AB ', AC ' 0; 2; , n1 MN , MP 0; 2;1 Gọi góc tạo hai mặt phẳng AB ' C ' MNP 10 Thế vào ta x y m x y x xy y 2x y m x y Đặt t x y x y 1 NHĨM TỐN VD – VDC Từ 1 ta có x y xy x y x y xy 2 x y 4t Do x , y nên x 1 y 1 xy x y xy x y xy x y x y 2 x y x y Do 2t m t t m 2t t2 1 t Hệ cho có nghiệm x; y thỏa mãn x 1, y phương trình m 2t t t có nghiệm t 4;6 Xét hàm số f t 2t t t với t Có f t 2t https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc t t ln t 1 Trang NHĨM TỐN VD – VDC Mà t t t t2 1 t 1 1 nên f t với t 17 64 37 Câu 8: (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x y z x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ( x y )( y z )( z x)( xy yz zx) Lời giải Cách Đặt Q ( x y )( y z )( x z )( xy yz zx ) ta có Q P + xy yz zx ta có Q NHĨM TỐN VD – VDC Suy f t hàm số đồng biến Do f m f 16 + xy yz zx đặt t xy yz zx (x z) x y y z Áp dụng BĐT Cơsi ta có ( x y )( y z )( x z ) (1) ( x z) Mà x y z xy yz zx 2( x z ) 2( x y )2 2( y z ) 2 2( x z )2 ( x y ) ( y z ) 3( x z )2 hay t 3( x z )2 (2) t Xét hàm số f (t ) t (5 t )3 t ta có f (t ) t (5 t ) (10 t), f (t ) t t f (0) 0, f (5) 0, f (0) 0, f (2) 108 Do Q nên GTLN Q x 2, y 1, z Suy P 4 nên GTNN P 4 x 2, y 1, z Cách 2: Đặt t xy yz zx x y z t 2 2 2 Giả thiết: 10 x y z x y y z z x 2t x y y z z x 10 2t 2 Mà x y y z z x 2 z x t 2 x y y z z x z x 2 4 x z t x y y z x z 2 x y y z x y y z 16 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC 4 Từ (1) (2) suy Q t (5 t ) t (5 t )3 5 NHĨM TỐN VD – VDC Ta có: P x y t 20 4t 2 t y z z x xy yz zx 5 t t 27 NHĨM TỐN VD – VDC Xét hàm số suy P 16 P 4 t x; y; z 2;1;0 NHĨM TỐN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 ... ta được: 2019 k 2019 k 2019 S 1 k C k 2 k k 2 k 1 1 2019 .2018. C2017 2019. C2018 k 2 2017 2018 k k k 2018. 2019. C2017 1 2019 C2018 1 k 0 2018. 2019 1... NHĨM TỐN VD – VDC x 1 2t M ; ;0 y 3t 5 z 3 5t Câu 5: (2,0 điểm) k k 2019 Tính tổng S 22 C2019 32 C2019 1 k 2C2019 20192 C2019 Lời giải... 2018. 2019 1 1 k k 1 2017 2019 1 1 2018 2019 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Vậy S 2019 NHĨM TỐN VD – VDC Câu 6: (4,0 điểm) 6.1 Cho hình