PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÙ ĐĂNG TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút Câu 1.(3 điểm) Chứng minh rằng : a. 5 4 3 5 5 5− + chia hết cho 7 b. 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương. Câu 2 .(2 điểm) Một số học sinh xếp hàng 12 thì thừa 5 học sinh, còn xếp hàng 15 cũng thừa 5 học sinh và ít hơn trước là 4 hàng. Tính số học sinh. Câu 3. (2 điểm) Tìm các số x, y, z biết: 1 2 3 2 3 4 x y z− − − = = (1) và x - 2y + 3z = 14 (2) Câu 4. (3 điểm) Cho hình vẽ và a // b hãy tính: µ µ µ A B C+ + PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÙ ĐĂNG TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Đáp án và Biểu điểm chấm môn toán khối 7 Câu Gợi ý chấm điểm Điểm 1 a. 5 4 3 5 5 5− + chia hết cho 7 Ta có: 5 4 3 3 2 3 5 5 5 5 (5 5 1) 5 .21 7− + = − + = M b. 2 2 2 2 3 2 3 2 3 (3 1) 2 (2 1) 3 .10 2 .5 n n n n n n n n+ + − + − = + − + = − Rõ ràng số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 10 . Do đó: 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương 1,5 1,5 2 Giả sử khi xếp 15 học sinh một hàng cũng được số hàng như khi xếp 12 học sinh một hàng thì cần 4 hàng nữa, tức là thêm: 15.4= 60 ( học sinh) Số học sinh ở mỗi hàng chênh lệch trong hai trường hợp: 15-12 = 3( học sinh) Số hàng khi xếp hàng 12: 60: 3= 20 ( hàng) Vậy số học sinh cần tìm là: 20. 12 + 5 = 245 ( học sinh) 0,5 0,5 0,5 0,5 3 Đặt 1 2 3 , 2 3 4 x y z k k − − − = = = ∈Ζ suy ra: x = 2k+ 1; y = 3k + 2; z = 4k + 3 thay vào (2) ta được: 2k+ 1- 2(3k + 2) + 3(4k + 3)= 14 ⇒ 8k + 6 = 14 ⇒ k = 1 Vậy x = 3; y = 5; z = 7 0,5 1 0,5 4 Qua C kẻ đường thẳng c song song với đường thẳng a. 0,5 Khi đó: µ · 0 180B BCc+ = ( hai góc trong cùng phía) µ · 0 180A ACc+ = ( hai góc trong cùng phía) Vậy µ µ µ µ · µ · 0 360A B C A ACc B BCc+ + = + + + = 0,5 0,5 0,5 1 SỞ GD& ĐT BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG PHỔ THÔNG CẤP 2-3 THỐNG NHẤT ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian: 120 phút Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. 2 6x x− − b. xy(x + y ) - yz( y + z ) + xz( x - z ) c. 4 4x + Câu 2. a. Thực hiện phép chia: 4 3 2 2 (3 2 2 4 8) : ( 2)x x x x x− − + − − b. Xác định các hằng số a và b sao cho: 3 2 5 50ax bx x+ + − chia hết cho 2 3 10x x+ − Câu 3. Cho x + y = a và xy = b. Tính các giá trị của các biểu thức sau theo a và b : a. 2 2 x y+ b. 4 4 1 1 x y + Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F. a. Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH. b. Chứng minh HE = HF SỞ GD& ĐT BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG PHỔ THÔNG CẤP 2-3 THỐNG NHẤT ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Đáp án và Biểu điểm chấm môn toán khối 7 Câu Hướng dẫn chấm Điểm 1 a. 2 6 ( 3)( 2)x x x x− − = − + b. xy(x + y ) - yz( y + z ) + xz( x - z )=(x+y)(y+z)(x-z) c. 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 ( 2) 4 ( 2 2 )( 2 2 )x x x x x x x x x x+ = + + − = + − = + − + + 1 1 1 2 a. Đặt tính chia: 4 3 2 2 2 (3 2 2 4 8) : ( 2) 3 2 4x x x x x x x− − + − − = − + b. Đặt tính chia: 3 2 5 50ax bx x+ + − = 2 ( 3 10)( 3 ) (19 3 5) ( 30 10 50)x x ax b a a b x a b+ − + − + − + + − + − Để 3 2 5 50ax bx x+ + − chia hết cho 2 3 10x x+ − khi và chỉ khi 19 3 5 0 1 30 10 50 0 8 a b a a b b − + = = ⇔ − + − = = 1 0,5 1 3 a. Ta có: 2 2 2 ( ) 2x y x y xy+ = + − Thay x + y = a và xy = b vào biểu thức trên ta được: 2 2a b− b. Ta có: 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 1 1 [( ) 2 ] 2 . . x y x y xy x y x y x y x y + + − − + = = Thay x + y = a và xy = b vào biểu thức trên ta được: 2 2 2 4 [ 2 ] 2a b b b − − 0,5 0,5 0,5 0,5 4 A B C H M E F D K G a. MH là đường trung bình của ∆ BCD nên MH//BD. Do MH ⊥ EF nên BD ⊥ EF. Ta lại có: BA ⊥ HD(gt). Do đó: E là trực tâm của tam giác BHD. b. Gọi G là giao điểm của DE và BH, K là giao điểm của BH và AC. Khi đó: ∆ DHG = ∆ CHK ( cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ HG = HK. ∆ HGE = ∆ HKF (g.c.g) ⇒ HE = HF 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 Thống nhất, ngày 18 tháng 10 năm 2010 Người ra đề Lê Tâm . PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÙ ĐĂNG TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút Câu 1.(3 điểm) Chứng. µ µ A B C+ + PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÙ ĐĂNG TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Đáp án và Biểu điểm chấm môn toán khối