[Toán] MTBT- Đề thi Olympic toán 10-11

Lấy ra từ S một tam giác, tính xác suất để mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho.. HẾT ĐỀ CHÍNH THỨC..[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC THÁNG TP.HCM LẦN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 20182019

MƠN TỐN LỚP 11 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài ( điểm)

Giải phương trình: sin3 sin 22 11 cos2 sin sin

6 12 12

x  x  x  x x 

       

           

       

       

   

       

Bài ( điểm)

Cho hàm số ( )f x có đồ thị ( ) :C

2

1

( )

khi

1 k

1 hi

khi

x

x x

f x x

x x



  

   

 

 

 



Một kiến điểm M ( 2;1)( )C di chuyển ( )C Gọi N ( )C điểm có hồnh độ lớn mà kiến tới Tính quãng đường kiến di chuyển từ

M đến N

Bài ( điểm)

Với số thực a (0;1), xét phương trình  

2

2

cos ( 1)

2

a x  x  x 

  Chứng minh phương trình có hai nghiệm âm khơng có nghiệm dương

Bài ( điểm)

Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vuông cân A , SB 6a

( )

SB  ABC Gọi D E điểm thuộc đoạn , SA SC cho , SD 2DA,

SE EC

a) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác BDE đến (ABC ) b) Tính góc tạo hai mặt phẳng (BDE),(SBC )

Bài ( điểm)

Cho hình tứ diện ABCD Trên cạnh tứ diện, ta đánh dấu điểm chia cạnh tương ứng thành phần Gọi S tập hợp tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đánh dấu Lấy từ S tam giác, tính xác suất để mặt phẳng chứa tam giác song song với cạnh tứ diện cho

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 11 Bài ( điểm)

Giải phương trình: sin3 sin 22 11 cos2 sin sin

6 12 12

x  x  x  x x 

       

           

       

       

   

       

Giải

3 11

sin sin cos sin sin

6 12 12

x  x  x  x x 

       

           

       

       

   

       

3 11

2 sin cos cos cos(2 ) cos

6 6 6

x  x  x  x  x 

       

       

                

       

sin ( )

6

x  x  k  k

 

 

       

  

Bài ( điểm)

Cho hàm số ( )f x có đồ thị ( ) :C

2

1

( )

khi

1 k

1 hi

khi

x

x x

f x x

x x



  

   

 

 

 



Một kiến điểmM ( 2;1)( )C di chuyển ( )C Gọi N ( )C điểm có hồnh độ lớn mà kiến tới Tính qng đường kiến di chuyển từ

M đến N

Giải

Ta thấy kiến di chuyển từ điểm

1; 2) ( )

(

A a a  C đến B b b( 1; 2) ( C) (với

1

a  ) hàm số ( )b f x liên tục [ , ]a b 1 1

Ta xét tính liên tục hàm số ( )f x  Dễ thấy hàm số liên tục khoảng

, 1), 1)

(  ( , (1, )



1 ( ) ( 1) 1

lim lim , lim ( ) lim

xf x  x   x x f x x x  f   nên ( 1)

( )

f x liên tục x   0



1 ( ) 1

lim lim ,lim ( ) lim

xf x x x  x f x xx  nên ( )f x không liên tục

0

x 

Giả sử N có toạ độ ( ; )a b Theo giả thiết, a số lớn cho ( )f x liên tục [ 2, ] a Từ lập luận tính liên tục trên, ta suy a  Vậy (1; 0)1 N

Ta cần tính độ dài quãng đường kiến di chuyển từ M ( 2;1) đến N(1; 0) Gọi K ( 1; 0)( )C độ dài đoạn thẳng MK 12 ( 1)2  2; Chu vi nửa đường tròn nối K N 

Bài ( điểm)

Với số thực a (0;1), xét phương trình  

2

2

cos ( 1)

2

a x  x  x 

  Chứng minh phương trình có hai nghiệm âm khơng có nghiệm dương

Giải

Đặt  

2

2

1

( ) cos ( 1)

2

f x x  a x  x 

  f liên tục 

1

(0) cos 0;

4

f  a    a

1

0 cos 0;

2

a f  a    

   

1

( 1) cos(3 )

4

f   a     a

Vậy nên phương trình có nghiệm thuộc 1;

 

 

 

 

 

1 1;

2

 

  

 

 

  Tiếp theo, ta xét trường hợp

 Nếu

2

x  VP  1 VT nên phương trình vơ nghiệm

 Nếu

2

x

  , ta thấy 1 1

4 x    nên x

2

( 1) ;

4

x  x     



Điều cho thấy VT acos (x2 x 1) 0 VP Do đó, phương trình vô nghiệm (0; )

Bài ( điểm)

Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng cân A , SB 6a

( )

SB  ABC Gọi D E điểm thuộc đoạn , SA,SC cho SD 2DA,

SE EC

a) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác BDE đến (ABC ) b) Tính góc tạo hai mặt phẳng (BDE),(SBC )

Giải

a) Gọi M trung điểm DE G BM

BG  BM Khi

/( ) /( )

1

2 ,

3

D ABC E ABC

d  SB  a d  SB  a

Theo cơng thức tính đường trung bình hình thang /( ) 1(2 )

2

M ABC

a

d  a a 

Từ theo định lý Ta-lét, ta tính /( ) 5

3

G ABC

a a

b) Gọi F giao điểm DE AC ,

Kẻ DN SC 2

3 3

DN AD DN FD

SC  AS   EC   FE  , mà

FE trung tuyến tam giác SFC nên D trọng tâm tam giác

SFC Do A trung điểm FC

Suy tam giác BCF vuông cân B nên BF BC , mà

BF SB kéo theo BF (SBC)

Vì BF (BDE) nên (BDE)(SBC) Do đó, góc cần tìm 90  Bài ( điểm)

Cho hình tứ diện ABCD Trên cạnh tứ diện, ta đánh dấu điểm chia cạnh tương ứng thành phần Gọi S tập hợp tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đánh dấu Lấy từ S tam giác, tính xác suất để mặt phẳng chứa tam giác song song với cạnh tứ diện cho

Giải

Tổng số cách chọn 18 điểm C 183 816 Tuy nhiên, có trường hợp ba điểm thẳng hàng, ta lấy ba điểm thuộc cạnh, tổng số cách 6C33  Do khơng gian mẫu S  816 6 810

Chú ý đoạn thẳng có đầu mút lấy cạnh chéo tứ diện khơng thể song song với bất kỳ cạnh tứ diện Xét tam giác XYZ lấy từ tập hợp S Ta thấy để (XYZ thỏa mãn ) cạnh nó, giả sử XY , song song với BC Ta có hai trường hợp X AB Y; AC X DB Y; DC: (1) Nếu X AB Y, AC Z (ABC), cịn điểm chọn Ta thấy có cặp X Y thỏa mãn theo ,

định lý Talet có đoạn tỷ lệ, ứng với cặp thế, cạnh DA DB DC , ta , , phải loại bớt điểm (vì mặt phẳng (XYZ song song nhiều cạnh tứ ) diện) Suy có cách chọn điểm Z

Do đó, có tổng cộng 3 6 18 tam giác thỏa mãn

(2) Nếu X DB Y, DC tương tự, ta có 18 tam giác thỏa mãn

Do tính bình đẳng cạnh nên tổng số tam giác thỏa mãn 6 2 18216 Vậy xác suất biến cố T cần tính ( ) 216

810 15

P T  

N G

M

F

E

D S

C B

A

Y' X'

Y X

D

C B