Câu 1. (6 điểm) Trong không gian cho tứ diện ABCD với ( ) ( ) 2,3,1 , 1,1, 2A B − ( ) , 2,1,0C và ( ) 0, 1,2D − a. Tính thể tích tứ diện b. Viết phương trình mặt phẳng ( ) ABC c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Câu 2. (4 điểm) Trong không gian cho ba điểm ( ) ( ) ( ) ,0,0 , 0, ,0 , 0,0,A a B b C c trong đó , ,a b c là những số dương a. Biết rằng 3, 1a c= = và mặt phẳng ( ) ABC tạo với mặt phẳng Oxy một góc 60 o , hãy viết phương trình mặt phẳng ( ) ABC b. Xác định tọa độ các điểm , ,A B C biết rằng : khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng ( ) ABC là lớn nhất và 2 2 2 3a b c+ + = HẾT ĐỀ KIỂM TRA Môn: Hình học 12 Nâng cao Thời gian làm bài 45phút ĐÁP ÁN Câu 1. a. Áp dụng công thức 1 . . 6 V AB AC AD = uuur uuur uuur Ta có ( ) ( ) ( ) 1, 2, 3 , 0, 2, 1 , 2, 4,1AB AC AD= − − − = − − = − − uuur uuur uuur . Suy ra ( ) . 4, 1,2AB AC = − − uuur uuur . Vậy thể tích tứ diện là 1 7 8 4 2 6 3 V = + + = b. Mặt phẳng ( ) ABC nhận véc tơ ( ) . 4, 1,2AB AC = − − uuur uuur làm véc tơ pháp tuyến. Vậy phương trình mặt phẳng ( ) ABC là ( ) ( ) ( ) 4 2 3 2 1 0x y z− − − − + − = hay 4 2 9 0x y z+ − − = c. Phương trình mặt cầu có dạng : 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + = Vì mặt cầu đi qua các điểm , , ,A B C D nên ta có hệ phương trình 4 6 2 14 2 2 4 6 4 2 5 2 4 5 a b c d a b c d a b d b c d + + − = + − − = + − = − + − = 3 2 4 5 2 4 8 2 9 2 2 4 8 1 1 2 0 7 a d b c a b c b a b c c a b c d = − − = − + + − = = ⇔ + − = = + − = = − Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là 2 2 2 3 4 7 0x y z x y z+ + + − − − = Câu 2. (2 + 2 điểm) a. Phương trình mặt phẳng ( ) ABC có dạng 1 3 1 x y z b + + = hay 3 3 3 0bx y bz b+ + − = . Mặt phẳng ( ) ABC có véc tơ pháp tuyến là ( ) ,3,3n b b= r , mặt phẳng ( ) Oxy có véc tơ pháp tuyến là ( ) 0,0,1k = r . Mặt phẳng ( ) ABC tạo với mặt phẳng ( ) Oxy một góc 60 o khi ( ) 2 3 1 1 3 cos , 2 2 26 10 9 b n k b b = ⇔ = ⇒ = + r r (vì 0b > ). Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : 26 3 3 0x y z+ + − = b. Phương trình mặt phẳng ( ) ABC có dạng 1 x y z a b c + + = hay 0bcx acy abz abc+ + − = . Khoảng cách từ O đến ( ) ABC là : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , abc d O ABC a b b c c a = + + , suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C«si 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 a b b c c a a b c a b b c c a a b c d a b c a b c a b c + + + + + + + + = = × = × + + ≥ ÷ suy ra 2 1 1 3 3 d d≤ ⇒ ≤ . Dấu bằng xảy ra khi 1a b c= = = . phẳng ( ) ABC là lớn nhất và 2 2 2 3a b c+ + = HẾT ĐỀ KIỂM TRA Môn: Hình học 12 Nâng cao Thời gian làm bài 45 phút ĐÁP ÁN Câu 1. a. Áp dụng công thức 1 .