So với phương pháp động lực học thông thường thì phương pháp này đơn giản hơn trong các bài tập xác định vị trí cân bằng và các bài toán dao động của vật hoặc hệ vật.. Đặc biệt là các [r]
(1)MỞ ĐẦU
I Lý chọn đề tài
Trong toán cân vật hệ vật vấn đề giải toán cách vận dụng điều kiện cân tổng qt thường gặp nhiều khó khăn phải tìm đủ số phương trình chứa biến số liên quan đến trạng thái cân nội lực liên kết chưa xác định, mặt khác áp dụng đòi hỏi học sinh phải thành thạo quy tắc phân tích lực, mơ men lực suy luận logic để xác định yếu tố chưa biết dạng cân
Trong trình hướng dẫn học sinh giải tập tĩnh học, nhận thấy việc tiếp cận toán phương pháp lượng hữu ích, đơn giản chặt chẽ nhiều
Tuy nhiên, có hai vấn đề khó khăn tiếp cận phương pháp này, là: thứ học sinh cần tiếp cận trước kiến thức công lượng, thứ hai cần phải bổ trợ cho học sinh kiến thức toán đạo hàm, cực trị hàm số
Mặc dù vậy, kiến thức bắt buộc phải có học sinh giỏi Do trình bày chuyên đề này, tác giả xem học sinh có đủ kiến thức cần thiết để tiếp cận tốn
Với ưu điểm phương pháp hiệu thực tế q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi xin giới trình bày lại chun đề “ Giải tốn tĩnh học dao động điều hòa phương pháp lượng”
II Phạm vi đề tài
- Giải toán tĩnh học cách sử dụng hàm cơng ảo - Giải tốn dao động điều hòa phương pháp lượng III Đối tượng áp dụng
- Học sinh giỏi THPT
(2)NỘI DUNG
PHẦN I SỬ DỤNG HÀM THẾ NĂNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TĨNH HỌC VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I- CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1 Lực
a- Lực lực mà cơng không phụ thuộc vào dạng đường điểm đặt dịch chuyển từ điểm đầu đến điểm cuối
Công lực thực đường cong kín khơng
b- Ví dụ : Lực hấp dấn, lực đàn hồi, lực Coulomb, lực quán tính li tâm… Trường lực xuyên tâm trường lực
2- Thế
a - Giả sử P0 điểm cố định, chọn tuỳ ý, có toạ độ x0, y0, z0
trường lực thế, P điểm có toạ độ x, y, z trường Cơng lực thực để dịch chuyển chất điểm từ P đến P0 :
0
0
( ) .
P
P
A P → P = F d s (1-1)
Cơng phụ thuộc vào vị trí P0 P, hàm
toạ độ : A( P → P0 ) = U (x, y, z, x0, y0, z0 ) Vì P0 chọn trước cố định, nên
x0, y0, z0 số, công A hàm x, y z :
A( P → P0 ) = U ( x, y, z ) (1-2)
Hàm U gọi hàm chất điểm trường lực Thế chất điểm P0
Nếu ta thay đổi quy ước chọn điểm cố định khác P’0 làm điểm
năng ( điểm gốc ), ta có :
U’ = A( P → P’0 ) = A( P → P0 ) + A( P0 → P’0 ) (1-3)
Vì P0 P’0 điểm cố định, nên A( P0 → P’0 ) = const, U’ = U +
const
(3)người ta chọn điểm gốc điểm vô cực ( lực đẩy ) tâm lực ( lực hút)
Đối với trọng trường lân cận mặt đất, người ta hay chọn gốc mặt đất, hàm xác định cách đơn trị
b- Quan hệ lực :
U U U
F i j k
x y z
= − − −
(1- 4)
Trong
i U q
đạo hàm riêng hàm theo toạ độ qi Khi biết
hàm U, xác định lực F
3- Các hàm a Thế trọng lực
Vật khối lượng m cách mặt đất khoảng z U = mgz + const (1-5)
Các hàm sai khác số Thế trọng lực phụ thuộc vào mốc tính
Chọn gốc mặt đất U(0) = : U = mgz (1-6)
b Thế đàn hồi
Ta quy ước chọn mốc tính đàn hồi lị xo có chiều dài tự nhiên, lị xo biến dạng đoạn x = l – l0 năng:
U =
2
kx (1-7)
Trong trường hợp tổng quát, hàm đàn hồi sai khác số biểu diễn:
U =
2
kx + C (1-8)
c Thế quán tính:
Trong hệ quy chiếu phi qn tính chuyển động quay với vận tốc góc không đổi xung quanh trục cố định OZ hệ quy chiếu Galilê
năng quán tính xác định từ cơng thức : U = m 2r2 + C
2
(4)Trong : r khoảng cách từ chất điểm đến trục quay
Khi giải toán ta nên chọn U( r = ) = 0, Khi C =
d- Thế tĩnh điện
Thế tương tác hệ n điện tích:
1
( )
4
n
i k
i ik
q q
W i k
r
=
= (1-10)
Hay : ( 1 1 2 2 3 3 )
1
1
2
n
n n i i
i W q V q V q V q V q V
=
= + + + + = (1-11)
Trong :
1
0
4 i i i
q q q
V
r r r
= + + + (1-12)
Là điện hệ điện tích gây điểm đặt qi
4- Chuyển động dao động vật trường lực
Xét vật chuyển động trường lực Cơ toàn phần vật :
2
1 1
( ) ' ( )
2 2
E = mv +U x = mx +U x (1-13)
Giải phương trình ta tìm kết :
2
' ( )
2
( )
dx
x E U x
dt m
d x
t const
m E U x
= = −
= +
−
(1-14)
Vì động đại lượng dương chuyển động lượng tồn phần phải ln lớn Chuyển động xảy E > U(x)
Nếu có đồ thị hình vẽ chuyển động xảy miền AB bên phải điểm C (
Những điểm mà E = U(x) ( điểm A, B, C ) xác định biên chuyển động gọi điểm dừng ( hay điểm chết ) điểm vận tốc khơng Chuyển động xảy miền không gian giới hạn hai điểm dừng gọi dao Năng lượng toàn phần
U(x)
x
• • •
x1 x2 x3
A B C
E
O
(5)động ( miền AB ) Thời gian vật chuyển động từ x1 đến x2 ngược lại gọi
chu kì dao động Theo cơng thức (1-14) ta có :
2
1
( ) ( ) 2 2
( ) x E
x E
d x T
m E U x
=
−
(1-15)
Trong x1(E), x2(E) nghiệm phương trình U(x) = E ta cho E 5- Hàm toán nghiên cứu dao động nhỏ
Ta xét dao động hệ có bậc tự q Vị trí cân hệ vị trí mà U(q) có giá trị cực tiểu Sự lệch khỏi vị trí cân dẫn đến
xuất lực F dU
dq
= − có hướng đưa hệ quay trở lại Ta kí hiệu vị trí cân q0
Khi có lệch khỏi vị trí cân bằng, ta khai triển U(q) quanh vị trí cân q0 hạn chế gần bậc hai :
2
0 0 0
1
( ) ( ) '( )( ) "( )( )
2
U q U q + U q q − q + U q q − q (1-16)
Vì vị trí cân q0 có giá trị cực tiểu, :
U’(q0) = k = U”(q0) >
Ta :
0
1
( ) ( ) ( )
2
U q U q + k q − q (1-17) Nếu coi Umin = U(q0) = đưa vào kí hiệu độ lệch toạ độ khỏi vị trí cân
bằng x = q – q0 :
( ) 1 2
U q = kx (1-18)
Cơ vật lệch khỏi vị trí cân đoạn x :
2 2
1 1 1
( ) '
2 2 2
(6)Lấy đạo hàm theo t : m x’ x” + k x x’ =
" k 0
x x
m
+ =
Đặt k
m
=
x" + 2x = 0
Nghiệm phương trình x = A sin ( t + ) Vật dao động điều hoà
II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG CÁCH TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM THẾ NĂNG
1 - Xác định hàm U = U(x) vật (hoặc hệ vật)
- Tìm cực trị hàm Nếu vật trạng thái cân bền U cực tiểu Vật trạng thái cân khơng bền U cực đại Còn trạng thái cân phiếm định U = const Như vậy:
+ Khi có cân : dU
dx = từ tìm vị trí cân với x = x0
+ Nếu:
0
2
2 x x d U
dx =
𝑑𝐹
𝑑𝑥 > ta có cân bền + Nếu:
0
2
2 x x d U
dx =
𝑑𝐹
𝑑𝑥 < ta có cân khơng bền
2- Đối với toán nghiên cứu dao động tử điều hoà :
- Xác định vị trí cân bền x0 dao động tử
- Xét có lệch nhỏ khỏi vị trí cân bằng, khai triển hàm quanh vị trí cân x0 hạn chế gần bậc hai
- Viết biểu thức toàn phần dao động tử Đưa dạng :
1 ( ) 1 '2 1
2 2 2
E = mv +U x = mx + kx = const
(7)- Biến đổi phương trình Đưa phương trình dạng
x" + 2x = 0
- Viết nghiệm phương trình kết luận vật dao động điều hồ
So với phương pháp động lực học thơng thường phương pháp đơn giản tập xác định vị trí cân tốn dao động vật hệ vật Đặc biệt toán xác định mức vững vàng cân phương pháp tỏ chiếm ưu
III ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ HÀM THẾ NĂNG
1 Giải toán tĩnh học
Bài toán 1: Một khung sắt hình tam giác ABC vng góc, với góc nhọn B = 300 đặt thẳng đứng, cạnh huyền nằm ngang Hai bi nối với
cứng, trọng lượng khơng đáng kể, trượt khơng ma sát hai cạnh góc vng Bi I cạnh AB có trọng lượng P1, bi J cạnh AC trọng lượng P2
1 Khi hệ thống cân bằng, tính góc = AIJ Cân bền hay không bền
Xét hai trường hợp: a P1 = P2 = 100N
b P1 = 100N ; P2 = 3P1
(Trích đề thi học sinh giỏi vật lý toàn quốc 1988 – 1989)
Bài giải:
Chọn mốc tính A Đặt IJ = Thế hệ :
U = - P1lcos sin 300 – P2lcos sin 300 cos sin
2
Pl P l
U
= − − (1)
- Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cơpxki có :
P1cos + P2sin 22
1 3P
P +
(2)
(Cần ý
2
nên sin > ; cos > 0)
300
A
B C
m1
m2
I
(8)Từ (1) (2) ta :
U -
2
1
P
P + Umin = - 12 22
1
3
2 P + P
Xảy :
1
sin
cos
P P
=
Hay
3P
tg
P
= (3) * Khi P1 = P2 = 100N, thay vào (3) :
tg = = 600
Vì U()min nên cân bền
* Khi P2 = 3P1 , thay vào (3) :
tg = 3 790
Vì U()min cân bền
Bài toán : Thanh nặng đồng chất AB dài 2a tựa đường cong có dạng nửa đường trịn bán kính R Bỏ qua ma sát
Hãy xác định vị trí cân Cân bền hay không bền
Bài giải:
1 Đặt AOC = ; AOD =
Từ hình vẽ: = 900 – 2 sin = cos2
Chọn mốc tính vị trí thấp B Thế thanh:
U = P [R(1 – sin2) + a sin] (1)
Thanh nằm cân U() đạt cực trị dU
d =
P [-2Rcos2 + a cos] =
Thay cos2 = 2cos2 - ta được: 4Rcos2 - acos – 2R =
R R a
a
8 32 cos
2
0
+ +
=
(2)
A B
C P
2a
(9)b Ta có :
2
2 (4 sin sin )
d U
P R a
d = − (3)
Khi = 0
2
0
2 32 sin
d U
P a R
d = +
Vì sin0 >
2 d U
d → Cân bền
** Cuối ta tìm điều kiện để thoả mãn phương trình (2) + Từ điều kiện cos0 ta được:
(8R – a)2 > a2 + 32R2 a < 2R (4)
+ Muốn cho tựa lên rìa a > Rcos0
2
32
8
a a R
a + + a R (5)
Vậy 2
3
R a R
Bài toán3 : Hai đầu nặng đồng chất có chiều dài l trượt khơng ma sát theo Parabol y = ax2 ( hình vẽ ) Hãy xác định vị trí cân Cân
bằng bền hay không bền
Bài giải :
Gọi x1, x2, y1, y2 toạ độ A B
Ta có ( y2 – y1 )2 + ( x2 – x1 )2 = l2
Hay : a2(x22 − x11)2 + (x2 − x1)2 = l2 (1) Chọn mốc tính O
Hệ có cân U = mgyG có
cực trị
Ta có
2
1 ( )
2 2
G
y y a x x
y = + = +
B (x2, y2
A (x1, y1
(10)2
1
2yG x x
a
+ = (2)
Phương trình (1) viết lại :
2 2 2
2
( ) ( ) 1
a x − x a x + x + = a l
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
2 2 2 2
2 2
( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 1
a x − x + a x + x + a x − x a x + x +
2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 2
a x a x a x x a x a x a x x a l
+ − + + + +
2a2(x12 + x22) + 1 2a l (3)
Từ (2) (3) ta có : 2 2 1
2 2 1
4 G
G
y a l
a a l y
a a
−
−
Vậy : 2 1
4 G
a l
U m g y m g
a
−
=
min 2 1
4
a l
U m g
a
−
= Hệ có cân bền
Bài tốn : Một vng đồng chất quay mặt phẳng thẳng đứng quanh trục qua gốc Trọng lượng P, độ dài cạnh a Sợi dây dài l đầu buộc vào góc A Đầu vắt qua rịng rọc nhỏ B đặt cách điểm O theo đường thẳng đứng khoảng a đeo tải trọng Q =
2
2 P Hãy xác định
các vị trí cân nghiên cứu tính ổn định chúng
Bài giải :
Góc tạobởi góc OC phương thẳng đứng Đặt = AOB ; OB = x
Chọn mốc tính O Thế hệ : U = Qx – P -
2
a
cos (1)
Từ hình vẽ ta có : AB = 2asin(
2
) (2)
A
C a
O Q
B
(11)AB + (a – x) = (3)
Từ (2) (3) ta :
x = a – 1+ 2asin(
2
) (4)
Thay vào (1) ta :
U = )
2 sin ( 2 l a
aP + − - P
2
a
cos
Từ hình vẽ :
+ +
4
= => =
4 3
-
Vậy :
U = − − )
4 cos( sin 2
2
aP -
2
Pl
Hệ nằm cân =
d dU
cos
2
- sin(
4 3
- ) = (5)
cos
2
= sin(
4 3
- ) = cos
+ −
cos
2
= cos ( -
4
) (6)
* Các vị trí cân : +
2
1
= 1 -
4
1 =
2 + 2
= - (2 -
4
) 2 =
6 +
= 3 -
4
+ 2 3 = -
2 7
hay 3 = -
2 3
Ta có : 2
2 d U d = − + − ) cos( sin
1
-
2
(12)+ Với 2 =
6
2
2
d U d
< Đường cong biểu diễn U = f() quay mặt
lõm xuống cân không bền + Với 1 =
2
3 =
2 3
2
2
d U d
> đường cong biểu diễn U = f()
quay mặt lõm lên cân bền
Bài toán : Một cầu nhỏ, khối lượng m, trượt khơng ma sát vịng trịn cứng bán kính R Chất điểm gắn cố định vào đầu mút lò xo đàn hồi không khối lượng, chiều dài tự nhiên l0 < 2R, độ cứng k, đầu mút
kia lò xo gắn với điểm A vịng trịn Tồn xếp thẳng đứng (hình vẽ) Hãy xác định vị trí cân tự hệ nghiên cứu tính ổn định chúng
Bài giải
Chọn mốc tính trọng lực vị trí A Thế hệ :
U = - mgAMcos +
2
k (AM – l0)2
Thay AM = 2Rcos ta :
U = - mgAMcos +
2
k (2Rcos – l0)2
Đặt ;
2
l mg
a b
R= kR =
U – 2kR2sin [(a – cos)2 – bcos2] =
Hệ có cân :
4 sin (1 ) cos
dU
kR a b
d = − − =
Và
2
2
2 cos (1 ) cos
d U
kR a b
d = − −
Các cực trị khoảng nghiệm sin = cos =
(1 )
a b
−
+ Nếu b < (mg > kR) = vị trí cân có
2 A
M H
(13)2 d U
d cân bền
+ Nếu b <
(1 )
a b
− a + b > tồn vị trí cân
bằng ứng với = + Nếu b <
(1 )
a b
− < a + b < cịn tồn hai vị trí cân
bằng ứng với 1 = 2 = arccos
(1 )
a b
−
* Với 1 =
2
(0)
d U
d cân không bền
* Với 2 = arcos
(1 )
a b
−
2
2
(0)
d U
d cân bền
Bài toán : Thanh OA quay quanh trục thẳng đứng OZ với vận tốc góc AOZ= khơng đổi Một hịn bi nhỏ, khối lượng m, trượt không ma sát OA nối với điểm O lị xo có độ cứng k có chiều dài tự nhiên l0
1 Tìm vị trí cân viên bi điều kiện để có cân Cân bền hay không bền?
Bài giải
Xét chuyển động hệ hệ quy chiếu quay với vận tốc Hàm hệ :
U = mglcos +
2
k(l – l0)2 -
2
m2(lsin)2
Hệ thống vị trí cân tương đối khí
dU
dl = mgcos + k(l – l0) - m
2lsin2 =
2
cos sin
mg kl l
m k
− =
− r A
l
(14)Vì mgcos < kl0 nên điều kiện để có cân cho ta :
m2sin2 - k < <
sin
k m
2 d U
dl = k - m
2sin2 > Cân bền
Bài toán : Một hạt cườm xâu vào vòng kim loại bán kính R, vịng quay xung quanh đường kính thẳng đứng với vận tốc góc khơng đổi Chứng tỏ với vận tốc đủ lớn, ta quan sát thấy tồn vị trí cân tương đối hạt cườm ứng với góc c khác khơng với đường thẳng đứng
ở ta bỏ qua vai trò ma sát
Bài giải:
Gọi : góc hợp bán kính nối vật phương thẳng đứng
Xét hệ quy chiếu phi quán tính gắn với vịng quay với vận tốc góc quay trục thẳng đứng
Thế hạt cườm: U = - mgRcos -
2 2
m sin
2
R
Hạt cườm nằm cân :dU
d = mgRsin - m2sincos =
2
sin cos
− =
trongđó 02 g
R
=
sin=0
2 cos
=
có
2 d U
d = mgRcos - m
2R2cos
** Các vị trí cân bằng: + Với < 0 cos > 1:
Vật có hai vị trí cân ứng với sin = = =
z
H
N
P Fqt
(15)2
0 d U
d = = mgR - m
2R2 = mgR
2
1
−
→ Vật trạng thái cân bền
2 d U
d = = - mgR - m
2R2 = - mgR
2
1
+
→ Vật trạng thái cân không bền
+ Với > 0 cos < : vật có ba vị trí cân
1 = ; 2 = 3 = arccos
2
Các vị trí 1; 2 có
2 d U
d < → cân khơng bền
Cịn:
3
2 d U
d = mgR
2 2 0 −
→ Cân bền
2 Các toán dao động
Bài toán 1: Hãy xác định chu kì T0 dao động nhỏ chất điểm
M, khối lượng m, bị buộc phải di chuyển không ma sát đường thẳng nằm ngang, tác dụng lò xo (k, l0) mà đầu mút lại cố định điểm
A độ cao a > l0 ( hình vẽ ) Bài giải:
Trước hết ta có nhận xét phản lực Rcủa giá đỡ trọng lượng m g có cơng suất không Ta thấy CM= CK+ CP bảo toàn xét tới
thế lò xo :
Ct(x) = ( ) 1
2k l −l , với ( ) 2 2
l = a + x (1)
Ct(x) = ( )
2
2 2 1
2k a x l
+ −
(16)Vì x << a Khai triển theo tỉ số x/a giữ lại đến số hạng cấp hai ta :
( )1 2
2 2 2
2
(1 ) (1 )
2
x x
a x a a
a a
+ = + + (3)
Thay (3) vào (2) ta : Ct(x) =
2 1 2 2 x
k a l
a
− +
Khai triển giữ lại số hạng gần bậc hai tỉ số x/a ta :
Ct(x) = ( )
2 0 2
0
1 1
1
2 2
l
k a l k x
a
− + −
Cơ toàn phần :
C = 1 '2 1 ( 0)2 1 1
2 2 2
l
mx k a l k x cte
a
+ − + − =
Lấy đạo hàm theo thời gian ta :
0
' " 1 l ' 0
mx x k x x
a
+ − =
Chia hai vế cho m đơn giản x’ ta :
0
" k 1 l 0
x x
m a
+ − =
Đặt : 1 ( 0)
.
l k a l
k
m a m a
= − = −
x” + 2 x =
Nghiệm phương trình : x = A sin ( t + ) Vật dao động điều hồ với chu kì :
0 0 2 2 ( ) ma T
k a l
(17)Bài toán 2: Trên đỉnh bán cầu bán kính R có đặt tạ chiều
dài l (hình vẽ) Tìm chu kì dao động nhỏ hệ
Bài giải:
Xét dịch chuyển nhỏ tạ Gọi góc nghiêng tạ so với vị trí ban đầu B điểm tiếp xúc tạ với mặt cầu Hơn nữa, góc nhỏ, coi cầu chuyển động theo cung lân cận bán kính :
1
2 2
l l
r = −AB= −R
2
2 2
l l
r = + AB = + R
- Vận tốc cầu thời điểm là:
1 1' ( )1 ' ' 2
2
l
v = =x r = − R
2 2' ( 2 )' ' 2
2
l
v = =x r = + R
- Chọn mốc tính mặt đất U = Cơ tạ là:
( 2) ( 1) 1 12 1 22
2 2
E U= + =k mg R x+ +mg R x− + mv + mv
2 ( 2 1) 1 ( 12 22) 2
mgR mg x x m v v
= + − + +
2 2 1 '2 4 '2
4
mgR mgR ml mR
= + + +
Ở m khối lượng cầu, khối lượng khơng đáng kể,trong phép tính tốn
2 l
R nên ta bỏ qua số hạng này, vậy:
( 2) 1 2
2 1 '
4
E= mgR + + l m
Đạo hàm theo t :
r2
l/2 l/2
r1
(18)' 4 ' 1 ' " 2
E = mgR + l m Vì hệ khơng đổi E’ =
Vậy :
4 1 " 0 2
gR+ l =
Hay
2
2 8
" 0
2 2
gR l
gR l
+ =
=
Hệ dao động với chu kì :
2 2
2
l T
gR
(19)IV CÔNG ẢO VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TĨNH HỌC Sự dịch chuyển ảo
Cho hệ cân bằng, dịch chuyển ảo tưởng tượng dịch chuyển nhỏ phù hợp với liên kết xác định hệ vật cần khảo sát thời điểm xác định
Độ dịch chuyển ảo 𝛿𝑟⃗ để phân biệt với độ dịch chuyển thực 𝑑𝑟⃗
Ví dụ
Một lắc đơn giữ cân tác dụng lực P, hai khoảng dịch chuyển lắc hình vẽ Dịch chuyển theo cách gọi độ dịch chuyển ảo cách độ dịch chuyển ảo
2 CƠNG ẢO a Cơng ảo
Cơng thực lực 𝐹⃗ dịch chuyển ảo gọi cơng ảo Nó xác định 𝛿𝐴 = 𝐹⃗ 𝛿𝑟⃗
trong đó, 𝛿𝑟⃗ nói chung khơng tiếp tuyến với quỹ đạo b Định lý công ảo
Một hệ đứng yên chất điểm A hệ đứng yên tác dụng lực 𝐹⃗𝐴 tác dụng lên
Σ𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ 𝐴
Σ𝐹⃗𝐴𝛿𝑟⃗ =
Các lực 𝐹⃗𝐴 bao gồm ngoại lực đặt vào hệ lực liên kết giới hạn hai trường hợp
quan trọng mà lực liên kết hồn hảo Đó trường hợp khơng có ma sát trường hợp khơng có trượt có ma sát
(20)Muốn cho hệ chất điểm có lực liên kết hồn hảo nằm cân điều kiện cần đủ tổng công ảo ngoại lực đặt vào hệ phải
3 Áp dụng giải toán tĩnh học
Bài toán 1: Một đồng chất khối lượng m, chiều dài L đứng cân nhờ tác dụng lực 𝐹⃗ hình vẽ Bỏ qua ma sát Xác định góc hợp phương thẳng đứng nằm cân
Hướng dẫn:
Thanh chịu tác dụng lực: 𝐹⃗; 𝑁⃗⃗⃗1; 𝑁⃗⃗⃗2 𝑃⃗⃗ Nhận xét: Với dịch chuyển ảo ta thấy
+ Đầu A dịch chuyển theo phương thẳng đứng, 𝑁⃗⃗⃗1 không sinh công + Đầu B dịch chuyển theo phương ngang, 𝑁⃗⃗⃗2 không sinh công Do đó, ta quan tâm đến 𝑃⃗⃗ 𝐹⃗
Ta có
𝑦𝐺 = 𝐿
2cos 𝛼 𝑥𝐵 = 𝐿 sin 𝛼 Do
𝛿𝑦𝐺 = −𝐿
2sin 𝛼 𝛿𝛼 𝛿𝑥𝐵 = 𝐿 cos 𝛼 𝛿𝛼 Theo định lý cơng ảo ta có
𝐹 𝛿𝑥𝐵 + 𝑃 𝛿𝑦𝐺 = ⇒ 𝐹 𝐿 cos 𝛼 𝛿𝛼 − 𝑃.𝐿
2sin 𝛼 𝛿𝛼 =
𝑡𝑎𝑛𝛼 =2𝐹
𝑃
(21)