Thuật Toán Đơn Hình

Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định Chương 1. Bài toán Quy hoạch tuyến tính 1.1. Khái niệm bài toán QHTT 1.2. Cơ sở Giải tích lồi Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định 1.1. Khái niệm bài toán QHTT 1.1.1. Bài toán tối ưu 1.1.2. Một số ví dụ về QHTT 1.1.3. Bài toán QHTT Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định 1.1.1. Bài toán tối ưu a) Bài toán Tìm x=(x 1 ,x 2 ,…,x n ) sao cho f(x)=f(x 1 ,x 2 ,…,x n ) min (hay max)→ (1.1) Với các điều kiện 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , , ., ) 0, 1, 2, ., , (1.2) ( ) ( , , ., ) 0, 1, 2, ., , (1.3) ( , , ., ) (1.4) i i n j j n n n g x g x x x i m h x h x x x j p x x x x X R = ≤ = = = = = ∈ ⊂ Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định (1.1)-(1.4): bài toán Quy hoạch toán học Trong đó: f(x) : Hàm mục tiêu g i , h j : Các hàm ràng buộc (1.2)-(1.4) : Các ràng buộc (1.2) : Các ràng buộc BĐT (1.3) : Các ràng buộc đẳng thức Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định Phương án, phương án tối ưu Tập hợp D={xєX: g i (x)≤0, i=1,…,m; h j (x)=0, j=1,…,p} Được gọi là Miền ràng buộc, hoặc Miền chấp nhận được, hoặc Tập các phương án. Mỗi x∈D là một phương án hay một điểm chấp nhận được Một phương án x*∈D đạt cực tiểu (hay cực đại) của hàm mục tiêu là một phương án tối ưu f(x*) là giá trị tối ưu của bài toán. Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định Nhận xét: Có ba khả năng có thể xảy ra: a. Miền ràng buộc là tập rỗng. b. Cực tiểu (cực đại) của f trên D bằng -∞ (+∞). c. f đạt cực tiểu (cực đại) hữu hạn trên D. Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định b) Phân loại bài toán tối ưu  Quy hoạch tuyến tính  Quy hoạch phi tuyến  Quy hoạch tham số  Quy hoạch động  Quy hoạch lồi  Quy hoạch rời rạc  … Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định 1.1.2 Một số ví dụ về QHTT a) BT lập kế hoạch sx: Một xí nghiệp dự định sx hai loại sản phẩm: S 1 và S 2 . Để sx hai loại sp này xí nghiệp cần hai loại vật liệu V 1 và V 2 . Các số liệu được cho bởi bảng: Lập kế hoạch sx sao cho tổng thu lớn nhất. SP VL S 1 S 2 Số VL có V 1 4 3 120 V 2 5 2 108 Giá SP 50tr 30tr Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định Lập mô hình toán Gọi x 1 , x 2 là số đơn vị sp S 1 , S 2 cần sx. Khi đó: tổng thu là f(x)=50x 1 +30x 2 Số V 1 cần dùng: 4x 1 +3x 2 Số V 2 cần dùng: 5x 1 +2x 2 Do đó ta có BT: Tìm x=(x 1 ,x 2 ) sao cho 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 50 30 ax, 4x 3 120, 5x 2 108, x 0, 0. f x x x m x x x = + → + ≤   + ≤   ≥ ≥  Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định Tổng quát Nếu xí nghệp cần sx n sp từ m vật liệu a ij : số VL i cần để sx 1 đơn vị sp j b i : lượng VL i mà xí nghiệp có c j : lãi hay giá bán 1 đv sp j x j : số đv sp j xí nghiệp nên sx Khi đó ta có BT: 1 1 2 2 i1 1 i2 2 in ( ) ax, a a a , 1, 2, ., , 0, 1, 2, ., . n n n i j f x c x c x c x m x x x b i m x j n = + + + → + + + ≤ =    ≥ =   L L [...]... là nhỏ nhất Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Sơ đồ và mô hình bài toán c13 x13 A1 a1 A2 a2 B1 b1 c11 x11 c21 x21 c12 x12 c23 x23 B2 b2 B3 b3 c22 x22 Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên 1.1.3 Bài toán QHTT a) Dạng tổng quát: Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008... bài toán QHTT Định lý 5: Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có ít nhất một phương án thì bài toán có phương án cực biên Chứng minh:  Định lý 6: Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có phương án tối ưu thì nó cũng có phương án cực biên tối ưu Chứng minh:  Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Nội dung chính của chương 1  Khái niệm bài toán. .. tuyến tính Chứng minh: Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên 1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT  Hệ quả 1: Số phương án cực biên của bài toán QHTT dạng chính tắc là hữu hạn  Hệ quả 2: Số thành phần dương trong mỗi phương án cực biên của bài toán QHTT dạng chính tắc tối đa bằng m (rankA) Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn... giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên 1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT a Tính chất chung  Định lý 1:Tập D các phương án của một bài toán qui hoạch tuyến tính là một tập hợp lồi đa diện Định lý 2: Nếu một qui hoạch tuyến tính có ít nhất một phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới trong miền ràng buộc (đối với bài toán min) thì bài toán chắc... Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên 1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT  Định lý 3: Nếu x0 là một phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính dạng bất kì và nếu x1, x2 (x1 x2) là hai phương án thỏa mãn: x0 = λx1 + (1-λ)x2, với 0< λ < 1, thì x1, x2 cũng là các phương án tối ưu Chứng minh: (coi như bài tập) Bài giảng: Toán Quy... và Xã hội – Đại học Thái Nguyên 1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT b Phương án cực biên Định nghĩa: Một phương án x∈D của bài toán QHTT mà đồng thời là đỉnh của D được gọi là một phương án cực biên Xét bài toán QHTT dạng chính tắc: min{f(x)=: Ax=b, x≥0}, trong đó, A là ma trận cỡ m×n có hạng m Định lý 4: Phương án x0 = (x01, …, x0n) của bài toán QHTT dạng chính tắc là phương án cực biên khi và chỉ... Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên Nội dung chính của chương 1  Khái niệm bài toán tối ưu, bài toán QHTT…  Dạng chính tắc, dạng chuẩn tắc, cách chuyển dạng của bài toán QHTT  Các tính chất của bài toán QHTT Hết chương 1 Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định ... hoặc f(x)=ctx → min, Ax=b, ΣAjxj = b, x≥0 x≥0 Tương tự ta có dạng ma trận cho QHTT chuẩn tắc Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên 1.2 Cơ sở Giải tích lồi 1.2.1 Một số khái niệm trong Rn 1.2.2 Tính chất của bài toán QHTT Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên 1.2.1 Một... chất của bài toán QHTT   Định nghĩa: Nếu một phương án cực biên có số thành phần dương đúng bằng m thì được gọi là một phương án cực biên không suy biến Ví dụ: Tìm tất cả các phương án cực biên của bài toán QHTT với hệ ràng buộc: 3x1 – 2x2 + 3x3 = 6, -x1 + 2x2 - x3 = 4, xj ≥ 0, j = 1, 2, 3 Hướng dẫn: Xác định số thành phần dương của phương án cực biên, sau đó giải các hệ PTTT Bài giảng: Toán Quy hoạch... khái niệm trong Rn a Tôpô trong Rn - Điểm x=(x1, x2, …, xn) є Rn Tổ hợp tuyến tính, đltt và pttt Tổ hợp lồi Độ dài, chuẩn, khoảng cách, hình cầu Điểm biên, tập mở, tập đóng, tập giới nội Tích vô hướng Đường thẳng, đoạn thẳng, siêu phẳng, nửa không gian đóng, mở Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths Ngô Văn Định Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội – Đại học Thái Nguyên 1.2.1 Một số khái niệm trong Rn b Tập . Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định 1.1. Khái niệm bài toán QHTT 1.1.1. Bài toán tối ưu 1.1.2. Một số ví dụ về QHTT 1.1.3. Bài toán QHTT. hội – Đại học Thái Nguyên Bài giảng: Toán Quy hoạch 03/2008 Ths. Ngô Văn Định Lập mô hình toán Gọi x 1 , x 2 là số đơn vị sp S 1 , S 2 cần sx. Khi đó: tổng