Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 18

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Cho hàm số y= xax a 323 34+ . 1) Với a > 0 cố định, hãy khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Xác định a để các điểm cỷồc đại và cỷồc tiểu của đồ thị là đối xỷỏng với nhau qua đỷờng thẳngy=x. 3) Xác định a để đỷờng thẳngy=xcắtđồthịtại3điểm phân biệt A, B, C với AB = BC. Câu II. Cho phỷơng trình x+x+1- x -x+1 22 =m. 1) Giải phỷơng trình vớim=- 1 2 . 2) Với nhỷọng giá trị nào của m thì phỷơng trình có nghiệm ? Câu III. 1) Chỷỏng tỏ rằng với mọi , ta luôn luôn có 4sin3 +5 4cos2 + 5sin. 2) Giải phỷơng trình cos cos .cos sin .sin 333 43 3xxxxx=+ . Câu I. 1) Hàm số đã cho có đạo hàm y = 3x(x - 2a). Vìa>0nêntacóbảng biến thiên của y: x - Ơ 02a+Ơ y + 0 - 0 + y4a 3 +Ơ -à 0 Vẽ đồ thị dành cho bạn đọc. 2) Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi a ạ 0.Vớia>0,y CD =4a 3 ,y CT =0,cònnếua<0,y CD =0,y CT =4a 3 . Trong cả hai trỷỳõng hợp, để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là đối xứng với nhau qua đỷờng thẳngy=x,taphải có 4a 3 =2aị a= 1 2 . 3) Gọi x 1 ,x 2 ,x 3 là hoành độ của A, B, C. Theo giả thiết ta có 2x 2 =x 1 +x 3 , và chúng là nghiệm của phỷơng trình: x 3 - 3ax 2 -x+4a 3 =0.(1) Với điều kiện phỷơng trình có 3 nghiệm, ta có xxx a xx xx xx xxx a 123 12 23 13 123 3 3 1 4 ++= ++= = Giải hệ này ta đỷợca=0,a= 1 2 . Vậya=0,a= 1/ 2 là các giá trị phải tìm. Câu II.1)Vớim= - 1 2 , viết phỷơng trình đã cho d ới dạng www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ x+x+1+ 1 2 =x-x+1 22 . Các căn bậc hai luôn luôn có nghĩa, và cả hai vế trên đều dỷơng. Bình ph ơng hai vế, sau khi rút gọn thì đ ợc x +x+1=-2x+ 1 4 2 . Suy ra 2x + 1 4 <0 ịx< - 1 8 . Lại bình phỷơng hai vế, thì đỷợc x 2 = 5 16 ị x= - 5 4 (dox< - 1 8 ). 2) Phỷơng trình đã cho có nghiệm nếu m là một giá trị của hàm f(x) = x +x+1- x -x+1 22 . Hàm f(x) đỷợc xác định với mọi x, và là một hàm lẻ, f(x)>0khix>0.Vậym=0làmộtgiátrịphải tìm, vấn đề quy vềtìmm>0đểphỷơng trình đã cho có nghiệmx>0. Vớim>0,viết phỷơng trình đã cho d ới dạng : x +x+1=m+ x -x+1 22 . Cả hai vế đều dỷơng ; bình phỷơng hai vế và rút gọn thì đi đến 2x-m 2 =2m x-x+1 2 . Phải có 2x > m 2 ; lại bình phỷơng hai vế, ta đỷợc 4(m 2 - 1)x 2 =m 2 (m 2 - 4). Để có nghiệm x, phải có m 2 ạ 1, khi đó x 2 = m(m -4) 4(m - 1) 22 2 . Vì x 2 >0,suyra0<m 2 <1,4<m 2 . Điều kiện 2x > m 2 trở thành m(m -4) m-1 >m 22 2 4 ị m+4 m-1 4 2 <0ị m 2 <1. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Từ các kết quả trên, suy ra đáp số |m| < 1. Câu III. 1) 4sin3a+5-4cos2a - 5sina = = 4(3sina - 4sin 3 a)+5-4(1-2sin 2 a) - 5sina = = -16 sin 3 a + 8sin 2 a + 7sina+1= = - (sina - 1)(16 sin 2 a + 8sina + 1) = (1 - sina)(4sina + 1) 2 0. 2) Ta có cos3xcos 3 x + sin3xsin 3 x = cos3xcosx(1 - sin 2 x) + sin3xsinx(1 - cos 2 x) = = cos3xcosx + sin3xsinx - sinxcosx (cos3xsinx + sin3xcosx) =cos2x - (1/2) sin2xsin4x = cos2x - sin 2 2xcos2x = cos 3 2x. Vậy phỷơng trình đã cho quy về cos 3 4x = cos 3 2x cos4x - cos2x = 0 sinxsin3x = 0 sin3x = 0 x= k 3 (k ẻ Z). www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________ Câu IVa. 1 n n 0 Ixsinxdx= Trên [ 0 ; 1] thì 0 sin x 1 nên nn 0xsinxx 1 n n 0 1 0I xdx n1 = + Nh vậy n nn 1 0 lim I lim n1 + nên n n lim I 0 = . Câu Va. Giao điểm M của (P) và (D) ứng với các giá trị của u, v, t nghiệm của hệ phơng trình : += ++= =+ 1v23t 14u2v72t uv 14t (1) (2) (3) Từ (1) và (3) suy ra u = t, v = 1 3t, thế vào (2) ta đợc 1 + 4t + 2 (1 3t) = 7 2t 0 = 4 mâu thuẫn ! Điều đó chứng tỏ rằng (P), (D) không có điểm chung, tức là (D) song song với (P). Câu IVb. 1) Hình chóp là đều, nên gọi H là giao điểm các đờng 2) chéo của đáy ABCD, thì SH là đờng cao của hình chóp. Tam giác SAC là cân, vậy để C' thuộc đoạn SC, ta phải có n ASC là góc nhọn : 222 2 AC SA SC 2SA<+= hay 2 22 a 2a 2 h 2 <+ a h 2 > . Gọi K là giao điểm của AC' với SH, K là giao điểm các đờng chéo AC' và B'D' của tứ giác AB'C'D', để ý rằng AC' B'D'. Ta có 2 2 ha 2 2dt(SAC) SC.AC ' a AC '. h 2 === =+ 22 AC' 2ah / a 2h =+. Mặt khác == = 2 a AH.HC SH.KH 2 h(h SK) 22 2h a SK 2h = , do đó B'D' = BD.SK SH = 22 2 2 a(2h a ) 2h , từ đó suy ra diện tích tứ giác AB'C'D' : www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________ == 1 dt(AB'C'D') AC'.B'D' 2 = ++ 222 222 22 22 a(2h a)2 a(2h a) 2h 2h a h 2(h a ) . 2) SC' (AB'C'D') , vậy SC' là đờng cao của hình chóp S.AB'C'D'. Ta có 222 222 22 22 22 22 a4ah(2ha) SC' SA AC' h 2 2h a 2(2h a ) = =+ = ++ , vậy : 2222 S.AB'C'D' 22 1a(2ha) V SC'.dt(AB'C'D') 3 6h(2h a ) == + . 3) Mặt phẳng (P) cắt CB và CD tại 1 B và 1 D . Đó cũng là các giao điểm của C'B' với CB và của C'D' với CD. Các tam giác C'B'D' và 11 C'B D là đồng dạng. Các tam giác CBD và 11 CB D cũng là đồng dạng, từ đó suy ra 11 CB D là tam giác vuông cân. Vậy 11 AB AD AC a 2 === . Trong tam giác cân 11 C'B D , để ý rằng AC' < AC, từ đó suy ra mỗi tam giác vuông 1 C'AB và 1 C'AD có các góc. n n => 11 AC'B AC'D 4 n n = > 1 1 BC'D B'C'D' 2 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu IVa. Chỷỏng minh x lim 0 1 n x sin xdx =0 (n N). Câu Va. Mặt phẳng (P) đ ợc xác định bởi hệ ph ỷơng trình chỷỏa tham số u, v : (P) : xv yuv zuv =+ =+ + = 1 14 2 ; đỷờng thẳng (D) đ ợc xác định bởi hệ phỷơng trình chỷỏa tham số t : (D) : xt yt zt = = = + 23 72 14. Chỷỏng minh rằng đỷờng thẳng (D) song song với mặt phẳng (P). Câu IVb. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a và đỷờng cao bằng h. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC ; (P) cắt SB, SC, SD lần lỷỳồt tại B, C, D. 1) h phải thỏa mãn điều kiện gì để C là một điểm thuộc cạnh SC ? Khi đó hãy tính diện tích thiết diện ABCD. 2) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. 3) Chỷỏng tỏ rằng BCD luôn luôn là một tam giác tù. . điểm M của (P) và (D) ứng với các giá trị của u, v, t nghiệm của hệ phơng trình : += ++= =+ 1v23t 14u2v72t uv 14t (1 ) (2 ) (3 ) Từ (1 ) và (3 ) suy ra. thế vào (2 ) ta đợc 1 + 4t + 2 (1 3t) = 7 2t 0 = 4 mâu thuẫn ! Điều đó chứng tỏ rằng (P), (D) không có điểm chung, tức là (D) song song với (P). Câu