Đang tải... (xem toàn văn)
6.Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M và P là trung điểm của AD.. Tính diện tích tam giác ABC. Tìm điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B.. Tìm tâm I [r]
www.MATHVN.com PP GIẢI BÀI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG I.Lý thuyết : TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ I Góc hai vectơ : Định nghóa:Cho vectơ a b (khác ).Từ điểm O vẽ OA = a , OB = b ∧ Góc AOB với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a b KH : ( a , b ) hay ( b, a ) b Đặc biệt : Nếu ( a , b )=90 a ta nói a b vuông góc KH: a ⊥ b hay b ⊥ a O Neáu ( a , b )=0 a ⇑ b a b Neáu ( a , b )=180 a ↑↓ b I Định nghóa: Cho hai vectô a, b khác Tích vô hướng a b môt số kí hiệu: a.b xác định công thức: a.b = a b Cos (a, b) Chú ý: * a ⊥ b ⇔ a.b = 2 * a = b ⇔ a.b = a 2 a gọi bình phương vô hướng vec a * a.b aâm hay dương phụ thuộc vào Cos (a, b) 2) Các tính chất : Với vectơ a, b, c Với số k ta có: a.b = b.a a.(b + c) = a.b + a.c (k a).b = k (a.b) = a.(k b) 2 2 * a ≥ 0, a = ⇔ a = * Nhận xét : (a + b) = a + 2a.b + b (a − b) = a + 2a.b + b (a + b)(a − b) = a − b III Biểu thức tọa độ tích vô hướng : Cho vectơ a(a1 ; a2 ), b(b1 ; b2 ) Ta coù : a.b = a1.b1 + a2 b2 Nhaän xét : a.b = a1.b1 + a2 b2 =0 ( a, b ≠ ) IV Ứng dụng : Cho a (a1 ; a2 ), b(b1 ; b2 ) a) Độ dài vectơ : b) Góc hai vectơ : a = a12 + a2 Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com a.b a1.b1 + a2 b2 cos(a, b) = = a.b a12 + a2 b12 + b2 www.MATHVN.com II,DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Tính tích vơ hướng vecto Phương pháp: ( ) -Áp dụng công thức a , b = a b cos(a ; b ) -Tính a ; a góc tạo vecto a ; b Thí dụ : Cho tam giác ABC vng cân A có AB =AC = a Tính AB.AC ; AC.CB GIAÛI AB ⊥ AC => AB.AC = AC, CB = −CA.CB = CA.CB cos 45 − a 2 BÀI TẬP 1.Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB.AD ; AB.AC = −a ĐS: ; a2 2.Cho tam giác ABC vng C có AC = BC = Tính AB.AC ĐS:81 3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = CA = a.Tính AB.AC suy cos A b.Gọi G trọng tâm tam giác Tính AG.BC c.Tính GA.GB + GB.GC + GC.GA d.Gọi D giao điểm phân giác góc A với BC Tính AD theo AB; AC suy AD HD: BC = AC − AB bình phương vế : ĐS : - cos A = − 2 1 b.AG = AM = AB + AC => AG.BC = AB + AC AC − AB ÑS : 3 3 29 c.ÑS: − AD = ( ) ( )( ) Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép toán vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý :AB2 = AB Thí dụ1 : Cho tam giác ABC M điểm 1.Chứng minh MA.BC + MB.CA + MC.AB = 2.Gọi G trọng tâm tam giác chứng minh MA + MB + MC = 3MG + GA + GB + GC 3.Suy GA + GB + GC = a + b + c với a ; b ;c độ dài cạnh tam giác Chưng minh ( Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com ) www.MATHVN.com VT = MA.(MC − MB) + MB(MA − MC) + MC(MB − MA ) = = MA.MC − MA.MB + MB.MA − MB.MC + MC.MB − MC.MA = ( 2.MA = MA = MG + GA ( ) = (MG + GC ) ) = MG + GA + 2MG.GA MB = MB = MG + GB = MG + GB + 2MG.GB MC = MC 2 = MG + GC + 2MG.GC ( => VT = 3MG + GA + GB + GC + MG.GA + MG.GB + MG.GC ( ) ) = 3MG + GA + GB + GC + 2MG GA + GB + GC == 3MG + GA + GB + GC 3.M ≡ A => AB + AC = 4GA + GB + GC M ≡ B => BA + BC = 4GB + GA + GC M ≡ C => CB + AC = 4GC + GB + GA ( ) => GA + GB + GC = 2(a + b + c ) => GA + GB + GC = ( a + b + c2 ) BÀI TẬP: www.MATHVN.com 1.Cho điểm cố định A B M điểm H hình chiếu M lên AB I trung điểm AB.Chứng minh : AB AB a)MA.MB = MI − b)MA + MB = 2MI + c)MA − MB = 2AB.IH 2.Cho tứ giác ABCD a.Chứng minh AB − BC + CD − DA = 2AC.DB b Chưng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có đường chéo vng góc :AB2+CD2=BC2+AD2 3.Cho tam giác ABC vng A có cạnh huyền BC = a√3 Gọi M trung điểm BC biết a2 AM, BC = Tính AB AC ÑS : AB = a AC = a 4.Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M N điểm thuộc đương tròn AM BN cắt I a.Chưng minh AI.AM = AI.AB ; BI.BN = BI.BA :b,Từ tính AI.AM + BI.BN theo R BC 6.Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc với M P trung điểm AD 5.Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Chứng minh MH.MA = Chứng minh MP ⊥ BC MA.MC = MB.MD Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định hình dạng tam giác ABC Phương pháp : − Tính AB = (x − x1 ) + (y − y1 ) BC = (x − x ) + (y − y ) –Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com 2 CA = (x1 − x )2 + (y1 − y )2 www.MATHVN.com –Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân –Nếu AB = AC BC = AB√2 => Tam giác ABC vuông cân B –Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vng A Thí dụ 1: TRong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC GIẢI : AB = (3 − 1)2 + (−1 − 5) = 40 (6 − 3)2 + (0 + 1) BC = = 10 CA = (1 − 6)2 + (5 − 0)2 = 50 CA = 50 ; AB + BC = 40 + 10 = 50 => CA = AB + BC => ∆ABC vuông B => S = BA.BC = 10đvdt Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng tam giác ABC ,Tính diện tích tam giác ABC chiều cao kẻ từ A AB = 20 BC = 10 ; CA = 10 => AB = BC => ∆ABC vuông cân A S=5đvdt Thí dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) B 2;2 Chứng minh tam giac OAB Tìm trực tâm tam giác OAB Giải : ( OA = OB = AB = (2 − 4)2 + (2 3−0 ) ) =4 => OA = OB = AB = => ∆OAB 3 Trực tâm H tam giác OAB trọng tâm tam giác OAB => H 2; Bài Tập : www.MATHVN.com Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) C(0;3).Xác định hình dạng tam giác ABC Tìm Tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: Vuông A , Tâm I (–1;1) 2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) C(m+3; 1) Định m để tam giác ABC vuông A ĐS:m = –1 hay m =-2 Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vuông từ suy khoảng cách từ C đến AB 4.Ch điểm A (2 ; –1) B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ tam giác ABM vuông C ĐS: M(1;2) M(–1;2) 5.Trong mpOxy cho điểm A(2;4) B(1 ; 1) Tìm điểm C cho tam giác ABC vuông cân B ĐS: C(4;0) C(–2;2) Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phương pháp : x + x + x y1 + y + y –Trọng tâm G ; 3 Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tìm trực tâm H -Gọi H(x;y)là trực tâm tam giác ABC Tính AH = (x − x1 ; y − y1 ) Tính AH.BC Tính BH = (x − x ; y − y ) ; BH.CA AH.BC = Giải hệ tìm x ; y Do H trực tâm BH.CA = Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x;y) Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2 I tâm đường trịn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI Giải hệ tìm x ; y Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) C(–2 ;–1) a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang GIẢI + - + −1 10 a)Gọi G trọng tâm tam giaùc ABC => G ; = G ; 3 Goïi H(x; y ) trực tâm tam giác ABC AH = (x − 5; y − ) ; BC = (−4;−8) AH, BC = −4(x − 5) − 8(y − 4) = −4x − 8y + 52 BH = (x − 2; y − ) ; CA = (7;5) BH, CA = 7(x − 2) + 5(y − 7) = x + 5y − 49 11 x= 4x + 8y = 52 11 14 H trực tâm tam giác ABC => H ; 3 3 7x + 5y = 49 y = 14 Goïi I(x; y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x= AI = BI (x − 5) + (y − 4) = (x − 2) + (y − 7) − 6x + 6y = 12 8 => I ; 2 2 AI = CI (x − 5) + (y − 4) = (x + 2) + (y + 1) 3 − 14x − 10y = −36 y = 2 2 b, IG = 1; IH = (3;2) = 31; = 3IG => I; G; H thẳng hàng 3 3 BÀI TẬP: www.MATHVN.com 1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn HD: Tìm tâm I bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID 2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) C(4;0).Xác định trực tâm H tam giác ABC 164 15 ĐS: ;− 31 31 3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam −1 giác ABC ĐS: I ; 2 4.Trong mpOxy cho điểm A(–2;–2) B(5 ;–4) Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com www.MATHVN.com a)Tìm điểm C cho trọng tâm tam giác ABC điểm G(2;0) ĐS:C(3;6) 169 47 b)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS I ; 66 33 5.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) C(1;5) Tìm trực tâm H tam giác ABC 21 25 ĐS: H ; 11 11 Bài 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC A Phương Pháp: –Tính AB ;AC; k =-AB/AC –Gọi D giao điểm đường phân giác góc A với cạnh BC => DB = k DC => tọa độ D –Tính BA BD =k’= –BA/BD –Gọi J giao điểm đường phân giác góc A góc B => JA = k' JD =>tọa độ J J B D C 1 Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3) B ;0 C(2;0) 4 Tìm tâm J đường trịn nội tiếp tam giác ABC GIẢI 15 AB AB = ; AC = => k = − =− AC Gọi D giao điểm phân giác góc A BC => DB = − DC 1 − x = − (2 − x ) x = 4 => => D(1;0) y = − y = − (0 − y)) 15 BA = ; BD = => k' = −5 4 Gọi J giao điểm phân giác góc B vaø AD => JA = −5JD x = − − x = −5(1 − x) => => 3 − y = −5(0 − y) y = Bài tập: www.MATHVN.com => J ; 2 2 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(2;6) B(–3;–4) C(5;0) a.Chứng minh tam giác ABC vng b.Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS : J(2;1) Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) C(4;-1).Tìm tâm J đương trịn nội tiếp tam giác ABC ĐS J(1;0) Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com www.MATHVN.com − 15 Trong mpOxy cho tam giác ABC với A ;2 B(12;15) C(0;−3) Tìm tâm J đương trịn nội tiếp tam giác ABC ĐS J(-1;2) Bài 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3).Gọi A’ chân đường vng góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’ Phương pháp: Gọi A’(x;y) − Tính AA' = (x − x1 ; y − y1 ) ; BC = (x − x ; y − y ) BA' = (x − x ; y − y ) (x − x1 )(x − x ) + (y − y )(y − y ) = AA'.BC = − Giải hệ x − x = t(x − x ) BA' = t BC y − y = t ( y − y ) Tìm x ; y theo t , Thay vào (1) tìm t từ = x y Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5) B(3;–1) C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA GIẢI: Goïi B' (x; y) : BB' = (x − 3; y + 1) CA = (−5;5) AB' = (x − 1; y − 5) − 5(x − 3) + 5(y + 1) = BB'.CA = B' chân đường cao kẻ từ B lên AC x − = −5t AB' = t AC y − = 5t t = − x = − 5t => y = + 5t x = => B' (5;1) − x + y = −4 y = BÀI TẬP: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(3;–1) B(1;5) C(6;0) Gọi A’ chân đường cao kẻ từ A lên BC tìm A’ ĐS:A’(5;1) 6 8 2.Trong mpOxy cho điểm A(2;1) B(–2;4) Gọi H hình chiếu O lên AB Tìm H ĐS:H ; 5 5 3.Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) C(1;3) Tìm chân đường cao A’ đường cao 37 156 kẻ từ A lên BC ĐS:A’ − ;− 53 53 Bài Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3),Tính cosA Phương pháp : − Tính AB ; AC − Tính AB AC ; Tính AB.AC AB.AC AB.AC Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) C(–6;1).Tínhsố đo góc A − CosA = Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com www.MATHVN.com AB = (2;−1) => AB = AC = (−6;−2) => AC = 40 = 10 AB.AC = −12 + = −10 cos A = AB.AC − 10 = =− => A = 135 AB.AC 10 ************************************************************************************** BÀI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG 1.Cho hai vectơ a b Chứng minh : 2 2 2 2 2 2 2 2 a b = a + b − a − b = a + b − a − b = a + b − a − b 2 2 4 2.Cho hai vectơ a , b có a = , b = 12 a + b = 13.Tính tích vơ hướng a ( a + b ) suy góc hai vectơ a a + b 3.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm BC,tính a) AH BC b) AB AC c) AC CB 4.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a) AB AC b) OA AC c) AC CB Tam giác ABC có AC = ,BC = ,C = 90o ,tính AB AC Tam giác ABC có AB = ,AC = ,A = 120o a)tính AB BC b) Gọi M trung điểm AC tính AC MA Tam giác ABC có AB = ,BC = ,CA = a)Tính AB AC suy giá trị góc A b)Tính CA CB c)Gọi D điểm cạnh CA cho CD = CA Tính CD CB 8.Cho hai vectơ a b thỏa mãn | a | = , | b | = ( a , b ) = 120o Với giá trị m hai vectơ a + m b a – m b vng góc Tam giác ABC có AB = ,AC = góc A = 60o Trên tia AC lấy điểm M đặt AM = k AC Tìm k để BM vng góc với trung tuyến AD tam giác ABC 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a hai trung tuyến BM, CN vng góc Tính cosA 11 Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính AB AC b)Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 4.Tính AM AN 12.Cho O trung điểm AB,M điểm tuỳ ý Chứng minh : MA MB = OM2 – OA2 13.Cho hình vng ABCD tâm O, M điểm thuộc cạnh BC.Tính MA AB Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com www.MATHVN.com MO AB 14.Cho tứ giác ABCD , I trung điểm BC, chứng minh : a) AB AC = IA2 – IB2 b) AB AC = (AB2 + AC2 – BC2) c) AB CD = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2) 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 16.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c Gọi G trọng tâm,hãy tính: a) AB AC b) GA GB c) GA GB + GB GC + GC GA d) Chứng minh : BC CA + CA AB + AB BC = – (a2 + b2 + c2) e)Tính AG theo a ,b ,c 17.Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh : BC AD + CA BE + AB CF = 18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N hai điểm (O) I = AM∩BN Chứng minh : a) AI AM = AI AB b) BI BN = BI BA c) AI AM + BI BN = 4R2 19.Cho điểm A,B,C,D tuỳ ý a) Chứng minh : AB CD + AC DB + AD BC = b)Từ chứng minh tam giác,ba đường cao đồng qui 20.Cho tam giác ABC cân A.Gọi H trung điểm BC,và D hình chiếu H AC, M trung điểm HD Chứng minh AM ⊥BD 21.Cho hình vng ABCD Gọi M N trung điểm BC CD Chứng minh : AN ⊥ DM 22.Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K hình chiếu vng góc B AC, M N trung điểm AK DC Chứng minh : BM ⊥ MN 23.Cho hình thang ABCD vng A B AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện a ,b ,h để a) AC ⊥ BD b) IA ⊥ IB với I trung điểm CD 24.Cho tam giác ABC có AB = ;AC = A = 45o Gọi L chân đường phân giác góc A a)Tính AB AC b)Tính AL theo AB AC ⇒ độ dài AL c)M điểm cạnh AC cho AM = x Tìm x để AL ⊥ BM 25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a A = 120o a) Tính BC BA BC b)Gọi N điểm cạnh BC cho BN = x Tính AN theo AB AC ,x c)Tìm x để AN ⊥ BM 26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = AC DB Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com www.MATHVN.com 27.Cho tam giác ABC có H trực tâm M trung điểm BC Chứng minh : MH MA = BC2 28.Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo cắt O Gọi H ,K trực tâm tam giác ABO CDO; I J trung điểm AD BC Chứng minh HK ⊥ IJ 28.Cho đường tròn (O;R) hai dây cung AA’ ,BB’ vng góc S Gọi M trung điểm AB chứng minh rằng: SM ⊥ A’B’ 29.Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn : a) AM AB = AC AB b) MA2 + MA MB + MA MC = c) MA2 = MC MA d) ( MA + MB ).( MA + MC ) = e) ( MA – MB ).(2 MB – MC ) = 30.Cho điểm A cố định nằm ngồi đường thẳng ∆, H hình chiếu A ∆.Với điểm M ∆, ta lấy điểm N tia AM cho AN AM = AH2 Tìm quĩ tích điểm N 31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M,gọi P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh MP ⊥ BC ⇔ MA MC = MB MD 32* Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: ( AB BC ) CA + ( BC CA ) AB +( CA AB ) BC = AC 33.Cho hình vng ABCD,điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = N trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh BMN tam giác vuông cân 34.Cho AA’ dây cung đường tròn (O) M điểm nằm dây cung Chứng minh MA MO = MA(MA – MA’) 35.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cho góc AMB ,BMC ,CMA 120o Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt đường tròn (O) A’ ,B’ ,C’ Chứng minh rằng: MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’ 36*.Cho tam giác ABC có cạnh Gọi D điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , M trung điểm cạnh CB a)Xác định đường thẳng AC điểm N cho tam giác MDN vng D.Tính diện tích tam giác b)Xác định đường thẳng AC điểm P cho tam giác MPD vuông M.Tính diện tích tam giác c) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng MP PD 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M điểm tuỳ ý,chứng minh : a) MA + MC = MB + MD b) MA MC = MB MD c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 d) MA2 + MB MD = MA MO Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com 10 www.MATHVN.com 38.Cho tam giác ABC hình vng ABED, ACHI ,BCGH Chứng minh : I a) ( AD + BF ) AC = b) ( AD + BF + CH ) AC = D H c) AD + BF + CH = A E d) AE + BG + CI = 39.Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Gọi M điểm cạnh BC cho CM = 2BM, N B điểm cạnh AB cho BN = 2AN C a) Tính vectơ AM CN theo hai vectơ AB AC b)Tìm hệ thức liên hệ b c cho AM ⊥ CN 40.a)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O,R) M điểm tuỳ ý đường tròn Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 b) Tổng quát toán cho đa giác n cạnh F 41*.Cho lục giác A1A2…A6 nội tiếp đường tròn (O,R) vàGmột điểm M thay đổi đường trịn Chứng minh : ˆA =0 ˆ A + cos MO ˆ A + …+ cos MO a) cos MO b) MA12 + MA22+ …+ MA62 số ( = 12R2) 42*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) ,M điểm đường tròn a)Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 b)Chứng minh : MA2 + MB MC = 3R2 c)Suy M cung nhỏ BC MA = MB + MC 43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = ,AC = , gọi M trung điểm BC a)Tính độ dài đoạn AM độ dài đường phân giác góc A 44* Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng: ( AB BC ) CA + ( BC CA ) AB + ( CA AB ) BC = 45.Cho tam giác ABC có AB = AC = , góc BAC = 120o nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ADC a)Tính AB AC b)AH đường cao tam giác ABC.Tính AH theo AB AC c)Chứng minh IE ⊥ CD 46.Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M ,N ,P ,Q trung điểm đoạn thẳng AC, BD, BC AD Đặt u = AB , v = AC , w = AD 1 a)Chứng minh : MN = ( u + w – v ) ; PQ = ( u + v – w ) b)Chứng minh :nếu MN = PQ AB ⊥ CD.Điều ngược lại có khơng? 47.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a ,b ,c Gọi D trung điểm AB I điểm thỏa IA + IB – IC = a)Chứng minh BCDI hình bình hành b)Tính CI AB theo a ,b ,c c)M điểm tùy ý, chứng minh : MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2 Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com 11 www.MATHVN.com d)Khi M chạy đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí M để biểu thức MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ 48.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a)Chứng minh vectơ v = MA + MB – MC không phụ thuộc vị trí điểm M b) Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh : 2MA2 + MB2 – 3MC2 = MO v c)Tìm quĩ tích điểm M cho 2MA2 + MB2 = 3MC2 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân A 50 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H 51.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD hình thang cân 52.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tính góc B tam giác ABC 53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ MA + MB 54.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 55.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Vũ Thị Hạt – www.MATHVN.com 12