Các câu hỏi phụ trong bài toán khảo sát P2

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 52 0 0 1 2 1 2 . 2 2 x x      = hằng số 3) Tìm trên mỗi nhánh của (C) 1 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất: Gọi 1 (2 ,5 )A a a a    ( a > 0) và 1 (2 ,5 )B b b b    (b > 0) là hai điểm thuộc 2 nhánh của (C). Ta có: 2 2 2 1 1 ( ) ( )AB b a b a b a       2 2 2 2 2 1 2 1 4 ( ) ( ) 1 4 4 1 8 8 4 4 8 8 8 2 8 . 8 8 2 b a b a ab ab ab ab ab ab a b ab ab ab ab                                khi: 2 2 4 4 4 2 2(1 2) min( ) 2 2(1 2) 4 1 8 2 1 1 2 2 AB AB a b a b ab a b ab a b a b                           Vậy: 4 4 4 1 1 2 ,5 2 2 2 A          4 4 4 1 1 2 ,5 2 2 2 B          Câu 41: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số: 2 x y (C) x 1    TXĐ: D = R\{1} 2 2 x 2x y' (x 1) x 0 y' 0 x 2            Tiệm cận đứng: x = 1 vì 1 lim y x   Ta có: 1 y x 1 x 1      Tiệm cận xiên: y = x + 1 vì 1 lim 0 x 1 x   Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 53  BBT:  Đồ thò: 2) Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 45 0 . - Gọi M(a, 4)  đường thẳng y = 4, ta có đường thẳng y = 4 là tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) và song song Ox  tiếp tuyến thứ hai tạo với Ox 1 góc bằng ± 45 0  Hệ số góc tiếp tuyến tại M 0 (x 0 , y 0 )  (C) là f’(x 0 ) = ± 1 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 x 2x f'(x ) 1 =1 (vô nghiệm) (x 1) x 2x f'(x ) 1 = 1 (x 1) 2 x 1 2 2x 4 x 1 0 2 x 1 2 3 2 y 2 2 3 2 y 2 2                                    Phương trình tiếp tuyến tại M 0 là: Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 54 0 0 1 2 y (x x ) y y x 3 2 2 (d ) y x 3 2 2 (d )                  (d 1 ) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        (d 2 ) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        Vậy có 2 điểm M thỏa điều kiện của bài toán. 1 2 M ( 1 2 2,4); M ( 1 2 2,4)    Câu42: 1) Khảo sát hàm số: y= 3 3x x (1) TXĐ: D = R y’= 2 3 3x  1 1 y'=0 x x     y”=6x y”=0  x=0 =>y=0 => điểm uốn O(0, 0) BBT: Đồ thò: 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x + 1) + 2 luôn cắt đồ thò (1) tại 1 điểm cố đònh A: * Đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn đi qua điểm cố đònh A(-1, 2). Thay A(-1, 2) vào (1) thoả =>A  đồ thò (1). Vậy: (d) luôn cắt đồ thò (1) tại điểm cố đònh A(-1, 2). Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 55 Đònh m để (d) cắt đồ thò (1) tại 3 điểm A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 3 3x x = m(x + 1) + 2  (x+1)( 2 x - x – 2 - m) = 0 (d) cắt (1) tại 3 điểm phân biệt. 1 2 2 0 (2) x x x m             (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1.  0 ( 1) 0g       1 4 (2 ) 0 0 m m      9 4 0 m m         Khi đó (2) có 2 nghiệm B x , C x => hệ số tiếp tuyến tại B và C là: f’( B x ), f’( C x ) Tiếp tuyến tại B và C vuông góc nhau  f’( B x ).f’( C x ) = -1  (3 2 B x -3)(3 2 C x - 3) = -1  9 2 B x 2 C x - 9( 2 B x + 2 C x ) + 9 = -1  9 2 P -9( 2 S - 2P) +10 = 0 Mà: 1 2 b S a P m            => 9 2 ( 2 )m  - 9(1 + 4 + 2m) +10 = 0 => 9 2 m +18m – 9 = 0 => 2 m +2m-1=0 1 2 1 2 m m         (loại) So với điều kiện: m > - 9 4 và m  -1+ 2 . Câu43: Cho hàm số: y= 2 2 2 2 x x m x    1) Tìm giá trò của m sao cho y  2 với mọi x  -2 Ta có: y  2  y  -2  y  2  2 2 maxy 2 min 2 x x y        Mà: y’= 2 2 2 4 4 ( 2) x x m x     y’= 0 2 2 4 4 0x x m      ( 0) 1 2 2 2 m x m x m       Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 56 ( 0) '( ) 1 2 2 Ð '( ) 1 '( ) 2 2 2 '( ) 2 m u x y m C v x u x y m CT v x                Ta có: max 2 2 min 2 2 y x y x         2 2 2 2 2 2 m m           0 2 2 m m m         2 2m m     Vậy: 2, 2 2 2y x khi m m        2) Khảo sát hàm số với m = 1: 2 2 1 1 2 2 x x y x x x         TXĐ: D = R\{-2} 2 2 4 3 ' ( 2) x x y x     ' 0 3 1 y x x         Tiệm cận đứng: x = -2 vì 2 lim x y     Tiệm cận xiên: y = x vì 1 lim 0 2 x x     BBT:  Đồ thò: Cho x=0, y = 1 2 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 57 Câu 44: Cho hàm số: y = 2 8 8( ) x x x m   (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (1) với m = 1: y= 2 8 8( 1) x x x    TXĐ: D = R\{-1} y’= 2 2 8 16 64 64( 1) x x x    = 2 2 2 8 8( 1) x x x    y’= 0 4 2 x x        Tiệm cận đứng: x = -1 vì 1 lim x y     Ta có: y= 1 8 x - 9 8 + 9 8( 1)x   Tiệm cận xiên: y= 1 8 x- 9 8 vì 9 lim 0 8( 1) x x     BBT:  Đồ thò: Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 58 2) Tìm m sao cho hàm số (1) đồng biến trên [1,  ) Ta có: 2 8 (1) 8( ) x x y x m    D = R\{-m} 2 2 8 16 64 2 8 ' 2 2 64( ) 8( ) x mx m x mx m y x m x m         Hàm số (1) đồng biến trên [1,  ) ' 0, [1; )y x     2 2 8 0, [1; )x mx m x        2 ' 0 8 0 1 0 1 1 m m m m m                  Hay  ' 0 1 ' 0 '(1) 0 0 1 6 1 2 1 0 2 af m x x S                        ĐS: 1 1 6 m   Câu 45: 1) Khảo sát hàm số : 2 ( 1) ( 2)y x x   (C) 3 3 2y x x   Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 59  TXĐ: D = R 2 ' 3 3y x  y’=0 1 1 x x       y”=6x y”= 0  x= 0  x = 0  y=  2  điểm uốn I(0, -2)  BBT:  Đồ thò: Cho x =  2 , y =  4 x = 2, y = 0 2) Xác đònh k để đường thẳng (  ) qua M(2, 0) và có hệ số góc k cắt đồ thò hàm số sau tại 4 điểm phân biệt: 3 3 2 1 y x x   ( 1 C ) Ta có:   1 y f x Đây là hàm số chẵn nên đồ thò ( 1 C ) nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thò ( 1 C ) suy từ ( C) như sau: Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 60 - Phần của (C) bên phải Oy giữ nguyên, bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua Oy. Xét đưòng thẳng ( ) 1 d qua 2 điểm M(2, 0) và I(0, -2)  Hệ số góc 2 1 1 2 M I M I y y k x x      Xét đường thẳng 2 ( )d qua 2 điểm M(2, 0) và A(-1, -4):  Hệ số góc 2 4 3 M A M A y y k x x     Nếu ( ) qua M và nằm giữa ( ) 1 d và 2 ( )d thì ( ) cắt 1 ( )C tại 4 điểm phân biệt. 4 1 3 k   Câu 46: 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số : 3 1 3 x y x    (1)  TXĐ: D = R \{3} 2 10 ' 0 ( 3) y x      Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh .  Tiệm cận đứng : x = 3 vì 3 lim x y     TCN: y = 3 vì lim 3 x y    BBT: Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý http://book.key.to 61  Điểm đặc biệt: 2) Tìm hàm số mà đồ thò của nó đối xứng của (C) qua đường thẳng x + y – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C)  I(3, 3) Gọi () : x + y –3 = 0 Ta có: I và O đối xứng qua (). Đổi trục bằng tònh tiến theo vectơ (3,3)OI   3 3 x X y Y         Thay vào phương trình của (C): 3 10 10 3 X Y Y X X      Ta có: TCĐ của (C) đối xứng qua ( ) là trục Ox. TCN của (C) đối xứng qua () là trục Oy.  Hai Đường tiệm cận của (C 1 ) đôi xứng của (C) qua () là 2 trục Ox, Oy nên phương trình của (C 1 ) là : 10 y x  3) C(a,b) là 1 điểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến tại C cắt 2 đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và diện tích IAB không đổi. Ta có đối với hệ trục mới: ' 2 10 10 Y= (C) Y = - X X  [...]... (dvdt ) 12 4 6 Câu 56: 2 x 2  3 x  m 2 x1 Cho hàm số : y   1  2   a) Với giá trò nào của m thì hàm số nghòch biến trong khoảng   ,    Ta có : y'  4 x 2  4 x  3  2m (2 x  1) 2  1  2    1  2   Hàm số nghòch biến trong :   ,     y'  0,  x    ,     1    4 x 2  4 x  3  2m  0,  x    ,     2    '  0  4  4(3  2m)  0  m  1 b) Khảo sát hàm số... 1 2 Câu 52: x2  x 1 1  x 2  1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số : y  x1 x 1  TXĐ : D = R\ 1 http://book.key.to 71 Cï §øc Hoµ y'  Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý x2  2 x (x  1)2 x  0 y'  0   x  2  Tiệm cận đứng : x = 1 vì lim y   x 1 1 0 x  x  1  Tiệm cận xiên : y = x + 2 vì lim  BBT:  Đồ Thò: 2) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên (C) tới hai... xứng là B(1, 0) 3) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ứng với m = 1: http://book.key.to 78 Cï §øc Hoµ y = x3 – 3x2 + 2 Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý (C) - TXĐ : D = R y'  3x 2  6 x x  0 y'  0   x  2 y''  6 x  6 y''  0  x  1  y  0  điểm uốn (1, 0) -BBT - Đồ thò : Cho x = –1 , y = –2 x=3,y=2 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn và chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của...  x3   x    4 2  0 0 1  S  (đvdt) 4 3 2 Câu 58: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 1 y = x3 – 3x2 + 2 - TXĐ: D = R y'  3x 2  6 x x  0 y'  0   x  2 y''  6 x  6 y''  0  x  1  y  0  điểm uốn (1, 0) - BBT: - Đồ Thò: 2) Tìm m để đồ thò hàm số đã cho có điểm CĐ và điểm CT đồng thời các điểm CĐ và điểm CT nằm về 2 phía đối với trục... (x 2)  5 5 6  y  x 2 5 y Câu 60: Cho hàm số: y  x 2  3x 2  m2 x  m 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ứng với m = 0 y  x3  3x 2  TXD: D = R y’ = 3x2- 6x x  0 y'  0   x  2 y’’= 6x – 6 y’’= 0  x = 1 y = -2  điểm uốn I(1, -2)  BBT:  Đồ thò: http://book.key.to 83 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm CĐ và CT đối xứng nhau... m  2  1  5  2 2  m  0 m  0   m0  2 m  m  0  m  0  m  1  So với điều kiện:  3  m  3 nhận m = 0 ĐS: m = 0 Câu 61: 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số: y  x2  x 1 x1 (C)  TXD: D = R\{1} y'   x 2  2 x 2 (x  1) 2  0,  x  1  Hàm số giảm trong từng khoảng xác đònh  Tiệm cận đứng: x = 1 vì lim y   x1 Chia tử cho mẫu: y   x  1 x 1  Tiệm cận xiên: 1 x x  1 Ta... m+1=0  m= -1 Câu 62: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số: y x2 (C) x 1  TXĐ: D = R\{1} http://book.key.to 86 Cï §øc Hoµ y'  Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý x2  2 x (x 1)2 x  0 y'  0   x  2  Tiệm cận đứng: x = 1 vì lim y   x1 Ta có: y  x  1  1 x 1  Tiệm cận xiên: y = x + 1 vì lim x 1 0 x 1  BBT:  Đồ thò: 2) Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ... x  1  6 x 3  6 x 2  12 x  4 x 3  3x 2  1  0  (x  1)(4 x 2  x  1)  0  x  1  y  12  2 (vô 4 x  x  1  0 nghiệm) Vậy toạ độ tiếp điểm M là: M(-1, 12) Câu 54: Cho hàm số: y  x 2  (m  2) x  m  1 x 1 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 2: y x2  3 4  x1 x 1 x 1 (C )  TXĐ: D = R\-1 y'  x 2  2 x 3 (x  1)2 x  1 y'  0    x  3  Tiệm cận đứng: x = –1 vì lim...    x1   2 8   y  5 x  3  5(m  10)  3  5m  26 1  1 8 8  A và B đối xứng nhau qua (d)  I  (d) m  10 5(5m  26)  9 0 8 8 68 34  26m  68  0  m   26 13 34 Vậy : m  13  Câu 55: 1) Khảo sát hàm số: y = x3 – 2x2 + x  TXĐ : D = R http://book.key.to (C) 75 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý y'  3 x 2  4 x  1 x  1 y'  0   x  1 3  y''  6 x  4 y''  0 ... 4  4b 2  m  0  (b , 0)  (C ) m  4b 2  b 4 Thay vào (1) b 4 4b 2    4b 2  b 4  0 5 3 8b 2 4b 4 10    0  b2  3 5 3 Vậy m   (2) m 40 100 20   3 9 9 20 9 CÂU 48: 1 3 Cho hàm số : y  x3  mx 2  x  m  1 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ứng với m = 0 y 1 3 x  x  1 (C ) 3  TXĐ : D = R y '  x2  1  x  1 y'  0   x  1 y ''  2 x y ''  0  x  0  y  1 điểm uốn I(0, 1)  .      Vậy có 2 điểm M thỏa điều kiện của bài toán. 1 2 M ( 1 2 2,4); M ( 1 2 2,4)    Câu4 2: 1) Khảo sát hàm số: y= 3 3x x (1) TXĐ: D = R y’= 2. 2 2 2 A          4 4 4 1 1 2 ,5 2 2 2 B          Câu 41: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số: 2 x y (C) x 1    TXĐ: D =