Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Bộ giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng năm 2002 Mơn Tốn, khối D
Đáp án thang điểm đề thi chớnh thc
Câu Nội dung Điểm
ĐH CĐ
I 3đ 4đ
1 1 1,5
Khi m = -1 ,ta cã
1 x
4 x
1 x y
− − − = −
− − = -TX§ : x ≠
- CBT :
( − ) > ∀ ≠ ⇒
= 0, x
1 x
4
y, 2 hµm sè cực trị
1/4 1/4 limy
x
− =
∞
→ ; →− =+∞ →+ =−∞
x
x
y lim ; y
lim
- BBT :
x - ∞ + ∞
y/ + +
+ ∞
y -3 -3
- ∞ 1/4 1/4 - TC: x=1 tiệm cận đứng =
→ y
lim
1
x ∞
y=-3 tiệm cận ngang limy
x→∞ =− 1/4 1/4
- Giao víi c¸c trơc : x = ⇒ y = 1; y = ⇒ x = - 1/3 1/4
- Đồ thị :
x y
(2)2 1 1,5 DiÖn tÝch cần tính :
dx x x S / 1∫ − − − − =
1/4 1/2
∫ ∫ − − − − − = / / x
dx dx 1/4 1/4 / 1 x ln − − − − = 1/4 1/2 ln + −
= ( ®vdt)
1/4 1/4
3 1
Ký hiÖu ( )
1 x m x m ) x ( f − − −
= Yêu cầu toán tơng đơng với tìm
m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm: (H) ( ) = = x ) x ( f x ) x ( f / / 1/4 1/4
Ta cã (H)
( ) ( ) = − − − = − − − ⇔ x m x x m x / 2 1/4 1/4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) = − − + − − − = − − − ⇔ x m x x m x x m x 2 1/4 1/4 Ta thÊy víi ∀m ≠1 ; x = m thoả mÃn hệ ( H ) Vì vËy∀m ≠1, (H)
ln có nghiệm , đồng thời m = hệ ( H ) vơ nghiệm Do đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đ−ờng thẳng y = x m ≠
§S : m ≠ 1/4 1/4
II 2® 3®
1 1,5
BÊt phơng trình ≥ − > − − = − − ⇔ x x x x 2 x x 2 2 1/4 1/2
TH 1:
2 x x x x 2 x x
2 − − = ⇔ − − = ⇔ = ∨ =−
1/4 1/4
(3)x
1 x<− ∨ ≥
1/4 1/4 Từ hai trờng hợp suy ĐS: x x
2
x≤− ∨ = ∨ ≥
1/4 1/4
1 1,5
Hệ phơng trình
=
− = ⇔
y
y y
x
2 x
1/4 1/2
= + −
> = ⇔
0 y y y
0 y
2 x
1/4 1/4
= ∨ = ∨ =
> = ⇔
4 y y y
0 y 2x
1/4 1/4 ⇔
= = ∨
= =
4 y
2 x y
0 x
1/4 1/2 III
1đ 1đ
Phơng trình (cos3x+3cosx) (4 cos2x+1)=0 ⇔4cos3x−8cos2x=0
⇔4cos2 x(cosx−2)=0
⇔cos =x 1/4 1/2
⇔ = π+kπ
x
1/4 1/4 x∈[ ]0;14 ⇔k=0∨k =1∨k =2∨k=3 1/4
§S : ;
2 x= π
2 x = π ;
2 x= π ;
2 x= π
1/4 1/4
IV 2® 2®
1
C¸ch
Từ giả thiết suy tam giác ABC vng A , AB⊥AC 1/4 1/4 Lại có AD⊥mp(ABC)⇒AD⊥AB AD⊥AC, nên AB, AC, AD đơi
mét vu«ng gãc víi 1/4 1/4
Do chọn hệ toạ độ Đêcac vng góc, gốc A cho B(3;0;0) , C(0;4;0), D( 0;0;4) Mặt phẳng (BCD) có ph−ơng trình :
z y x
= − +
+
1/4 1/4
Kho¶ng cách cần tính :
17 34
16 16
1
1
= + +
(cm)
(4)C¸ch
Từ giả thiết suy tam giác ABC vng A , AB⊥AC 1/4 1/4 Lại có AD⊥mp(ABC)⇒AD⊥AB AD⊥AC, nên AB, AC, AD đơi
mét vu«ng gãc víi 1/4 1/4
D
H C
A E
B
Gọi AE đờng cao tam giác ABC; AH đờng cao tam giác ADE AH khoảng cách cần tính
Dễ dàng chứng minh ®−ỵc hƯ thøc:
2
2
AC AB
1 AD
1 AH
1 = + +
1/4 1/4 Thay AC=AD=4 cm; AB = cm vào hệ thức ta tính đợc:
cm 17
34 AH =
1/4 1/4
C¸ch 3:
Từ giả thiết suy tam giác ABC vuông A , AB⊥AC 1/4 1/4 Lại có AD⊥mp(ABC)⇒AD⊥AB AD⊥AC, nên AB, AC, AD đơi
mét vu«ng gãc víi 1/4 1/4
Gäi V lµ thĨ tÝch tø diÖn ABCD, ta cã V= AB AC AD
1
= ⋅ ⋅
⋅
áp dụng công thức
) BCD ( dt
V AH
∆
= víi V = vµ dt( ∆ BCD) =2 34
ta tính đợc cm
17 34
AH =
1/2 1/2
1
Cách 1:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n(2;1;0)
Đờng thẳng d cã vec m t¬ chØ ph−¬ng u((1−m)(2m+1) (;−2m+1)2;−m(1−m))
→
1/4 1/4
Suy
→
u
→
n =3(2m+1)
m
d song song víi (P)
⊄ ⊥
⇔ → →
) P ( d
n u
m 1/4 1/4
(5)( ) ∉ ∈ ∃ = ⇔ → → P A , d A n u m
Ta cã : ®iỊu kiƯn u.n=0
→ →
2 m=− ⇔
1/4 1/4 Mặt khác m = - 1/2 d có phơng trình : m
= = − x y
, điểm A( 0;1;a) đ−ờng thẳng không nằm (P), nên điều kiện
( )P A , d
A m
đợc thoả m·n §S : m = - 1/2 1/4 1/4
Cách 2:
Viết phơng trình dm dới dạng tham số ta đợc − − − = + − = + − = m)t m(1 z t 1) (2m y 1)t m)(2m (1 x 1/4 1/4 m
d // (P) hệ phơng trình ẩn t sau = + − − − − = + − = + − = y x t ) m ( m z t ) m ( y t ) m )( m ( x vô nghiệm 1/4 1/4
phơng trình ẩn t sau 3(2m+1)t+1 = vô nghiệm 1/4 1/4
⇔ m=-1/2 1/4 1/4
C¸ch 3:
m
d // (P) ⇔ hƯ ph−¬ng tr×nh Èn x, y, z sau
(H) ( ) ( )
= + + + + = − + − + + = + − m z ) m ( mx m y x x m 2 y x
v« nghiệm 1/4 1/4
Từ phơng trình đầu hệ phơng trình suy + = − = m y m x
1/4 1/4
Thế x , y tìm đợc vào phơng trình thứ ba ta cã : ) m 11 m ( z ) m
( + =− + +
1/4 1/4 HƯ (H) v« nghiÖm
2 m=−
⇔
1/4 1/4
V 2®
1
Ta cã : ( ) ∑
= = + n k k k n n x C x , 1/4 Cho x = ta đợc ∑
= = n k k k n
n C 2
3
1/4 ⇒3n =243=35 ⇔n=5 1/2
(6)1
C¸ch
Giả sử M(m;0) N(0;n) với m > , n > hai điểm chuyển động hai tia Ox v Oy
Đờng thẳng MN có phơng trình : n y m x = − + 1/4 Đờng thẳng tiếp xúc với (E) chØ :
n m 16 2 = + 1/4 Theo BĐT Côsi ta có :
( ) 22
2 2 2 2 2 n m m n 16 25 n m 16 n m n m
MN = + +
+ + = + = 49 16
25+ =
MN 1/4
Đẳng thức xảy > > = + = ⇔ n , m 49 n m n m m n 16 2 2 2
⇔ m=2 7,n= 21
KL: Với M(2 7;0) (,N0; 21) MN đạt GTNN GTNN (MN) = 1/4
C¸ch
Giả sử M(m;0) N(0;n) với m > , n > hai điểm chuyển động hai tia Ox Oy
Đờng thẳng MN có phơng trình : n y m x = − + 1/4 §−êng thẳng tiếp xúc với (E) :
n m 16 2 = + 1/4 Theo bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có
( ) 49
n n m m n m 16 n m n m MN 2 2 2
2 =
+ ≥ + + = + = MN 1/4
- Đẳng thức xảy > > = + = ⇔ n , m n m n : n m : m 2
⇔ m=2 7,n= 21
KL: Với M(2 7;0) (,N0; 21) MN đạt GTNN GTNN (MN) = 1/4
C¸ch 3:
Phơng trình tiếp tuyến điểm (x0 ; y0) thuéc (E) : yy 16
xx0 0
=
+
(7)Suy toạ độ M N
0 ; x 16 M
0
vµ
0
y ; N
⇒
+
+ = +
= 2
0 2 2 2 2 2
y x 16 y 16 x y x 16 MN
1/4 Sử dụng bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski (nh− cách cách 2)
ta cã : MN 72
1/4
- Đẳng thức xảy
7 21 y ;
7
x0 = 0 =
⇔
- Khi M(2 7;0) (,N0; 21) GTNN (MN) = 1/4
-HÕt -
(8)Bộ giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002 - -
H−íng dÉn chÊm thi m«n toán khối D
Câu I:
-Nếu TS làm sai b−ớc kể từ trở khơng đ−ợc điểm
-Nếu TS xác định hàm số tìm tiệm cận đ−ợc 1/4 điểm Nếu TS làm sai b−ớc kể từ trở khơng đ−ợc điểm
3 -NÕu TS dïng ®iỊu kiƯn nghiƯm kép không đợc điểm -Nếu TS không loại giá trị m = bị trừ 1/4 điểm
C©u II:
-Nếu TS làm sai b−ớc kể từ trở không đ−ợc điểm -Nếu TS kết luận nghiệm sai bị trừ 1/4 điểm
-NÕu TS sư dơng ®iỊu kiƯn sai:
≤ <
≥ ≥ ⇔
≥
0 ) x ( g
0 ) x ( f
0 ) x ( g
0 ) x ( f
) x ( g ) x (
f dẫn đến kết
bị trừ 1/4 điểm
2 TS lm ỳng b−ớc đ−ợc điểm b−ớc
C©u III:
TS làm b−ớc đ−ợc điểm b−ớc
C©u IV:
TS làm b−ớc đ−ợc điểm b−ớc
C©u V:
TS làm b−ớc đ−ợc điểm b−ớc TS làm b−ớc đ−ợc điểm b−ớc