Đáp án bài tập về hình học không gian môn toán lớp 12 của thầy Lê Anh Tuấn | Toán học, Đề thi đại học - Ôn Luyện

Trong bài tập có những bài về góc giữa hai mặt bên, các em nhớ rằng góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b (với a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng) cùng [r]

(1)

HAI NÉT VẼ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN GÓC ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

GIÁO VIÊN: LÊ ANH TUẤN

1 Trong tập có góc hai mặt bên, em nhớ góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng a b (với a b nằm hai mặt phẳng) vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng điểm

2 TRONG LỜI GIẢI CĨ TRÌNH BÀY: PHƯƠNG PHÁP THAM KHẢO (BÀI GIẢNG KHƠNG ĐỀ CẬP VÌ PHƯƠNG PHÁP NÀY KHÔNG THUẬN LỢI LẮM CHO THI TRẮC NGHIỆM – PHÙ HỢP CHO MỘT VÀI BẠN KHÔNG NẮM VỮNG HÌNH KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN) Phương pháp tọa độ khơng gian

a) Phương trình mặt phẳng MNP qua ba điểmM x M;yM;zM, N x y z N; N; N, P x y z P; P; P :

+ Mặt phẳng MNP qua điểm M x M;yM;zM có vectơ pháp tuyến nMN MP,  A B C; ; 

                             có

dạng: A x x  MB y y  MC z z  M 0 Ax By Cz D   

+ Khoảng cách từ điểm I x y z I; ;I I đến mặt phẳng MNP:

 

 ,  AxI 2ByI 2CzI 2 D

IH d I MNP

A B C

  

 

 

Cơng thức tính nhanh:

 

 ,  ,

, MN MP MI d I MNP

MN MP                                                     

b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo AB CD là:

 ,  ,

, AB CD AC d AB CD

AB CD              

c) Góc hai đường thẳng AB CD theo công thức:

  cos , AB CD AB CD AB CD     

d) Góc hai mặt phẳng ABC MNP: ABC có vectơ pháp tuyến n1AB AC, 

                                         

, MNP có vectơ pháp tuyến n2 MN MP,                                           

, đó:

   

  2 2

2 2 2

1 1 2

cos ,

n n A A B B C C

ABC MNP

n n A B C A B C

                                         

ABC , MNP  ?

 

e) Góc đường thẳng AB mặt phẳng MNP:

Tính uAB   

MNP có vectơ pháp tuyến nMN MP,                                   sin , u n AB MNP u n       

 ,AB MNP  ?

(2)

Câu 1: [2H1-2]Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB a , SA a 3 Gọi G trọng tâm tam

giác SCD Góc đường thẳng BG mặt phẳng ABCD

A.

85 arctan

17 . B.

10 arctan

17 . C.

85 arcsin

17 . D.

85 arccos

17 .

Lời giải Chọn A.

Gọi M trung điểm CD, kẻ GK song song với SO cắt OM K , suy K hình chiếu G mặt

phẳng ABCD , suy BG ABCD,  GBK

Ta có

2 a AO 

,

10 a SO 

,

1 10

3

a GK  SO

,

3 OK  OM

nên a OK 

Dùng định lý cosin ta có

34 a BK 

 

  

tan BG ABCD, tanGBK

85 17 GK BK

 

Câu 2: [2H1-3]Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB a , SA a 3 Gọi G trọng tâm tam

giác SCD Góc đường thẳng BG đường thẳng SA

A.

330 arccos

110 . B.

33 arccos

11 . C.

3 arccos

11 . D.

33 arccos

22 .

Lời giải Chọn B.

Gọi M trung điểm CD Gọi E BD AM , suy GE SA Suy // BG SA,  BG GE, .

Vì ,G E trọng tâm tam giác SCD ACD nên

1

3

a GE SA

Kẻ GK song song với SO cắt OM K ,

suy K hình chiếu Gtrên mp ABCD 

Ta có

2 a AO 

,

10 a SO 

,

1 10

3

a GK  SO

,

2 a BE 

Vì

2 OK  OM

nên a OK 

Dùng định lí cosin ta có

34 11

6

a a

BK   BG

(3)

Xét BEG , có

2 a BE 

,

3 a GE 

,

11 a BG 

,

suy

 2 33

cos

2 11

BG GE BE

BGE

BG GE

 

 

Câu 3: [2H1-3]Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, SA a 3 Gọi M trung

điểm cạnh BC Góc hai mặt phẳng SDM SBC

A.

2 11 arctan

110 . B.

110 arctan

11 . C.

2 110 arctan

33 . D.

2 110 arctan

11 .

Lời giải Chọn D.

Gọi O tâm hình vng ABCD, gọi EACDM , suy E trọng tâm tam giác BCD.

Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng SBC, I thuộc đường thẳng SM , suy hình

chiếu H E lên mặt phẳng SBC nằm đoạn thẳng CI

2 CH

CI  .

Kẻ HK SM K HK CM// , SDM , SBC HK EK, .

Ta có

2 10

2 a SO SA  OA 

, 2

2 110

3 33

SO OM a

EH OI

SO OM

  

 .

1

3

a HK  CM 

Suy tanSDM , SBCtanHK EK, 

 110

tan

11 HKE

 

Câu 4: [2H1-3]Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc, góc OCB   ,  30 ABO  60

(4)

A.

93 arctan

6 B.

31 arctan

3 C.

93 arctan

3 D.

31 arctan

2

Lời giải Chọn C.

Phương pháp dụng hình

Gọi H hình chiếu M lên mp OBC  Vì AM 2BM nên OH 2HB.

Suy OA CM,  MH CM,  CMH

Đặt OB x , ta có OA x 3, OCx 3,

2 6 2 6

OA OC  x AC  a  x a

Ta có

1

3

a MH  OA

,

2 31

3 a HC OC OH 

Suy

 93

tan

3 HC CMH

HM

 

Câu 5: [2H1-3]Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC

và mặt phẳng OBC 60, OB a , OC a 2 Gọi M trung điểm cạnh OB Góc

giữa hai mặt phẳng AMC ABC

A.

3 arcsin

35 B.

32 arcsin

35 C.

1 arcsin

35 D.

34 arcsin

35

Ta có góc AC mặt phẳng OBC 60 Suy OA OC tan 60 a 6.

2

2 a AM  OA OM 

2

2 a CM  OC OM 

2

AC OC OA  a Suy ra: 14

2

ACM

a S 

(Dùng công thức Hê-rông)

1

6

A OCM

a V  OA OC OM 

Suy

 

 ,   , 

14

O ACM ACM

V

d O ACM a d B ACM

S

  

(5)

Kẻ OI vng góc với AC I , suy BI vng góc với AC và

 , 

2 OA OC a d O AC OI

AC

  

Tam giác OIB vuông O có

6 a OI 

, OB a

10 a BI

 

   

   , 

sin ,

35 d B ACM

ACM ABC

BI

 

Câu 6: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt

phẳng ABCD , SA2a Gọi F trung điểm SC , tính góc  hai đường thẳng BF và AC

A. 60 B. 90 C. 30 D. 45

C1: Phương pháp dựng hình

Gọi OACBD, OF SA//  OF ABCD OF AC.

Lại có ACBD nên ACBDF ACBF Vậy AC BF    90 .

C2: Phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A0;0;0 , B a ;0;0, C a a ; ;0, S0;0; 2a

Suy

; ; 2 a a F a

  , 2; ; a a BF   a

 



, ACa a; ;0



Vậy BF AC  0 BF AC BF AC,  90  

                         

Câu 7: [2H1-3]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA vng góc

với mặt phẳng đáy SA2a Gọi M trung điểm SC Tính cơsin góc  giữa

(6)

A.

21 cos

7  

B.

5 cos

10  

C.

7 cos

14  

D.

5 cos

7  

Gọi H trung điểm AC MH SA//  MH ABC Vậy hình chiếu BM lên mặt phẳng ABC BH

Suy BM ABC,  BM BH,  MBH Ta có MH a,

3 a BH 

, SB SC a  5.

Tam giác MHB vuông H nên

2

2 a BM  BH MH 

,

 21

cos

7 BH MBH

BM

 

Gọi H trung điểm AC MH SA//  MH ABC

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi H0;0;0, 0;0;a ,

3 ;0;0 a

B 

 

3 ;0; a

BM  a

  

 

 



, HM 0;0;a 

Giả sử góc BM mp ABC   ta có

2 7 21

sin cos

7

BM HM

   

                           

 

Câu 8: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng

góc với mặt phẳng đáy SA a Tính góc  hai mặt phẳng SBC SDC.

A. 90 B. 60 C. 30 D. 45

(7)

Ta chứng minh BCSAB  BCSB CDSAD  CDSD. Kẻ BH SC  1 Ta có BDSAC  SCBD  2

Từ    1 ,  SC BHD  SC DH Vậy SBC , SDC BH DH, .

Tam giác SBC vuông B , đường cao BH nên ta có 2 2

1 1

2 BH SB BC  a

6 a

BH DH

  

Áp dụng định lí cơsin vào tam giác BHD ta có

 2

cos

2

BH DH BD

BHD

BH DH

 

 

Vậy     

 

cos , cos ,

2

SBC SDC  BH DH  SBC , SDC 60

  

C2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ

Khi A0;0;0 , B a ;0;0, C a a ; ;0, D0; ;0a , S0;0;a

Suy SBa;0; a



, SCa a; ; a



, SD0; ;a a  

Mặt phẳng SBC có vectơ pháp tuyến  

2

, ;0;

nSB SC  a a

 

                            

Mặt phẳng SDC có vectơ pháp tuyến  

2

, 0; ;

k      SD SC   a  a  

             

Vậy

   

 

cos ,

2 n k SBC SDC

n k

 

   

   

SBC , SDC  60

  

Câu 9: [2H1-3]Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB a Hai mặt

phẳng SAB SAC vng góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng

SBC a22 Tính góc  tạo hai đường thẳng SB AC.

A. 45 B. 90 C. 30 D. 60

(8)

Chọn D.

Hai mặt phẳng SAB SAC cắt theo giao tuyến SA vng góc với

 

mp ABCD nên SAABCD

Dựng AK SB Ta có BCAB, BCSA BCSAC

BC AK

  Vậy AK SBC, từ suy

2 a AK 

Tam giác SAB vuông A , đường cao AK nên ta có 2 2 2

1 1 1

SA AK  AB a  a a SA a

 

Dựng hình bình hành ACBD hình vẽ, AC BD//  AC SB,  BD SB,  Tính SD a 2, SB a 2, BD a 2 nên tam giác SBD đều.

Vậy AC SB,  SBD 60

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Bz SA Khi theo cách ta có:// 0;0;0

B , A a ;0;0, C0; ;0a , S a ;0;a , suy BSa;0;a

, AC  a a; ;0



Vậy

 

cos ,

2

BS AC AC SB

BS AC

 

   

AC SB,  60

  

Câu 10: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng SAB

và SAD vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khơi chóp S ABCD

3 a

Tính

góc  đường thẳng SB mặt phẳng SCD

A. 45 B. 60 C. 30 D. 90

Lời giải Chọn C.

(9)

Hai mặt phẳng SAB SAD cắt theo giao tuyến SA vng góc với

 

mp ABCD nên SAABCD Do

S ABCD

ABCD

V

SA a

S

 

Tam giác SAD vuông A nên SD SA2AD2 a 2. Ta có CDAD, CDSA CDSAD  CDSD.

Vậy diện tích tam giác SCD là:

2

1

2

SCD

a

S  SC CD

Gọi I hình chiếu B lên mặt phẳng SCD, SB SCD, SB SI,  BSI

Mặt khác

3

2

B SCD S ABCD

SCD SCD

V V a

BI

S S

  

Tam giác SAB vuông A nên SB SA2AB2 a

Tam giác SIB vuông I nên



sin

2 BI BSI

SB

  

30 BSI

  

Vậy  ,SB SCD    30

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi theo cách ta tính SA a , nên 0;0;0

A , D a ;0;0, B0; ;0a , C a a ; ;0, S0;0;a

Suy SDa;0; a



, SCa a a; ; 



, SB0; ;a a 



Mặt phẳng SCD có vectơ pháp tuyến   2

, ; ;2

nSD SC  a a a 

                           

Vậy

 

 

sin ,

2

n SB SB SCD

n SB

 

  

 

 

 ,SB SCD  30

  

Câu 11: [2H1-3]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hai mặt phẳng SAB

SAC

vng góc với mặt phẳng đáy SA a Tính cơsin góc  hai mặt

(10)

A.

1 cos

5  

B.

5 cos

7  

C.

7 cos

7  

D.

1 cos

3  

Hai mặt phẳng SAB SAC cắt theo giao tuyến SA vng góc với  

mp ABC nên SAABC.

Gọi M trung điểm AB , tam giác ABC nên CM AB.

Lại có SAABC  SA CM suy CM SAB  CM SB. Dựng CI SB SBCMI  SBIM.

Vậy IM SB, CI SB  SAB , SBCMI CI, .

Hai tam giác SAB MIB đồng dạng nên

SA SB MI MB

MB SA MI

SB

  2 2 43

2

AB SA a

SA AB

 

 .

Tam giác CMB vuông M nên

2

2 a CM  CB  MB 

Tam giác IMB vuông I nên

2

4 a IB MB  IM 

Tam giác CIB vuông I nên

2 15

4 a CI  CB  IB 

Áp dụng định lí cơsin cho tam giác IMC ta có:

 2

cos

2 IM

CI IM CM

CIM

CI

 

  cos

5 

 

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ M trung điểm BC, Oz SA//

Khi M0;0;0,

3 ;0;0 a

A 

 , 0; ;02 a B 

 ,

3

;0;

a

S a 

 .

Suy SA0;0; a 3



,

3

; ;

2

a a

SB   a 

 

 



,

3

;0;

a

MS a 

 

 



,

0; ;0 a MB 

 



(11)

Mặt phẳng SAB có vectơ pháp tuyến

2 3 3

, ; ;0

2

a a

nSA SB  

   

 

  

Mặt phẳng SBC có vectơ pháp tuyến

2 3 3

, ;0;

2

a a

k MS MB  

   

 

                            

Vậy

   

 

cos ,

5

n k SAB SBC

n k

 

   

Câu 12: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA a , SB a 3 và

mặt phẳng SAB vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M N trung điểm cạnh, ,

AB BC Tính cơsin góc đường thẳng SM DN

A.

5

5 B.

5

4 C.

5 a

D.

5 a

Gọi E trung điểm AD , F trung điểm AE

Ta có MF BE ND// //  SM DN,  SM MF, 

Ta có

2 2

2

SB SA AB

SM    a

SM SA

   SH MA, với H trung điểm MA

 

SH ABCD

  .

2 5

BE AB AE a

5 a MF

 

;

1

4

a HF  BD

;

2

2 a SH  SA  HA 

2

2 a SF  SH HF 

( SHF vuông H ).

Định lí cơsin SMF:SF2 SM2MF2 2SM MF .cosSMF



2

5 5

2 cos

4

a a a

a a SMF

    cos

5 SMF

  cos , 

5 SM MF

 

(12)

C2: Phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục có gốc H , trục hồnh HB , trục tung HK , trục cao HS

2

2 a SH  SA  HA 

;0;0 a M  

  ,

3 0;0;

2 a S 

 , 2; ;0 a

D a    ,

3 ; ;0

a N a 

 

Vậy

 

cos ,

5

SM DN SM DN

SM DN

 

                           



Câu 13: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SBC

vuông S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy ABCD, đường thẳng SD tạo

với mặt phẳng SBC góc 60 Tính góc SBD ABCD

A.2



B.



C.



D.



Từ S dựng SH BC, suy SH ABCD Từ H dựng HI AC I// , BD, suy HI BD. Góc SBD ABCD SIH

Ta có  

DC BC

DC SBC

DC SH

 

 

 

  SD SBC,  DSC 60 DCSC.

tan 60 CD

SC a

  



3 SB SC a SH

BC

  

SH IH

   SHI vuông cân H

Vậy 

(13)

Từ S dựng SH BC, suy SH ABCD Từ H dựng HI AC I// , BDsuy HI BD. Góc SBD ABCD SIH

Chọn hệ trục tọa độ có gốc H , trục hồnh HB , trục tung Hy song song với CD , trục cao là HS

Ta có  

DC BC DC SBC DC SH      

  SD SBC,  DSC 60 DCSC.

tan 60 CD SC a     SB SC a SH

BC

   2

3 a

BH SB SH

   

0;0;0 H , 0;0; a S 

   , ;0;0 a B 

  ,

; 3;0

a

D a 

  (vì

a HC BC BH  

)

Ta có  

2 2

, 2; 2;

SB SD a a a

                                  

1 1;1; n

  

vectơ pháp tuyến SBD

 2

, 0;0;

HB HD a

         0;0;1 n   

vectơ pháp tuyến ABCD

   

 

cos SBD , ABCD

 cosn n1, 2                          

 

1 2 n n n n                                 Vậy  SIH 

Câu 14: [2H1-3]Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có cạnh bên 2a, góc tạo A B mặt

đáy 60 Gọi M trung điểm BC Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng A C và AM

A.

2

4 . B.

3

2 . C.

3

6 . D.

3 .

(14)

3

a

AM  a

(trung tuyến tam giác đều)

Khi

 

2 3

cos ,

4 4

a A C AM

a a

  

Gọi N trung điểm B C  A N AM //  A C AM ,  A C A N ,  .

Suy  

   

cos A C AM , cos A C AN , cosCA N

Xét tam giác A NC có

 2

cos

2

A C A N CN

CA N

A C A N      

  .

Ta có A N AM a,

4 a A C 

,

2

2 2 13

3 a CN CC CN 

Vậy



cos

4

CA N  cos ,  A C AM

 

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi M0;0;0, A0; ;0a ,

;0;0 a C 

  , A0; ;2a a.

Ta có

; ; a

A C   a a

 

 4 a A C

 

, AM 0; ;0a  AM a 

Vậy

 

cos ,

4

A C AM A C AM

A C AM 

  

                            

 

Câu 15: [2H1-3]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    với đáy ABClà tam giác vng C có

8

AB cm, BAC   , diện tích tam giác A CC60   10cm Tính tang góc tạo hai mặt2

phẳng C AB  ABC

A.

5

6 . B.

5

2 . C.

3

6 . D.

3 .

(15)

Chọn A.

Ta có ABABC  C AB  Kẻ CH AB Ta chứng minh ABC CH .

Ta có

   

C H C AB C HC

C H C AB ABC

     

 

    



Nên C AB  , ABCC H CH ,  C HC

Trong ABC có

  

cosCAB AC AC cm AB

  

Trong AHC có CH AC.sin 60 2 3cm.

Có  

1

2

A C C

S    C A C C    C C  cm

Trong C CH có



tan

6 CC CHC

CH 

  

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi C0;0;0, A0; 4;0, B4 3;0;0, C0;0;5 Ta có ABC  Oxy ABC: z 0

Lại có C A 0; 4; 5 



, C B 4 3;0; 5 



 

, 20; 20 3; 16 C A C B

   

                    

Suy C AB  có VTPT n 5;5 3; 3 

ABC có VTPT n 0;0;1



Khi

   

 

cos ,

37

n n C AB ABC

n n 

  

                              

Áp dụng công thức     

2

1

1 tan tan ,

cos C AB ABC



 

   

(16)

Câu 16: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC A B C    có mặt đáy tam giác cạnh AB2a Hình chiếu

vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc giữa

cạnh bên mặt đáy 60 Góc đường thẳng A C ABC

A.4



B.



C.



D.

1 arcsin

4

Ta có A H ABC nên CH hình chiếu vng góc A C lên ABC

Khi A C ABC ,  A C CH ,  A CH

Xét tam giác A CH vng H ta có 

tanA CH A H CH



  

Vậy     ,

4 A C ABC 

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho H0;0;0, B a ;0;0, A a ;0;0, C0;a 3;0,

0;0; 3

A a

Mặt phẳng ABC z : có vectơ pháp tuyến k 0;0;1 

Vectơ phương đường thẳng A C uA C a  0; 3; 3 

 

Khi

 

 

sin ,

2

u k A C ABC

u k

  

   

Vậy     ,

4 A C ABC 

vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc giữa

(17)

A

1 arctan

4 B arctan C arctan D arctan Lời giải

Chọn B.

Gọi E điểm đối xứng với H qua điểm B , ta có: //

A H B E  B E ABC  B E A H a 3.

Kẻ EK BC, EF B K Ta có BCB EK   BC B K .

Khi BCC B  , ABC B K EK ,  B KE

Xét tam giác KEB vuông K KBE   , ta có 60

3 sin 60

2 a

EK BE  

Xét tam giác B EK vng E , ta có



tan

3 B E a B KE

EK a 

   

Vậy BCC B  , ABC arctan

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho H0;0;0, B a ;0;0, A a ;0;0, C0;a 3;0,

0;0; 3

A a

Mặt phẳng BCB có vectơ pháp tuyến  

, 3;1;

nBC BB a 

 

                            

Khi

   

 

cos ,

5

n k BCC B ABC

n k

   

   

   

 

tan BCC B  , ABC

 

(18)

vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết

3

AA  a Góc hai mặt phẳng ABB A  ABC là

A

2 arccos

3 B

1 arccos

3 C

3 arccos

5 D

6 arccos

12

Tính AI a 3,

2

3

a AG AI 

Kẻ GEAB, ta có ABA E .

3 a EG 

,

2 69

3 a A G  A A  AG 

Vậy ABB A  , ABC A E EG , A EG

Xét tam giác A EG vuông G ta 

tanA EG A G 23 EG



   cos

12 A EG

 

Vậy    

 , arccos

12 ABB A  ABC 

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho I0;0;0, A0;a 3;0 , C a ;0;0, Ba;0;0,

0; ;0 a G 

 ,

3 69

0; ;

3

a a

A 

 .

Mặt phẳng ABB A  có vectơ pháp tuyến

2 69

, 23; ;

3

nAB AA a  

 

                            

(19)

Khi

   

 

cos ,

12

n k ABB A ABC

n k

   

   

Vậy    

 , arccos

12 ABB A  ABC 

Đáp án bài tập về hình học không gian môn toán lớp 12 của thầy Lê Anh Tuấn | Toán học, Đề thi đại học - Ôn Luyện

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan