Lý Thuyết Và Bài Tập Vận Dụng Hai Đường Thẳng Song Song Và Hai Đường Thẳng Chéo Lớp 11

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng [r]

HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng khơng gian Cho hai đường thẳng a b không gian Có trường hợp sau xảy a b : Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a b , theo kết tronh hình học phẳng ta có ba khả sau: - a b cắt điểm M , ta kí hiệu a  b  M - a b song song với nhau, ta kí hiệu a b - a b trùng nhau, ta kí hiệu a  b Trường hợp 2: Khơng có mặt phẳng chứa a b , ta nói a b hai đường thẳng chéo Các định lí tính chất  Trong khơng gian, qua điểm cho trước khơng nằm đường thẳng a có đường thẳng song song với a  Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến đồng qui đôi song song  Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng  Nếu hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song β β c γ γ c β α b A b a a α Δ b a α B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tốn 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG PHƢƠNG PHÁP GIẢI Phƣơng pháp: Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng       có điểm chung M chứa hai đường thẳng song song d d ' giao tuyến       đường thẳng qua M song song với d d ' Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SAB   SCD  A đường thẳng qua S song song với AB, CD B đường thẳng qua S C điểm S D mặt phẳng (SAD) Lời giải:  AB   SAB   CD   SCD  Ta có   AB CD S   SAB    SCD   d S A B  SAB  SCD   d AB CD, S  d D C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I , J trung điểm cạnh AD BC G trọng tâm tam giác SAB a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SAB   IJG  A.là đường thẳng song song với AB B.là đường thẳng song song vơi CD C.là đường thẳng song song với đường trung bình hình thang ABCD D.Cả A, B, C b) Tìm điều kiện AB CD để thiết diện  IJG  hình chóp hình bình hành A AB  CD B AB  CD C AB  CD Lời giải: D AB  3CD a) Ta có ABCD hình thang I , J trung điểm AD, BC nên IJ / / AB G   SAB    IJG    AB   SAB  Vậy   IJ   IJG   AB IJ   SAB   IJG   MN IJ AB với M  SA, N  SB S M N G B A E J I D C b) Dễ thấy thiết diện tứ giác MNJI Do G trọng tâm tam giác SAB MN AB nên MN SG   AB SE ( E trung điểm AB )  MN  AB  AB  CD  Vì MN IJ nên MNIJ hình thang, MNIJ hình bình hành MN  IJ Lại có IJ   AB   AB  CD   AB  3CD Vậy thết diện hình bình hành AB  3CD Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG Phƣơng pháp: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta làm theo cách sau: - Chứng minh chúng thuộc mặt phẳng dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song mặt phẳng - Chứng minh hai đường thẳng song song vơi đường thẳng thứ ba - Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng - Sử dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M , N trung điểm SA SB a) Khẳng định sau A MN song song với CD B MN chéo với CD C MN cắt với CD D MN trùng với CD b) Gọi P giao điểm SC  ADN  , I giao điểm AN DP Khẳng định sau đúng? A SI song song với CD B SI chéo với CD C SI cắt với CD D SI trùng với CD Lời giải: a) Ta có MN đường trung bình tam I S giác SAB nên MN AB N M Lại có ABCD hình thang  AB / /CD A  MN AB Vậy   MN CD CD AB  B P D C E b) Trong  ABCD  gọi E  AD  BC ,  SCD  gọi P  SC  EN Ta có E  AD   ADN   EN   AND   P   ADN  Vậy P  SC   ADN   I  AN   I   SAB  Do I  AN  DP     SI   SAB    SCD  I  DP I  SCD       AB   SAB   CD   SCD   SI CD Ta có  AB CD   SAB    SCD   SI  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy AD BC Biết AD  a, BC  b Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng  ADJ  cắt SB, SC M , N Mặt phẳng  BCI  cắt SA, SD P , Q a) Khẳng định sau đúng? A MN song sonng với PQ B MN chéo với PQ C MN cắt với PQ D MN trùng với PQ b) Giải sử AM cắt BP E ; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN PQ Tính EF theo a , b A EF   a  b B EF   a  b C EF   a  b D EF   a  b Lời giải: a) Ta có I  SAD   I  SAD    IBC   AD   SAD    BC   IBC  Vậy   AD BC  SAD    IBC   PQ  S A 1 E Tương tự J  SBC   J  SBC    ADJ  B  PQ AD BC I P Q K M J D N F C  AD   ADJ    BC   SBC  Vậy   AD BC  SBC    ADJ   MN   MN AD BC  2 Từ  1   suy MN PQ    E   AMND   F   AMND  b) Ta có E  AM  BP   ; F  DN  CQ      E   PBCQ   F   PBCQ   AD BC  EF AD BC MN PQ Do EF   AMND    PBCQ  Mà   MN PQ Tính EF : Gọi K  CP  EF  EF  EK  KF Ta có EK BC  Mà EK PE  BC PB 1 , PM AB  PE PM  EB AB PM SP PE     AB SA EB Từ  1 suy EK PE PE    BC PB PE  EB Tương tự KF  2   EK  BC  b EB 5 1 PE 2 a Vậy EF  EK  KF   a  b  5 Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƢỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phƣơng pháp: Để chứng minh bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a , b qua hai bốn điểm chứng minh a , b song song cắt nhau, A, B, C , D thuôc mp  a, b  Để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng qui ngồi cách chứng minh §1, ta chứng minh a, b, c giao tuyến hai ba mặt phẳng    ,   ,    có hai giao tuyến cắt Khi theo tính chất giao tuyến ba mặt phẳng ta a, b, c đồng qui Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M , N , E, F trung điểm cạnh bên SA, SB, SC SD a) Khẳng định sau đúng? A ME, NF , SO đôi song song ( O giao điểm AC BD ) B ME, NF , SO không đồng quy ( O giao điểm AC BD ) C ME, NF , SO đồng qui ( O giao điểm AC BD ) D ME, NF , SO đôi chéo ( O giao điểm AC BD ) b) Khẳng định sau đúng? A Bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng B Bốn điểm M , N , E, F không đồng phẳng C MN, EF chéo D Cả A, B, C sai Lời giải: a) Trong  SAC  gọi I  ME  SO , dễ thấy I trung điểm SO , suy FI S đường trung bình tam giác SOD Vậy FI / /OD F M I Tương tự ta có NI OB nên N , I , F thẳng hàng hay I  NF N E D A Vậy minh ME, NF , SO đồng qui b) Do ME  NF  I nên ME NF xác O B định mặt phẳng Suy M , N , E, F C đồng phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi M , N , E, F trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD SDA Chứng minh: a) Bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng b) Khẳng định sau đúng? A Bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng B Bốn điểm M , N , E, F không đồng phẳng C MN, EF chéo D Cả A, B, C sai b) Ba đường thẳng ME, NF , SO đồng qui ( O giao điểm AC BD ) a) Khẳng định sau đúng? A ME, NF , SO đôi song song ( O giao điểm AC BD ) B ME, NF , SO không đồng quy ( O giao điểm AC BD ) C ME, NF , SO đồng qui ( O giao điểm AC BD ) D ME, NF , SO đôi chéo ( O giao điểm AC BD ) Lời giải: a) Gọi M ', N ', E ', F ' trung điểm S cạnh AB, BC , CD DA Ta có SM SN SM SN  ,    SM ' SN ' SM ' SN '  MN M ' N ' Tương tự F 1 SE SF   EF E ' F ' SE ' SF ' A 2  M ' N ' AC Lại có   M ' N ' E ' F '  3  E ' F ' AC D N M' B E I M F' N' Từ  1 ,     suy MN EF Vậy bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng b) Dễ thấy M ' N ' E ' F ' hình bình hành O  M ' E ' N ' F ' Xét ba mặt phẳng  M ' SE '  ,  N ' SF '   MNEF  ta có : E' O C ... hai đường thẳng song song mặt phẳng - Chứng minh hai đường thẳng song song vơi đường thẳng thứ ba - Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song... tam giác SAB a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SAB   IJG  A.là đường thẳng song song với AB B.là đường thẳng song song vơi CD C.là đường thẳng song song với đường trung bình hình thang ABCD... DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG PHƢƠNG PHÁP GIẢI Phƣơng pháp: Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng       có điểm chung M chứa hai đường thẳng song