conduongcoxua welcome to my blog

- Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng toán và đư[r]

Đề tài “Rèn luyện kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử ”

A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề:

- Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ thơng nói chung mục tiêu tầm quan trọng mơn Tốn nói riêng

- Giáo dục phổ thơng nhằm giáo dục học sinh phát triển tồn diện, khơng nâng cao hiểu biết kiến thức văn hoá mà phát huy khiếu khác

- Xuất phát từ yêu cầu việc đổi phương pháp phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh Có em có điều kiện khắc phục khó khăn tiếp nhận kiến thức

- Xuất phát từ tâm lý lứa tuổi học sinh lứa tuổi nhạy cảm hiếu động ham chơi Nếu giáo viên gây hứng thú dạy tạo cho học sinh phấn chấn, hào hứng để tiêp thu học cách có hiệu

- Từ thực tiễn giảng dạy thực tiễn học sinh nơng thơn có điều kiện để tiếp nhận tri thức Nếu giáo viên tạo hưng thú giảng dạy học tập giúp cho học sinh say mê học tập

Từ lý nói trên, thân tơi nhận thấy việc gây hứng thú cho học sinh học tập mơn Tốn giải pháp quan trọng việc nâng cao chất lượng việc dạy học Vì động lực giúp tơi sâu nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm Trong trình thực tơi hiểu phần khó khăn chung học sinh nơng thơn hồn cảnh mà cần chung tay để khắc phục

1 Thực trạng vấn đề. a Thực trạng chung.

*Ảnh hưởng phát triển xã hội theo chế thị trường :

- Xã hội phát triển điêù đáng mừng, phát triển theo chế thị trường kéo theo phận khơng lành mạnh khác dịch vụ giải trí khơng lành mạnh, phim ảnh bạo lực, tình cảm lứa đôi trớn …

- Hiện nay, quản lí khơng chặt chẽ nhà nước, dịch vụ bida, internet, karaokê … tổ chức gần trường học, lơi cuốn, hấp dẫn em vào trị chơi vơ bổ Các em lao vào trị chơi dẫn đến bỏ trốn học vi phạm khác Đồng thời kênh truyền hình chiếu số phim có mang hình ảnh bạo lực làm cho em dễ dàng bắt chước Ngoài tụ điểm ăn chơi hàng ngày nhan nhãn, đập vào mắt em làm cho em không tự chủ, tham gia khơng có ý thức tiêm nhiễm dẫn đến việc học sa sút

*Ảnh hưởng mơi trường giáo dục gia đình:

ngày học hôm sau, đồng thời tham gia giúp đỡ cơng việc gia đình Đó HS thực tự giác học tập quản lí giáo dục gia đình

- Nếu em chưa ý thức việc học tập, đồng thời gia đình khơng quan tâm khơng tạo điều kiện cho em học tập việc học tập em không đến nơi đến chốn, chất lượng học tập bị ảnh hưởng, em học tập yếu, thua sút bạn bè

*Gia đình có hồn cảnh kinh tế khó khăn:

- Từ khó khăn đời sống kinh tế, cha mẹ phải lao động vất vả, không quan tâm đến việc học tập em, phó mặc cho nhà trường, có gia đình buộc phải lao động, làm cho em khơng có thời gian học tập nhà soạn bài, học cũ, đến lớp việc tiếp thu khó khăn, khơng làm kiểm tra, lo lắng sợ sệt thầy cô giáo kiểm tra cũ

*Gia đình lo làm ăn, khơng quan tâm đến việc học cái:

- Nhiều gia đình kế sinh nhai, vợ chồng làm ăn xa, phó mặc cho ơng bà chị em chăm sóc lẫn nhau, số HS chưa tự giác thiếu quản lí chặt chẽ người lớn nên nảy sinh tư tưởng không lành mạnh

- Có gia đình khơng khó khăn kinh tế có tham vọng làm giàu, bỏ mặc cái, không quan tâm đến việc học tập kể thói hư tật xấu cái, cha mẹ để răn dạy

*Gia đình có cha mẹ bất hịa, khơng có hạnh phúc:

- Lứa tuổi em nhạy cảm, cải vả cha mẹ, to tiếng quát nạt, bạo lực người cha làm cho em bị ảnh hưởng, từ nẩy sinh việc làm khơng lành mạnh thích đánh lộn để giải tỏa tâm lý, bị ức chế, bỏ nhà chơi khơng thíêt tha đến việc học

b Thực trạng cụ thể.

Qua thực tế giảng dạy kết hợp kiểm tra, dự đồng nghiệp nhận thấy gặp dạng tập như: rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích em gặp nhiều lúng túng Qua thấy phần lớn học sinh mắc phải số sai lầm sau:

*Sai lầm nhận dạng đặc trưng kỹ xếp toán: *Ví dụ 1:

- Phân tích đa thức x2 – + y2 + 2xy thành nhân tử

Sai lầm: Học sinh thường nhóm ngẫu nhiên hai hạng tử dầu cho có dạng đẳng thức A2 – B2 nhóm hai hạng tử cuối cho nhân tử chung y

Học sinh thực hiện:

x2 – + y2 + 2xy = (x2 – 4) + (y2 + 2xy)

= (x + 2)(x - 2) + y(y + 2x) thực tiếp Lời giải mong muốn:

x2 – + y2 + 2xy = (x2 + 2xy + y2 ) –

= (x + y)2 – 22

= (x + y + )(x + y -2)

- Hay phân tích đa thức x2 – y2 + 4x + thành nhân tử, nhiều học sinh đưa lời

giải sau:

x2 – y2 + 4x + = (x2 – y2)+ (4x + 4) = (x – y)(x + y) + 4(x + 1) bế tắc

Lời giải mong muốn:

x2 – y2 + 4x – = (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2

*Ví dụ 2:

- (trong tiết 25: Luyện Tập (Toán tập 1)) Khi giáo viên đưa tập Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: x xy x y

y x xy x       2

Sai lầm: Nhiều học sinh cho ba hạng tử có nhân tử chung x Học sinh đưa lời giải sau:

y x xy x y x xy x       2

= x x y y

y y x x       ) ( ) (

(lời giải sai- phân thức chưa rút gọn) Nguyên nhân: học sinh thiếu kỹ phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa học xong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)

- Hay phân tích đa thức x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử nhiều học

sinh hai hạng tử có nhân tử chung x, hai hạng tử có nhân tử chung 3xy, hai hạng tử cuối y, nên đưa lời giải sau:

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y)

= x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức không phân tích nữa)

Lời giải đúng:

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)

= (x + y)3 – (x + y)

= (x + y)[(x + y)2 – 1]

= (x +y)(x + y + 1)(x +y – 1)

*Ví dụ 3: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a)-SBT-tr6)

Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2

= (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = (kết sai)

Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2

= [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y)

= 2y.2x = 4xy

Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu

- Hoặc trường hợp phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1)2 – (x + 3)2.

Nhiều học sinh biết áp dụng đẳng thức vào phân tích đa thức chưa phương pháp đưa lời giải sau

(2x - 1)2 – (x + 3)2

= 4x2 – 4x – – x2 – 6x – 9

= 3x2 – 10x – 10 (đây lời giải sai)

Lời giải mong muốn:

(2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]

= (2x – – x - 3)(2x – + x + 3) = (x - 4)(3x + 2)

*Ví dụ 4: Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử.

Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y

Sai lầm cách viết hạng tử lại ngoặc, Học sinh bỏ sót số (HS cho bước thứ hai đặt nhân tử chung 3x2y hạng tử thứ trong

ngoặc cịn lại số 0)

Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1

= 3x2y ( 5y - 3x + 1)

*Ví dụ 5: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.

Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )

= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai )

Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai

(y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến:

9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 sai

- Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2

= (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x)

Khi đứng trước tốn phân tích đa thức thành nhân tử em chưa có khả nhận dạng, nhận định xem toán nên giải nào, áp dụng phương pháp để giải cho phù hợp q trình phân tích em cịn gặp nhiều sai sót lời giải cách trình bày

*Phương pháp hình thành kỹ cho học sinh:

- Nhận dạng đặc trưng(bài toán thuộc dạng nào)

- Mục đích việc nhóm hạng tử, sử dụng đẳng thức cho toán

*Sai lầm vận dụng kiến thức cho tốn: *Ví dụ 6:

- Phân tích đa thức 2x2 - – 4x + 14 thành nhân tử

Sai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm dấu nhóm hạng tử nên thực sau:

2x2 - – 4x + 14 = (2x2 – 7) – (4x + 14)

= x(2x – 7) – 2(2x + 7) khơng phân tích được Lời giải móng muốn:

2x2 - – 4x + 14 = (2x2 – 7) – (4x – 14)

= x(2x – 7) – 2(2x – 7) = (2x – 7)(x – 2)

- Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Một số học sinh đưa lời

giải sau:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết sai) Lời giải đúng:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

- Trường hợp phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Một số

học sinh đưa lới giải sau

= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết sai bỏ sót số 1) *Ví dụ 8: Hay phân tích đa thức x2 – 5x + thành nhân tử Học sinh thường mắc

sai lầm tách (b1x + b2x = bx) b1x.b2x = acx2 Trong thực hành học sinh thường

giải sau:

x2 – 5x + = x2 – 2x – 3x+

= (x2 – 2x) – (3x + 6)

= x(x – 2) – 3(x + 2) khơng phân tích nữa Lời giải đúng:

x2 – 5x + = x2 – 2x – 3x+

= (x2 – 2x) – (3x – 6)

= x(x – 2) – 3(x – ) = (x -2)(x - 3)

- Hay tìm ĐKXĐ phương trình:

1

2  x

x Học sinh gặp nhiều lúng

túng chưa tìm cách giải

Vì để giải tốn học sinh cần có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo

Nhưng việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử thơng thường đa số em gặp nhiều khó khăn Do em quên kiến thức chưa biết vận dụng kiến thức cách hợp lý Các em biết vận dụng phương pháp riêng lẻ vào giải toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp phương pháp vào giải tốn khó với u cầu cao

*Phương pháp hình thành kỹ cho học sinh:

- Khi nhóm hạng tử cần ý dấu hạng tử (nếu trước dấu ngoặc dấu “– ” đổi dấu hạng tử bên dấu ngoặc)

- Định hướng cho học sinh thấy mối quan hệ nhóm - Định hướng cho học sinh hiểu thực tách hạng tử

bx = (b1 + b2)x =b1x + b2x

*Sai lầm vận dụng kiến thức giải toán ứng dụng: *Ví dụ 9: Giải phương trình 2x3 + 6x = x2 + 3x (bài 25a tr17 SGK)

Sai lầm: Học sinh thường mắc sai lầm chuyển vế khơng đổi dấu dẫn đến phương trình có nghiệm sai thực sau:

2x3 + 6x = x2 + 3x

<=> 2x3 + 6x + x2 + 3x = 0

<=> (2x3 + x2 ) + (3x+ 6x) = 0

<=> x2(2x + ) + 3x(1+ 2x) = 0

<=> x(x + 3)(2x + 1) =

<=>

0

3

2x 1=0

2

x x

x x

x

 

 





    



  

  



Vậy tập nghiệm phương trình:

1

S= -3; ;0

2

  

 

  lời giải sai

2x3 + 6x = x2 + 3x

<=> 2x3 + 6x - x2 - 3x = 0

<=> (2x3 - x2 ) + (6x -3x) = 0

<=> x2(2x - ) + 3x(2x -1) = 0

<=> x(x + 3)(2x - 1) =

<=>

0

3

2x-1=0

2

x x

x x

x

 

 





    





  



Vậy tập nghiệm phương trình:

1 S= -3; ;0

2

 

 

 

*Ví dụ 10: Giải phương trình (3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10) (bài 25b tr17 SGK)

Sai lầm thứ nhất: Chia hai vế phương trình cho đa thức 3x -1 dẫn đến phương trình nghiệm thực sau:

(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)

<=> x2 + = 7x - 10

<=> x2 - 7x +12 = 0

<=> x2 - 3x - 4x +12 = 0

<=> x(x - 3) - 4(x- 3) = <=> (x - 3)(x - 4) = <=>

3

4

x x

x x

  

 



    

 

Vậy tập nghiệm phương trình s= 3;4  lời giải sai

Sai lầm thứ 2: Chuyển vế đổi dấu hai nhân tử (3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)

<=> (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1) - (7x - 10) = toán sai

Lời giải đúng:

(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)

<=> (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1)(7x - 10) = 0

<=> (3x - 1)(x2 - 7x +12) = 0

<=> (3x - 1)(x2 - 3x - 4x +12) = 0

<=> (3x - 1)(x - 3)(x - 4) =

<=>

1

3x-1=0 3

3

4

x

x x

x x

   



    





   

 



Vậy tập nghiệm phương trình

1

s= ;3;4

3

 

 

 

- Nhắc lại cho học sinh hai quy tắc biến đổi phương trình(quy tắc chuyển vế quy tắc nhân với số)

- Biến đổi phương trình có bậc lớn dạng phương trình tích(phân tích vế trái thành nhân tử)

- Chuyển vế hạng tử đổi dấu hạng tử, chuyển vế tích nhân tử cần đổi dấu nhân tử

*Sai lầm việc phân tích tốn chưa triệt để:

*Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 – 9x3 + x2 – 9x

TH1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)

TH2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)

= x3 (x – 9) + x(x – )

= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)

Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x

= x(x3 – 9x2 + x – 9)

= x[(x3 – 9x2) + (x – 9)]

= x[x2(x – 9) + (x – 9)]

= x(x – 9)(x2+ 1)

Trong chương trình sgk Tốn giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử với phương pháp có tập học sinh gặp khó khăn trình giải Ví dụ 52,57 sgk tr 24,25 (Toán tập 1)

Bài 52a phân tích đa thức x2 – 3x + thành nhân tử

Với đa thức ta áp dụng phương pháp học để phân tích SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x tách = - + 6, từ đa thức dễ dàng phân tích tiếp Vậy với đa thức khác, có dạng tương tự ta làm nào?

Vấn đề đặt cách tách ngẫu nhiên hay có phương pháp dựa quy luật nào, vấn đề chương trình sách giáo khoa chưa đề cập đến chưa đưa phương pháp giải tổng quát, thực tế q trình giải tốn, học sinh lại gặp nhiều tập dạng (như đề cập ví dụ trên)

Qua khảo sát thực trạng học sinh trường THCS Mỹ Cát môn Tốn nhóm tốn tiếp xúc, trị chuyện với học sinh sau số tiết dạy “các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

Qua trình giảng dạy, nghiên cứu dự đồng nghiệp, trao đổi học sinh, nhóm tốn đánh giá rút số thực trạng việc dạy học giáo viên học sinh trường THCS Mỹ Cát

Từ thực trạng vừa nêu chứng tỏ năm qua kết học tập mơn Tốn học sinh trường THCS Mỹ Cát chưa tốt, có số học sinh giỏi, so với mức độ học sinh trường THCS Vậy lại có kết trên, theo tơi chủ yếu nguyên nhân sau

* Nguyên nhân khách quan:

- Trường THCS Mỹ Cát trường nằm vùng điều kiện kinh tế phát triển - Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập nhà

Mơn Tốn mơn học khó, khơ khan để học tốt mơn tốn địi hỏi học sinh phải có tư nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện

Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, thiếu kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu

Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt

2 Ý nghĩa tác dụng giải pháp mới.

Giúp học sinh phân tích tốt đa thức thành nhân tử, vận dụng giải số phương trình dạng tốn có liên quan Đồng thời giúp học sinh có cách quan sát phân tích tốn cách phù hợp nhằm đưa cách giải hợp lý

3 Phạm vi nghiên cứu đề tài.

- Giới hạn nội dung nghiên cứu: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

- Đối tượng: học sinh khối

- Giới hạn địa bàn: Trường THCS Mỹ Cát - Phù Mỹ - Bình Định

II Phương pháp tiến hành. 1 Cơ sở lý luận thực tiễn: a Cơ sở lí luận:

- Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu

- Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện lực tư tốn học Phát huy trí lực học sinh điều vơ quan trọng, sở vững để em học tập toán học tốt Trong chương trình tốn học phổ thơng phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề dặc biệt quan tâm Vì sử dụng nhiều giải toán đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình xuyên suốt trình học tập sau học sinh

- Việc học tốn khơng phải học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn “phân tích đa thức thành nhân

tử” dạng toán quan trọng (của môn đại số 8) đáp ứng yêu cầu này, nền

tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau Nhất học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, … - Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp q trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua ví dụ cụ thể, việc phân tích khơng q phức tạp không ba nhân tử

xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán Tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn

- Học sinh thường lĩnh hội kiến thức cách thụ động, chưa tìm cách giải cho dạng tốn cụ thể, khơng có tính sáng tạo làm bài, khơng làm tập tương tự dù dễ giáo viên chữa

- Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Việc tìm phương pháp thích hợp cho lời giải tốn ngắn gọn, xác, khoa học hay tìm nhiều cách giải khác toán tất phụ thuộc vào việc tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh Khi lựa chọn phương pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển tư tốn học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ vận dụng kiến thức học giải tốn cụ thể Khơng phân tích đa thức thành nhân tử học sinh ôn lại hay sử dụng kiến thức liên quan như: Hằng đẳng thức, kỹ thêm bớt tách hạng tử, tính nhẩm nghiệm đa thức Nói chung, thủ thuật tốn học để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử địi hỏi học sinh phải tư nhiều nắm kiến thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức

- Trong việc dạy học mơn tốn giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt tự tìm tịi kiến thức mới, khơng với phương pháp bản, thông thường mà cịn phải hình thành lên số phương pháp khó hơn, phải có thủ thuật riêng đặc trưng từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng tốn khó Đây thuận lợi cho giáo viên học sinh đổi cách dạy học

- Xuất phát từ thực tế trên, xếp dạng tập phân tích đa thức thành nhân tử cho em giải tập phân tích đa thức thành nhân tử cách dễ dàng nhất, giúp em hệ thống dạng loại tập, theo mức độ khó dần, nâng cao lực tư sáng tạo giải toán đối tượng học sinh

b Cơ sở thực tiễn:

- Qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giáo viên trường, đồng thời qua đợt kiểm tra, kì thi Tơi nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập như: Cộng trừ phân thức khơng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ để giải dạng tốn cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử

- Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu

- Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt

- Trong thực tế giảng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốn liên quan cơng việc quan trọng khơng thể thiếu Để làm điều người thầy phải cung cấp cho học sinh số kiến thức phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Để phân tích đa thức thành nhân tử có phương pháp là: Đặt nhân tủ chung, nhóm hạng tử, dùng đẳng thức,và phối hợp nhiều phương pháp (sgk – Toán tập 1) với phương pháp học sinh gặp khó khăn q trình giải tốn( có chưa thể giải khơng có phương pháp tổng quát để giải) Vì dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh phương pháp khác (ngoài sách giáo khoa) như: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ( đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng Đặc biệt học sinh giỏi, giúp em biết lựa chọn phương pháp thích hợp gặp dạng tốn khó

- Hiểu điều này, kinh nghiệm dạy học tốn Tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Rèn luyện kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú với mơn tốn nói chung tốn phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp mới:

- Tiến hành tổ chức lồng ghép thường xuyên tiết dạy theo yêu cầu mức độ khác

- Lựa chọn tập, phương pháp tổ chức lồng ghép hợp lý, phù hợp với đối tượng học sinh nhằm phát huy tính sáng tạo học sinh

- Thông qua tiết tập, giáo viên xây dựng cho học sinh phương pháp phân tích, suy luận, tìm tịi… từ giáo viên giao cơng việc, tập nhà để học sinh tìm tòi cách giải nhanh hơn, gọn hơn…

- Qua tiết ôn tập cần cho thêm tập tổng hợp nhằm củng cố kiến thức đồng thời móc xích đơn vị kiến thức

- Hướng dẫn học sinh cách tham khảo tài liệu, sách báo, phân biệt dạng tốn… gắn vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi

- Tổ chức lồng ghép tiết dạy khố tự chọn có liên quan đến dạng loại

- Đưa chuyyên đề thực tiết học tự chọn, tiết thao giảng để đồng nghiệp dự góp ý rút kinh nghiệm

- Thảm khảo ý kiến đồng nghiệp có kinh nghiệm q trình giảng dạy để xây dựng, hoàn thiện đề tài

- Lựa chọn tập liên quan đến phần phân tích đa thức thành nhân tử sách giáo khoa, sách tập lớp 6,7,8,9 số đề thi học sinh giỏi toán 8, số tài liệu khác

- Nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học Tốn, tài liệu có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu hệ thống kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Cụ thể tài liệu thiết thực học sinh phổ thông sở như:

Một số vấn đề đổi PPDH trường THCS mơn tốn – Bộ GD&ĐT 2008 Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tơn Thân – Nhà xuất GD Nâng cao phát triển Toán - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất GD

Những vấn đề chung đổi giáo dục THCS mơn Tốn – Nhà xuất GD Phương pháp dạy học đại cương mơn Tốn – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất ĐHSP

Giáo trình phương pháp dạy học nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất ĐHSP

- Thời gian: Thực từ năm học 2008 - 2012

- Trong qua trình vây, tơi sử dụng phương pháp qua trình thực đề tài:

Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp khảo sát thực tiễn Phương pháp phân tích

Phương pháp tổng hợp Phương pháp khái quát hóa Phương pháp quan sát Phương pháp kiểm tra

B NỘI DUNG I Mục tiêu.

Tên đề tài: “Rèn luyện kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân

tử”

Nhiệm vụ:

- Khảo sát thực trạng việc học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử trường THCS Mỹ Cát

-Xây dựng hệ thống tập tỉ lệ thức để củng cố, bồi dưỡng học sinh, kiểm tra đánh giá khả lĩnh hội tri thức học sinh

- Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng tốn

- Học sinh có khả phân tích thành thạo đa thức thành nhân tử - Phát huy khả suy luận, phán đốn tính linh hoạt học sinh - Phát triển học sinh lịng ham thích, hứng thú, say mê học toán

- Giúp học sinh khái quát hóa, hệ thống hóa, có khả tự giải nhiều dạng tập Gây hứng thú cho học sinh học toán, tạo cảm giác tiết học nhẹ nhàng cho thầy trị Thơng qua thấy phong phú tốn học ứng dụng sống

- Giúp học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phát vận dụng phương pháp giải phù hợp với toán cụ thể dạng khác

- Qua học sinh thấy vai trò ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn, từ giáo dục ý thức học tập học sinh góp phần nâng cao chất lượng giáo dục mơn tốn

II Mơ tả giải pháp đề tài.

1 Thuyết minh tính mới.

Nhằm giúp học sinh học tập tốt tất mơn học nói chung mơn Tốn nói riêng phải làm tốt cơng tác giáo dục học sinh Từ áp dụng giải pháp dạy học theo hướng tích cực đạt hiệu tốt Điều quan kết hợp chặt chẽ công tác giáo dục học sinh với giải pháp đề tài đem lại hiệu trinh ứng dụng vào giảng dạy



Công tác giáo dục học sinh.

* Giáo dục HS thông qua sinh hoạt trường:

- Tổ chức cho HS thảo luận nội qui nhà trường hướng dẫn cho em thực nội qui, có chế độ khen chê cơng bằng, khách quan

- Trong buổi chào cờ đầu tuần, cần phải đánh giá nhận xét chu đáo, nêu gương người tốt, việc tốt để em noi theo, hạn chế vi phạm nội qui lớp học , trường học

* Giáo dục HS thông qua sinh hoạt lớp:

Ngoài việc giáo dục HS thông qua sinh hoạt trường, sinh hoạt lớp (SHL) quan trọng vấn đề Bởi thơng qua SHL, GVCN, CB lớp kịp thời uốn nắn sai trái khuyết điểm HS bị vi phạm, lấy tình cảm bạn bè, lấy nghĩa thầy trò làm cho em thấy khuyết điểm Đồng thời với chân thành GVCN, HS lớp, HS vi phạm sớm nhận lỗi lầm mà sửa chữa

Trong giáo dục em, GVCN không nên nặng kiểm điểm, phê bình, mà phải tìm xác định nguyên nhân tác động đến em làm cho em mắc sai lầm, vi phạm, vận dụng điều khoản nội qui, qui định xếp loại TT40 làm cho em thấy phạm vi vi phạm mức độ nêu hướng cho em khắc phục GVCN nêu việc làm tốt, cố gắng nổ lực thành viên lớp để xây dựng tập thể lớp thành lớp tiên tiến … với thành tích khơng thành viên lớp phá vỡ

- Hội PHHS cầu nối nhà trường, GVCN với gia đình HS Tổ chức Hội việc giúp nhà trường xây dựng CSVC cịn góp phần nhà trường giáo dục HS

- Thực tế, năm qua Thường trực Hội PHHS giúp cho nhà trường, GVCN cách tác động với PH để giáo dục HS từ chỗ bỏ học, trốn học đến học chuyên cần học tập nghiêm túc Mặt khác, TT Hội PHHS tác động đến gia đình em để cha mẹ em quan tâm có trách nhiệm họ hơn, từ hạn chế HS hoang nghịch

* Phối hợp với Đoàn thể lực lượng khác xã hội:

Hiện địa phương hình thành khu dân cư nhiều nơi xây dựng khu dân cư, thơn văn hóa, điều kiện tốt để Đoàn thể với nhà trường, qua giáo dục HS Các đồn thể, quyền địa phương giúp cho thành viên xây dựng gia đình văn hóa, hạn chế tình trạng cha mẹ bỏ mặc làm ăn, mối bất hòa gia đình chấm dứt, từ cha mẹ có điều kiện chăm sóc giáo dục tốt

* Dùng phương pháp kết bạn:

Thường lứa tuổi HS dễ bị ảnh hưởng thói hư tật xấu dễ tiếp thu điều hay lẽ phải, dễ hịa vào trị chơi có tính tập thể, tính giáo dục cao Do GVCN nên phân cơng nhóm bạn tốt, hồn cảnh, sở thích, uớc mơ sinh hoạt, học tập với đối tượng lơi kéo em hịa nhập vào chơi bổ ích, từ xóa bỏ mặc cảm HS hư để với thành viên lớp xây dựng tập thể vững mạnh

Mặt khác, thơng qua nhóm bạn tốt, GVCN giao cho HS thực số công việc, tạo điều kiện để HS hồn thành động viên khích lệ Ngồi vận động gia đình nhóm bạn tốt tham gia vào việc giúp đỡ HS cách tạo cho em tâm lý xem gia đình bạn gia đình mình, tạo điều kiện cho em tham gia học tập với em để tách dần khỏi nhóm bạn chưa ngoan Việc làm cố gắng vai trị GVCN quan trọng tham gia Hội PHHS cần thiết



Giải pháp đề tài

 Đề tài đưa giải pháp sau:

- Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán

- Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử  Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức

+ Phương pháp Đặt nhân tử chung

Nhằm đưa dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)

* Phương pháp tìm nhân tử chung (với Đa thức có hệ số nguyên):

- Hệ số nhân tử chung ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử - Lũy thừa chữ nhân tử chung phải lũy thừa có mặt tất hạng tử Đa thức, với số mũ nhỏ hạng tử

+ Phương pháp Dùng đẳng thức

- Giúp học sinh thấy hạng tử lập thành đẳng thức: Xác định biểu thức A, B

Số lượng biến bậc đa thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử

Dựa vào mối quan hệ sau:

- Thành lập nhóm dựa t heo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

Mỗi nhóm phân tích

Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực

 Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ

+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)

Khi phải phân tích đa thức thành nhân tử nên theo bước sau: - Đặt nhân tử chung tất hạng tử có nhân tử chung

- Dùng đẳng thức có

- Nhóm nhiều hạng tử( thường nhóm có nhân tử chung, đẳng thức) cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc đổi dấu hạng tử

+ Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán

+ Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành + Tìm tịi cách giải hay, khai thác tốn

+ Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)  Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư (giới thiệu phương pháp)

+ Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác

Tổng quát: Khi phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa về dạng ax2 + b

1x + b2x + c cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho

a b1

= b2

c

hay b1b2 = ac

Trong thực hành ta làm sau:

Bước 1: Lập tích ac.

Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách. Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b.

+ Phương pháp thêm bớt hạng tử + Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến)

+ Phương pháp tìm nghiện đa thức + Phương pháp hệ số bất định

+ Phương pháp xét giá trị riêng

Tuy nhiên khuôn khổ giới hạn đề tài phụ thuộc vào trình độ nhận thức học sinh Tơi khơng có tham vọng sâu nghiên cứu tất phương pháp, mà tập chung vào phương pháp (phương pháp 1,2,3,4)và thêm hai phương pháp nâng cao (phương pháp 5,6) Các phương pháp cịn lại (phương pháp 7,8,9,10) mang tính chất giới thiệu

2 Khả áp dụng.

a Thời gian áp dụng.

- Sau thực đề tài GV thấy em làm tập toán với phong cách nghiên cứu, hứng thú học tập có nhiều sáng tạo cách giải Đặc biệt với toán đưa em ln tìm hiểu cách giải khác Từ tìm phương án tối ưu để giải tốn

- Trước viết đề tài tơi lấy số tốn để bồi dưỡng cho

một số học sinh khá, giỏi trường kết đạt tốt

- Hình thành cho học kỹ giải vấn đề có phương pháp, làm việc có khoa học

- Đối với việc giải toán nâng cao, học sinh quen dần việc vận dụng mở rộng kiến thức, hình thành khái quát thành phương pháp giải, để giải toán có hiệu

- Các tiết học tốn ngày có chất lượng giáo viên biết phối hợp, lồng ghép kiến thức, phương pháp giải toán, nhàm phát triển tư cho học sinh - Mong tài liệu để GV tham khảo dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử cho có kết tốt

- Tôi thấy trước thực chuyên đề học sinh thường lúng túng đâu, đường lối làm dễ Sau học giới thiệu chuyên đề số em hiểu cách giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tăng lên rõ rệt Điều chứng tỏ việc phân dạng tập phân tích đa thức thành nhân tử thiếu mơi trường tốn THCS

- Qua q trình áp dụng kinh nghiệm dạy học theo đề tài thực hiện, nhận thấy sau:

+ Về tâm lý: Đã bước tạo hứng thú, khơi dậy lịng say mê học tập mơn Tốn học sinh Chính mà em khơng cịn xem nhẹ việc học tập

+ Về kiến thức: Học sinh hoạt động tích cực chủ động hơn, đa phần học sinh chiếm lĩnh kiến thức cách nhanh chống chắn

+ Về kỷ năng: Kỹ trực quan, tư duy, phân tích, tổng hợp học sinh nâng cao hoàn thiện Đồng thời học sinh vận dụng liến thức vào sống thực tiễn cách dễ dàng hiệu

Chính mà sau tiến hành vận dụng số kinh nghiệm dạy học theo PP năm học 2011-2012 thu được k t qu nh sau:ế ả ư

Năm học Sĩ số Phạm vi Giỏi Khá Tbình Yếu Kém TB

2008-2009 155

Đại số

8 45 87 14 140

2009-2010 145 12 55 70 137

2010-2011 140 16 65 55 136

2011-2012 134 20 76 38 134

*Nhận xét:

- Học sinh nắm vững kiến phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, cịn số học sinh yếu, chưa thực tốt

- Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều tốn

tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy khả toán học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán

*Trong HKI năm học 2011 – 2012, tơi đồng nghiệp nhóm vận dụng sáng kiến vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh thấy em hào hứng trình tìm tịi lời giải hay hợp lý Số học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vận dụng vào tập tương đối tốt

b Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:



Lý thuyết

* Định nghĩa: Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi Đa thức đó thành tích đa thức



Các phương pháp bản

* Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung a) Phương pháp

- Tìm nhân tử chung Đơn thức, Đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác

- Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng)

Nhằm đưa dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)

* Phương pháp tìm nhân tử chung (với Đa thức có hệ số nguyên):

- Hệ số nhân tử chung ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử - Lũy thừa chữ nhân tử chung phải lũy thừa có mặt tất hạng tử Đa thức, với số mũ nhỏ hạng tử

b) Ví dụ

Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử.

Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2

= 3x2y ( 5y - 3x - y2 )

Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử

Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2

= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy)

Phân tích ví dụ

- Ta thấy hệ số nguyên dương hạng tử ví dụ 1.1 là: 15; 9; và ƯCLN(15, 9, 3) = Vậy hệ số nhân tử chung là: 3

- Lũy thừa chữ hạng tử ví dụ 1.1 là: x2y2 ; x3y ; x2y3 Lũy thừa

bằng chữ có mặt tất hạng tử x y, số mũ lớn x y là Vậy ta có lũy thừa chữ nhân tử chung : x2y

Vậy nhân từ chung đa thức ví dụ 1.1 là: x2y

Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử

Với ví dụ lúc đầu học sinh gặp lúng túng cách xác định nhân tử chung Giái viên đưa gợi ý:

? - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) ? - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ?

- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) ngược lại để xuất nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ giải sau:

Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y))

= 10x(x – y) + 8y(x – y)

= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y

= 2(x – y)(5x + 4y)

Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử

Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y )

= 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)

Chú ý: Nhiều để xuất nhân tử chung cần đổi dấu hạng tử

(lưu ý tích chất: A = -(-A)) c) Bài tập áp dụng

* Dạng 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 12x2y - 18y3

2 5x(x - 1) – 3x(x - 1) x(x + y) – 2xy(y - x) x2 + 5x3 + x2y

5

x(y - 1) -5

y(1 - y) 3x2(2z - y) - 15x(y - 2z)2

7 2x2(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y)

* Dạng 2: Tính nhanh: 1) 85.12,7 + 5.3.12,7 2) 52.143 – 52.39 – 8.26

*Dạng 3: Tính giá trị biểu thức: 15.91,5 + 150.0,85

2 x(x-1) – y(1 – x) x = 2001 ; y = 1999 x2 + xy + x x = 77; y = 22

4 x(x-y) + y(y-x) x = 53; y = * Dạng 4: Tìm x, biết:

1 5x(x-2000) – x + 2000 = x3 – 13x = 0

3 x + 5x2 =

4 x + = (x + 1)2

5 x3 + x = 0

* Dạng 5: Chứng minh tính chia hết:

1 Chứng minh dằng : 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n số tự nhiên)

2 Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho với số

nguyên n

* Phương pháp 2: Dùng đẳng thức a) Phương pháp

- Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa về

“dạng tích”

1 A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2

4 A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3

5 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3

6 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

7 A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

- Giúp học sinh thấy hạng tử lập thành đẳng thức: Xác định biểu thức A, B

Số lượng biến bậc đa thức

b) Ví dụ

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 2.1: 9x2 + 6xy + y2 = (3x2) + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2 Ví dụ 2.2: 4x2 - 12x + = (2x)2- 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2

Ví dụ 2.3: a (x + y)2 – (x– y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]

= (x + y – x + y)(x + y + x – y)

= 2y.2x = 4xy

b 9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)

c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2

= (x - 3y)(7x + y)

Ví dụ 2.4: 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3

= (2x + y)3

Ví dụ 2.5: 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3

= (3 - x)3

Ví dụ 2.6: 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2)

Ví dụ 2.7: - 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = (1 – 3xy2)[12 + 3xy2 + (3xy2)2 ]

= (1 – 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4 )

Khai thác ví dụ:

Qua ví dụ giáo viên hướng cho học sinh cách nhận dạng vận dụng cách hợp lý đẳng thức q trình phân tích đa thức thành nhân tử Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà:

- Nếu gặp Đa thức có hạng tử, có hạng tử có dạng bình phương (A2 và

B2) hạng tử lại phân tích dạng (2.A.B)

(– 2.A.B ) tìm cách phân tích đưa dạng đẳng thức (1) (2) (Ví dụ 2.1; 2.2)

- Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) có dạng phân tích, đưa dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) áp dụng đẳng thức thứ (3) (Ví dụ 2.3)

- Nếu gặp Đa thức có hạng tử, có hạng tử có dạng (hoặc phân tích đưa dạng) lập phương (A3 B3 A3 -B3 ) hai hạng tử cịn lại có thể

phân tích đưa dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) áp dụng hằng

đẳng thức thứ (4) thứ (5) (Ví dụ 2.4; 2.5)

- Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu tổng hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) phân tích, đưa dạng lập phương (A3 B3) áp dụng đẳng thức thứ (6) (7) (Ví dụ 2.6; 2.7)

Chú ý: Đôi cần phải đổi dấu hạng tử áp dụng đẳng thức

Ví dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử:

Giải: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16)

=[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42]

c) Bài tập áp dụng

* Phân tích đa thức thành nhân tử a x2 + 6x + b 10x – 25 – x2

2 a x2 + 4y2 – 4xy b 6x – – x2

3 a, 4x2 – 25 b (3x + 1)2 - (x + 1)2 c 25

1

x2 – 64y2

4 a x3 + 27

1

b 8x3 - 8

1

c (a + b)3 – (a - b)3

5 x3 + y3 + z3 – 3xyz

Hướng dẫn: áp dụng 31 (sgk – tr 16) ta có: x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

: x3 + y3 + z3 – 3xyz = [(x + y)3 + z3] + [-3xy(x + y) - 3xyz]

= (x + y + z)[(x + y)2 – z(x + y) + z2] – 3xy(x + y

+z)

= (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – xz -zy)

*Tính nhanh:

1 a 252 – 152 b 372 – 132 c 20092 - 92 2 872 + 732 – 272 - 132

* Tìm x biết: – 25x2 = 0

2 x2 – x + 4

1

= x3 – 0,25x = 0

4 x2 – 10x = - 25

*Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử a) Phương pháp

Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức

Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau:

- Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán - Thành lập nhóm dựa t heo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

+ Mỗi nhóm phân tích

+ Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực

b)Ví dụ

* Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 3.1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22)

b xy - 5y + 2x – 10 c 2xy + z +2x +yz

Giải: a Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y)

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)

Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y )

x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y )

b xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) c Cách 1: nhóm (2xy + z) (2x +yz) ta có

2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức phân tích được)

Cách 2: nhóm (2xy + 2x) (z + yz) ta có

2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)

= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

*Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ 3.2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a x2 – 2x + – 4y2 b x2 + 4x – y2 +

Giải: a x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2

= (x – 1)2 – (2y)2

= (x – – 2y)(x – + 2y) b.Cách Nhóm: (x2 + 4x) – (y2 - ) ta có

x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x) - (y2 - )

= x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) (Đa thức phân

tích tiếp)

Cách Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có

x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2

= (x + – y)(x + +y)

* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 3.3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a x2 – 2x – 4y2 – 4y

b x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

Giải:

a Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) (- 4y2 - 4y) ta có

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y)

= x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức khơng phân tích tiếp

được)

Cách 2: Nhóm (x2 – 4y2 ) ( - 2x - 4y ) ta có

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)

= (x + 2y)(x – 2y – 2)

b Cách 1: Nhóm (x3 – x) (3x2y + 3xy2 ) (y3 – y ) ta có

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

= (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y )

= x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1)

= x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)

(Đa thức khơng thể phân tích tiếp )

Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) (- x - y) ta có

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)

= (x + y)3 – ( x + y)

= (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)

Chú ý: Trong trình nhóm hạng tử, phải ý tới dấu hạng tử sau

khi nhóm

ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Học sinh có

thể đưa lới giải sau

Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai)

Sai lầm học sinh là:

- Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu hạng tử ở ngoặc thứ hai sau nhóm)

Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên

Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:

-Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm

-Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm

* Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích

thành nhân tử phải tiếp tục không thực nữa, cách nhóm sai bị nhầm dấu q trình nhóm, phải thực lại (Ví dụ 3.1c Cách1 ; Ví dụ 3.2b cách 1; Ví dụ 3.3a cách 1)

c ) Bài tập áp dụng

* Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – x – y2 – y

2 x2 – 2xy + y2 – z2

3 3x2 – 3xy – 5x + 5y

4 xz + yz – 5(x + y) a3 – a2x – ay + xy

6 xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz x2 + 4x – y2 + 4

8 x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2

9 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

10 2x3 – 3x2 + 2x – 3

* Tính nhanh giá trị đa thức

1 x2 – 2xy – 4z2 + y2 x = 6; y = -4; z = 45

2 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 tại x = 0,5

* Tìm x ; biết

1 x(x - 2) + x - = 5x(x - 3) – x + =

*Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp a) Phương pháp

Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt

nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách

cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp

Khi phải phân tích đa thức thành nhân tử nên theo bước sau: - Đặt nhân tử chung tất hạng tử có nhân tử chung

- Dùng đẳng thức có

- Nhóm nhiều hạng tử( thường nhóm có nhân tử chung, đẳng thức) cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc đổi dấu hạng tử

b) Ví dụ: Phân tích Đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 4.1: 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) ( Đặt nhân tử chung)

=3x (y - )2 ( Dùng đẳng thức) Ví dụ 4.2: 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x2 + 2x + – y2) ( Đặt nhân tử chung)

= 2[(x2 +2 x + 1) – y2] (Nhóm hạng tử)

= 2[(x + 1)2 – y2] ( Dùng đẳng thức)

= 2(x + - y)(x + + y)

Ví dụ 4.3: 2x – 2y – x2 + 2xy – y2

= (2x – 2y) – (x2 - 2xy + y2) (Nhóm hạng tử)

= 2(x - y) – (x - y)2 ( Dùng đẳng thức)

= (x - y)[2 – (x - y)] ( Đặt nhân tử chung) = (x - y)(2 – x + y)

Ví dụ 4.4: 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2

= 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) ( Đặt nhân tử chung)

= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] (Nhóm hạng tử)

= 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] ( Dùng đẳng thức)

= 5x3y2(x - - y - z)(x - + y + z) Ví dụ 4.5: 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy

=3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) ( Đặt nhân tử chung)

=3xy

2 2

(x 2x 1) (y 2ay a )

      

  (Nhóm hạng tử)

=3xy    

2

x y a

    

  ( Dùng đẳng thức)

=3xyx 1  ya    x 1  ya(Dùng đẳng thức) =3xy( x - - y - a)(x - + y +a )

Ví dụ 4.6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (Bài tập 57- SBT-tr toán tập 1);

Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn

Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).

Giải:

A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

= [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3

= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3

= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)

= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)

= 3(x + y)(y + z)(x + z)

Khai thác ví dụ:

Quan sát ví dụ 4.1; 4.2 ta thấy hạng tử đa thức có nhân tử chung Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau đặt nhân tử chung ta thấy hạng tử lại ngoặc có dạng đẳng thức) sau nhóm hạng tử thích hợp, dùng đẳng thức phân tích tiếp đa thức Ví dụ 4.3 ta thấy hạng tử khơng có nhân tử chung, có hạng tử thứ hạng tử thứ hai có nhân tử chung, hạng tử cịn lại có dạng đẳng thức, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp tiến hành phân tích nhóm( phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức ) xuất nhân tử chung, đa thức phân tích tiếp Các ví dụ cịn lại làm tương tự

Như để phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng phối hợp nhiều phương pháp không thiết phải theo trình tự định Các phương pháp sử cách phù hợp trường hợp, toán cụ thể

* Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức một

cách triệt để.

c) Bài tập áp dụng

* Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + 2x3 + x2

2 x3 – 2x2 + x

3 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2

4 x3 + 2x2y + xy2 – 9x

5 x4- 2x2

6 x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

7 5x2 + 5xy – x – y

8 20z2 – 5x2 – 10xy – 5y2

* Tìm x biết : 5x(x - 1) = x – 2(x + 5) – x2 – 5x = 0

3 x3- 4

1

x =

4 (2x2 - 1) – (x + 3)2 = 0

5 x2(x - 3) + 12 – 4x = 0

* Tính nhanh : x2 + 2

1

x + 16

1

tại x = 49,75 x2 – y2 – 2y – tại x = 93 y = 6

* Chứng minh :

1) (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n.

2) n3 – n chia hết cho với số nguyên n.

 Khai thác ví dụ 4.6: Từ ví dụ 4.6 ta mở rộng cho tập sau: 1) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyên

2) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7) Hướng dẫn:

Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) x + y + z = 0; x + y = – z

Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành giới thiệu bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức,

nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp Tuy nhiên phần tập lại có

những khơng thể áp dụng bốn phương pháp để giải, (Chẳng hạn bài

tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” hạng tử thành hai

hạng tử khác “ thêm bớt hạng tử ” thích hợp áp dụng phương pháp để giải Xin giới thiệu thêm hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải toán



Các phương pháp khác (nâng cao)

*Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đa thức bậc

hai ax2 + bx + c ). b) Phương pháp

- Tách hạng tử đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất hiện

dạng nhân tử chung có dạng đẳng thức

b)Ví dụ

Ví dụ 5.1: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử

Quan sát Đa thức ta thấy hạng tử khơng có nhân tử chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ khơng thể nhóm hạng tử Như để phân tích đa thức thành nhân tử chung ta cần phải có cách biến đổi khác Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử đa thức thành hay nhiều hạng tử

Giải:

Cách 1: ( tách hạng tử bậc 2: x2 ) x2 - 6x + = 3x2 - 6x - 2x2 + 8

= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]

= (x - 2)(x - 4) Cách 2: ( tách hạng tử bậc 1: - 6x)

x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x +

= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 3: ( tách đồng thời hạng tử bậc hạng tử tư do: )

x2 - 6x + = x2 - 4x + - 2x + 4

= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)

Cách 4: ( tách hạng tử tự do: ) x2 - 6x + = x2 - 6x + - 1

= (x - 3)2 - = (x - 2)(x - 4)

x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12

= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24

= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)

Ví dụ 5.2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử. Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)

Giải: Cách (tách hạng tử bậc hai : 3x2) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2

= (2x – 2)2 – x2

Cách (tách hạng tử bậc nhất: – 8x)

3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + 4

= 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Cách (tách hạng tử tử : 4)

3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16

= 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2)

= 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8)

= (x – 2)(3x – 2)

Nhận xét: Từ ví dụ (5.2), ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:

- Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương (Ví dụ 5.2cách 1) - Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – (ví dụ 5.3cách 2)

- Làm xuất đẳng thức nhân tử chung (ví dụ 5.2cách 3)

Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất các phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải toán.

* Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất:

Nhận xét:- Trong cách giải trên, hai ví dụ ta thấy cách đơn giản và

dễ làm Ở ta tách hạng tử bậc - 8x (ví dụ 5.2) thành hạng tử - 6x - 2x Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + ta thấy hệ số số hạng là: 3, – 6, –2, hệ

số thứ thứ gấp - lần hệ số liền trước tỷ lệ

6 



 hay

(– 6).( – 2)= 3.4 (– 6) + ( – 2)= – 8, nhờ xuất thừa số chung (x - 2)

Phân tích: - Trong đa thức 3x2 – 8x + có a = 3, b = – 8, c = 4

Tính tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b

(ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8)

Tổng quát:

Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa dạng

ax2 + b

1x + b2x + c cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho

a b1

= b2

c

hay b1b2 = ac

Trong thực hành ta làm sau:

Bước 1: Lập tích ac.

Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b.

Áp dụng: Phân tích đa thức: – 6x2 + 7x – thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7)

Ta có: a = – ; b = ; c = –

Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12

Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = = + 3

Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x

Khi ta có lời giải: – 6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – 2

= (– 6x2 + 4x) + (3x – 2)

= (3x – 2)(–2x + 1)

Chú ý:

* Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tương tự đa thức bậc biến

Ví dụ 5.3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Giải

Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2

= 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)

Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2

= 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)

= 4(x - y)2 + y(x - y)

= (x - y)(4x - 3y)

* Đa thức bậc hai ax2 + bx + c khơng phân tích thành tích nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ Nếu:

- Khi phân tích a.c tích thừa số nguyên cách khơng có thừa số nào có tổng b.

Ví dụ: đa thức x2 + 4x + có a = 1; b =

=> a.c = = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3) khơng có thừa số có tổng b =

- Hoặc sau đưa đa thức bậc dạng a(x2 - k) k khơng phải bình

phương số hữu tỷ

Ví dụ: x2 + 4x + = (x2 + 4x + 4) + = (x + 2)2 + = (x + 2)2 - (- 2);

(-2) khơng phải bình phương số hữu tỷ Vậy đa thức x2 + 4x + khơng

phân tích thành tích

Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ

theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung.

Ví dụ 5.4: Phân tích đa thức sau thừa số : n3 – 7n +

Giải: n3 – 7n + = n3 – n – 6n +

= n(n2 – 1) – 6(n – 1)

= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6)

= (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6)

= (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3)

Ví dụ 5.5: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.

Ta có cách tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30

Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30

= x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1)

= x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x – 30)

= (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) c) Bài tập áp dụng

* Phân tích đa thức thành nhân tử:

e 6x2 – 11x + f 9x2 + 12x – g 4x2 - 4x – 3 h 2x2 + 3x – 27

2) a 2x2  5xy + 2y2 ; (áp dụng ví dụ 5.3)

b) 2x2 – 5xy – 3y2.

Giải: a 2x2  5xy + 2y2 = (2x2  4xy)  (xy  2y2)

= 2x(x  2y)  y(x  2y) = (x  2y)(2x  y)

3) a) x2(y  z) + y2(z  x) + z2(x  y) b) xy(x + y)  yz(y + z) + xz(x  z) ;

c) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2xyz ;

d) (x + y)(x2  y2) + (y + z)(y2  z2) + (z + x)(z2  x2) ; e) x3(y  z) + y3(z  x) + z3(x  y) ;

f) x3(z  y2) + y3(x  z2) + z3(y  z2) + xyz(xyz  1)

Hướng dẫn: 3a Nhận xét z  x = (y  z)  (x  y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức :

x2(y  z) + y2(z  x) + z2(x  y)

= x2(y  z)  y2(y  z)  y2(x  y) + z2(x  y)

= (y  z)(x2  y2)  (x  y)(y2  z2)

= (y  z)(x  y)(x + y)  (x  y)(y  z)(y + z) = (x  y)(y  z)(x  z)

Chú ý :

- Ơ câu 3a ta tách y  z =  (x  y)  (z  x) (hoặc z  x=  (y  z)  (x  y))

- Đa thức câu 3.a đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức giá trị đa thức Vì vậy, ngồi cách phân tích cách tách trên, ta còn cách phân tích cách xect giá trị riêng (Phương pháp 10)

4) a) x3 – 4x + ; b) x3 + 7x – ; ( áp dụng ví dụ 5.4) *Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt hạng tử a) Phương pháp

Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thường hay đưa dạng a2- b2 sau thêm bớt.

b) Ví dụ

* Thêm bớt số hạng để làm xuất đẳng thức Ví dụ 6.1: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử.

Cách 1: thêm bớt hạng tử x2 (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2

= (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

Cách 2: Thêm bớt hạng tử x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung ) x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1)

= x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1)

= x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x +

= (x4 – x) + (x2 + x + 1)

= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

Ví dụ 6.2: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử.

Cách 1: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung)

Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + 1

= (x5 + x4 + x3 ) - (x3 - 1)

= x3(x2+ x + 1) - ( x - )(x2+ x + 1)

= (x2+ x + 1)(x3 – x + )

= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)

Ví dụ 6.3: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25)

Gợi ý: ta nhận thấy: x4 = (x2)2 = 22 để xuất đẳng thức bình phương

của tổng, ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 cần bớt 4x2 để giá trị đa thức không đổi.

Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x)

 Khai thác toán:

* Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có toán: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải:

Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức)

x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2

= (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy)

* Thay x4 thành 4x4 thành 81 ta có tốn : 4x4 + 81 Hướng dẫn giải: Thêm 2x2.9 = 36x2 bớt 36x2

4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = ( 2x2 + 9)2 - (6x)2

= (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x)

*Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung

Ví dụ 6.4: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử.

Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung)

Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1

= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)

= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x3 – x + ) Ví dụ 6.5: Phân tích đa thức x5 + x  thành nhân tử

Giải:

Cách 1: Thêm x4 , x3 , x2 bớt x4 , x3 , x2

x5 + x  = x5  x4 + x3 + x4  x3 + x2  x2 + x  1

= x3(x2  x + 1)  x2(x2  x + 1)  (x2  x + 1)

= (x2  x + 1)(x3  x2  1). Cách Thêm bớt x2 :

x5 + x  = x5 + x2  x2 + x  = x2(x3 + 1)  (x2  x + 1)

= (x2  x + 1)[x2(x + 1)  1] = (x2  x + 1)(x3  x2  1). Ví dụ 6.6: Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử.

Giải : x7 + x2 +1 = x7 - x + x2 + x +

= x(x6 - 1) + (x2+ x + 1)

= x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)

 Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x +

c) Bài tập áp dụng

* Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) a 4x4 + ; b) 4x4 + y4 ; c.4x4 - 324

d x5 + x4 + ; e) x5 + x + ; f) x8 + x7 + ;

g) x5  x4 - ; h) x7 + x5 + ; t) x8 + x4 + 1.

Hướng dẫn giải:

Câu 1.a,b,c áp dụng ví dụ 6.3 Câu 1.d, e ,h, f ap dụng ví dụ 6.2

Câu 1.g áp dụng ví dụ 6.4; câu 1.f áp dụng ví dụ 6.1

*Phương pháp 7: Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến số) a) Phương pháp

- Đặt ẩn phụ, đổi biến đa thức cho thành đa thức có bậc nhỏ đơn giản Thực phân tích đa thức theo phương pháp

b) Ví dụ

Ví dụ 7.1: Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + thành nhân tử

Giải: đặt x2 = y ta 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3)

Vậy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3)

Ví dụ 7.2: Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử.

Giải: đặt x2 + x = y ta y2 + 3y + = (y +1)(y+2)

Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2) Ví dụ 7.3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12

Hướng dẫn: Ta thấy đặt (x2 + x) = y đa thức có dạng y2 + 4y - 12.

Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12

= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2)

= (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)]

= (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1)

Ví dụ 7.4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Hướng dẫn: Biến đổi đa thức cho

(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*)

Đặt x3 + 7x + 11 = y (*) = (y - 1)(y + 1) - 24

= y2 - - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5)

Tương đương với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16)

= (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16)

Ví dụ 7.5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Giải

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức cho có dạng :

= (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)

= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) c) Bài tập áp dụng

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x2 + x)2  2(x2 + x)  15 ; b) x2 + 2xy + y2  x  y  12 ;

c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2)  12 ;

*Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm đa thức a Phương pháp:

Cách 1:Dựa vào kết luận:

- Nếu đa thức f(x) có nghiệm a đa thức chứa nhân tử là: (x - a) - Nếu đa thức f(x)có nghiệm q

p

thì đa thức chứa nhân tử là(qx - p) Dựa vào ta tách đa thức f(x) cho xuất hiên nhân tử (x a) (qx -p)

Cách 2: Dựa vào định lý Bơ du

- Đa thức f(x) có nghiệm a f(x) chia hết cho (x - a) Vậy f(x) = (x-a)g(x) Tìm g(x) cách lấy f(x) chia cho (x-a)

- Đa thức f(x) có nghiệm q

p

thì f(x) chia hết cho (qx - p) Vậy f(x) = (qx-p)g(x)

Tìm g(x) cách lấy f(x) chia cho (qx - p) * Cách tìm nghiệm đa thức

Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(a) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) a phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự

Ví dụ: xét đa thức P = x3 + 3x2 –

Nếu đa thức P có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử cịn lại có dạng (x2 + bx + c) hay P = (x - a)(x2 + bx + c)

=> -ac = - a ước -

Vậy đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi.(hạng tử tự do)

Ước (- ) (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức => đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1)

b Ví dụ:

Ví dụ 8.1: Phân tích x3 + 3x2 – thành nhân tử.

Cách 1: x3 + 3x2 - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1)

= (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2

Cách 2: x3 + 3x2 - = x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1)

= ( x - 1)(x2 + x +1) +3(x - 1)(x + 1)

= ( x - 1)(x + 2)2 Chú ý:

- Nếu đa thức có tổng hệ số khơng đa thức có nghiệm 1 (hay chứa nhân tử (x-1))

- Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức có nghiệm (- 1) hay chứa nhân tử ( x + 1)

 Đa thức có nghiệm hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)

Giải: x3 - 5x2 + 8x - = x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4

= (x3 – x2 ) – (4x2 - 8x + 4)

= x2(x - 1) – 4(x - 1)2

= (x - 1)(x2 – 4x + 4)

= (x - 1)(x - 2)2

b.Đa thức: f(x) = 5x3 - 5x2 + 3x + 13 có -5 + 13 = + 3

 Đa thức có nghiệm (-1) đa thức chứa thừa số ( x + 1).

Vậy f(x) = ( x + 1).g(x)

ta có: g(x) = (5x3 - 5x2 + 3x + 13): (x + 1) = (5x2 – 10x +13)

Suy ra: 5x3 - 5x2 + 3x + 13 = (x + 1)(5x2 – 10x +13)

+ Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun đa thức có nghiệm hữu

tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng q p

p là ước hạng tử khơng đổi, q ước dương hạng tử có bậc cao nhất.

Ví dụ 8.3: phân tích đa thức: 2x3 - 5x2 + 8x – thành nhân tử.

Nghiệm hữu tỷ có đa thức là:(-1), 1, (

1 

), (

3 

),(

3

2),(- 3), Sau

kiểm tra ta thấy x =

1

nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x –

1

)

hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung ( 2x - 1)

Giải:

Cách 1: 2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3

= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)

= (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Cách 2: Áp dụng định lý Bơ du

f( x ) = 2x3 – 5x2 + 8x – có nhgiệm : 2

1

Vậy f ( x ) = ( 2x – )g(x)

g(x ) = ( 2x3 – 5x2 + 8x – 3) : ( 2x – ) = x2 – 2x + 3.

Suy f ( x ) = (2x – ) ( x2 – 2x + ).

Ví dụ 8.4: Phân tích đa thức f ( x ) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 thành nhân tử.

Giải: f(x) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 có nghiệm -1 ( -1 ước của12.)

f( x) = ( x + 1).g(x)

g(x) = (5x3 –15 x2 – 32x –12 ):( x +1) = 5x2 –20x –1.

 f(x ) = (x +1)(5x2 – 20x –1). Ví dụ 8.5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8

Giải:

Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = 0

Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được:

f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)

Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + có g(-2) = 0

Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + Ta có: h(-2) =

Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)

Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)

= (x + 2)3(x2 + 1)

Khi thực phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta sử dụng sơ đồ Hoocne để thực phép chia nhanh

Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) sau :

1 13 14 12

-2 4

Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)

Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) sau :

1 4

-2 2

Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)

Chia x3 + 2x2 + 2x + cho (x + 2) sau :

1 2

-2 1

Vậy x3 + 2x2 + 2x + = (x + 2)(x2 + 1)

Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) c) Bài tập áp dụng

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x3 – 2x + ; b) x3 + 7x – ; c) x3 – 5x + 8x – ;

d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – ;

h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – (giải nhiều cách). * Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định

a) Phương pháp

Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai biến đổi cho đồng hệ số đa thức với hệ số đa thức

b)Ví dụ

Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

Các hệ số  1;  Ư(3) nghiệm đa thức nên đa thức

không có nghiệm nguyên

Như vậy, đa thức phân tích có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

Phép nhân cho kết quả:

x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng đa thức với đa thức cho ta a + c = -

bd =

Xét bd = với b, d  z; b  { 1;  3}; với b = d = Hệ thành:

a + c = - ac = a + bc = -14

2c = -14 + = - c = - 4; a = -

Vậy đa thức cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

Chú ý: Khi biết kết ta trình bày lời giải toán sau:

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3

= x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3)

= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

c) Bài tập áp dụng

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; b) x4  7x3 + 14x2  7x + ; c) x4  8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2

*Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riêng a) Phương pháp

Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số lại

b) Ví dụ

Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

Nên thay x y P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0

Như P chứa thừa số x - y Do vai trò x, y, z P nên P chứa (x – y) chứa (y – z) (z – x)

Vậy dạng P k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải số có bậc tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc biến x, y, z

Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với  x, y, z.

Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng ví dụ x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2)

2 = - 2k => k = -

Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Thật vậy: ta có x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y)

= x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y)

= (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y)

= (x - y)(y - z)(x - z) 

Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử

*Dạng : Rút gọn biểu thức

Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng

60 67 120 106 19          x x x x x x x x A

Giải: Ta có

60 67 120 106 19          x x x x x x x x A

Ta thấy tử thức phân thức có nghiệm 2; ; ; -5 Mẫu thức phân thức có nghiệm -1 ; ; -4;-5

Do 67 60

120 106 19          x x x x x x x x A

( 1)( 3)( 4)( 5)

) )( )( )( (          x x x x x x x x A

( 1)( 4)

) )( (      x x x x A

*Dạng 2 : Chứng minh chia hết

Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhóm tốn trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải

Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên x ,ta có:

[(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) GiảI: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15

= (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15

= (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15

Đặt t = x2 + 8x +11

(t - 4)(t + 4) +15 = t2 - 1

= (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có

(x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10)

(x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6). Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên x ta có

(4x + 3)2 - 25 chia hết cho 8.

Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số

(4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5)

= (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên

Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM Cách 2: (4x + 3)2 - 25

= 16x2 + 24x + - 25

= 16x2 + 24x - 16

= (2x2 + 3x - 2).

Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên

Do (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ĐPCM. Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên n biểu thức.

A=3

3 n n n  

Ta có: 2 3

2  

 

n n n n

n

Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n2 + n3

chia hết cho với số nguyên n

Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2)

= n (2 + 2n + n + n2)

= n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2)

Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho

Vậy số nguyên n biểu thức A=3

3 n n n  

số nguyên

Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x +

chia hết cho đa thức x16 + x15 + + x2 + x + 1.

Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau:

x50 + x49 + + x2 + x + 1

= (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + 1.

= (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2

+ x +

= (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1)

Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x16 + x15 + x + Kết của

phép chia : x34 + x17 +

Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c

Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc;

B = a + b + c

Dự đốn đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc

= a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 acb

-b2c - bc2

= a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c)

= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)

= B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc)

Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B

Ví dụ 6: Cho a  b c abc

1

1

CMR: an  bn  cn  an bn cn

1

1

với n lẻ

Ta có: abc a b c

ab ac bc c b a c b

a   

      

1 1

1

=> (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc

=> abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc

=> (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = 0

=> bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0

=> (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - b + c = => b = - c

Hoặc a + c = => a = - c

Vì n lẻ nên a2 = -bn bn = - c2 an = - cn

Thay vào ta suy điều phải chứng minh

Dạng : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương

trình, bất phương trình.

a) Giải phương trình nghiệm ngun.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình.

3x2 + 10xy + 8y2 = 96

Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2 = 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2

= x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > => 3x + 4y > 7; x + 2y >

Ta có hệ phương trình sau:

x + 2y = x + 2y =

3x + 4y = 24 3x + 4y = 16

x + 2y = x + 2y = 12

3x + 4y = 12 3x + 4y = Giải hệ (I) ta x = 16; y = - (Loại)

Giải hệ (II) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm hệ x = 4; y =

Vậy nghiệm phương trình: x= 4; y =

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x3 + xy - = 0

Ta có: 2x3 + xy - = 0

=> 2x3 + xy =

=> x (2x2 + y) = 7

x = x =

2x2 + y = 7 y = 5

x = x = 2x2 + y =1 y = - 97

x = - x = - 2x2 + y =-7 y - 9

x = - x = - 2x2 + y = - y = -99 Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > thỏa mãn

x3 + y = y3 + 7x

=> x3 - y3 - 7x + 7y =

=> (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = 0

=> (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = Vì x > y > 0

=> x2 + xy + y2 - = 0

=> x2 - 2xy + y2 = - 3xy

=> (x - y)2 = - 3xy

(I) (II)

(III) (IV)

=> =>

=> Hoặc

=> Hoặc

=> - 3xy > => 3xy < => xy <

7

x.y  => x = 2; y = b) Giải phương trình bậc cao

Ví dụ 1: Giải phương trình

( 3x - )2 -( x - )2 = 0

Giải: Ta có:

( 3x - )2 -( x - )2 = 0

<=> ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) = <=> ( 4x - 6)(2x - 4) =

4x - = <=> x = 3/2

hoặc 2x - = <=> x =

Vậy nghiệm phương trình cho x =3/2 x =

Ví dụ 2: Giải phương trình

x3 + 3x2 + 4x + = 0

Giải : Ta có

x3 + 3x2 + 4x + = 0

<=> x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = 0

<=>x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0

<=>(x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0

hoặc (x + 1) = <=> x = -1

hoặc (x2 + 2x + 2) = khơng có giá trị x Q

Vậy nghiệm phương trình cho x = -1 c) Giải toán giải bất phương trình

* Đường lối giải: Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phương trình thành đa thức, tử mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích (A.B < A.B > ) hay bất phương trình thường

* Ví dụ: Giải bất phương trình

2

2

x

x  x > 1



2 (x 2)(x 3)



  > 0

Nhận xét: (- 2) <  (x- 2)(x - 3) <  < x< 3x2 - 10x - >

<=> (3x+ 2)( x- 4) >

Ta lập bảng xét dấu tích Kết x <

2 

x >

Dạng : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán chứng minh

biểu thức dương, âm, không âm.

a) Đường lối: Bài tốn kích thích tư học sinh phải tìm đường lối giải giải phải nắm kiến thức:

- Biểu thức dương ( lớn ) tử thức mẫu thức dấu

- Bên cạnh cần ý với trường hợp biểu thức nguyên ta xét luôn dương âm biểu thức dựa vào dấu nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu dấu nguyên

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho biểu thức P = 4x 2 - 12x + Chứng minh P không âm với x

Giải:

Ta có P = 4x -12x + = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2  0

Vậy P  với x Hay biểu thức P khơng âm với x

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức M = 2 4        x x x x x x x

không âm với x

Giải

Ta có : M = 2

1 4        x x x x x x x

= 2

) ( ) (        x x x x x x x

= 2

) )( (       x x x x x x

= ( 2)( 1)

) ( ) ( 2 2       x x x x x x

=( 2)

) ( 2   x x

Vì x2 +x +1 = x2 +x + 4

1

+4

3

=(x+2

1

)2 +4

3

>0 x Mặt khác (x-1)2  x x2 +2 > x

Vậy M 0 x Hay M khơng âm x

*Với tốn em phải phân tích đa thức thành nhân tử rút gọn biểu thức Qua kỹ phân tích em rèn luyện phát triển với kỹ giải toán khác

Dạng : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải tốn tìm giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất.

a)Đường lối giải: Ta tìm cách phân tích đa thức dạng đẳng thức

A2 + m , A2 - m , A2+B2 (m số) nhận xét để đến kết cuối cùng.

b)Ví dụ:

ví dụ 1: Chứng tỏ x2+x+1 > x

Ta viết : x2+x+1 = x2+2.

1 2x+

1

4 4 = (x+ 2)2 +

3 4 ≥

3

4>0 x.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) đa thức

A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y

(Tương tự :B = x2+y2+xy - x- y )

Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y

= (x2+

1

4y2+16+xy+8x+4y) + (

59

4 y2- 3y) + 2005 -16

= (x+

1

2y+4)2+

59

4 ( y2 - 2.

6 59y+ 36 3481)+1989- 59

= (x+

1

2y+4)2+

59

(y-6 59)2+

117342 59 ≥ 117342 59 Vì (x+

2y+4)2≥ ,

59

(y-6

 239 59 6 59 59 x x y y y                   

  Vậy A(x,y) đạt GTNN

117342 59

Phần B ta làm cách tách tương tự

Dạng : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán chứng minh

đẳng thức.

- Loại toán đường lối giải ta phải bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp vế đến kết biểu thức đơn giản vế có ta phải biến đổi rút gọn hai vế để đến kết giống Thực chất toán tốn rút gọn biểu thức

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau : 5

2  

 x x x =  x Giải:

Biến đổi VT ta có : VT =

5

2  



x x

x

= ( 1)( 7)

) (    x x x =  x =VP

Vậy đẳng thức chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau

2    x x

=(1 )( 4)

8     x x x x Giải:

Biến đổi VP ta có : VP = (1 )( 4)

8     x x x x

= (1 )( 4)

) )( ( 2       x x x x x x = x x  

Biến đổi VT ta có : VT =

2    x x

=

) (    x x = x x  

VT =VP Vậy đẳng thức chứng minh

*Với học sinh em thích thú với dạng tập em cho dạng toán cho sẵn kết

Dạng : Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải tốn tìm giá trị của

biến để biểu thức có giá trị nguyên.

- Để giải toán đường lối chung tách phần nguyên để xét phần phân thức dạng đơn giản ( Phần lớn toán sau rút gọn kết phân thức đơn giản ) Tiếp thea ta dùng giá trị tử biến số để phân thức có giá trị nguyên Muốn đạt giá trị nguyên tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải ước tử thức Từ ta tìm giá trị biến

Ví dụ: Cho P = 5

2  



x x

x

Tìm giá trị xđể biểu thức có giá trị nguyên Giải:

Ta có: P=

5

2  



x x

x

=( 1)( 7)

) (    x x x =  x

P đạt giá trị nguyên x+7 ước (1; 5) Do x+7 =-1  x=-8

Vậy biến số nhận giá trị { -12;-8;-6;-2} P đạt giá trị nguyên



Biện pháp

*Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau:

*Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6,

*Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức

Khi gặp toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần:

- Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử bài toán (về hệ số, biến)

- Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp)

- Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán

 Lưu ý: Kinh nghiệm giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử

* Trong toán phân tích đa thức thành nhân tử

- Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức

- Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức

- Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức

 Chý ý:

- Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền

- Phương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền

- Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền

* Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai

Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp

Xây dựng cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng tốn, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác

Đề tài triển khai phổ biến áp dụng rộng rãi chương trình đại số lớp 8, cho năm học sau, cho trường loại hình

3 Lợi ích kinh tế - xã hội.

- Trong trình thực thử nghiệm đề tài, thấy hiệu bước đầu trình giảng dạy: em đa phần hứng thú học tập, biết suy nghĩ phân tích tìm tịi lời giải, trình bày cách cẩn thận cịn sai sót nhỏ Từ tạo điều kiện cho giáo viên thuận lợi cơng tác quản lý giáo dục học sinh, có thời gian tìm hiểu việc áp dụng vào trình giảng dạy

- Bước đầu em hình thành kĩ giải tốn nói chung ứng dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng Với phương pháp mà em áp dụng đề tài tạo cho em tự tin sáng tạo giải toán

- Sau dạy học theo hướng phát triển đề tài thấy chất lượng học tập học sinh có tiến triển trước, học sinh có ý thức làm việc cẩn thận, có tinh thần đồn kết giúp đỡ học tập

C KẾT LUẬN

I Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp. 1 Điều kiện để thực tốt đề tài.

- Có lãnh đạo, đạo cụ thể sát quan tâm mức Đảng quyền xã, ban ngành đồn thể nhân dân địa phương

- Có đủ sở vật chất, trang bị tối thiểu phục vụ cho dạy học

- Tăng cường quản lý, giáo dục học sinh, cải tiến phương pháp giảng dạy, trọng nâng cao cơng tác đồn đội nhà trường Xây dựng tốt mối quan hệ giáo viên học sinh

- Xây dựng chế hợp lý công tác thi đua khen thưởng động viên khuyến khích học sinh giỏi Quan tâm giúp đỡ học sinh có hồn cảnh khó khăn

- Đội ngũ giáo viên đủ số lượng, đồng chun mơn, có tinh thần nhiệt tình trách nhiệm, có chun mơn vững vàng hết lịng học sinh thân u

- Giáo viên chun trách phải nhiệt tình, tích cực có tâm huyết với cơng việc Cần có tính cẩn thận, tỉ mỉ công việc, đặc biệt việc cập nhật, thống kê số liệu

- Giáo viên chuyên trách phải nắm rõ đầy đủ, khoa học tiến trình thực hồ sơ sổ sách phương pháp để thống kê số liệu kết học tập học sinh cách xác

- Tích cực tham mưu cho nhà trường, Ban đạo, phối kết hợp với ban ngành đoàn thể thực tốt vận động “Ngày toàn dân đưa trẻ đến trường”, trì sỉ số lớp quy nhiều cách mở nhiều lớp phổ cập THCS để nâng cao trình độ dân trí địa phương

- Giáo viên phải giúp học sinh khai mở tri thức người thầy thực thụ Học sinh có thái độ động học tập đắn em trả lời câu hỏi: Học để làm gì?Giáo viên gắn bó với nghề khơng nhu cầu đồng lương mà cịn nhu cầu giao tiếp, nhu cầu học tập nhu cầu tự khẳng định mình;

- Giáo viên chủ nhiệm người thay Hiệu trưởng quản lý toàn diện tập thể học sinh lớp học Người hiệu trưởng quản lý, nắm diễn biến trình phát triển nhân cách học sinh trường giúp GVBM nắm tình hình học tập đối tượng học sinh nhằm đưa cách truyền đạt kiến thức phù hợp với học sinh

- Tổ chun mơn thực vai trị giao tiếp, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy giúp GVBM hoàn thành tốt nhiệm vụ

- Gia đình nguồn động viên tinh thần quý giá, nơi kiểm tra, quản lý sát nơi cung cấp phương tiện học tập cho em

cháu Người lãnh đạo tìm chế quản lý để phát huy khả cá nhân, phận

2 Kinh nghiệm áp dụng sử dụng tốt giải pháp. * Đối với giáo viên:

- Phải có tâm huyết với nghề, ln ln nghiên cứu SGK, SGV, tài liệu tham khảo đồ dùng trực quan có liên quan đế nội dung học

- Luôn học hỏi đồng nghiệp, trau dồi kiến thức, nâng cao nghiệp vụ chuyên môn

- Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi say mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán

- Đầu tư nhiều vào việc soạn theo tinh thần dạy học thông qua tổ chức hoạt động học tập cho học sinh Giáo viên phải thể rõ ràng mục tiêu ,nội dung học, hệ thống câu hỏi lôgic, phân chia thời gian hợp lý

- Đẩy mạnh việc đổi hoạt động dạy học lớp, giáo viên người đạo, hướng dẫn, học sinh người chủ động, sáng tạo chiếm lĩnh kiến thức

- Chú trọng việc cố phát triển học sinh kỷ năng: Kỹ sử dụng đồ, biểu đồ, lược đồ, kỹ phân tích bảng số liệu thống kê, kỹ xác lập mối quan hệ nhân

- Vận dụng linh hoạt PPDH tích cực vào tiết dạy Hình thành phát triển kỹ làm việc với thiết bị học tập mơn Tốn học sinh

- Tạo niềm tin, hứng thú, ham mê học tập mơn Tốn học sinh

- Có thái độ cởi mở, thân thiện học sinh, biết khen thưởng động viên kịp thời, phê bình cách tế nhị để giúp học sinh tự tin tự nhiên hoạt động học tập, hạn chế tính tự ti, lười hoạt động học sinh

- Thường xuyên kiểm tra việc học bài, làm tập, chuẩn bị học sinh, quan tâm nhiều đến học sinh yếu có biện pháp khắc phục kịp thời

* Đối với học sinh yếu kém: Cần có q trình liên tục củng cố và

sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp, vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải tốn, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK

* Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm các

phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức

* Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta

sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em

*Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng trải suốt chương trình học học sinh, liên quan kết hợp với phương pháp khác, dạng tốn khác tạo lên lơgíc chặt chẽ toán học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức

*Trong khuôn khổ đề tài này, hy vọng giúp em học sinh tự tin làm tập phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, trình bày đề tài khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh đạt hiệu cao

II Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp.

- Đề tài nghiên cứu tiếp tục phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao)

- Đề tài nghiên cứu cho đa thức phức tạp hơn, sâu vào việc nghiên cứu đa thức đặc biệt

- Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường làm sở để bồi dưỡng thi cấp

III

Đề xuất, Kiến nghị.

- Muốn cho học sinh nâng cao vốn kiến thức mình, phát huy tính độc lập sáng tạo học tập – người thầy cần dạy cho em cách nghiên cứu, tìm tịi kiến thức Chúng ta cần sớm hướng dẫn em cách nghiên cứu, cách học tập theo phương pháp “chuyên đề” Có sau em hiểu sâu sắc nội dung học, lưu giữ kiến thức mãi Và quan trọng giúp em biết gặp dạng tốn phải dùng phương pháp đề giải, gặp dạng tốn phải dùng phương pháp để giải

- Để đề tài áp dụng vào thực tiễn giảng dạy đem lại hiệu cần phải có lượng thời gian định Tuy nhiên phân phối chương trình mơn tốn số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu tiết (5 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Với lượng thời gian đề tài khó áp dụng đem lại hiệu mong muốn Vì tơi xin kiến nghị với nhà trường: Tạo điều kiện thời gian, tổ chức chuyên đề cấp trường để giáo viên áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy

- Do thời gian có hạn, chuyên đề tơi viết chương trình đại số 8, nên không mở rộng nhiều không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong góp ý đồng chí, đồng nghiệp bổ sung phần cịn thiếu sót chưa hồn chỉnh chun đề Để chun đề tơi viết hồn thiện việc áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy có hiệu

Xin chân thành cảm ơn !

Mỹ Cát, ngày 03 tháng năm 2012 Người thực

NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

NHẬN XÉT CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG

MỤC LỤC

Nội Dung Trang

A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề:

1 Thực trạng vấn đề a Thực trạng chung b Thực trạng cụ thể

2 Ý nghĩa tác dụng giải pháp Phạm vi nghiên cứu đề tài

II Phương pháp tiến hành:

1 Cơ sở lý luận thực tiễn

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp

B.NỘI DUNG I Mục tiêu:

II Mô tả giải pháp đề tài:

1 Thuyết minh tính

Cơng tác giáo dục học sinh Giải pháp đề tài Khả áp dụng

a Thời gian áp dụng

b Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung

Phương pháp 2: Dùng đẳng thức Phương pháp 3: Nhóm hạng tử

Phương pháp 4: Phối hợp phương pháp

Phương pháp 5: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp 6: Thêm bớt hạng tử

Phương pháp 7: Đặt ẩn phụ

Phương pháp 8: Tìm nghiệm đa thức Phương pháp 9: Hệ số bất định

Phương pháp 10: Xét giá trị riêng

*Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Dạng 2: Chứng minh chia hết

Dạng 3: Áp dụng giải phương trình, bất phương trình

Dạng 4: Chứng minh biểu thức dương, âm, khơng âm Dạng 5: Áp dụng tìm GTLN, GTNN

Dạng 6: Áp dụng chứng minh đẳng thức Dạng 7: Áp dụng tìm giá trị ngun Lợi ích kinh tế - xã hội

C KẾT LUẬN

I Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng giải pháp:

1 Điều kiện để thực tốt đề tài

2 Kinh nghiệm áp dụng sử dụng tốt giải pháp

II Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp III Đề xuất, kiến nghị