De thi hsg toan9 QH

Phßng Gi¸o dôc cÈm ph¶ Trêng THCS quang hanh §Ò thi kiÓm tra chÊt lîng häc sinh giái N¨m häc 2010-2011 M«n: To¸n - líp 9 Thêi gian: 150 phót ( kh«ng tÝnh thêi gian giao ®Ò) §iÓm b»ng sè §iÓm b»ng ch÷ Gi¸m kh¶o sè 1 Gi¸m kh¶o sè 2 Sè ph¸ch Bài 1. (5 điểm) 1) Rút gọn biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 12 111111 xx xxxxx P −+ −−−++−+ = . 2) Cho 2 =+++ dcba . Chứng minh rằng 1 2222 ≥+++ dcba . Bài 2. (5 điểm) 1) Giải hệ phương trình      =++ =++ =++ 9 4 1 xzxz zyzy yxyx . 2) Tìm tất cả các số thực 201121 , .,, xxx thoả mãn ( ) 2 1 20112011 .33221 2011321 2 2011 2 3 2 2 2 1 xxxxxxxx ++++=−++−+−+− Bài 3. (4 điểm) 1) Cho 2009200832 22 .2221 ++++++= A . Chứng minh rằng A chia hết cho 31. 2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1 34 ++ nn là số chính phương. Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB = AC), nội tiếp trong đường tròn (O). M là điểm bất kì trên dây cung BC. Qua M vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với AB tại B; qua M vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (D) và (E). 1) Chứng minh rằng N thuộc đường tròn (O). 2) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi, khi M thay đổi trên dây cung BC. 3) Khi M thay đổi trên dây cung BC thì trung điểm I của đoạn thẳng DE chạy trên đường nào? HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI Bài 1: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .2 1111 12 121111 12 1111 2 2 22 2 33 2 = −−+−++ = −+ −+−−+−+ = −+       −−+−+ = x xxxx xx xxxx xx xxx P 2) Do 2 =+++ dcba nên ( ) 2 22222222 ++++−+++=+++ dcbadcbadcba 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2222 ≥+       −+       −+       −+       −= dcba Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 1 ==== dcba Bài 2: 1) Ta thấy hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                =++ =++ =++ ⇔ =+++ =+++ =+++ ⇔ =++ =++ =++ 1011 511 211 101 51 21 9 4 1 xz zy yx xzxz yzzy xyyx zxxz yzzy xyyx (*) Do đó ( )( )( ) [ ] 2 2 10111 =+++ zyx , xảy ra hai khả năng: • Nếu ( )( )( ) 10111 =+++ zyx , kết hợp với (*) có           = = = ⇔ =+ =+ =+ 4 0 1 51 11 21 z y x z y x • Nếu ( )( )( ) [ ] 10111 2 −=+++ zyx , kết hợp với (*) có           −= −= −= ⇔ −=+ −=+ −=+ 6 2 3 51 11 21 z y x z y x Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là ( ) 4;0;1 và ( ) 6;2;3 −−− . 2) Áp dụng bất đẳng thức 2 22 ba ab + ≤ , đẳng thức xảy ra khi ba = , ta có i i i x ixi ixi 2 1 2 . 22 2 = −+ ≤− với mọi 2011, .,2,1 = i . Do đó ( ) 2011321 2 2011 2 3 2 2 2 1 . 2 1 20112011 .33221 xxxxxxxx ++++≤−++−+−+− Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) 2011, .,2,1, .,, 201121 = xxx . Bài 3: 1) Ta có ( ) ( ) .2222222221 98765432 ++++++++++= A ( ) 31.2 .31.23122222 2005520092008200720062005 +++=+++++ Vậy A chia hết cho 31. 2/ Đặt 1 34 ++= nnB . • Nếu 1 = n thì 3 = B , nên B không là số chính phương. • Nếu 2 = n thì 25 = B , nên B là số chính phương. • Nếu 2 ≥ n . Ta có ( ) ( ) 2 22 2 234 2424444 nnnnnnnB +<−++=++= (Do 04 2 <− n khi 2 > n ). ( ) 2 2232434 22484444444 −+>−−+++>++= nnnnnnnnnB . Do đó ( ) ( ) .2422 2 2 2 2 nnBnn +<<−+ Vì B là số chính phương nên 4B cũng là số chính phương. Suy ra ( ) ( ) .032312444124 3 2 234 2 2 =++⇔++=++⇔−+= nnnnnnnnB Phương trình này vô nghiệm. Vậy 2 = n . . thay đổi trên dây cung BC thì trung điểm I của đoạn thẳng DE chạy trên đường nào? HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI Bài 1: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .2 1111. Phßng Gi¸o dôc cÈm ph¶ Trêng THCS quang hanh §Ò thi kiÓm tra chÊt lîng häc sinh giái N¨m häc 2010-2011 M«n: To¸n - líp 9 Thêi