Bài tập trắc nghiệm định nghĩa đạo hàm

Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm)... Mệnh đề nào đúng?[r]

(1)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Định nghĩa đạo hàm điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0  (a; b):

0

0 ( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x

x x



 

 = limx

y x

  

 (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0))

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm đó. 2 Đạo hàm bên trái, bên phải

0

0 ( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x

x x

 



 



0

0 ( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x

x x

 



 

 .

Hệ : Hàm f x( )có đạo hàm x0 ( )f x0 

  f x'( )0 đồng thời f x'( )0  f x'( )0 . 3 Đạo hàm khoảng, đoạn

 Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) ( ; )a b có đạo hàm điểm thuộc ( ; )a b

 Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) [ ; ]a b có đạo hàm điểm thuộc ( ; )a b đồng thời tồn đạo hàm trái f b'( ) đạo hàm phải f a'( ) .

4 Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục

 Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm x0 f x( ) liên tục x0.

Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm x0 hàm đó khơng có đạo hàm x0.

B – BÀI TẬP

Câu Giới hạn (nếu tồn tại) sau dùng để định nghĩa đạo hàm hàm số y f x( ) tạix0 1?

A

0

( ) ( )

lim x

f x x f x

x  

  

 . B

0 0

( ) ( ) lim

x

f x f x x x





 .

C

0 0

( ) ( ) lim

x x

f x f x x x





 . D  limx 0 f x( 0  xx) f x( ).

Hướng dẫn giải:

Theo định nghĩa đạo hàm hàm số điểm biểu thức đáp án C Chọn C

Câu Cho hàm số f x  liên tục x0 Đạo hàm f x  x0 là

A f x 0 .

B

0

( ) ( )

f x h f x

h  

C

0

( ) ( )

lim

h

f x h f x

h



 

(2)

D 0 ( ) ( ) lim h

f x h f x h

h



  

(nếu tồn giới hạn)

Chọn C

Định nghĩa  

0

0 0

( ) ( )

lim

x

f x x f x

f x

x

 

  

 

 hay  

0

0 0

( ) ( )

lim

h

f x h f x

f x

h



 

 

(nếu tồn giới hạn) Câu Cho hàm số y f x( )có đạo hàm x0 f x'( )0 Khẳng định sau sai?

A

0

0 ( ) ( )

( ) lim

x x

f x f x f x

x x



  

 B 0 0

( ) ( )

( ) lim

x

f x x f x

f x x         C 0 0 ( ) ( )

( ) lim

h

f x h f x

f x

h



   

D

0

( ) ( )

( ) lim

x x

f x x f x

f x x x      

Chọn D

A Đúng (theo định nghĩa đạo hàm điểm) B Đúng

   

       

0

0 0

0

0 0

( ) ( ) ( ) lim

x x

x x x x x x

y f x x f x

f x x f x f x x f x

f x f x f x

x x x x x x

                             

C Đúng

Đặt h      x x x0 x h x0,  y f x 0  x f x 0

       

0

0 0

0

0 0

( ) ( ) ( ) lim

x x

f x h f x f x h f x

f x f x f x

x x h x x h

             

Câu Số gia hàm số  

3

f x x

ứng với x0 2   bao nhiêu?x

A  19 B C 19 D 

Chọn C

Ta có          

3 3

0 0 0

y f x x f x x x x x x x x x

                 .

Với x0 2   x  y 19. Câu Tỉ số

y x 

 hàm số f x  2x x 1 theo x x là

A 4x  2 x B  

2 4x 2 x 2

C 4x  2 x D  

2 4x x 2 x  2 x

Chọn C

       

     

0 0

0

0 0

0

2

2 2 2

f x f x x x x x

y

x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x                       

Câu Số gia hàm số  

2 x f x 

ứng với số gia x đối số x x0  1 là

A  

2

2 x  x B  

2 x  x C  

2 x  x D  

(3)

Chọn A

Với số gia x đối số x x0  1 Ta có

 2  2  

2

1 1 1

2 2 2

x x x

y        x x

        

Câu Cho hàm số  

2

f x  x x

, đạo hàm hàm số ứng với số gia x đối số x x0

A   

2

lim

x x x x x

       B  limx 0 x 2x1 

C  limx 0 x 2x1  D   

0

lim

x x x x x

      

Chọn B Ta có :

     

   

2 2

0 0

2

0 0 0

2

y x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

                        

Nên  

 2  

0

0 0 0 0

2

' lim lim lim

x x x

x x x x

y

f x x x

x x

     

    



     

 

Vậy f x'   limx 0 x 2x1

Câu Cho hàm số

khi

( )

0

x

f x x

x 

 

 

 

 Xét hai mệnh đề sau: (I) f  0 1

(II) Hàm số khơng có đạo hàm x0 0. Mệnh đề đúng?

A Chỉ (I). B Chỉ (II). C Cả hai sai. D Cả hai đúng.

Chọn B.

Gọi x số gia đối số cho   x Ta có  

 

2

0 0

0 (0)

0 lim lim lim

x x x

f x f x

f

x x x x

     

   

     

    .

Nên hàm số khơng có đạo hàm

Câu

3 2 1 1

( ) 1

0

x x x

x

f x x

x

    

 

  

 

 điểm x0 1.

A

1

3 B

1

5 C

1

2 D

1

Chọn C.

3

2 3 2

1 1

( ) (1) 1

lim lim lim

1 ( 1) 2 1 1

x x x

f x f x x x x

x x x x x

  

       

     

Vậy

1 '(1)

2

f 

(4)

Câu 10

3

2

( ) 2 7 4

1

x khi x

f x x x x

x x

 

 

     

 

 x0 1.

A B C D Đáp án khác

Chọn D.

Ta có xlim ( ) lim 21 f x x1 x3 5

2

1 1

2

lim ( ) lim lim( 4)

1

x x x

f x x x

x

  

  

  

    



Dẫn tới lim ( ) lim ( )x1 f x x1 f x  hàm số không liên tục x nên hàm số khơng có đạo hàm tại1

x  .

Câu 11 Cho hàm số

3

( )

x

x f x

x

   

  

 

 Khi f  0

là kết sau đây? A

1

4 B

1

16 C

1

32 D Không tồn tại.

Chọn B

Ta có

   

0 0

3

0 4 4

lim lim lim

0

x x x

x

f x f x

x x x

  

  

 



   

     

0 0

2 4 1 1

lim lim lim

16

4 4 4

x x x

x x x x x

  

   

   

     

Câu 12 Cho hàm số f x( ) x2 Khi f  0 kết sau đây?

A Không tồn B C 1 D 2

Chọn A Ta có

2 ( )

f x  x  x

nên  

 

0

0 (0)

0 lim lim

x x

x

f x f

f

x x

   

   

  

 

Do limx limx

x x

 

   

 

   

  nên limx

x x  



 không tồn

2

( )

6 2

x x

f x x

bx x

 

  

   

 Để hàm số có đạo hàm x giá2 trị b là

A b3 B b6 C b1 D b 6

(5)

     

2

lim lim

2

x x

f

f x x

x

f x bx b

 

 

 

  

 

      

 

 

f x

có đạo hàm x f x  liên tục x2

     

2

lim lim 2

x  f x x  f x f b b

       

Câu 14 Số gia hàm số  

2 4 1

f x x  x

ứng với x x

A   x x 2x4  B 2x x C x 2 x 4 x D 2x 4 x

Chọn A Ta có

   

     

 

2 2

4

2 4

2

y f x x f x

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x

    

         

                      

Câu 15 Xét ba mệnh đề sau:

(1) Nếu hàm số f x  có đạo hàm điểm x x 0thì f x  liên tục điểm đó. (2) Nếu hàm số f x  liên tục điểm x x 0 f x  có đạo hàm điểm đó. (3) Nếu f x  gián đoạn x x 0 chắn f x  khơng có đạo hàm điểm đó. Trong ba câu trên:

A Có hai câu câu sai B Có câu hai câu sai

C Cả ba D Cả ba sai

Chọn A

(1) Nếu hàm số f x  có đạo hàm điểm x x 0thì f x  liên tục điểm Đây mệnh đề đúng. (2) Nếu hàm số f x  liên tục điểm x x 0 f x  có đạo hàm điểm đó.

Phản ví dụ

Lấy hàm f x   x ta có D  nên hàm số f x  liên tục 

Nhưng ta có

       

0 0

0

lim lim lim

0 0

0

lim lim lim

0 0

x x x

x

f x f x

x x x

x

f x f x

x x x

  

  

  

      

   





  

    

   



Nên hàm số khơng có đạo hàm x Vậy mệnh đề (2) mệnh đề sai

(3) Nếu f x  gián đoạn x x 0 chắn f x  khơng có đạo hàm điểm đó. Vì (1) mệnh đề nên ta có f x  khơng liên tục x x 0 f x  có đạo hàm điểm đó. Vậy (3) mệnh đề

Câu 16 Xét hai câu sau: (1) Hàm số

x y

x 

(6)

(2) Hàm số

x y

x 

 có đạo hàm x0 Trong hai câu trên:

A Chỉ có (2) B Chỉ có (1) C Cả hai D Cả hai sai

Chọn B

Ta có :  

 

0

lim

1

0

x

x x

x f x

x f



 



   

 

 

 Vậy hàm số

x y

x 

 liên tục x0

Ta có :

   

 

0

0 1

0

x

f x f x

x x x x



 

 

  (với x )0

Do :

   

 

   

 

0 0

0

lim lim lim

0 1

0

lim lim lim

0 1

x x x

x f x f

x x x x

x f x f

x x x x

  

  

  

 

  

   

 

 

    

   



Vì giới hạn hai bên khác nên không tồn giới hạn

   0

0

f x f

x 

 x 0 Vậy hàm số

x y

x 

 khơng có đạo hàm x0 Câu 17 Cho hàm số  

2

f x x  x

Xét hai câu sau:

(1) Hàm số có đạo hàm nguyenthuongnd86@gmail com  (2) Hàm số liên tục x

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) C Cả hai D Cả hai sai

Chọn B Ta có

+)    

2

0

lim lim

x  f x x  x x  .

+)    

2

0

lim lim

x  f x x  x x  . +) f  0 0

     

0

lim lim

x  f x x  f x f

  

Vậy hàm số liên tục x Mặt khác:

+)  

     

0 0

0

0 lim lim lim 1

0

x x x

f x f x x

f x

x x

  



  

 

     

 .

+)  

     

0 0

0

0 lim lim lim 1

0

x x x

f x f x x

f x

x x

  



  

 

      



 0  0 f  f 

 

Vậy hàm số khơng có đạo hàm x Câu 18 Tìm a b, để hàm số

2 1 ( )

x x x f x

ax b x

  

 

 

 có đạo hàm x 23

a 

(7)

Chọn D Ta có:

2

1

lim ( ) lim( )

x f x x x x  ; lim ( ) lim(x1 f x x1 ax b ) a b Hàm có đạo hàm x hàm liên tục x    (1)a b

2

1 1

( ) (1)

lim lim lim( 2)

1

x x x

f x f x x x

x x

  

  

      

 

1 1

( ) (1)

lim lim lim

1 1

x x x

f x f ax b ax a

a

x x x

  

  

      

   (Dob  )2 a

Hàm có đạo hàm x1

3 a b

     

 .

2

( ) 2

x

x f x

ax b x



 

 

  

 Với giá trị sau a, b hàm số có đạo

hàm x ?1 A

1

1;

2 a b 

B

1

;

2

a b

C

1

;

2

a b 

D

1 1;

2 a b

Chọn A

Hàm số liên tục x nên Ta có

1 a b 

Hàm số có đạo hàm x nên giới hạn bên

   1

1

f x f

x 

 Ta có

       

1 1

lim lim lim lim

1 1

x x x x

f x f ax b a b a x

a a

x x x

   

   

    

   

  

       

   

2

1 1

1

1 2 2 1

lim lim lim lim

1 2

x x x x

x

f x f x x x

x x x

   

   



   

   

  

Vậy

1 1;

2 a b 

Câu20

2sin 1 0 ( )

0

x x

f x x

x

 

  

 

 x 0

A B

1

2 C

2

3 D 7

Chọn A

Ta có: 0

( ) (0)

lim lim sin

x x

f x f

x

x x

 

  

Vậy f '(0) 0

Câu 21

2

2 sin

( )

x

f x x

x x x



 

 

  

 x0 0

A 1 B 2 C 3 D 5

(8)

Ta có

2

0 0

sin sin

lim ( ) lim lim sin

x x x

x x

f x x

x x

  

  

 

   

 

 2

0

lim ( ) lim

x  f x x  x x  nên hàm số liên tục x0

2

0

( ) (0) sin

lim lim

x x

f x f x

x x

 

 

  

0

( ) (0)

lim lim

x x

f x f x x

x x

 

 

   

Vậy f '(0) 1 Câu 22

2

1 ( ) x x f x

x   

x0  1.

A 2 B 0 C 3 D đáp án khác

Chọn D

Ta có hàm số liên tục x   0

2 1

( ) ( 1)

1 ( 1)

x x x

f x f

x x x

  

  

 

Nên

2

1

( ) ( 1)

lim lim

1 ( 1)

x x

f x f x x

x x x

 

 

     

 

2

1

( ) ( 1)

lim lim

1 ( 1)

x x

f x f x

x x x

 

 

    

 

Do 1

( ) ( 1) ( ) ( 1)

lim lim

1

x x

f x f f x f

x x

 

 

   



 

Vậy hàm số khơng có đạo hàm điểm x0  1.

Nhận xét: Hàm số y f x( ) có đạo hàm x x 0 phải liên tục điểm đó.

Câu 23 Tìm a,b để hàm số

2

1 ( )

2

x khi x

f x

x ax b x

  

  

  

 có đạo hàm 

A a10,b11 B a0,b 1 C a0,b1 D a20,b1

Chọn C

Ta thấy với x f x( ) ln có đạo hàm Do hàm số có đạo hàm  hàm có đạo hàm tạix

Ta có: xlim ( ) 1; lim ( )0 f x  x0 f x  b f x( ) liên tục tạix   b

Khi đó: 0

( ) (0) ( ) (0)

'(0 ) lim 0; '(0 ) lim

x x

f x f f x f

f f a

x x

 

 

 

   

'(0 ) '(0 )

f  f  a

    .

(9)