Bộ đề thi và đáp án đề thi tuyển sinh đại học Khối D từ năm 2002 đến năm 2010
1 Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng năm 2002 Môn Toán, khối D Đáp án và thang điểm đề thi chính thức Câu Nội dung Điểm ĐH CĐ I 3đ 4đ 1. 1 1,5 Khi m = -1 ,ta có 1x431x1x3y== -TXĐ : 1x - CBT : ()>= 1x,01x4y2, hàm số không có cực trị. 1/4 1/4 3ylimx= ; =+=+ 1x1xylim;ylim . - BBT : x - 1 + y/ + + + y -3 -3 - 1/4 1/4 - TC: x=1 là tiệm cận đứng vì =ylim1x . y=-3 là tiệm cận ngang vì 3ylimx= 1/4 1/4 - Giao với các trục : x = 0 y = 1; y = 0 x = - 1/3. 1/4 - Đồ thị : xy 1/4 1/2 2 2. 1 1,5 Diện tích cần tính là : dx1x1x3S03/1= 1/4 1/2 =03/103/11xdx4dx3 1/4 1/4 3/101xln431.3= 1/4 1/2 34ln41+= ( đvdt). 1/4 1/4 3. 1 1 Ký hiệu ()1xmx1m2)x(f2= . Yêu cầu bài toán tơng đơng với tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm: (H) ()==.x)x(fx)x(f// 1/4 1/4 Ta có (H) ()()==01xmx01xmx/22 1/4 1/4 ()()()()()=+=01xmx1xmx201xmx222 1/4 1/4 Ta thấy với 1m ; x = m luôn thoả mãn hệ ( H ) . Vì vậy 1m , (H) luôn có nghiệm , đồng thời khi m = 1 thì hệ ( H ) vô nghiệm. Do đó đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x khi và chỉ khi 1m. ĐS : 1m . 1/4 1/4 II 2đ 3đ 1. 1 1,5 Bất phơng trình >=0x3x02x3x202x3x2222 1/4 1/2 TH 1: .21x2x02x3x202x3x222==== 1/4 1/4 TH 2: >>0x3x02x3x20x3x02x3x22222 ><3x0x2x21x 1/4 3 3x21x < 1/4 1/4 Từ hai trờng hợp trên suy ra ĐS: 3x2x21x = 1/4 1/4 2. 1 1,5 Hệ phơng trình ==y2y4y52x2x3 1/4 1/2 =+>=0y4y5y0y223x 1/4 1/4 ===>=4y1y0y0y2x 1/4 1/4 ====4y2x1y0x 1/4 1/2 III 1đ 1đ Phơng trình ()()01x2cos4xcos3x3cos =++ 0xcos8xcos423= ()02xcosxcos42= 0xcos = 1/4 1/2 += k2x. 1/4 1/4 []3k2k1k0k14;0x ==== 1/4 ĐS : ;2x= 23x= ; 25x= ; 27x= . 1/4 1/4 IV 2đ 2đ 1. 1 1 Cách 1 Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có ()ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 Do đó có thể chọn hệ toạ độ Đêcac vuông góc, gốc A sao cho B(3;0;0) , C(0;4;0), D( 0;0;4). Mặt phẳng (BCD) có phơng trình : 014z4y3x=++ . 1/4 1/4 Khoảng cách cần tính là : 17346161161911=++ (cm). 1/4 1/4 4 Cách 2 Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có ()ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 D H C A E B Gọi AE là đờng cao của tam giác ABC; AH là đờng cao của tam giác ADE thì AH chính là khoảng cách cần tính. Dễ dàng chứng minh đợc hệ thức: 2222AC1AB1AD1AH1++= . 1/4 1/4 Thay AC=AD=4 cm; AB = 3 cm vào hệ thức trên ta tính đợc: cm17346AH = 1/4 1/4 Cách 3: Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có ()ABCmpAD ABAD và ACAD, nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, ta có V= 8ADACAB61= . áp dụng công thức )BCD(dtV3AH= với V = 8 và dt(BCD) =2 34 ta tính đợc cm17346AH = . 1/2 1/2 2 1 1 Cách 1: Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ()0;1;2n . Đờng thẳng md có vec tơ chỉ phơng ()( )( )()()m1m;1m2; 1m2m1u2++. 1/4 1/4 Suy ra u.n =3(2m+1). md song song với (P) )P(dnum 1/4 1/4 5 ()=PA,dA0n.um Ta có : điều kiện 0n.u = 21m = 1/4 1/4 Mặt khác khi m = - 1/2 thì md có phơng trình : ==0x01y , mọi điểm A( 0;1;a) của đờng thẳng này đều không nằm trong (P), nên điều kiện ()PA,dAm đợc thoả mãn. ĐS : m = - 1/2 1/4 1/4 Cách 2: Viết phơng trình dm dới dạng tham số ta đợc =+=+=m)t.m(12zt1)(2m1 y1)tm)(2m(1 x2 1/4 1/4 md // (P) hệ phơng trình ẩn t sau =+=+=+=02yx2t)m1(m2zt)1m2(1yt)1m2)(m1(x2 vô nghiệm 1/4 1/4 phơng trình ẩn t sau 3(2m+1)t+1 = 0 vô nghiệm 1/4 1/4 m=-1/2 1/4 1/4 Cách 3: md// (P) hệ phơng trình ẩn x, y, z sau (H) ()()=++++=+++=+02m4z)1m2(mx01myx1x1m202yx2 vô nghiệm 1/4 1/4 Từ 2 phơng trình đầu của hệ phơng trình trên suy ra+==34m2y31mx 1/4 1/4 Thế x , y tìm đợc vào phơng trình thứ ba ta có : )6m11m(31z)1m2(2++=+ 1/4 1/4 Hệ (H) vô nghiệm 21m = 1/4 1/4 V 2đ 1. 1 Ta có : ()==+n0kkknnxC1x, 1/4 Cho x = 2 ta đợc ==n0kkknn2C3 1/4 5n324335n=== . 1/2 6 2. 1 Cách 1 Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên hai tia Ox và Oy. Đờng thẳng MN có phơng trình : 01nymx=+ 1/4 Đờng thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi : 1n19m11622=+. 1/4 Theo BĐT Côsi ta có : ()22222222222nm9mn1625n9m16nmnmMN ++=++=+=499.16225=+ 7MN 1/4 Đẳng thức xảy ra >>=+=0n,0m49nmnm9mn16222222 21n,72m== . KL: Với ( ) ( )21;0N,0;72M thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7. 1/4 Cách 2 Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên hai tia Ox và Oy. Đờng thẳng MN có phơng trình : 01nymx=+ 1/4 Đờng thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi : 1n19m11622=+. 1/4 Theo bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có ()49n3.nm4.mn9m16nmnmMN22222222=+++=+=.7MN 1/4 - Đẳng thức xảy ra >>=+=0n,0m7nmn3:nm4:m22 21n,72m ==. KL: Với ( ) ( )21;0N,0;72M thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7. 1/4 Cách 3: Phơng trình tiếp tuyến tại điểm (x0 ; y0) thuộc (E) : 19yy16xx00=+ 1/4 7 Suy ra toạ độ của M và N là 0;x16M0 và 0y9;0N ++=+=20220220202022022y9x169y16xy9x16MN 1/4 Sử dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacôpski (nh cách 1 hoặc cách 2) ta có : 227MN 1/4 - Đẳng thức xảy ra 7213y;778x00== . - Khi đó ( ) ( )21;0N,0;72M và GTNN (MN) = 7 1/4 -----------------------Hết---------------------- 8 Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002 ------------------------ --------------------------------------------- Hớng dẫn chấm thi môn toán khối D Câu I: 1. -Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. -Nếu TS xác định đúng hàm số và chỉ tìm đúng 2 tiệm cận thì đợc 1/4 điểm. 2. Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. 3. -Nếu TS dùng điều kiện nghiệm kép thì không đợc điểm. -Nếu TS không loại giá trị m = 1 thì bị trừ 1/4 điểm. Câu II: 1. -Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. -Nếu TS kết luận nghiệm sai bị trừ 1/4 điểm . -Nếu TS sử dụng điều kiện sai: <0)x(g0)x(f0)x(g0)x(f0)x(g).x(f và dẫn đến kết quả đúng sẽ bị trừ 1/4 điểm. 2. TS làm đúng ở bớc nào đợc điểm ở bớc đó. Câu III: TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó. Câu IV: TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó. Câu V: 1. TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó. 2. TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó. ----------------------Hết---------------------- . giáo d c và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng năm 2002 Môn Toán, khối. nhau. 1/4 1/4 Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, ta có V= 8ADACAB61= . áp d ng công thức )BCD(dtV3AH= với V = 8 và dt(BCD) =2 34 ta tính đợc cm17346AH =