THPT chuyên sư phạm lần 2 năm 2017

Đáp Án Chi Tiết Mơn Tốn THPT Chun Sư Phạm Hà Nội-Lần 02 f (x)dx = −1 tính I = Bài Cho f (4x)dx 1 B I = − C I = D I = −2 A I = − ; 4 Lời giải Đặt t = 4x ta có : dt = 4dx; đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 4 Vậy I = f (t)dt = − Bài Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A a > 0, b < 0, c > B a < 0, b > 0, c < C a < 0.b < 0, c < D a > 0, b < 0, c < Lời giải Để ý thấy x → ±∞ y → −∞ nên ta có a < Tại x = y(0) = c < nên c < Mặt khác y = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) mà phương trình y = lại có nghiệm phân biệt nên −b −b 2ax2 + b = ⇔ x2 = phải có hai nghiệm phân biệt hay > mà a < nên b > 2a 2a Kết luận: a < 0, b > 0, c < Bài (Đã sửa đề) Khối lập phương ABCD.A B C D có đường chéo AC = 6cm tích là? √ √ √ √ A 24 3cm3 B 12 3cm3 C 24 2cm3 D 12 2cm3 Lời giải Giả sử hình lập phương có cạnh x ta √ √ √ có AC = CC + AC = x2 + 2x2 = 3x = A Vậy cạnh hình lập phương có độ dài √ x=2 √ Vậy V = (2 3)3 B D C D A B x C √ Bài Tính khoảng cách điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = 2x4 − 3x2 + √ √ √4 √4 B C D A   x = √  √4 Dễ thấy hoành độ điểm cực tiểu Lời giải Xét y = 8x − 3x = =⇒  x = ± √4 √4 √4 3 ;− Nên khoảng cách điểm cực tiểu : 2 Bài Cho số thực dương a, b, c khác Đồ thị hàm số y = loga x; y = logb x; y = logc x hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A b > nên f > f Bài Cho hình trụ có bán kính đáy R, độ dài đường cao h Đường kính MN đáy vng góc với đường kính PQ đáy Thể tích khối tứ diện MNPQ 1 B R2 h C R2 h A R2 h Lời giải D 2R2 h M O N Q O P Gọi O O tâm hai đáy hình trụ Dễ thấy PQ⊥(O MN) Do O trung điểm PQ nên d(Q, (O MN)) = d(P, (O MN)) ⇒ VQ.O MN = VP.O MN Khi thể tích khối chóp MNPQ V = 2VP.O MN = O Q.S O MN = R2 h 3 Bài Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A cạnh huyền BC = 6cm, cạnh bên tạo với đáy góc 60◦ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 48π cm2 B 12π cm2 C 16π cm2 D 24 cm2 Lời giải S G 60◦ B A E C Gọi E trung điểm BC E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do cạnh bên hợp với đáy góc nên ta có S E⊥(ABC) S A = S B = S C = 2.EA = cm Khi tam giác S BE cạnh cm nên trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp Ta lại có (S BC)⊥(ABC) nên điểm G tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Khi bán kính √ mặt cầu R = S E = (cm) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC S cầu = 4πR2 = 48π cm2 Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 3) B(3; −1; 2) Điểm M thỏa −−→ −−→ mãn MA MA = 4MB MB có tọa độ 5 B (7; −4; 1) C 1; ; D ; ; A ; 0; 3 3 −−→ −−→ 2 Lời giải Từ giả thiết MA MA = 4MB MB ta lấy độ dài hai vế ta MA = 4MB ⇔ MA = 2MB  −→ −−→   −   MA = MB         −−→ −−→ −−→ −−→ Khi  MA = −2 MB =⇒ MA = MB ⇒ M(7; −4; 1)       −−→ −−→    MA MB > Bài 11 Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn [0; 1]: x3 + x2 + x = m x2 + A m ≥ B m ≤ C ≤ m ≤ D ≤ m ≤ Lời giải • m= x3 + x2 + x x2 + • f (x) = := f (x) −x4 − 2x3 + 2x + x2 + = −(x − 1)(x + 1)3 x2 + • Trên [0; 1], f (x) = ⇔ x = • f (0) = 0, f (1) = • Kết luận: ≤ m ≤ Chọn phương án D Bài 12 Tìm tất điểm cực đại hàm số y = −x4 + 2x2 + A x = ±1 B x = −1 C x = D x = Lời giải • y = −4x3 + 4x Ta có y = ⇔ x = x = ±1 • y = −12x2 + * y (0) = > * y (±1) = −8 < • Kết luận: m = ±1 Chọn phương án A Bài 13 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tam giác vuông OAB với A chạy trục hồnh có hồnh độ dương; B chạy trục tung có tung độ âm cho OA + OB = Hỏi thể tích lớn vật thể tạo thành quay tam giác AOB quanh trục Oy bao nhiêu? 4π 81 Lời giải A B 15π 27 C 9π D 17π • Gọi toạ độ A(a; 0), B(0; −b), với a, b > 0, a + b = • Khi quay ∆AOB quanh trục Oy ta thu khối nón có chiều cao BO = b, bán kính đáy OA = a a a 3  + + b  4π a a 4π  2 4π  b ≤  • V = πa2 b =  = 3 2  81  • Kết luận: max V = 4π Chọn phương án A 81 x Bài 14 Tập hợp nghiệm bất phương trình B (−∞; +∞) A (−∞; 0) t dt > (ẩn x) √ t2 + C (−∞; +∞) \ {0} D (0; +∞) Lời giải • t dt = √ t2 + √ 2t t2 +1 dt = √ t2 + + C √ t dt = x2 + − √ t2 + √ • I > ⇔ x2 + > ⇔ x x • I= • Kết luận: Tập hợp nghiệm (−∞; +∞) \ {0} Chọn phương án C Bài 15 Ống nghiệm hình trụ có bán kính đáy R = 1cm có chiều cao h = 10cm chứa lượng máu tối đa (làm tròn đến chữ số thập phân) A 10, 0cc B 20, 0cc C 31, 4cc D 10, 5cc Lời giải • V = πR2 h = 10π cm3 • V ≈ 31, cm3 Chọn phương án C Bài 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm, mặt bên (S AB) (S AD) vng góc với mặt phẳng đáy, góc S C mặt đáy 60◦ Thể tích khối chóp S ABCD là: √ √ √ √ A 6cm3 B 6cm3 C 3cm3 D 6cm3 Lời giải (S AB) (S AD) vng góc với đáy nên S A vng góc với đáy √ AC = (đường chéo hình vng) √ S A = AC tan 60◦ = √ V = Mệnh đề đúng? x2 + A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) Bài 17 Cho hàm số y = ln B Hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) 2x Lời giải y = − 2 (x + 1) x + Hàm số đồng biến (−∞; 0) nghịch biến (0; +∞) Bài 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua hình chiếu điểm A(1; 2; 3) trục tọa độ là: y z A x + 2y + 3z = B x + + = y z D x + 2y + 3z = C x + + = Lời giải Các hình chiếu điểm A trục tọa độ là: B(1; 0; 0), C(0; 2; 0), C(0; 0; 3) Bài 19 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = √ x2 + − mx − đồng biến khoảng (−∞; +∞) A (−∞; 1) Lời giải y = √ x B [1; +∞ C [−1; 1] D (−∞; −1] − m x2 + x Hàm số đồng biến m ≤ √ x2 + x Xét f (x) = √ f (x) = ⇔ = (vô nghiệm) x2 + Hàm số tăng −1 < f (x) < Vậy m ≤ −1 Bài 20 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 91−x + 2(m − 1).31−x + = A m > B m < −1 C m < D −1 < m < Lời giải Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình t2 +2(m−1)t+1 = có hai nghiệm dương phân biệt m2 − 2m > m − < m < Bài 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên S A vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc S B với mặt phẳng (ABCD) 60◦ Tính thể tích V khối chóp S ABCD √ √ a3 a3 A V = √ B V = 3a3 C V = √ D V = 3a3 3 Lời giải S Ta có S A⊥(ABCD) ⇒ [S B; (ABCD)] = S BA = 60◦ √ ⇒ S A = AB tan S BA = a √ 3 a VS ABCD = S A.S ABCD = Chọn A 3 A D B C Bài 22 Cho a số thực dương khác Xét hai số thực x1 , x2 Trong khẳng định sau, khẳng định khẳng định đúng? A Nếu a x1 < a x2 x1 < x2 B Nếu a x1 < a x2 x1 > x2 C Nếu a x1 < a x2 (a − 1)(x1 − x2 ) < D Nếu a x1 < a x2 (a − 1)(x1 − x2 ) > Lời giải Nếu a > từ: a x1 < a x2 ⇒ x1 − x2 < ⇒ (a − 1)(x1 − x2 ) < Nếu < a < từ: a x1 < a2x ⇒ x1 − x2 > ⇒ (a − 1)(x1 − x2 ) < Chọn C Bài 23 Phương trình x − 5.2 x + = có nghiệm thực? A B C D Lời giải Phương trình đãcho tương đương  với:  x =  x = 2 x − x − = ⇔  ⇔  √ ⇒ Phương trình có ba nghiệm Chọn A 2x = x=± Bài 24 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác vng A, mặt bên BCC B hình vng, khoảng cách hai đường thẳng AB CC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A B C √ a3 A V = Lời giải √ a3 B V = √ C V = a3 D V = a3 C B A Dế thấy A C ⊥(ABB A ) Ta có CC song song với (ABB A ) ⇒ d[AB ; CC ] = d[CC ; (ABB A )] = d[C, (ABB A )] = A C = a √ √ ⇒ BB = B C = a ⇒ VABC.A B C = BB S A B C = a3 Chọn C C B A Bài 25 Cho hình trụ có bán kính đường trịn đáy chiều cao 2cm Tính diện tích xung quanh S xq hình trụ 8π cm B S xq = 4πcm2 Lời giải S xq = 2π.r.l = 2.π.2.2 = 8π Chọn A A S xq = √ Bài 26 Tìm nghiệm phương trình: A x = x−1 C S xq = 2πcm2 D S xq = 8πcm2 C x = D x = 17 = eln 81 B x = Lời giải Điều kiện: x ≥ √ Ta có: x−1 = eln 81 ⇔ √ x−1 = 81 ⇔ x = Bài 27 Cho khối nón có thiết diện qua trụ tam giác vng cân đường sinh có độ dài a Thể tích khối nón là: √ √ πa3 πa3 πa3 πa3 B C D A 12 12 Lời giải Đường sinh hình nón cạnh góc vng tam giác vng cân Đường trịn đáy hình nón có đường kính cạnh huyền tam giác vng, đường cao hình nón đường cao tam giác vuông √ √ a Cạnh huyền tam giác có độ dài là: a 2, bán kính đáy hình nón là: R = √ a Đường cao hình nón là: h = √  √ 2 √  a  a πa3  = Thể tích hình nón là: V = π.R h = π  3 2 12 Bài 28 Khoảng cách điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 bằng: √ √ √ C D A B Lời giải Ta có: y = 3x2 − 6x, y = ⇔ x = x = Tọa độ điểm cực trị là: O(0; 0) √ A(2; −4), AB = Bài 29 Hình nón có thiết diện qua trục tam giác cân có góc đỉnh 120◦ có cạnh bên a Diện tích xung quanh hình nón bằng: √ πa2 A πa2 B √ a2 C √ a Lời giải Bán kính đáy hình nón R = a sin 60◦ = √2 √ a πa2 Diện tích xung quanh hình nón là: S xq = π.R.l = π .a = 2 √ πa2 D x Bài 30 Biết F(x) nguyên hàm hàm số f (x) = F(0) = Tính F(1) x +1 A F(1) = ln + B F(1) = ln + C F(1) = D F(1) = ln + 2 x d(x2 + 1) Lời giải Ta có F(x) = dx = = ln x2 + + C x2 + x2 + 2 F(0) = ⇒ ln + + C ⇒ C = F(1) = 1 ln 12 + + = ln + 2 √ Bài 31 Tính đạo hàm câu hàm số: y = ln x + x2 + 1 x x B y = C y = D y = √ A y = √ √ √ x2 + x + x2 + x + x2 + x2 + 2x √ √ 1+ √ x+ x +1 x2 + + x x2 + Lời giải y = = = √ = √ √ √ √ x + x2 + x + x2 + x2 + x2 + + x x2 + √ a Bài 32 Thể tích tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh a AD = là: √ √ √ √ 3a3 a3 3a3 a3 A B C D 16 16 8 √ a Lời giải Gọi M trung điểm BC, AD = DM = AM = √ a Do tam giác ADM cạnh √ √ √  2  a  a a3  VABCD = 2VC.ADM = . = 16 1+x Mệnh đề sau 1−x A Hàm số nghịch biến (−∞; +∞) Bài 33 Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) nghịch biến khoảng (1; +∞) D Hàm số đông biến (−∞; +∞) Lời giải y = > 0, ∀x (−x + 1)2 Bài 34 Một xưởng sản xuất thùng kẽm hình hộp chữ nhật khơng có nắp có kích thước x, y, x (dm) Biết tỉ số hai cạnh đáy x : y = : 3, thể tích hộp 18 lít Để tốn vật liệu kích thước thùng là: A x = 2; y = 6; z = B x = 2; y = 6; z = Lời giải Ta có x : y = : ⇒ y = 3x Do thể tích hộp 18 nên xyz = 18 ⇒ z = D x = C x = ; y = ; z = 24 3 ;y = ;z = 2 x2 Tổng diện tích nhiên liệu cần dùng là: 72 S = xy + 4.yz = 3x2 + 4.3x = 3x2 + x x 72 Xét hàm số f (x) = 3x2 + x Thay giá trị x = 2; x = 1; x = ; x = đáp án A, B, C, D ta nhận giái trị nhỏ 2 f (x) 48 Vậy x = 2; y = 6; z = Bài 35 Tìm nguyên hàm hàm số: f (x) = sin 2x A f (x) dx = cos 2x + C B f (x) dx = −2 cos 2x + C D f (x) dx = cos 2x + C C f (x) dx = − cos 2x + C Lời giải Áp dụng cơng thức ta có: f (x) dx = − cos 2x + C Bài 36 Tìm tất điểm thuộc trục hoành cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + A M(−1; 0) B M(1; 0), O(0; 0) C M(2; 0) D M(1; 0) Lời giải Hai điểm cực trị đồ thị hàm số A(0; 2) (B(2; −2) Giả sử M(x; 0) Khi đó: MA = MB ⇔ √ x2 + = (x − 2)2 + ⇔x2 = (x − 2)2 ⇔ x2 = x2 − 4x + ⇔ x = Như M(1; 0), ta chọn đáp án D Bài 37 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? √ √ 13 14 A eln + ln e2 e = B eln + ln e2 e = 3 √ √ 15 ln 2 ln 2 C e + ln e e = D e + ln e e = √ 13 Lời giải Ta có: eln + ln e2 e = + ln e2 + ln e = + + = 3 Bài 38 Cho √B C có cạnh bằng3a Thể tích khối tứ diện 3ABA √ C √ lăng trụ đứng ABC.A a3 a a a3 B C D A 6 12 Lời giải a2 S AA C C = Gọi M, N trung điểm 2 A C AC Khi mặt phẳng BB MN vng góc với mặt phẳng (AA C C) theo giao tuyến MN, mà Do AA C C hình vng cạnh a nên S ∆AA C = 10 BN vng góc với N M nên BN vng góc với mặt phẳng (AA C C) N Do đó: √ a d B, (AA C C = BN = Ta có VABA C = VB AA C = S ∆AA C × d (B, (AA C C) √ 3√ a a a Suy VABA C = · = Chọn đáp án D 12 Bài 39 Tìm tất giá trị nguyên tham số thực m để hàm số y = x1 , điểm cực tiểu x2 −2 < x1 < −1, < x2 < A m > x + mx có điểm cực đại C  m =  x = (x Lời giải Ta có: y = x + mx = x + m) ; y = ⇔  x = −m Do B m < (−2; −1) D Không tồn m (1; 2) nên không tồn m thỏa mãn yêu cầu đề Vậy chọn D Bài 40 Tìm giá trị thực tham số thực m để phương trình 12 x + (4 − m)3 x − m = có nghiệm thuộc khoảng (−1; 0) 17 A m ∈ ; B m ∈ [2; 4] 16 Lời giải Phương trình cho tương đương: C m ∈ ;6 12 x + (4 − m)3 x − m = ⇔ 12 x + 4.3 x = m (3 x + 1) ⇔ m = Xét hàm số f (x) = D m ∈ 1; 12 x + 4.3 x 3x + 12 x + 4.3 x xác định liên tục R Khi đó: 3x + (12 x ln 12 + 4.3 x ln 3) (3 x + 1) − x ln (12 x + 4.3 x ) (3 x + 1)2 36 x (ln 12 − ln 3) + (12 x ln 12 + 4.3 x ln 3) = > (3 x + 1)2 f (x) = Như hàm số f đồng biến khoảng (−1; 0) Do phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng (−1; 0) khi: f (−1) < m < f (0) ⇔ 17 loga b B loga b < C logb a < loga b D loga b > Lời giải Với < a < b < 1, logb a > > loga b loga b > Do đó, chọn A Nói thêm, < a < b logb a < < loga b loga b > Bài 44 Tìm tập hợp nghiệm S bất phương trình log π4 (x2 + 1) < log π4 (2x + 4) A S = (−2; −1) B S = (−2; +∞) C S = (3; +∞) ∪ (−2; −1) D S = (3; +∞) Lời giải Điều kiện:(2x + 4) > ⇔ x > −2 Vì π < nên log π4 (x2 + 1) < log π4 (2x + 4) ⇔ (x2 + 1) > (2x + 4) ⇔ x < −1; x > Kết hợp với điều kiện ta S = (3; +∞) ∪ (−2; −1) 12 24 Bài 45 Cho hàm số f (x) có đạo hàm [0; 1], f (0) = 1, f (1) = −1 Tính I = A I = B I = Lời giải I = f (x)dx C I = −2 D I = f (x)dx = f (1) − f (0) = Bài 46 Cho biểu thức P = 14 x2 √5 x x3 với x > Mệnh đề đúng? 24 A P = x 15 Lời giải Ta có P = B P = x 15   √5 x2 x x3 =  x2 x.x 13 1 3  2  16 C P = x 15 D P = x 15 14  = x 15 Chọn đáp án A  x2 − 3x + là: x2 − A y = B x = ±1 C x = −1 D x = x−2 −1 (x − 1)(x − 2) = Ta có lim y = Lời giải Tập xác định D = R\±1 Với x ∈ D y = x→1 (x − 1)(x + 1) x+1 lim+ y = −∞ Do tiệm cận đứng hàm số x = −1 Chọn đáp án C Bài 47 Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x→−1 Bài 48 Cho hai mặt phẳng (P) : x − y + z − = (Q) : 3x + 2y − 12z + = Phương trình mặt phẳng (R) qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng là: A x + 2y + 3z = B x + 3y + 2z = C 2x + 3y + z = D 3x + 2y + z = − Lời giải Vì (R) vng góc với (P), (Q) nên → nR = − n→P , − n→ Q = (10; 15; 5) Phương trình mặt phẳng (R) qua O là: 15x + 10y + 5z = ⇔ 3x + 2y + z = Chọn đáp án C √ Bài 49 Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng B x = C x = D x = −1 Lời giải Tập xác định D = R\−1 Ta có: lim y = lim x→−1 lim 1− −x x→−1 (x2 − x + 1)(1 + √ x→−1 = Chọn đáp án A x2 + x + 1) x2 + x + x3 + −x2 − x (x + 1)(x2 − x + 1)(1 + √ x2 + x + 1) = Bài 50 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(3; 2; 1) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB là: A x + y − z − = B y − z = C z − x = D x − y = −−→ Lời giải Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua trung điểm I(2; 2; 2) vng góc với AB = (2; 0; −2) nên có phương trình 2(x − 2) − 2(z − 2) = ⇔ z − x = Chọn đáp án C 13 ĐÁP ÁN B D 11 D 16 B 21 A 26 A 31 D 36 D 41 B 46 A B A 12 A 17 D 22 C 27 B 32 B 37 A 42 A 47 C A A 13 A 18 C 23 A 28 C 33 B 38 D 43 A 48 C D A 14 C 19 D 24 C 29 D 34 A 39 D 44 C 49 A B 10 B 15 C 20 C 25 A 30 B 35 C 40 A 45 C 50 C 14 ... điểm I (2; 2; 2) vng góc với AB = (2; 0; ? ?2) nên có phương trình 2( x − 2) − 2( z − 2) = ⇔ z − x = Chọn đáp án C 13 ĐÁP ÁN B D 11 D 16 B 21 A 26 A 31 D 36 D 41 B 46 A B A 12 A 17 D 22 C 27 B 32 B 37... 3x2 + A M(−1; 0) B M(1; 0), O(0; 0) C M (2; 0) D M(1; 0) Lời giải Hai điểm cực trị đồ thị hàm số A(0; 2) (B (2; ? ?2) Giả sử M(x; 0) Khi đó: MA = MB ⇔ √ x2 + = (x − 2) 2 + ⇔x2 = (x − 2) 2 ⇔ x2 = x2... y = D y = √ A y = √ √ √ x2 + x + x2 + x + x2 + x2 + 2x √ √ 1+ √ x+ x +1 x2 + + x x2 + Lời giải y = = = √ = √ √ √ √ x + x2 + x + x2 + x2 + x2 + + x x2 + √ a Bài 32 Thể tích tứ diện ABCD có mặt