bài tập ôn tập môn toán trong thời gian học sinh nghỉ

Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).. Các phương pháp tìm nguyên hàm [r]

Chủ đề 7: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I, Nguyên hàm

A- Tóm tắt lý thuyết

1 Khái niệm nguyên hàm tính chất 1 Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số xác định Hàm số gọi nguyên hàm hàm số nếu:

— Nếu nguyên hàm họ nguyên hàm hàm số là:

2 Tính chất: Nếu hàm số liên tục ta ln có:

Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý) 



  

  



♦ Nhận xét Khi thay lấy nguyên hàm nhân kết thêm Một số lưu ý

1 Cần nắm vững bảng nguyên hàm

2 Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm hàm số khơng tích (thương) nguyên hàm hàm thành phần

( )

f x K F x( ) f x( ) K

( ) ( ),

F x  f x  x K

( )

F x f x( ) K f x( ) K

( ) ( ) ,

f x dx F x C const C 





( ), ( )

f x g x K k 





f x dx( ) f x( )C 



kf x dx( ) k



f x dx( ) 



f x( )g x dx( ) 



f x dx( ) 



g x dx( )

1

1

x

x dx C

 





  





( ) ( )

1

n

n ax b

ax b dx C

a n





    





1

ln

dx x C

x   



dx lnax b C

ax b   a  



2

1

dx C

x x    



1 1

(ax b) dx   a axb C



sinx dx  cosx C



sin(ax b dx) cos(ax b) C a

    



cosx dx sinx C



cos(ax b dx) sin(ax b) C a

     



2

1

cot sin x dx   x C



1

cot( ) sin (axb)dx  a ax b C



2

1

tan cos x dx  x C



1

tan( )

cos (ax b)dx a ax b C



x x

e dx e C



eax b dx eax b C

a

     



ln

x

x a

a dx C

a

  



2

1 ln

dx x a

C

a x a

x a



  

 



x (ax b)

3 Muốn tìm nguyên hàm hàm số, ta phải biến đổi hàm số thành tổng hiệu hàm số tìm nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm)

2 Các phương pháp tìm nguyên hàm hàm số

Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM BẰNG BẢNG NGUN HÀM

Dạng tốn TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Định lý: Cho hàm số có đạo hàm liên tục

1 Đổi biến số dạng 1: đặt

với

Đặt trừ số trường hợp đổi biến dạng

Đặt

Đặt

Đặt

Đặt

Đặt Đặt

Đặt

Đặt

( ) ( )

f u du F u C



u u x( )

( ) ( ) ( )

f u x u x dx  F u x  C



( )

t  x



1

2

( )

1 ( 1) ,

1

( )

PP n

m n

PP n n

n

PP n

I f ax b xdx t ax b dt a dx

x

I dx t x dt n x dx

ax

I f ax b xdx t ax b dt ax dx

 

        

 

 

  

          

    

        

 







,

m n  

 I 



n f x( )f x dx( )  PP  t  n f x( ),



1 (ln )

1 ( ln )

I f x dx

x

I f a b x dx

x



   

 

    

 





PP

  ln

ln

t x

t a b x

 

 

   

 ( )x x

I 



f e e dx  PP  t ex.

 I 



f(cos ) sinx  xdx  PP  t cosx dt  sinxdx.

 I 



f(sin ) cosx  xdx  PP  t sinx dt cosxdx.

 (tan ) 12

cos

I f x dx

x





  PP 

2

1

tan (1 tan )

cos

t x dt dx x dx

x

    

 (cot ) 12

sin

I f x dx

x





  PP 

2

1

cot (1 cot )

sin

t x dt dx x dx

x

       

 I  f(sin ; cos ) sin 22x 2x  xdx



 PP 

2

sin sin

cos sin

t x dt xdx

t x dt xdx

   

 

    



 I 



f(sinx cos ) (sinx  x cos )x dx  PP  t  sinx cos x

1 Tích đa thức lũy thừa khai triển Tích hàm mũ khai triển theo công thức mũ Chứa chuyển lũy thừa

4 Tích lượng giác bậc sin cosin khai triển theo công thức tích thành tổng

5 Bậc chẵn sin cosin Hạ bậc

2 Đổi biến số dạng 2: đặt

Đặt

Đặt

Đặt

Đặt

Đặt với

Đặt

Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

Bài tốn tổng qt: Tính ngun hàm với đa thức không ( )

x  t

 I  f a( x2)x dx2n



 PP  x a.sint dx a.cos t dt

 I  f( x2 a2)x dx2n



 PP 

2

.tan

cos

adt

x a t dx

t

   

 I  f( x2a2)x dx2n



 PP 

2

sin

cos cos

a a t

x dx dt

t t

    



2

( ) n dx I

x a ax bx c



  



 PP 

2

1 dt

x a dx

t t

     

 I  Rn1axb, ,nkax b dx

 

 



 PP  tn axb





1

; ; ; k

n B C N N n n n 

 ( )( )

dx I

x a x b



 



PP  

0

0

0

x a

t x a x b

x b

x a

t x a x b

x b

 

   

 

     

   

 

  

 

   

 

       

   

 

 



( ) , ( )

P x

I dx

Q x





 P x( ) Q x( )

Định lý: Nếu hai hàm số có đạo hàm liên tục hay

Vận dụng giải tốn:

— Nhận dạng: Tích hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác

— Đặt: Suy ra:

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ phần lại Nghĩa có

ln hay chọn hay cịn lại Nếu khơng

có chọn đa thức cịn lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn lượng giác,…

Phương pháp giải:

— Nếu bậc tử số bậc mẫu số Chia đa thức

— Nếu bậc tử số bậc mẫu số Xem xét mẫu số đó:

+ Nếu mẫu số phân tích thành tích số, ta sử dụng đồng thức để đưa dạng tổng phân số

Một số trường hợp đồng thức thường gặp:

với

+ Nếu mẫu số không phân tích thành tích số (biến đổi đưa dạng lượng giác) B- Bài tập trắc nghiệm

DẠNG 1: DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

NHÓM : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Nguyên hàm F x

 

hàm số

 

2 32

5

f x

x x x

  

 hàm số nào?

A F x

 

ln 2x lnx C

x

      B F x

 

ln 2x lnx C

x

     

C F x

 

ln 2x lnx C

x

     D F x

 

ln 2x lnx C

x

     

Câu Cho f x( ) x3 3x22x Một nguyên hàm ( )F x ( )f x thỏa F

 

1 0 là: A

4

3

4

x

x x

    B

4

3

4

x

x x

   

C

4

3 1

4

x

x x

    D

4

3 1

4

x

x x

   

Câu Kết





2

2 1

x x  dx



bằng:

A





3

1 ( )

3

x

F x   C B





3

1 ( )

6

x

F x   C

C

2

( )

2

x x

F x   xC



  D





2 3

2

( )

6

x

F x  x  C

Câu Tìm họ nguyên hàm F x

 

hàm sốf x

 

 3x2 – 3x, ta kết là: ( )

P x  Q x( )  PP 

( )

P x  Q x( )  PP 

1

( ) ( )

a b

ax m bx n an bm ax m bx n

 

 

    

       

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A B m

mx n A B A B x Ab Ba

Ab Ba n

x a x b x a x b x a x b

  

     

      

 

        

2

1

,

( ) ( )

A Bx C

x m

x m ax bx c ax bx c



  



     

2 4 0.

b ac

   

2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

A B C D

x a x b

x a x b x a x b

     

 

A ( ) 3 ln

x

F x x  C B ( ) 3

ln

x

F x x  C

C

3 3

( )

3 ln

x

x

F x   C D

3 3

( )

3 ln

x

x

F x   C

Câu Nguyên hàm hàm sốf x( )(12 )x 5 là: A (1 )6

12 x C

   B (12 )x C

C 5(12 )x 6C D 5(12 )x C Câu Tìm hàm số f x

 

biết f x’

 

2x 1 f

 

1 5

A x2   x B x2   x C x2  x D Kết khác Câu Tìm hàm số y  f x( ) biết f x( )(x2 x x)( 1) (0)f 

A

4

( )

4

x x

y  f x    B

4

( )

4

x x

y f x   

C

4

( )

4

x x

y  f x    D y  f x( )3x21

NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) Câu Nguyên hàm hàm số ( )

2x

f x 



A



f x d

 

x  2x 1 C B



f x d

 

x 2 2x 1 C

C

 

x 2x

2

f x d   C



D



f x d

 

x  2 2x 1 C

Câu Tìm nguyên hàm hàm số ( )

f x

x





A



f x d

 

x  2 3 x C B



f x d

 

x  3 x C

C



f x d

 

x 2 3 x C D



f x d

 

x  3 3 x C

Câu 10 Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x  2x A

 

x 1



2x 2x



3

f x d    C



B

 

x 2



2x 2x



3

f x d    C



C

 

x 2x

3

f x d    C



D

 

x 2x

2

f x d   C



Câu 11 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 3x  A

 

x 3



2



3

4

f x d  x x  C



B

 

x 3



2



3

4

f x d   x  x C



C

 

x 2



2



3

f x d  x  x 



D

 





2

1

x

3

f x d  x   C



A

 

5



1



f x  x  x  B

 

5



1



2

f x  x  x   C

C

 

2



1



f x  x  x  D f x

  

 x 1



x  1 C Câu 13 Biết nguyên hàm hàm số

 

1

1

f x

x

 

 hàm số F x

 

thỏa mãn

 

3

F   Khi

đó F x

 

hàm số sau đây?

A

 

3x

3

F x  x   B

 

3x

3

F x  x  

C

 

3x

3

F x  x   D

 

3x

3

F x   

Câu 14 Biết ( )F x 6 1 nguyên hàm hàm số x ( )

a f x

x



 Khi giá trị a

A 3 B 3 C 6 D 1

6 Câu 15 Tính 1

2dx

x

 

  

 

 

 



A

2

x x

C

  B 2

2

x

x  C C 1

2

2 x  x C D

2

x C

x  

NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 16 Cho hàm số ( )f x 2x sinx 2 cosx Một nguyên hàm ( )F x ( )f x thỏa (0)F  là: A x2cosx2 sinx B x2 cosx2 sinx 

C 2cosx 2 sinx D x2 cosx2 sinx Câu 17 Một nguyên hàm hàm số f x( ) tan2x là:

A

3

tan

x

B

3

2

tan

cos

x

x C tan xx D

2 sin cos

x x

Câu 18 Một nguyên hàm hàm số f x( ) cos4x sin4x là: A cos 2x B 1sin

2 x C 2 sin 2x D

2

cos x Câu 19 Biết F x( )





1tan2x dx



( )F x là:

A ( ) 12 cos

F x C

x

  B ( )F x tanx C

C ( )F x tanx C D ( )F x cotx C

Câu 20 Gọi F x nguyên hàm số 1( ) f x1( )sin2x thỏa mãn F1(0) F x nguyên hàm số 2( )

2

2( ) cos

f x  x thỏa mãn F2(0) Khi phương trình F x1( )F x2( ) có nghiệm là:

A ,

2

x   k k Z B ,

Câu 21 Nguyên hàm hàm số: y cos sin2x x là: A 1cos3

3 x  C B

3

cos x C

  C 1sin3

3 x  C D Đáp án khác Câu 22 Một nguyên hàm hàm số: y cos cosx x là:

A F x

 

 cos 6x B F x

 

sin 6x C 1 1sin 1sin

2 x x

 

  

 

 

  D

1 sin sin

2

x x

 

 

   

 

Câu 23 Tìm



(sinx 1) cos3 xdx là: A

4

(cos 1)

x

C



 B

4

sin

x C

 C

4

(sin 1)

x

C



 D 4(sinx 1)3 C Câu 24 Nguyên hàm hàm số y sin3x.cosx là:

A ( ) 1sin4

F x  x  C B ( ) 1sin4

4

F x   x C

C ( ) 1cos4

F x  x  C D ( ) 1cos4

4

F x   x  C

Câu 25 Nguyên hàm hàm số: y = 2cos 2 sin cos

x dx

x x



là:

A F x

 

  cos – sinx x C   B F x

 

 cosx sinx C   C F x

 

 cot – tanx x C   D F x

 

  cot – tanx x C   Câu 26 Tìm nguyên hàm 2 2

sin cosx xdx



=

A tan 2x C B 2cot2x C C 4cot2x C D 2cot2x C NHÓM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT

Câu 27 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )ex ex

A



f x d

 

x ex ex C B



f x d

 

x   ex ex C C



f x d

 

x ex ex C D



f x d

 

x   ex ex C Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )2 3x 2x

A

 

x

9 ln ln

x

f x d      C

 

 



B

 

x

2 ln ln

x

f x d      C

 

 



C

 

x

3 ln ln

x

f x d      C

 

 



D

 

x

9 ln ln

x

f x d      C

 

 



Câu 29 Họ nguyên hàm hàm sốf x( )ex(3ex)

A F x( )3ex  x C B F x( )3ex ex lnex C C F x( ) 3ex 1x C

e

Câu 30 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) e4x 2

A

 

x 2x

2

f x d  e  C



B



f x d

 

x e2x 1 C

C

 

x 4x 2

f x d  e  C



D

 

x 2x

2

f x d  e  C



Câu 31 Tính



(3 cosx 3 )x dx , kết là: A 3 sin

ln

x

x  C B sin ln

x

x C

   C 3 sin

ln

x

x  C D sin ln

x

x C

  

Câu 32 Hàm sốF x

 

ex tanx C

nguyên hàm hàm số ( )f x nào?

A ( ) 12

sin

x

f x e

x

  B ( ) 12

sin

x

f x e

x

  C ( ) 12

cos

x

f x e

x

  D Kết khác Câu 33 Nếu



f x dx( ) ex sin 2x C ( )f x

A ex cos 2x B ex cos 2x C ex 2 cos 2x D 1cos 2

x

e  x

Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số f x 

 

2x 4x

A

 

2

2

( )

ln ln

x x

F x   C B ( )



1 1



ln

x

x

F x    C

C ( ) ln ln

x x

F x    C



  D





2

( )

2 ln

x

x

F x   C

Câu 35 Tìm ex 52x

x e

 

  

 

 

 



A ( ) 14

x

F x e C

x

   B ( ) 14

2

x

F x e C

x

   

C ( ) 14

x

F x e C

x

   D ( ) 14

2

x

F x e C

x

   

NHÓM 5: HÀM PHÂN THỨC Câu 36 Một nguyên hàm hàm số

2

x y

x

 

 là:

A F x( )3x 4 ln x  2 C B F x( ) 3x lnx  2 C C F x( )3x lnx  2 C D F x( )3x lnx  2 C Câu 37 Một nguyên hàm hàm số ( )

1

x f x

x



 là:

A lnx 1 B x ln x 1 C x lnx 1 D 2 ln x 1 Câu 38 Cho hàm số

2

2

( )

2

x x

f x

x x

 



A 2 x x    B 2 x x  

 C





2

2 ln

x  x  D 2

1

x x

 



Câu 39 Hàm số sau không nguyên hàm hàm số

 









2

2 x x f x x    ? A 1 x x x    B 1 x x x    C x

x  D

2 1 x x x   

Câu 40 Cho hàm số

 





2 x f x x 

 Một nguyên hàm F x

 

f x

 

thỏa F

 

1  4 : A

2

2

2

2 ln

2

x

x x

   B

2

2

1

2 ln

2 x x x    C 2

2 ln

2

x

x x

   D F x

 

x3 2x C

Câu 41 Nguyên hàm hàm số

 

3 1 x f x x  

 là: A

 

3

2 ln

3

x x

F x    x x  C B

 

3

2 ln

3

x x

F x    x x  C

C

 

3

ln

3

x x

F x    x x  C D

 

3

2 ln

3

x x

F x    x x  C

Câu 42 Gọi hàm số ( )F x nguyên hàm

3

2

3

( )

2

x x x

f x

x x

  



  , biết

1 (1)

3

F  Vậy ( )F x là:

A

2 2 13

( )

2

x

F x x

x

   

 B

2 2 13

( )

2

x

F x x

x      C 1 ( ) x

F x x C

x      D 2 ( ) x

F x x

x

  

 Câu 43 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số

2 2 1

( ) x x

f x

x

 

 biết (1)

2

F  Kết là: A

2

( ) ln

2

x

F x   x  x  B

2

( ) ln

2

x

F x   x  x 

C

2 1

( ) ln

2

x

F x   x  x  D

2 1

( ) ln

2

x

F x   x  x 

Câu 44 Ta có:





2

3

3

3 3

( )

1

3 1

1

A

x x A B C

f x B

x x

x x x

C                    

Tính



f x dx( ) F x( )C, ta kết là: A





2

3

( )

1 1

F x C

x x x

   

B ( ) ln ln

F x x x C

x

      



C ( ) ln ln

1

F x x x C

x

     



D ( ) ln ln

1

F x x x C

x

      

 Câu 45 Nguyên hàm hàm số f x( ) 12

x x

  :

A lnxlnx2  C B ln x C

x

  C ln x C

x

  D Kết khác Câu 46 Tính nguyên hàm

2x 1dx



ta kết sau: A 1ln

2 x  C B ln 2x  1 C C

ln

2 x C

   D ln 2x  1 C

Câu 47 Nguyên hàm hàm số f x

 

=

4

2x

x

 : A

3

2

3

x

C x

  B

3

2

3

x

C x

  C

3

2

2

3 ln

x

x C

  D Kết khác

Câu 48.Kết

x dx x





là: A 1 x  C B

2

1

1 x C

 

 C

1

1x C D

2

1 x C

  

Câu 49 Một nguyên hàm F(x) hàm số

 

2

f x x



 A ( ) 1ln 2016

2

F x  x   B F(x)ln 2x 5

C





2

2 ( )

2

F x

x

 

 D





2

1 ( )

2

F x

x

   Câu 40.Nguyên hàm hàm số

 





2

1

y f x

x

 

 là: A

 

1

2

F x C

x



 

 B

 





2

ln

F x   x C

C

 

1 2

F x C

x

 

 D

 

1

F x C

x



 



Câu Tính

2

1

2

x

dx

x x



 



A

2

2

2

x

C

x x

 

  B

2

2 x 2x  5 C

C

2 2 5

2

x x

C

  

D x22x   C

Câu Họ nguyên hàm hàm số

 

2 1

x f x

x





A F x

 

 ln x2  1 C B F x

 

 x2  1 C C F x

 

2 x2  1 C D

 





2

3

F x C

x

 

 Câu Một nguyên hàm hàm số f x

 

cos x esinx

A F x

 

esin x B F x

 

ecos x C F x

 

esin x D F x

 

sin x esinx Câu Cho hàm số

 





2016

2 1

f x x x  Khi :

A

 





2017

2 1

4034

x

f x dx   C



B

 





2016

2 1

4032

x

f x dx  



C

 





2016

2 1

2016

x

f x dx  



D

 





2017

2 1

2017

x

f x dx  



Câu Hàm số F x

 

ex2 nguyên hàm hàm số

A f x

 

2xex2 B f x

 

e2x C

 

2

x e f x

x

 D f x

 

x e2 x2 1 Câu Kết



cosx s inx 1dxbằng:

A ( )



s in 1



3

F x  x  C B ( )



s in 1



3

3

F x   x  C

C ( )



s in 1



F x  x   C D





3

2

( ) s in

3

F x  x   C

Câu Kết

3

x x e

dx e 



bằng:

A F x( ) ex  3 C B F x( )2 ex  3 C

C F x( )ex  3 C D ( )

3

x x

e

F x C

e x

 

 Câu Hàm số f x( ) lnx

x

A F x( )ln2x C B ( ) 1ln

F x  x  C

C ( ) 1ln2

F x  x C D ( ) 12

F x C

x x

 

Câu Hàm số ( ) ln (1 ) ln

x

f x x

x x

  có nguyên hàm là:

A F x( )ln2x x2 C B

2

ln ( )

2

x x

F x   C

C

2

2

ln ( )

2

x

F x  x C D

2

( ) ln (ln )

2 ln

x

F x x x C

x

  

Câu 10 Gọi F x nguyên hàm số ( )

2

( )

x f x

x



 thỏa mãn F(2) Khi phương trình ( )

F x  có nghiệm là: x

A x 0 B x 1 C x  1 D x  1

Câu 11 Một nguyên hàm hàm số:

3

2

x y

x



 là:

A F x( )x 2x2 B 1



4



2

3 x x

  

C 2

3x x

  D 1



4



2

3 x x

  

Câu 12 Tìm nguyên hàm F x

 

biết

2

2 ( )

1

x f x

x x



  Kết là: A ( ) 2



1



3

F x  x  x  x  B ( ) 2



1



3

F x  x  x  x  C ( ) 2



1



3

F x  x  x  x  D ( ) 2



1



3

F x  x  x  x 

Câu 13 Tìm nguyên hàm F x

 

biết ( ) sin sin cos

x f x

x x



 Kết là: A ( ) 1



ln sin cos



2

F x  x  x  x  C B ( ) 1



ln sin cos



2

F x  x  x  x C

C ( ) 1



ln sin cos



F x  x  x x  C D ( ) 1



ln sin cos



2

F x  x  x x  C

Câu 14 Tính nguyên hàm xex21dx



, ta được: A ( )

2

x

F x  e   C

B ( ) 2

x

F x  e   C

C ( ) 2

x

F x   e   C

D ( ) 2

x

F x  e  C

Câu 15 Tính x ln 2dx

x

A F x( )2 2



x   1



C B F x( )2 2



x   1



C C ( )F x 2 x  C D F x( )2 x1  C

Câu 16 Hàm số nguyên hàm

2

1 ( )

1

f x

x



 ? A

2

( )

1

x F x

x

 

 B

2

( ) ln

F x  x

C F x( )ln



x  1x2



D F x( )ln



x 1x2



Câu 17 Tìm cos20

sin

x dx x



A ( ) 119

19 sin

F x C

x

   B ( ) 119

19 sin

F x C

x

 

C ( ) 119

19 cos

F x C

x

   D ( ) 119

19 cos

F x C

x

 

Câu 18 Một nguyên hàm ( )F x hàm số ( )

2

x x

e f x

e



 thỏa F

 

0  ln A F x( )ln



ex 2



ln B F x( )ln



ex 2



ln C F x( )ln



ex 2



2 ln D F x( )ln



ex 2



2 ln Câu 19 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )e3 cosx sinx

A ( ) cos cos

3

x

f x dx  e x C



B



f x dx( ) 3e3 cosx C

C ( ) cos

3

x f x dx   e C



D



f x dx( ) 3e3 cosx.cosx C

Câu 20 Nguyên hàm hàm số: x 2x

d

I  

 



là:

A F(x) = 2x 1 4 ln 2x 1



 4



 C B F(x) = 2x 1 ln 2x



 1 4



 C C F(x) = 2x 1 4 ln 2x



 1 4



 C D F(x) = 2x 7ln



2x 4



2 C

    

Câu 21 Nguyên hàm hàm số:

2

( ) x

x

x x e

y dx

x e

 





là:

Câu 22 Nguyên hàm hàm số: y 2dx 2

x a







là:

A ln

x a

a x a



 +C B

ln

x a

a x a



 +C C

ln x a

a x a



 +C D

ln x a

a x a

  +C Câu 23 Nguyên hàm hàm số: y 2dx 2

a x







là:

A ln

a x

a a x



 +C B

ln

a x

a a x



 +C C

ln x a

a x a



 +C D

ln x a

a x a

  +C Câu 24 Nguyên hàm hàm số: y 



x 4x 7 dxlà:

A









5

2

1 2

4 7

20 x x C

 

     

 

  B









5

2

1 2

4 7

18 x x C

 

      

 

 

C









5

2

1 2

4 7

14 x x C

 

     

 

  D









5

2

1 2

4 7

16 x x C

 

     

 

 

DẠNG : PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu Một nguyên hàm hàm số f x( )xex là:

A ex  C B e xx



1



C C e xx



1



C D

2

2

x

x

e C

Câu Một nguyên hàm hàm số f x( )(x2 2 ).x ex là: A (2x 2).ex

B x e x C (x2 x e) x D (x22 ).x ex Câu Cho hàm số f x( )x e x Một nguyên hàm ( )F x ( )f x thỏa (0)F  là:

A  (x 1)ex 1 B  (x 1)ex 2 C (x 1)ex 1 D (x 1)ex 2

Câu Nguyên hàm hàm số f x( )xex2 hàm số: A F x( )2ex2 B ( )

2

x

F x  e C F x( )2x e2 x2 D F x( )ex2 xex2

Câu Cho

1

( ) ln

x

f x 



tdt Đạo hàm '( )f x hàm số đây? A 1

x B ln x C

2

ln x D 1ln2 x Câu Hàm số ( )f x (x 1)sinx có nguyên hàm là:

A ( )F x (x 1)cosx s inx  C B ( )F x   (x 1)cosx s inx  C C ( )F x   (x 1)cosxs inx  C D ( )F x (x 1)cosx s inx  C Câu Gọi hàm số ( )F x nguyên hàm ( )f x xcos 3x , biết (0)F  Vậy ( )1 F x là:

A ( ) sin 1cos

3

F x  x x  x C B ( ) sin 1cos

3

F x  x x  x 

C ( ) 2sin

F x  x x D ( ) sin 1cos

3 9

Câu Tìm



xcos 2xdx là: A 1 sin 1cos

2x x 4 x  C B

1

sin cos

2x x 2 x  C C

2sin 2

4

x x

C

 D sin 2x C

Câu Kết sai kết sau ? A

2.cos

sin

2

x x

x xdx  C



B



xsinxdx  xcosx sinx C

C



xcosxdx xsinx cosx C D sin cos 1sin

2

x x

x xdx    x C



Câu 10 Kết sai kết sau ?

A

3

3

3

x

x xe x

xe dx   e C



B



xe dxx xex ex C

C

2

x x x

xe dx  e C



D xx dx xx 1x C

e e e



  



Câu 11 Kết sai kết sau ?

A



lnxdx xlnx  x C B ln xdx C

x

 



C

2

ln ln

2

x x

x xdx  x C



D

3

2ln .ln

3

x x

x xdx  x  C



Câu 12 Kết sai kết sau ?

A



ln2xdx xln2x 2



xlnx x



C B

3

2 ln

ln

3

x

xdx  C



C ln2xdx lnx C

x x

x



  



D ln3 ln2 12

2

x x

dx C

x x x



  



Câu 13 Kết sai kết sau ?

A 2 2 12

2

x x x

x x

dx C

e e e



  



B



xe dxx  xex ex C

C

3

3

3

x

x xe x

xe dx   e C



D

2

2 .

2

x x x

xe dx  e C



Câu 14 Kết sai kết sau ?

A

3

2ln .1

3

x

x xdx C

x

 



B

3

2ln .ln

3

x x

x xdx  x  C



C



ln



x  1x dx2



xln



x  1x2



 1x2 C

D sin



sin cos



2

x

x e x x

e xdx   C



A ( ) cos 2



1



1.sin 2



1



2

x

f x dx   x   x  C



B





2

( ) cos

4

x

f x dx   x  C



C ( ) cos 2



1



1.sin 2



1



2

x

f x dx  x   x  C



D ( ) cos 2



1



1.sin 2



1



2

x

f x dx   x   x  C



Câu 16 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )x.ln 1



x



A

2

( )

2( 1)

x

f x dx C

x

 





B





2

3

1

( ) ln ln(1 )

2

x

f x dx  x  x x C



C ( ) 1



ln 1







2

x f x dx  x  x  x  C



D





2

2

1

( ) ln ln( 1)

2 2

x x

f x dx  x  x   x  C



Câu 17 Nguyên hàm hàm số: I 





x 2 sin 3



xdx là: A F(x) =



cos 3



1sin

3

x x

x C



   B F(x) =



cos 3



1sin

3

x x

x C



 

C F(x) =



cos 3



1sin

3

x x

x C



   D F(x) =



cos 3



1sin

3

x x

x C



  

II, TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân

① Cho hàm số liên tục Hàm số gọi nguyên hàm gọi tích phân từ đến kí hiệu Khi đó:

với gọi cận dưới, cận

② Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho , nghĩa là:

③ Nếu hàm số liên tục khơng âm đoạn diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị trục hai đường thẳng là:

Tính chất tích phân ( )

f x

K

a b, K F x( ) f x( )

K

F b( )F a( ) f x( ) a

b



( )

b

a

f x dx





( )  ( )  ( ) ( ) , b

b a a

I f x dx F x F b F a a

b

x





( ) 



( ) 



( )    ( ) ( )

b b b

a a a

I f x dx f t dt f u du F b F a

 ( )

y f x a b;  S

 ( ),

y f x Ox x a x, b 



( ) 

b

a

  với

 

Dạng tốn TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Nếu



 



6

0 f x dx 10



 



0 f x dx



 

4 f x dx có giá trị là:

A 17 B 170 C D –3

Câu Cho



 



1

1

f x dx



 

 

1

3

f t dt



 

2

f u ducó giá trị :

A.– B – C D

Câu Cho biết



 





 



5

2

3;

f x dx g x dx Giá trị 





   

 

2

A f x g x dx

A Chưa xác định B 12 C D

Câu Giả sử



( ) 2

b a

f x dx



( ) 3

b c

f x dx a < b < c



( )

c a

f x dx bằng?

A B C –1 D –5

Câu Cho hàm số f x

 

liên tục đoạn 0;10 thoả:



 





 



10

0 f x dx 7, f x dx Khi đó, giá trị

của 



 





 

2 10

0

P f x dx f x dx

A P  B P  C P  D P 

Câu Nếu f

 

1 12, f x'

 

liên tục



 



1

' 17

f x dx Giá trị f

 

4

A 29 B C 15 D 19

Câu Nếu f x

 

liên tục



 



0

10

f x dx



 

0

2

f x dx

A 29 B C D 19

Câu Nếu



 

5

d a

f x dx , với có giá trị là:

A B C D

Câu Cho hàm số liên tục Đẳng thức sau sai?

A B

C D

 



( )



( )

b a

a b

f x dx f x dx



( ) 0

a

a

f x dx



( ) 



( ) ,

b b

a a

kf x dx k f x dx (k  0)

    

 

 



( ) ( )



( )



( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx



( ) 



( ) 



( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

 





d b

f x dx a d b



b

 

a f x dx

3

( )

f x    a b;

 



( )



( )

b a

a b

f x dx f x dx



 (   ) 

b a

kdx k b a k



 



     



( )



( )



( ) , ;

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx c a b



( ) 



( )

b a

a b

Câu 10 Biết











2

b

x dx , b nhận giá trị

A    

1

b

b B

     

0

b

b C

     

1

b

b D

     

0

b b

Câu 11 Tìm m , biết











2

m

x dx

A m 1,m  6 B m 1,m 

C m  1,m  6 D m  1,m  Câu 12 Cho 



2

1

( ) ( )

x

F x t t dt Giá trị nhỏ F x( ) 1;1 là:

A

3 B C 

5

6 D

5

Câu 13 Cho



 



0

3

f x dx Khi





 

 

0

4f x 3dx bằng:

A B C D

Câu 14 Các số thực x sau thỏa mãn đẳng thức 











1

x

I t dt

A

x

0

x –2 B

x

0

x2 C

x

0

x1 D

x

0

x  –1 Câu 15 Giả sử 





1

ln

2

dx

K

x Giá trị K là:

A B C 81 D

Câu 16 Giả sử 

 

  





2

1

3

ln

2

x x

I dx a b

x Khi giá trị a  2b

A.30 B 40 C 50 D 60

Câu 17 Tính tích phân 







2

a dx I

a ax (alà tham số thực dương)

A I a B I   



2 2



a

C

I

 

2 2

D I  a

Câu 18 Cho

 



4msin2

f x x Tìm m để nguyên hàm F x

 

hàm số f x

 

thỏa mãn

 

       

 

0

4

F v F

A  4

3

m B 3

4

m C 4

3

m D  3

4

Câu 19 Giả sử







 

4

0

2 sin sin

2

I x xdx a b a b

A 1

6 B

3

10 C 

3

10 D

1

Câu 20 Để hàm số f x

 

asinx b thỏa mãn f

 

1 2 và



 



0

4

f x dx a,b nhận giá trị : A a  ,b  B.

a





,

b



2

C a  , b  D a  , b  Câu 21 Cho f x( )Asin 2x B Tìm A B, biết f ' 0

 

4và







0

( )

f x dx

A



2, 

2

A B B



1, 

2

A B C



2, 

2

A B D



1, 

2

A B

Câu 22 Cho 









0

x

I ax e dx Xác định a để  I e

A  a e B a 4e1 C  a e D a 2e2 Câu 23 Nếu





 

 



     



 



2

2

4

x

I e dx K e giá trị K :

A 11 B 10 C 12,5 D

Câu 24 Cho tích phân









2

1

2

ln ln ( , , )

 

   





x x x dx a b c a b c 

x Chọn khẳng định

khẳng định sau:

A.a0 B.c0 C.b0 D.a b c  0

Câu 25 Tìm số A B, để hàm số f x

 

A.sinxB thỏa điều kiện: f ' 1

 

2 ;

2

0

( ) 4



f x dx

A.

2

2



       

A B

B.

2

2



       

A B

C.

2



       

A B

D.

2

2



      

A B

Dạng toán TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

           

       

       



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

a

b

f x u x dx F u x F u b F u a a

– Bước Biến đổi để chọn phép đặt t  u x( ) dt  u x( )dx (xem lại phương pháp đổi biến số phần nguyên hàm)

– Bước Đổi cận:

 

   

 

 

   

 

 

( ) ( )

x b t u b

x a t u a (nhớ: đổi biến phải đổi cận)

– Bước Đưa dạng 





( )

( )

( )

u b

u a

Câu 1.Biến đổi

 



0 1

x

dx

x thành



 

2

1

f t dtvới t  1x Khi f t

 

hàm hàm sau đây?

A f t

 

2t2 2t B f t

 

t2 t C f t

 

2t2 2t D f t

 

t2t Câu Cho tích phân

1

1x xd



,với cách đặt t 31 tích phân cho với tích phân x

A.

1

3 t dt



B.

1

3



t dt C.

1

d



t t D.

1

0

3 d



t t

Câu Tích phân

2 2

3 d

I x

x x







bằng:

A.



B. C.

3



D.

2



Câu Tích phân 2





0

d

a

x a x x a



A.

4

a 

B.

4

16

a 

C.

3

16

a 

D.

3

a 

Câu Biết tích phân

1

1 



x xdx M N , với

M

N phân số tối giản Giá trị MN bằng:

A.35 B.36 C.37 D.38

Câu Đổi biến x = 2sint tích phân

1

2

0 



dx

x

trở thành:

A.

6

0





tdt B.

6

0





dt C.

6

0

1





dt

t D.

3

0





dt

Dạng tốn TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Định lý: Nếu u  ( )u x v  ( )v x hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn a b;  thì:

 

 





( ) ( )  ( ) ( )  



( ) ( ) 

b b

b a

a a

I u x v x dx u x v x u x v x dx hay 



 



b b

b a

a a

I udv u v vdu

Thực hành:

— Nhận dạng: Tích hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác,… — Đặt:                

             

 

Vi phân Nguyên m

u du dx

dv dx v Suy ra: 



 



b b

b a

a a

I udv u v vdu

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv  phần cịn lại Nghĩa có ln hay logax chọn u ln hay log  ln

ln

a

u x x

a dv cịn lại Nếu khơng có ln ; log chọn u  đa thức

và dv cịn lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u  lượng giác,…

— Lưu ý bậc đa thức bậc ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm Câu Biết tích phân









 

1

0

2x 1e dxx a be

A 1 B 1 C 15 D 2 Câu Tìm a0 cho

0

4



a x

x e dx

A.4 B.1

4 C.

1

2 D.2

Câu Cho hàm số : ( ) 3 ( 1)

 



x a

f x bxe

x Tìm a b biết f '(0) 22

1

0

( ) 5



f x dx

A.a 2,b 8 B.a2,b8 C.a8,b2 D.a 8,b 2 Câu Biết :

1

0

1

cos (as cos )

x xdx in b c



, với a b, , cZ Mệnh đề sau đúng: A.2a b c   1 B.a2b c 0 C.a b  c 0 D.a b c  1 Câu Cho m số dương

0

(4 ln ln 2)

m

x x

I 



 dx Tìm m I = 12

A.m 4 B.m 3 C.m 1 D.m 2

Câu 6: Biết

2

0

(2 1) cos  



x xdx m n



 Tính T m2 n

A T   5 B T   3 C T   1 D T 7 Câu 7: Cho tích phân







2 sin

0 sin2

x

I xe dx Một học sinh giải sau:

Bước 1: Đặt t sinx dt cosxdx Đổi cận 

  

 

  



1

0

2

2

t

x t

I te dt

x t

Bước 2: Chọn

 

   

 

 

 

   

 

 

 t  t

u t du dt

dv e dt v e 



 



  

1 1

0

0

t t t t

te dt te e dt e e

Bước 3: 





1

2 t

I te dt

Hỏi giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào?