www.khoabang.com.vn Luyệnthi trên mạng _____________________________________________________ __________ Câu I. 1) Cho hàm số y= 4+mx-3x 4x + m 2 . Với nhỷọng giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độx=0vuông góc với tiệm cận ? 2) Tìm tất cả các giá trị h sao cho phỷơng trình X 4 +hx 3 +x 2 +hx+1=0 có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau. Câu II. 1) Xác định a để phỷơng trình sau có nghiệm. sin cos 66 xx+ = a | sin2x| . 2) Tìm những điểm cực đại của hàm số y= 3 sinx + cosx + 2x + 3 2 . Câu III. 1) Giải bất phỷơng trình (x-3) x-4 2 Ê x 2 -9. 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= x-2 + 4-x . Sỷó dụng kết quả đã tìm đỷợc để giải phỷơng trình x-2 + 4-x = x 2 -6x+11. www.khoabang.com.vn Luyệnthi trên mạng ___________________________________________________________________ Câu I. 1) 22 2 12x 6mx m 16 y' (4x m) + = + ; 2 2 m16 y'(0) (m 0) m = . Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận đứng thì y' (0) = 0 2 m160 = m = 4. Tiệm cận xiên có hệ số góc 3 k 4 = . Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận xiên thì k. y' (0) = 1 2 2 m16 k. 1 m = 2 2 3m 16 .1 4 m = , phơng trình này vô nghiệm. Vậy tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc với tiệm cận đứng khi m = 4. 2) Xét phơng trình : 432 xhxxhx10+ +++= . Đặt =+ 1 tx (*)(|t|2) x thì sẽ có phơng trình 2 tht10+ = Phơng trình này luôn có hai nghiệm 12 t,t thỏa mãn 12 t0t< < . Đểcó không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau thì cần và đủ là 1 t2< (do (*)). Điều đó dẫn đến f(2) < 0 h > 3 2 . (Đặt 2 f(t) t ht 1)=+ Câu II. 1) 66 2322 sin x cos x (sin x) (cos x)+= + = 2232222 (sin x cos x) 3sin x cos x(sin x cos x)=+ + = 22 2 3 13sinxcosx1 sin2x 4 = = . Đặt t = sin2x, | t | = | sin2x| 1, ta đợc : 2 3t 4a|t| 4 0 (|t| 1)+ = 2 43t a 4|t| = với | t | 1 . (1) Hàm số (1) là hàm chẵn. Đồ thị đối xứng qua trục Oy. y (1) = 1 4 , vậy đờng thẳng y = a chỉ cắt đồ thị hàm số trong [1 ; 1] khi a 1 4 . Vậy khi a 1 4 thì phơng trình đã cho có nghiệm. 2) y' 3cosx sinx 1 =+ . Để hàm sốcó cực đại, cực tiểu thì phơng trình y' = 0 www.khoabang.com.vn Luyệnthi trên mạng ___________________________________________________________________ phải có nghiệm 3cosx sinx 1 0 += = 131 sin x cos x 22 2 1 cos sin x sin cosx sin x sin 33 326 === 1 x2k2k 36 2 =++=+ và =+ += + 2 57 x2k2k 36 2 y" 3sinx cosx= = + 1 y"(x ) 3sin 2k 2 cos 2k 3 0 2 +=< . Vậy tại 1 x2k 2 =+ hàm số đạt cực đại : 1 3 2 2 (1 4k) y(x ) 22 ++ =+ với k Z 2 (y"(x ) 3 0=> tại 2 x hàm số đạt cực tiểu). Câu III. 1) Đáp số 13 x 6 , x 3. 2) yx24x=+ (Chú ý rằng y 0, 2 x 4) 2 y x 2 4 x 2 (x 2)(4 x) 2 2 (x 2)(4 x)=++=+ , Vì (x 2) + (4 x) = 2 nên (x 2)(4 x) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi x 2 = 4 x x = 3 ; 2 x24x y 22(x2)(4x) 22 4 2 + =+ + = . Vậy 0 y 2 ; tức là giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và đạt tại x = 3. Phơng trình 2 x2 4x x 6x11+ = + tơng đơng với 2 x2 4x (x3) 2 +=+ . Vế trái luôn 2, còn vế phải luôn 2 nên để phơng trình có nghiệm thì phải có 2 x2 4x 2 (x 3) 2 2 += += x = 3 thỏa mãn điều kiện 2 x 4. Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình. Câu Iva. 1) x 2 +y 2 -2m(x-a)=0 (x-m) 2 +y 2 = m(m - 2a). Đểcó phỷơng trình đ ờng tròn C m (tâm (m ; 0)), phải có m(m - 2a) > 0 m < 0 m > 2a 2) Ta tính phỷơng tích của các điểm O, A đối với đỷờng tròn C m : P O/ C m = F (0, 0) = 2ma, P A/ C m = F(2a, 0) = 2a(2a - m) , ị P O/ C m ì P A/ C m =4a 2 m(2a - m) < 0 (vìm<0,m>2a). Vậy trong hai điểm O, A, có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài C m , thành thử đoạn OA cắt C m . 3) Lấy hai đỷờng tròn C m 1 và C m 2 bất kì (m 1 ạ m 2 ). Trục đẳng phỷơng của hai đỷờng tròn này có phỷơng trình F m 1 (x, y) = F m 2 (x, y) ị x 2 +y 2 -2m 1 (x-a)=x 2 +y 2 -2m 2 (x-a) ị 0=2(m 1 -m 2 )(x-a) x=a. Đỷờng thẳngx=akhông phụ thuộcm:nólàtrục đẳng phỷơng cho tất cả các đỷờng tròn C m . Câu IVb.1)Ta có EF ^ P. Theo định lí ba đỷờng vuông góc :FN MC. FC là đoạn thẳng cố định. Gọi I là chân đỷờng vuông góc kẻ từ F xuống AC, ta có EI ^ AC (theo định lí ba đỷờng vuông góc). www.khoabang.com.vn Luyệnthi trên mạng ________________________________________________________________________________ Khi điểm M vẽ nên đoạn AB, tập hợp điểm N là cung BNFI của đỷờng tròn đỷờng kính FC cố định. 2) MO là trung tuyến trong tam giác ECM: MO 2 = 2(EM +MC )-EC 4 222 ; EM 2 =FM 2 +EF 2 =(a-x) 2 +3a 2 =x 2 -2ax+4a 2 ;MC 2 =4a 2 +x 2 ; EC 2 =EB 2 +BC 2 =4a 2 +4a 2 =8a 2 . Từ đó, ta có MO 2 =x 2 -ax+2a 2 ị MO = x-ax+2a 22 . 3) Gọi K là trung điểm của FC. Ta có : OK//EF, OK = EF 2 = a3 2 ; OM 2 =OK 2 +MK 2 (vì OK (P) ị OK KM) . MK nhỏ nhất khi MK FB. Lúc đó MK//BC và x= a 2 ; OM min = 3a 4 +a = a7 2 2 2 . Lại có MK đạt giá trị lớn nhất khi M trùng với A tức là x = 2a. OM max = 2a . www.khoabang.com.vn Luyệnthi trên mạng ________________________________________________________________________________ Câu IVa. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trỷồc chuẩn Oxy, cho họ đỷờng cong phụ thuộc tham số m, có phỷơng trình : F(x, y) = x 2 +y 2 -2m(x-a)=0, trong đó a là một số dỷơng cho trỷỳỏc (cố định). 1) Với giá trị nào của m, phỷơng trình trên là phỷơng trình của đỷờng tròn ? Ta kí hiệu (C m )làđỷờng tròn ứng với giá trị của m. 2) Chỷỏng tỏ rằng đoạn thẳng nối điểm O (gốc tọa độ) với điểm A(2a, 0) luôn luôn cắt đỷờng tròn (C m ). 3) Chỷỏng minh rằng tồn tại một đỷờng thẳng là trục đẳng phỷơng cho tất cả các đỷờng tròn (C m ). Câu IVb. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trong mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với (P), dỷồng tam giác đều ABE. Lấy M là một điểm thay đổi trên đoạn AB, đặt BM = x. Tỷõ Ekẻđỷờng vuông góc EN với MC (N thuộc đỷờng thẳng MC). Gọi F, O theo thứ tỷồ là trung điểm của AB, CE. 1) Tìm tập hợp điểm N khi M di chuyển trên đoạn AB. 2) Tính độ dài đoạn MO theo a và x. 3) Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của MO. www.khoa bang.com.vn Luyệnthi trên mạng _____________________________________________________ __________ . t2< (do (* )). Điều đó dẫn đến f(2) < 0 h > 3 2 . ( ặt 2 f(t) t ht 1)=+ Câu II. 1) 66 2322 sin x cos x (sin x) (cos x)+= + = 2232222 (sin x cos. hàm số đạt cực tiểu). Câu III. 1) Đáp số 13 x 6 , x 3. 2) yx24x=+ (Chú ý rằng y 0, 2 x 4) 2 y x 2 4 x 2 (x 2 )(4 x) 2 2 (x 2 )(4 x)=++=+ , Vì (x 2)