Học kì 1 toán 6 tổng hợp các câu khó 2021

CÁC CÂU NÂNG CAO HỌC KÌ SỐ HỌC TÌM CÁC SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu Tìm tất số tự nhiên a , b cho:  a  3b  1  a  a  b   225 Câu Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng:     n  aaa Câu Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc  n2  cba  ( n  2) Câu Tìm số tự nhiên có chữ số abcd biết thoả mãn điều kiện sau: +) c chữ số tận số M   52  53    5101 +) abcd  25 +) ab  a  b2 Câu Tìm số nguyên tố ab (a > b > ), biết ab  ba số phương Câu a) Tìm n để n  2022 số phương b) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n  2021 số nguyên tố hợp số Câu Chứng minh rằng: 1 1 1       16 32 64 3 99 100 b)      99  100  3 3 3 16 x y Câu Tìm số tự nhiên x, y biết  11  26 Câu Tìm số tự nhiên k để 13k + 13 số nguyên tố Câu 10 Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia số kẹo đựng gói Gói thứ có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ có 15 Hồng Lan nhận gói số kẹo Hồng gấp đơi số kẹo Lan Tính số kẹo nhận bạn LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN, NHÂN CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ Câu 11 Số 250 viết hệ thập phân có chữ số? a) Câu 12 Tính nhanh:  32  33  34   32003  32004 Câu 13 Tìm chữ số tận số sau: 1999 a) 57 b) 931999 Câu 14 a) Tìm hai chữ số tận số sau: 2100; 71991 b) Tìm bốn chữ số tận số sau: 51992 TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG Câu 15 Chứng minh nếu: ( ab  cd  eg ) :11 abc deg :11 Câu 16 Chứng minh rằng: 10 28  8 72 Câu 17 Cho A  9999931999  5555571997 Chứng minh A chia hết cho Câu 18 Cho số A  155*710*4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay dấu * chữ số khác ba chữ số 1, 2,3 cách tùy ý số ln chia hết cho 396 Câu 19 Chứng minh rằng: Nếu 3a  4b  5c chia hết cho 11 với giá trị tự nhiên a , b, c biểu thức a  b  c với giá trị a , b, c chia hết cho 11 HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page Câu 20 Có hay khơng số ngun tố mà chia cho 12 dư 9? Giải thích? Câu 21 Cho n   Chứng minh 5n  chia hết cho Câu 22 Chứng minh rằng: 21993 < 7714 Câu 23 Tìm số tự nhiên x , y biết rằng: 20 xy  x  y  2458 Câu 24 Tìm số tự nhiên a nhỏ có ba chữ số cho a chia cho 11 dư 5, chia cho 13 dư Câu 25 Chứng minh rằng: A  10n  18n  chia hết cho 27 ( n số tự nhiên) Câu 26 Chứng minh rằng: 3636  910 chia hết cho 45 Câu 27 Tìm số ngun tố có hai chữ số khác dạng ab cho ba số nguyên tố hiệu ab  ba số phương Câu 28 a) Chứng minh rằng: A   2  23    299  2100 chia hết cho 2;3; 7;15;31 b) Tìm x để A  2 x 1 2 Câu 29 Cho A  31  32  33  34   397  398  399  3100 Chứng minh A chia hết cho 120 Câu 30 Cho S   52  53    52006 a) Tính S b) Chứng minh S 126 Câu 31 a) Cho abc  deg chia hết cho 37 Chứng minh abcdeg chia hết cho 37 b) Tìm x biết 20 x20 x 20 x20 x chia hết cho Câu 32 Người ta lấy tờ giấy xé thành mảnh sau lại lấy số mảnh xé mảnh thành mảnh nhỏ Hỏi sau lần xé liên tục ta 2010 mảnh, 2011 mảnh không? Câu 33 A = 11 + 25 + 39 + 413 +…+ 5042013 + 5052017 Câu 34 a) Tìm số nguyên x cho x  chia hết cho x  5a  7b 29 b) Tìm số tự nhiên a b thỏa mãn:  a; b    6a  5b 28 Câu 35 Tìm số nguyên tố p cho số p  p  10 số nguyên tố Câu 36 Tìm số nguyên tố p để p  6; p  8; p  12; p  14 số nguyên tố Câu 37 Chứng minh số: 222 22200333 333     hợp số 2001 chữ số 2003 chữ số Câu 38 Tìm tất số nguyên p cho p  14 số nguyên tố Câu 39 Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: a) n  n  1 hai số nguyên tố b) 2n  4n  hai số nguyên tố c) n  10 5n  hai số nguyên tố BÀI TOÁN ĐƯA VỀ TÌM ƯỚC HOẶC BỘI Câu 40 Tìm ƯCLN 777 , ( 51 chữ số ) 777777 Câu 41 Tìm hai số tự nhiên a , b biết a  b  128 ƯCLN (a , b )  16 Câu 42 a) Một số chia cho 11 dư chia cho 12 dư Hỏi số chia 132 dư bao nhiêu? b) Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số cho chia cho 2, 3, 4, 5, ta số dư theo thứ tự 1, 2, 3, 4, c) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 6, chia 12 dư 10, chia 15 dư 13, chia hết cho 23 HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page Câu 43 Tìm số tự nhiên thoả mãn: - Tổng BCNN ƯCLN số 174 - Tổng số nhỏ trung bình cộng số 57 Câu 44 Tìm hai số tự nhiên a , b biết: a) BCNN a, b  360 a.b  6480 b) a  b  40 BCNN a, b  ƯCLN a, b Câu 44 Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện: a  2b  49  a, b    a, b   56 Câu 45 a) Tìm số tự nhiên x biết 351 chia x dư 15 498 chia x dư 18 b) Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; có số dư Câu 46 a) Tìm hai số tự nhiên a , b biết ƯCLN a, b  BCNN a, b  21 b) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư , chia cho dư Câu 47 Tìm số tự nhiên a biết a chia hết cho 15 , 25 , 18 1000  a  1500 Câu 48 Chứng minh rằng: BCNN  n;37n  1  37n2  n với số tự nhiên n lớn Câu 49 Tìm hai số tự nhiên a b biết: 2a  3b  108 ; 5.UCLN  a; b   2.BCNN  a; b   174 Câu 50 Tìm hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện: a  2b  48  a, b   3 a, b  114 -HẾT - HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page CÁC CÂU NÂNG CAO HỌC KÌ SỐ HỌC TÌM CÁC SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu Tìm tất số tự nhiên a , b cho:  a  3b  1  a  a  b   225 Lời giải Với a     3b  1  20   b   225   3b  1 b  1  225 Vì 3b   b  Mà 225  225.1  45.5  75.3  25.9 224  3b   225 b  Trường hợp 1:   (loại) b   b  3b   45 b  Trường hợp 2:   (loại) b   b  74  3b   75 b  Trường hợp 3:   (loại) b   b  3b   25 b  Trường hợp 4:    b  (Thỏa mãn) b   b  Vậy cặp số a  ; b  thỏa mãn Với a  225 có ước lẻ nên a  3b  ; a  a  b lẻ mà a chẵn nên a  b lẻ Mà a  3b    a  b    2a  1 lẻ nên 2a  chẵn (vô lý) Vậy a  khơng có cặp số a , b thỏa mãn Câu Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng:     n  aaa Lời giải Áp dụng cơng thức tính với dãy số cách để tính biểu diễn số có ba chữ số Từ 1; 2; ; n có n số hạng Suy :    n  ( n  1).n Mà theo ta có    n  aaa Suy (n  1).n  aaa  a.111  a.3.37 Suy ra: n  n  1  2.3.37.a Vì tích n  n  1 Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n n  Chia hết cho 37 ( n  1).n có chữ số Suy n   74  n  37 n   37 37.38  Với n  37  703 (loại) 36.37  Với n   37  666 ( thoả mãn) Vậy n  36 a  Ta có:     36  666 Vì số Câu Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc  n2  cba  ( n  2) Lời giải abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page cba = 100c + 10 b + a = n2 – 4n + (2) Từ (1) (2)  99(a-c) = n –  4n –  99 (3) Mặt khác: 100 < n2-1 13(k + 1) = 13 số nguyên tố Nếu k   k   => 13(k + 1) hợp số Vậy để 13k + 13 số nguyên tố k = HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page Câu 10 Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia số kẹo đựng gói Gói thứ có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ có 15 Hồng Lan nhận gói số kẹo Hồng gấp đơi số kẹo Lan Tính số kẹo nhận bạn Lời giải Tổng số kẹo gói là: 31  20  19  18  16  15  119 (chiếc) Ta có: 119 :  39 (dư ) 1 Vì số kẹo Hồng gấp đôi số kẹo Lan nên tổng số kẹo hai bạn số chia hết cho  2 Từ 1   suy ra: bớt gói có số kẹo chia dư ta tổng số kẹo gói cịn lại chia hết cho Gói cần bớt gói kẹo thứ hai có 20 Do số kẹo Huệ 20 Số kẹo Hồng là: 119  20  : 3.2  66 (chiếc) Số kẹo Lan 33 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN, NHÂN CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ Câu 11 Số 250 viết hệ thập phân có chữ số? Lời giải Nhận xét: Số a có n chữ số khi: 10 n 1  a  10 n Ta thấy: 50  216 34  216 (2 )  216 512 128 10 16  16 16  (5 ) 16 4  625 16 (1) ( 2) Từ (1) (2) suy ra: 50  1016 Mặt khác: 50  215 35  215 (2 )  215 128 (3) 1015  215 515  215 (5 )  215 125 ( 4) Từ (3) (4) suy ra: 1015  50 Vậy ta có: 1015  50  1016 nên số 250 có 16 chữ số viết hệ thập phân Câu 12 Tính nhanh:  32  33  34   32003  32004 Lời giải B   32  33  34   32003  32004 B  32  33  34  35   32004  32005 B   32005  32005 Câu 13 Tìm chữ số tận số sau: B 1999 a) 57 b) 931999 Lời giải Để tìm chữ số tận lũy thừa, ta cần xét chữ số tận lũy thừa hàng đơn vị: a) 571999 HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page Ta có: 71999    499 1999 có chữ số tận .73  2041499 343 nên Vậy số 571999 có chữ số tận b) 931999 Ta có: 31999   34  499 1999 chữ số tận .33  81499 27 nên Vậy số 931999 có chữ số tận Câu 14 a) Tìm hai chữ số tận số sau: 2100; 71991 b) Tìm bốn chữ số tận số sau: 51992 Lời giải 2100 a) Tìm hai số tận 210 = 1024, bình phương hai số có tận 24 tận 76, có số tận 76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) tận 76 Do đó: 2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = (…76)5 = …76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 b) Tìm hai chữ số tận 71991 Ta thấy: 74=2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa tận 01 Do đó: 71991 = 71988 73= (74)497 343 = (…01)497 343 = (…01) x 343 =…43 Vậy 71991 có hai số tận 43 Tìm số tận 51992 51992 = (54)498 =0625498=…0625 TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG Câu 15 Chứng minh nếu: ( ab  cd  eg ) :11 abc deg :11 Lời giải      99 101ab  cd    ab  cd  eg   11.9 101ab  cd    ab  cd  eg  Theo  ab  cd  eg 11 nên: abc deg 11 Ta có: abcdeg  10000ab  100cd  eg  9999ab  99cd  ab  cd  eg Câu 16 Chứng minh rằng: 10 28  8 72 Lời giải 10  8 9.8 ta có 10  88 (vì có số tận 008 ) , tổng chữ số 1028  28 28  10 28  8 nên 10 28  8 9.8 10 28  8 72 Câu 17 Cho A  9999931999  5555571997 Chứng minh A chia hết cho Lời giải Để chứng minh A , ta xét chữ số tận A cách xét chữ số tận số Ta có 9999931999 có chữ số tận với 31999   34  499 5555571997 có chữ số tận với 71997    .33  81499.27 nghĩa có chữ số tận 499 71  2401499.7 nghĩa có chữ số tận Vậy A có chữ số tận 0, A HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page Câu 18 Cho số A  155*710* 4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay dấu * chữ số khác ba chữ số 1, 2, cách tùy ý số ln chia hết cho 396 Lời giải Ta thấy vị trí chữ số thay ba dấu * số hàng chẵn ba chữ số đơi khác nhau, lấy từ tập hợp 1, 2,3 nên tổng chúng ln Mặt khác 396  4.9.11 4;9;11 đôi nguyên tố nên ta cần chứng minh A  155*710*4*16 chia hết cho 4; 11 Ta thấy: A số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho A tổng chữ số A         *  *  *  30   36 chia hết cho A11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 1     1      *  *  *   18  12   Câu 19 Chứng minh rằng: Nếu 3a  4b  5c chia hết cho 11 với giá trị tự nhiên a , b, c biểu thức a  b  4c với giá trị a , b, c chia hết cho 11 Lời giải Ta có:  3a  4b  5c    9a  b  4c   6a  8b  10c  27a  3b  12c  33a  11b  22c  11 3a  b  2c  Ta thấy: 11 3a  b  2c   11 Theo ra: 3a  4b  5c  11 Suy ra: 9a  b  4c  11 Câu 20 Có hay khơng số nguyên tố mà chia cho 12 dư 9? Giải thích? Lời giải - Khơng thể có số nguyên tố mà chia cho 12 dư Vì: có số tự nhiên a mà chia cho 12 dư có dạng a = 12.k + ;  k  N   a 3 a   a hợp số, số nguyên tố Câu 21 Cho n   Chứng minh 5n  chia hết cho Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp quy nạp Với n  5n   0 Giả sử với n  k tức 5k  1 Khi n  k  5n   5k 1   5.5k   5.5k     5k  1  4 5k  1 Vậy với n   ta có n  chia hết cho Cách 2: Với n  5n   0 Với n  5n   4 Với n  5n    25    24  (dấu hiệu chia hết cho 4) Câu 22 Chứng minh rằng: 21993 < 7714 Lời giải HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 10 238 238 2  1024  210  3.73   210   3238  73   22380  3238.7714  7  343 28  256  35  28 243 Mặt khác : 3238 33.3235  33  35   33  28   25.2376  2381  3238  2381 47 47 22380  3238.7 714  2380  2381.7 714  21999  7714  21993  714 Câu 23 Tìm số tự nhiên x , y biết rằng: 20 xy  x  y  2458 Lời giải Ta có: 20 xy  x  y  2458  y  x  1   x  1  2460   y   x  1  2460  22.3.5.41 Vì x  lẻ nên x   3;5; 41;3.5;3.41;5.41  x  1;10;51 Với x  suy y  98 Với x  10 khơng có y thỏa mãn Với x  51 suy y  Vậy  x, y  1, 98  ;  51,  Câu 24 Tìm số tự nhiên a nhỏ có ba chữ số cho a chia cho 11 dư 5, chia cho 13 dư Lời giải Số tự nhiên a chia cho 11 dư nên a  11m  với m   Ta có a   11m  1111 Vì 7711 nên a   77 chia hết cho 11 Suy a  83 chia hết cho 11 (1) Lại có a chia cho 13 dư nên a  13n  với n   Ta có a   13n  1313 Vì 7813 nên a   78 chia hết cho 11 Suy a  83 chia hết cho 13 (2) Từ (1) (2) suy a  83 chia hết cho BCNN 11;13 Suy a  83 chia hết cho 143 hay a  143k  83 với k   Để a nhỏ có ba chữ số ta chọn k  Khi a  203 Câu 25 Chứng minh rằng: A  10n  18n  chia hết cho 27 ( n số tự nhiên) Lời giải Cách 1: Ta có: A  10 n  18n   10n  1  18n  99   18n  9.11   9.2n n n       11  n  11  n  n        n   n  Vì 11  n có số dư chia 11   n  nên 11   n  3n  n n n   Do  11  n  n    n  Vậy A  10n  18n  chia hết cho 27 ( n số tự nhiên) HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 10 Cách 2: Ta có: A  10 n  18n   10n  1  18n  99   18n n    9.11   n   27 n   9n  27 n   11 n  n    11  n  Vì 11 n có số dư chia nên 11  n    27 n  27    n n  n  Vậy A  10 n  18n  chia hết cho 27 ( n số tự nhiên) Cách 3: +) Với n  A  101  18.1   27  27 +) Giả sử n tới n  k  A  10 k  18k   27 +) Ta cần chứng minh n với n  k  Thật vậy, ta có: A  10k 1  18  k  1   10.10k  18k  18   10 10 k  18k  1  162k  27  A  27 10k  18k   27 162  27 Câu 26 Chứng minh rằng: 3636  910 chia hết cho 45 Lời giải 9  Ta có:   3636  910  1 36   Lại có chữ số tận 36 nên chữ số tận 3636 Và 910  815 , chữ số tận 81 nên chữ số tận 815 Suy chữ số tận 3636  910    3636  910    Từ 1   có 3636  910 chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên 3636  910 chia hết cho 9.5 , hay nói cách khác 3636  910 chia hết cho 45 Câu 27 Tìm số ngun tố có hai chữ số khác dạng ab cho ba số nguyên tố hiệu ab  ba số phương Lời giải Ta có: ab  ba  10a  b  10b  a  9a  9b   a  b  Vì ab  ba số phương nên a  b số phương a  b  1; 4; 9 + Nếu a  b  ; ab số nguyên tố  ab  43 Khi ba  34 (khơng số nguyên tố: loại) + Nếu a  b  ; ab số nguyên tố  ab  73 (thỏa mãn vì: ba  37 số nguyên tố) + Nếu a  b  ; ab số nguyên tố  ab  Vậy số cần tìm 73 Câu 28 a) Chứng minh rằng: A   2  23    299  2100 chia hết cho 2;3; 7;15;31 b) Tìm x để A  2 x 1 2 Lời giải a) Ta có: A   2  23   299  2100  1   2   299  Vậy A chia hết cho + Ta có: A   22  23  299  2100  (2  22 )  (23  24 )  (299  2100 ) HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 11 A 2(1  2)  23 (1  2)  299 (1  2)  3(2  23   299 ) Vậy A chia hết cho + Ta có: A   22  23  299  2100  (2  2  23 )  (24  25  26 )  (298  299  2100 ) A 2(1   22 )  (1   22 )  298 (1   22 )  7(2  24   298 ) Vậy A chia hết cho + Ta có A   22  23   299  2100  (2  2  23  24 )  (25  26  27  28 )  (297  298  299  2100 ) A  2(1   22  23 )  25 (1   22  23 )  297 (1   22  23 )  15(2  25   297 )15 Vậy A chia hết cho 15 + Ta có: A   2  23    299  2100  1   22  23  24   26 1   22  23  24   296 1   22  23  24   2.31  26.31  296.31  31  26   296  31 Vậy A chia hết cho 31 b) A   2  23    299  2100  A  2  23  24   2100  2101  A – A  2101 –  C  2101 – Ta có: A  2 x 1 2  2 x 1 2  2101 –  x   101  x  51 Vậy x  51 Câu 29 Cho A  31  32  33  34   397  398  399  3100 Chứng minh A chia hết cho 120 Lời giải A  (31  32  33  34 )   (397  398  399  3100 ) A  3(1  31  32  33 )   397 (1   32  33 ) A  3.(1    27)   397 (1    27) Ta lại thấy:    27  40 Nên A  40.(30  35  39   397 ) A  40.3(30  34  38   396 ) A  120.(30  34  38   396 ) Vậy A120 (đpcm) Câu 30 Cho S   52  53    52006 a) Tính S  b) Chứng minh S 126 Lời giải  a) Ta có 5S  5  52  53    52006  52  53  54   52007   Nên 5S  S  52  53  54   52007   52  53    52006  52007  Hay 4S  52007  , suy S   52007        1    1      1          1       b) S   54  52  55    52003  52006 2 3 2003 2003 3    52003  126 Vì 126126  S 126 HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 12 Câu 31 a) Cho abc  deg chia hết cho 37 Chứng minh abcdeg chia hết cho 37 b) Tìm x biết 20 x20 x 20 x20 x chia hết cho Lời giải a) Ta có: abcdeg  abc.1000  deg  abc.999  abc  deg   mà abc.999  37 999 37 abc  deg 37  abc deg37 b) 20 x 20 x 20 x 20 x  20 x.1000000000  20 x.1000000  20 x.1000  20 x  20 x.1001001001  1001001001   20 x 20 x 20 x 20 x  x Mà x chữ số nên x  0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Câu 32 Người ta lấy tờ giấy xé thành mảnh sau lại lấy số mảnh xé mảnh thành mảnh nhỏ Hỏi sau lần xé liên tục ta 2010 mảnh, 2011 mảnh không? Lời giải Khi cắt mảnh giấy thành mảnh nhỏ số mảnh giấy tăng thêm Cắt nhiều lần số mảnh tăng thêm 4k  k  , k  1 Ban đầu có mảnh giấy, tổng mảnh 4k  Số chia dư mà 2010 , 2011 chia dư dư Vậy với cách xé này, xé liên tục thành 2010, 2011 mảnh Câu 33 A = 11 + 25 + 39 + 413 +…+ 5042013 + 5052017 Lời giải Nhận xét : Mọi lũy thừa A có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n – 1) + 1, n thuộc {1, 2, …, 505}) Vì lũy thừa A số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng : (1 + + + … + 9) + 441.(1 + + +…+ 9) + + + + +5 = 442.(1 + + 3+ … + 9) + 15 = 442.45 + 15 Vậy A ⋮ Câu 34 a) Tìm số nguyên x cho x  chia hết cho x  5a  7b 29 b) Tìm số tự nhiên a b thỏa mãn:  a; b    6a  5b 28 Lời giải a) x    x     x  suy  x  hay x   Ö 1;  5  x  3;1;3; 7 b) Tìm số tự nhiên a b thỏa mãn: 5a  7b 29  a; b    6a  5b 28 5a  7b 29  28  5a  7b   29  6a  5b   3b  2a 1  6a  5b 28 Suy b   b  2t , t   HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 13 Vì  a ; b   nên suy  a ; t     Thay b  2t vào 1 có 3t  a  3 a  Từ    3 suy t     b  Câu 35 Tìm số nguyên tố p cho số p  p  10 số nguyên tố Lời giải Với p  p   ; p  10  12 khơng thỏa mãn Với p  p   ; p  10  13 số nguyên tố Với p  p  3k  p  3k  với (k  ; k  0) +) Nếu p  3k  p   3k    3k  3 nên p  hợp số nên loại +) Nếu p  3k  P  10  3k  12 nên p  10 hợp số nên loại Vậy có p  p  ; p  10 số nguyên tố Câu 36 Tìm số nguyên tố p để p  6; p  8; p  12; p  14 số nguyên tố Lời giải Xét phép chia p cho ta thấy p có dạng sau: p  5k ; p  5k  1; p  5k  2; p  5k  3; p  5k  ( k  ; k  0) + Nếu p = 5k p nguyên tố nên k = => p = + Nếu p = 5k + => p + 14 = 5(k + 3)  lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + = 5(k + 2)  lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + 12 = 5(k + 3)  lớn nên hợp số (loại) + Nếu p = 5k + => p + = 5(k + 2)  lớn nên hợp số (loại) Thử lại với p = thoả mãn Câu 37 Chứng minh số: 222 22200333 333     hợp số 2001 chữ số 2003 chữ số Lời giải Ta có: 222 22200333 333     có tổng chữ số 2.2001  3.2003 2001 chữ số 2003 chữ số Vì 2001   2.2001  mà 3.2003  nên  2.2001  3.2003  Do 222 22200333 333      mà 222 222   00333 333   3 2001 chữ số 2003 chữ số 2001 chữ số 2003 chữ số Suy 222 22200333 333     hợp số 2001 chữ số 2003 chữ số Câu 38 Tìm tất số nguyên p cho p  14 số nguyên tố Lời giải Ta có p phải lẻ *Nếu p  p  14 số nguyên tố *Nếu p  p khơng chia hết cho hay p chia dư  p  3k  1, k    p chia dư  p  3k  2, k    **) p chia dư  p  3k  1, k    nên p   3k  1 chia dư **) p chia dư  p  3k  2, k    nên p   3k   chia dư Suy  p  14  nên p  14 hợp số Vậy p  số nguyên tố phải tìm HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 14 Câu 39 Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: a) n  n  1 hai số nguyên tố b) 2n  4n  hai số nguyên tố c) n  10 5n  hai số nguyên tố Lời giải a) Gọi d ƯCLN n n  , điều kiện: d  N * n  1 d   n   n  d  1 d n d  d 1 Vậy n n  nguyên tố b) Gọi d ƯCLN 2n  4n  2n  3 d  n  6 d Ta có    4n    4n   d hay 1 d 4n  5 d 4n  5 d  d 1  2n  4n  nguyên tố c) Gọi ƯCLN  n  10,5n    d n  10 d 5n  7 d Suy ra:  35n  50 d 35n  49 d   35n  50    35n  49  d  1 d  d   dpcm Vậy n  10 5n  hai số nguyên tố BÀI TỐN ĐƯA VỀ TÌM ƯỚC HOẶC BỘI Câu 40 Tìm ƯCLN 777 , ( 51 chữ số ) 777777 Lời giải Ta có: 45 39 45 39 77   777777.10  777777.10   777777.10  777  777777 10  10   10   777 51 chu sô Suy ra: 77  7 chia cho 777777 dư 777 51 chu sô 45 39 Đặt 77   A ; 777777  B ; 10  10   10  C 51 chu sô Ta có A  B.C  777 hay A  B.C  777 Từ ước chung A B ước 777 Mặt khác 777 ước số A B ( A  777 10 48  10 45   1 B  777.1001 ) Vậy 777 ước chung lớn A, B Câu 41 Tìm hai số tự nhiên a , b biết a  b  128 ƯCLN (a , b )  16 Lời giải Ta có: ƯCLN ( a, b )  16  a  16.m; b  16.n với ƯCLN ( m, n)  HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 15 Ta có : a  b  128  16m  16n  128  m  n  Ta lập bảng m n ƯCLN (m, n) a b 16 112 4 48 80 2 80 48 1 112 16 Vậy (a; b)  (16;112);(112;16);(48;80);(80;16) Câu 42 a) Một số chia cho 11 dư chia cho 12 dư Hỏi số chia 132 dư bao nhiêu? b) Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số cho chia cho 2, 3, 4, 5, ta số dư theo thứ tự 1, 2, 3, 4, c) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 6, chia 12 dư 10, chia 15 dư 13, chia hết cho 23 Lời giải a) Gọi số cần tìm a ta có a-2 chia hết cho 11 nên a-2+33=a+31 chia hết cho 11 có a-5 chia hết cho 12 nên a-5+36=a+31 chia hết cho 12 Do a+31 chia hết cho 11.12 =132 nên a chia 132 dư 31 b) Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số cho chia cho 2, 3, 4, 5, ta số dư theo thứ tự 1, 2, 3, 4, Gọi a số tự nhiên a (a   |100  x  999) Theo ta có a  chia hết cho 2; 3; 4; 5; Nên a   BC 2,3, 4,5, 6 BCNN 2, 3, 4,5, 6  60 a   60;120;180; 240;300; ;960;1020;  (a   /100  x  999) Nên a  59;119; 239; 299;359; 959 Vì số lớn có chữ số nên a  959 c) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 6, chia 12 dư 10, chia 15 dư 13, chia hết cho 23 Gọi số tự nhiên nhỏ a (a  ) Theo ta có a  chia hết cho 8, 12, 15 Nên a   BC 8,12,15 a 23  23 12  22.3 15  3.5  BCNN 8,12,15  23.3.5  120  a   120; 240;360; 480; 600;720;840;  a  118; 238;358; 478;598;718;838;  Mà a 23  a  598 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 598 Câu 43 Tìm số tự nhiên thoả mãn: - Tổng BCNN ƯCLN số 174 HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 16 - Tổng số nhỏ trung bình cộng số 57 Lời giải (a,b) + [a,b] = 174 ; 3a + b = 114  b  ; [a,b]  174   (a,b)   a  Mà 3a + b = 114  3a < 114  a < 38 Ta có bảng sau ( điểm) a 12 15 21 24 27 30 33 36 69 90 51 42 33 24 15 b 105 96 87 (a,b) 783 12 6 [a,b] 105 96 354 90 357 72 297 240 55 36 354 99 360 78 300 246 58 42 78 18 87 Tổng 108 112 786 109 Khơng có a, b thỏa mãn, nên khơng có a, b thỏa mãn tốn Câu 44 Tìm hai số tự nhiên a , b biết: a) BCNN a, b  360 a.b  6480 b) a  b  40 BCNN a, b  ƯCLN a, b Lời giải a) Vì BCNN a, b  360 a.b  6480 nên ƯCLN a, b  6480  18 360 Giả sử a  b VìƯCLN a, b  18 suy a  18m; b  18n m, n  m  n Vì a.b  6480 nên 18m.18n  6480 6480  20 Do mn  182 Ta có bảng liệt kê sau: m n a b 20 18 360 72 90 Vậy a  18, b  360 a  72, b  90 b) Ta đặt ƯCLN a, b  d suy a  dm; b  dn m, n  Giả sử a  b m  n Ta có ab  dm.dn  d mn ab d mn Khi BCNN a, b    d m.n UCLL a, b d Vì BCNN a, b  ƯCLN a, b nên dmn  7d Do mn  Vì m, n  nên m  1, n  Vì a  b  40 nên dm  dn  40 hay d m  n  40  d  Khi a  5.1  5, b  5.7  35 Vậy a  5, b  35 Câu 44 Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện: a  2b  49  a, b    a, b   56 HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 17 Lời giải Gọi (a, b) = d a + 2b = 49  49  d; [a, b] + d = 56  56  d  (56; 49)  d  d  {1; 7} Nếu d =  ab = [a, b]  [a, b] + = 56  [a, b] = 55  ab = 55 a 55 11 b 55 11 55 Thay vào a + 2b = 49 giá trị không thỏa mãn Nếu d =  ab = 7.[a, b]  a = 7a'; b = 7b'; (a', b') =  a'b' = a' = 1; b' =  a = 7; b = 49 (loại) a' = 7; b' =  a = 49; b = (loại) Vậy khơng có hai số a b thỏa mãn điều kiện đề Câu 45.a) Tìm số tự nhiên x biết 351 chia x dư 15 498 chia x dư 18 b) Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5;6 có số dư Lời giải a) Tìm số tự nhiên x biết 351 chia x dư 15 498 chia x dư 18 351 chia x dư 15  336 x x  15 498 chia x dư 18  480 x x  18 Như x  UC  336, 480  x  18 Vì 336  24.3.7 , 480  25.3.5 nên UCLN  336, 480   4.3  48  x U  48  1, 2,3, 4, 6,8,12,16, 24, 48 Mà x  18 nên x  24, 48 b) Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; có số dư   Vì 359** chia cho 5; 6; dư nên: 359**  chia hết cho BCNN  5; 6;  Mà BCNN  5;6;   210 359ab  35700  200  ab  210.170  199  ab ( a , b  N ;  a, b  )  199  ab chia hết cho 210  199  ab  210k k  N   ab  210k  199 Thử giá trị k  N suy k   ab  11 Vậy số cần tìm 35911 Câu 46 a) Tìm hai số tự nhiên a , b biết ƯCLN  a, b  BCNN a, b  21 b) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư , chia cho dư Lời giải a) Ta đặt ƯCLN a, b  d suy a  dm; b  dn m, n  Giả sử a  b m  n Ta có ab  dm.dn  d mn Khi BCNN a, b  ab d mn   d m.n UCLL a, b d Vì ƯCLN a, b  BCNN a, b  21 nên d  dmn  21  d 1  mn   21  d  1;3;7; 21 Với d   mn  21  mn  20 HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 18 Ta có bảng liệt kê sau: m n a b 20 20 5 Với d   mn   mn  Ta có bảng liệt kê sau: m n a b 18 Với d   mn   mn   m  1, n   a  7, b  14 Với d  21  mn   mn  (loại) Vậy a  1, b  20 ; a  4, b  ; a  3, b  18 ; a  6, b  b) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư , chia cho dư Lời giải Gọi số n  n  N  Theo ta có: n  4  n   5  n  95 1 n  2  n     n  9  2 Từ 1   : n  9 BCNN  5,   n  9 35  n  35k   k  N   Tìm số nhỏ nên k =  n  26 Câu 47 Tìm số tự nhiên a biết a chia hết cho 15 , 25 , 18 1000  a  1500 Lời giải  a 15  a  25  a  BC 15, 25,18   a 18  Vì 15  3.5 , 25  52 , 18  2.32 nên BCNN 15, 25,18   2.32.52  450  a  B  450   0, 450,900,1350,1800,  Mà 1000  a  1500  a  1350 Vậy a  1350 Câu 48 Chứng minh rằng: BCNN  n;37n  1  37n2  n với số tự nhiên n lớn Lời giải Với số tự nhiên n, n  Ta có: 37 n  n  37 n.n  n  n.(37 n  1)  n.(37 n  1)  n Áp dụng tính chất chia hết tích, ta   n.(37 n  1)  (37 n  1) n  B( n.(37 n1)) Hay   BCNN n;37 n 1  37 n  n (đpcm) (37 n  1)  B  ( n.(37 n 1)) Câu 49 Tìm hai số tự nhiên a b biết: 2a  3b  108 ; 5.UCLN  a; b   2.BCNN  a; b   174 Lời giải 2a  108 1  a  54 Vì 2a  3b  108    3b  108 1  b  35 HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 19 Mà UCLN  2;3  nên a  3; b Do 5.UCLN  a; b   2.BCNN  a; b   174 số chẵn nên UCLN  a; b  số chẵn  a số chẵn  a  6;12;18; 24;30;36; 42; 48 Ta có bảng sau: a b 16 12 28 18 24 24 20 30 16 36 12 42 48 Vậy a  18;b  24 UCLN  a; b  BCNN  a; b  12 48 84 72 120 240 36 168 48 Thỏa mãn Câu 50 Tìm hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện: a  2b  48  a, b   3 a, b  114 Lời giải a  2b  48  a    144    a    a, b   a    a, b  3  a  2b  48  a  48  a  0;6;12;18; 24;30;36;42; 48 a 12 18 24 30 36 42 48 b 24 21 18 15 12  a, b  24 12 48  a, b  42 36 90 24 90 36 42  a, b    a, b  24 129 114 273 84 114 114 129 48 Vậy a=12;b=18 a=36;b=6 -HẾT - HỆ THỐNG GIÁO DỤC APLUS 0973.514.674 aplusedu.vn Page 20 ... 10 n ? ?1  a  10 n Ta thấy: 50  2 16 34  2 16 (2 )  2 16 512 12 8 10 16  16 16  (5 ) 16 4  62 5 16 (1) ( 2) Từ (1) (2) suy ra: 50  10 16 Mặt khác: 50  215 35  215 (2 )  215 12 8... 0973. 514 .67 4 aplusedu.vn Page 15 Ta có : a  b  12 8  16 m  16 n  12 8  m  n  Ta lập bảng m n ƯCLN (m, n) a b 16 11 2 4 48 80 2 80 48 1 112 16 Vậy (a; b)   ( 16 ;11 2); (11 2 ; 16 );(48;80);(80 ; 16 ) Câu. .. 0 ;6 ;12 ;18 ; 24;30; 36; 42; 48 a 12 18 24 30 36 42 48 b 24 21 18 15 12  a, b  24 12 48  a, b  42 36 90 24 90 36 42  a, b    a, b  24 12 9 11 4 273 84 11 4 11 4 12 9 48 Vậy a =12 ;b =18 a= 36; b=6