Đại số - Nguyên hàm

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 1 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân NGUYÊN HÀM VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA: ĐN 1 : F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ĐN 2 : F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] xa xb F'(x) f(x); x (a;b) F(x) F(a) F' (a) lim f(a) xa F(x) F(b) F' (b) lim f(b) xb + − + → − → ⎧ ⎪ =∀∈ ⎪ − ⎪ ⇔= = ⎨ − ⎪ − ⎪ == ⎪ − ⎩ Ký hiệu hình thức gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) hay tích phân bất đònh của hàm f(x). f(x)dx = F(x)+C ∫ VẤN ĐỀ 2: BỔ SUNG VI PHÂN - DẠNG VI PHÂN HÀM HP: y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1) Giả sử tồn tại y = f(t) mà trong đó t = g(x); để cho hàm hợp y = f[g(x)] có vi phân được viết: dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2) NHÓM HÀM LŨY THỪA NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NGƯC d(x n )=nx n-1 dx *Các trường hợp đặc biệt: d(ax+b) = adx 2 1d d=- xx ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ x () dx dx= 2x 2 dx d(arc sinx) = 1-x 2 dx d(arc cosx) = - 1-x 2 dx d(arc tgx) = 1+x 2 dx d(arc cotgx) = - 1+x NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NHÓM HÀM MŨ & LOGARITHM d(sinx) = cosxdx d(cosx) = -sinxdx 2 2 dx d(tgx) = = (1+tg x)dx cos x 2 dx d(cotgx) = - sin x dx d(lnx) = x a dx d(log x) = xlna d(e x ) = e x dx d(a x ) = a x lnadx A. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA 1/ () n+1 n x xdx= +C n¹-1 n+1 ∫ Trường hợp đặc biệt của nhóm I 3/ dx = x+C ∫ 2/ () -1 dx xdx= =lnx+C x 0 x ≠ ∫∫ 4/ 2 dx 1 =- +C xx ∫ www.kapakapy.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 2 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 5/ mm+ nn n xdx= x +C m+n ∫ n 7/ n n+1 n n xdx = x +C n+1 ∫ 6/ () nn-1 dx -1 =+ xn-1x ∫ C 8/ n n-1 n dx n =x+ n-1 x ∫ C NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC 9/ sinxdx = -cosx+C ∫ 11/ 2 dx =tgx+C cos x ∫ 13/ tgxdx = -ln cosx +C ∫ 10/ cosxdx = sinx+C ∫ 12/ 2 dx =-cotgx+C sin x ∫ 14/ cotgxdx = ln sinx +C ∫ NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ – LOGARITHM 15/ xx edx=e +C ∫ 17/ () x x a a = +C 1 a > 0 lna ≠ ∫ 16/ -x -x edx=-e +C ∫ 18/ ( )( lnxdx=x lnx-1 +C x>0 ) ∫ NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0) 19/ 2 dx =arctgx+C x+1 ∫ 21/ 22 dx 1 x = arctg +C x+a a a ∫ 20/ 2 dx 1 x-1 =ln +C x-1 2 x+1 ∫ 22/ 22 dx 1 x-a =ln + x-a 2a x+a ∫ C NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC (a > 0) 23/ 2 dx = arcsinx+C 1-x ∫ 24/ 22 dx x =arcsin +C a a-x ∫ 25/ 2 2 dx =lnx+ x ±1+C x±1 ∫ 26/ 22 22 dx =lnx+ x ±a +C x±a ∫ 27/ 2 22 22 xax a -x dx = a -x + arcsin +C 22a ∫ 28/ 2 22 22 22 xa x±adx= x±a± lnx+ x±a +C 22 ∫ B. BẢNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0) www.kapakapy.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 3 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 1/ n+1 n (ax+ b) (ax+b) dx = +C (n -1) a(n+1) ≠ ∫ 2/ -1 dx 1 (ax + b) dx = = ln (ax + b) +C (ax+ b 0) (ax + b) a ≠ ∫∫ Các trường hợp đặc biệt của nhóm I 3/ 4/ d(ax + b) = ax +b+C ∫ 2 dx -1 =+ (ax+b) a(ax + b) ∫ C 5/ mm nn n (ax+b) dx = (ax+ b) +C a(m+ n) ∫ +n 6/ nn dx -1 =+ (ax+b) a(n-1)(ax+b) ∫ -1 C 7/ n+1 n n n (ax +b)dx = (ax + b) +C a(n+1) ∫ 8/ n-1 n n dx n =(ax+b) a(n-1) (ax + b) ∫ +C NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC MỞ RỘNG (α ≠ 0) 9/ 1 sin(ax+b)dx = - cos(ax+b)+C a ∫ 10/ 1 cos(ax + b)dx = sin(ax + b) +C a ∫ 11/ 2 dx 1 =tg(ax+b)+C cos (ax+b) a ∫ 12/ 2 dx 1 =- cotg(ax+b)+C sin (ax+ b) a ∫ 13/ 1 tg(ax+ b)dx = - ln cos(ax+ b) +C a ∫ 14/ 1 cotg(ax+b)dx= lnsin(ax+b)+C a ∫ NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ - LOGARITHM MỞ RỘNG (α ≠ 0) 15/ (ax+b) (ax+b) 1 edx=e + a ∫ C 16/ (ax+b) (ax+b) a adx= +C (1 a>0 alna ≠ ∫ ) 17/ 1 ln(ax+b)dx= (ax+b)[ln(ax+b)-1]+C (ax+b>0) a ∫ NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC MỞ RỘNG (α ≠ 0; a > 0) 18/ 22 dx 1 ax+b =arctg + (ax+ b) +a aa a ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ C 19/ 22 dx 1 (ax+ b)-a =ln + (ax+ b) -a 2aa (ax + b) + a ∫ C NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0) 20/ 22 dx 1 (ax+b) =arcsin +C aa a-(ax+b) ∫ 21/ 22 22 dx 1 =ln(ax+b)+(ax+b)±a+C a (ax + b) ±a ∫ 22/ 2 22 22 (ax + b) a (ax + b) a -(ax+b) dx = a -(ax+b) + arcsin +C 2a 2a a ∫ www.kapakapy.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 4 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 23/ 22 22 22 (ax + b) (ax+b) ±a dx= (ax+b) ±a ±ln(ax+b)+ (ax+b) ±a +C 2a ∫ VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN: Biến đổi hàm tích phân về dạng: [Af(x)±Bf(x)+ .]dx = A f(x)dx ±B g(x)dx+ . ∫∫∫ B B 1 : Cụ thể phải 1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd 2/ Khai triển các hằng đẳng thức: 22 2 33 2 23 (A± B) = A ±2AB+B (A±B) = A ± 3A B+ 3AB ± B ; . 3/ Thêm bớt hạng tử: Xb X=(X+B)-B;X= (b 0); . b ≠ 4/ Nhân lượng liên hợp: llh A ± B A m B; .←⎯→ 5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức: 22 22 22 22 33 sinx cosx 1=sin x+cos x; tgx= ; cotgx= ; cosx sinx 11 =1+tg x; =1+cotg x; tgxcotgx=1; cos x sin x 1-cos2x 1+cos2x sin x = ; cos x = ; 22 3sinx- sin3x 3cosx+cos3x sin x = ; cos x = ;v.v . 44 B B 2 : Mục đích là hàm số trong dấu tích phân được biến đổi: • Tích thành tổng; đặc biệt một hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích. • Căn thức thành lũy thừa; ở đây ta áp dụng các tính chất lũy thừa sau: ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ x m x n -m m m n mn x x x n m x 1A =A ; A =A ;(A ) =A ;AB =(AB); = AB A B B B 3 : Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C ∫ với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và gọn. Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn. Ta có đònh nghóa: mở rộng 1 khi x > 0 1 khi f(x) > 0 sgn(x) = sgn[f(x)]= -1 khi x < 0 -1 khi f(x) < 0 ⎡⎡ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢⎢ ⎣⎣ VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x 0 ∈[a;b]. () 0 0 tại x f(x)dx = F(x )+C ∫ (1) www.kapakapy.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 5 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ghi chú: Thực tế ta viết một họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = f(x)dx ∫ mà vẫn không mất tính tổng quát của nguyên hàm so với đònh nghóa họ nguyên hàm. Dạng 2: Phân tích biểu thức thành tích Dùng đònh nghóa nguyên hàm và ứng dụng cách xác đònh hằng số C qua 4 bước: • Xem biểu thức A(x, a, b, c, .) đã cho là một đa thức một biến (giả sử biến đó là x) và đặt f(x) = A(x, a, b, c, .). • Tính f’(x) và đưa nó về dạng thừa số. • Tính f(x) là một nguyên hàm của f’(x). • Tìm hằng số C bằng cách thay x = x 0 là giá trò cụ thể nào đó vào nguyên hàm ở trên, lúc đó xuất hiện các nhân tử và ta kết thúc bài toán bằng cách đặt nhân tử chung. Ghi chú: Hằng số C ở bước 4 không phụ thuộc vào x nên viết C = g(a; b; c .). Dạng 3: Tính tổng hữu hạn B B 1 : Xét một tổng f(x) có nguyên hàm là tổng liên tiếp các hạng tử của một cấp số nhân mà số hạng đầu là a 1 , có n hạng tử và công bội q thì: n 1 1-q F(x) = a 1-q . B B 2 : So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm. VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ: f(x)dx = f[ (t)] '(t)dtϕϕ ∫∫ ∫ . Với x = ϕ(t) f[ (x)] '(x)dx = f(t)dtϕϕ ∫ . Với t = ϕ(x) là biến mới. A. BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x) DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI 1. f(ax + b)dx ∫ Đặt t = ax + b ⇒ dt = dx 2. n+1 n f(x )x dx ∫ Đặt t = x n+1 ⇒ dt = (n + 1)x n dx 3. dx f( x) x ∫ Đặt dx t= x dt= 2x ⇒ 4. f(cosx)sinxdx ∫ Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx 5. f(sinx)cosxdx ∫ Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx 6. 2 dx f(tgx) cos x ∫ Đặt t = tgx ⇒ 2 dx dt = cos x 7. 2 dx f(cotgx) sin x ∫ Đặt t = cotgx ⇒ 2 -dx dt = sin x 8. xx f(e )e dx ∫ Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx 9. dx f(lnx) x ∫ Đặt t = lnx ⇒ dx dt = x www.kapakapy.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 6 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 10. 2 2 1 f(arc tgx) dx 1+x 1 f(arc cotgx) dx 1+x ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∫ Đặt 2 t=arc tgx dx dt = ± t=arc cotgx 1+x ⎡ ⇒ ⎢ ⎣ 11. 2 2 1 f(arc sinx) dx 1-x 1 f(arc cosx) dx 1-x ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∫ Đặt 2 t=arc sinx dx dt = ± t=arc cosx 1+x ⎡ ⇒ ⎢ ⎣ 12. 2 11 fx± 1 dx xx ⎛⎞⎛ ⎞ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ ∫ ∓ Đặt 2 11 t=x± dt= 1 dx xx ⎛⎞ ⇒ ⎜⎟ ⎝⎠ ∓ B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t) DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI 1. () 22 fx,x+a dx ∫ 2 a x=atgt dx= dt cos t ⇒ 2. () 22 fx,a-x dx ∫ x=asint dx=acostdt ⇒ 3. () 22 fx,x-a dx ∫ 2 aasi x= dx= dt cost cos t ⇒ nt VẤN ĐỀ 6: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN RIÊNG PHẦN: udv = uv- vdu ∫∫ ⎥ ⎥ (*) hay uv'dx = uv- u'vdx ∫∫ Các dạng tích phân từng phần: Dạng 1: n (ax+b) sin(ax + b) cos(ax+ b) P(x) dx e . ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ . Trong đó P n (x) là đa thức bậc n. Ta đặt u = P n (x) và (ax+b) sin(ax + b) cos(ax+b) dv = dx e . ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này. Dạng 2: n ln(ax+b) arcsin(ax+ b);arccos(ax + b) I= P(x) dx arctg(ax+b);arccotg(ax + b) . ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ www.kapakapy.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 7 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ta đặt và dv = P ln(ax+ b) arcsin(ax+ b);arccos(ax+b) u= arctg(ax+b);arccotg(ax + b) . ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ n (x)dx TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH: I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN: 1. Đònh nghóa: y x a b A A' B B' y=f(x) O Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm xác đònh trên đoạn [a;b]. Khi đó hình phẳng giới hạn bở trục hoành, đường cong y = f(x) và các đường thẳng có phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là hình thang cong (Hình thang hỗn tuyến AA’B’B). 2. Diện tích hình thang cong: Đònh lý: Nếu hàm số y = f(x) xác đònh, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ x = b có giá trò là: . Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên [a;b]. b a S=F(b)-F(a)=S II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: III. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý bởi các điểm chia: a = x 0 < x 1 < x 2 < . < x n = b. Trên mỗi đoạn [x k-1 ;x k ] với 1 ≤ k ≤ n lấy một điểm ξ k bất kỳ. Ký hiệu: Δx k = x k - x k-1 . Nghóa là: Δx 1 = x 1 - x 0 , Δx 2 = x 2 - x 1 , . Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số y = f(x) trên [a;b]. n kk 11 22 n k1 f( ) x f( ) x f( ) x . f( ) x = ξΔ =ξΔ + ξΔ + + ξΔ ∑ n www.kapakapy.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 8 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ta gọi tích phân xác đònh của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích phân khi maxΔx k → 0. Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξ k . Ký hiệu: k b n kk 0 k1 a f(x)dx lim f( ) x Δ→ = =ξ ∑ ∫ Δ Lúc đó ta bảo hàm f khả tích theo Riemann hay khả tích. Chú ý: • a được gọi là cận dưới và b được gọi là cận trên. • Ý nghóa hình học của tích phân xác đònh: Nếu f(x) > 0 trên [a;b] thì chính là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường:y = f(x), trục hoành, x = a, và b a f(x)dx ∫ x = b. • Từ trên ta có công thức Niutơn - Lépnit (Newton - Leibnitz): b b a a f(x)dx = F(b)- F(a) = F(x) ∫ . Trong đó: F’(x) = f(x). VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ TÍCH: Dạng 1: Tính tích phân ∫ bằng phép phân hoạch và bài toán ngược b a dx)x(f 1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bò chặn trên đoạn [a;b] đó. 2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn [a;b] đó. • Khi tính tích phân bằng đònh nghóa cần thực hiện: B B 1 : Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia k b-a x=a+k n . Với k = 0, 1, 2, ., n. B B 2 : Chọn ξ k bằng x k (hoặc x k-1 ) trong đoạn [x k-1 ,x k ]. B B k 3 : Lập tổng tích phân n nkk-1 k=1 S = (x -x ).f(x ) ∑ B B 4 : Ta có b n n a xf(x)dx limS →∞ = ∫ Cần nhớ một số kết quả: 1) n(n+1) 1+2 + 3 + .+ n = 2 2) 222 2 n(n+1)(2n+1) 1 + 2 + 3 + .+ n = 6 3) 2 333 3 n(n+1) 1 + 2 +3 + .+ n = 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ www.kapakapy.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 9 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 4) x ∈ [a;b], hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và F’(x) = f(x). ∫ = b a dt).t(f)x(F Dạng 2: Nhận biết hàm khả tích Riemann ĐL 1 : (Điều kiện cần: suy ra từ đònh nghóa ) ∫ b a dx)x(f Mọi hàm f không bò chặn trên đoạn [a;b] thì f không khả tích trên đoạn [a;b] đó. ĐL 2 : (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. ĐL 3 :Mọi hàm f bò chặn trên đoạn [a;b] và gián đoạn tại hữu hạn các điểm x 0 ∈ [a;b] mà (*) thì f vẫn khả tích trên đoạn [a;b] đó. 0 0 xx xx lim f(x) R − + ⎧ ⎪ → ⎨ → ⎪ ⎩ ∈ Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bò chặn trên đoạn [a;b]. ĐL 4 :Mọi hàm f bò chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz. Công thức Newton - Leibnitz: khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện: b a f(x)dx = F(b)-F(a) ∫ • Hàm dưới dấu tích phân f(x) liên tục trên [a;b]. • Hàm nguyên hàm của F(x) cũng liên tục trên [a;b]. Ghi chú: Trong một số trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] ta chưa áp dụng ngay công thức Newton - Leibnitz trên [a;b] mà cần xử lý cận trung gian c ∈ (a;b) để xét dấu f(x) và dễ dàng tìm F(x) chẳng hạn: bcb aac f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx ∫∫∫ (*) .(*) còn sử dụng khi x 0 = c là điểm gián đoạn của f(x) và F(x) trên đoạn [a;b] (tích phân suy rộng). Thuật đổi biến số: Khi đã quan sát và thấy hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]: b a f(x)dx ∫ • PP 1 - ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN: là sử dụng công thức () () f[ (x)] '(x)dx f(t)dt βϕ αϕ ϕϕ = ∫∫ β α ) ) • Với các ghi nhớ: ) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới. ) Trong đó: và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên [α;β]. xt( xt( =α⇒ =ϕα ⎧ ⎨ =β⇒ =ϕβ ⎩ • PP 2 - ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: là sử dụng công thức (2) 1 1 (b) b a (a) f(x)dx f[ (t)] '(t)dt − − ϕ ϕ =ϕϕ ∫∫ www.kapakapy.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 10 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Với các ghi nhớ: ) Đặt x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); với t là biến mới. ) Trong đó: và t làm hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên [a;b]. 1 1 xa t (a) xb t (b) − − ⎧ =⇒=ϕ ⎪ ⎨ =⇒=ϕ ⎪ ⎩ Ghi chú: Tính đơn điệu của hàm t = ϕ(x) < hay t = ϕ -1 (x) > là quan trọng như tính liên tục và khả đạo hàm của t trên [α;β] < hay [a;b] >. Chẳng hạn trong (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu trên [α;β] thì sẽ có trường hợp ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β mà . Lúc đó (1) không còn đúng! (1) (1) VP 0 VT 0 = ⎧ ⎪ ⎨ ≠ ⎪ ⎩ VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất Tính tích phân b 1 2 a dx I( xx =α α+β+γ ∫ 0)≠ Ta làm 2 bước: B B 1 : Kiểm tra tính khả tích của 2 dx f(x) xx = α +β +γ trên [a;b]. B B 2 : Đưa về dạng chuẩn để sử dụng một trong ba công thức sau với và sau khi đặt 2 4Δ=β − αγ 1 α ra ngoài dấu tích phân: 1) b b 22 a a dX 1 X = arctg X+A A A ⎡ ⎢ ⎣⎦ ∫ ⎤ ⎥ Nếu Δ < 0 2) b b 22 a a dX 1 X -A =ln X-A 2A X+A ⎡ ⎢ ⎣⎦ ∫ ⎤ ⎥ Nếu Δ > 0 3) b b 2 a a dX 1 =- XX ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ Nếu Δ = 0 b b a a dx 1 =lnax+b ax+ b a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ Dạng 2: Các dạng tích phân hàm phân thức thứ hai Tính tích phân b 2 2 a mx n Idx(0 xx + =α α+β+γ ∫ ;m0)≠≠ Ta làm 2 bước: B B 1 : Kiểm tra tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân và đưa tích phân về dạng: bb 2 22 aa m2x m2n dx Idx 2xx 2 xx α+β β −α ⎛⎞ =− ⎜⎟ α α +β +γ α α +β +γ ⎝⎠ ∫∫ www.kapakapy.com [...]... dx ax 2 + bx + c (*) Trong đó Qn-1(x) là đa thức bậc n-1 với các hệ số cần được xác đònh và λ là một số thực cũng cần được xác đònh Để xác đònh λ và các hệ số của Qn-1(x) ta đạo hàm hai vế đẳng thức (*) Rồi đồng nhất hệ số hai vế để suy ra hệ phương trình đặc trưng mà việc giải hệ phương trình đặc trưng đó sẽ cho ta λ và các hệ số của Qn-1(x) (Gọi là phương pháp đạo hàm đẳng lập) VẤN ĐỀ 3: CẬN TRUNG... thực Lúc w a đó I là một hàm số thực theo biến số thực x : I(x) gọi là một hàm số - tích phân hay gọn hơn hàm tích phân Thường ta xét: x I(x) = ∫ f(t)dt hoặc I(x) = a ϕ (x) ∫ f(t)dt (f(t) liên tục trên [a;x]) a x Ta có: I(x) = ∫ f(t)dt là một nguyên hàm của f(x) thỏa điều kiện I(a) = 0 a ′ ⎛x ⎞ ⇒ I'(x) = ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f(x) ⎝a ⎠ Như vậy ta có các chú ý: khi hai cực là một hàm số của x: 1) ′ ⎛ ϕ (x) ⎞... dần các số hạng của dãy (In) để rút gọn các số hạng ở khoảng giữa của dãy, để rồi từ đó tìm ra số hạng tổng quát tùy ý của dãy (In) Ghi chú: 1/ n! = 1.2.3 (n-1).n 2/ (2n)!! = 2.4.6 (2n-2).(2n) 3/ (2n + 1)!! = 1.3.5 (2n-1)(2n+1) 4/ 0! = 1! = 1 5/ (-1 )!! = 0!! = 1 b y p a k a p a k w w VẤN ĐỀ 8: HÀM TÍCH PHÂN m o c Xét tích phân I = ∫ f(t)dt với hai cận a = a(x), b = b(x) thì I không là một hằng số thực... bằng thuật hàm phụ trợ • b Muốn tính tích phân I = ∫ f(x)dx mà trong đó hàm f(x) khả tích trên [a;b] nhưng không a (1) tính được nguyên hàm bằng các phương pháp đã nêu (hay không tính được một cách đơn giản bằng tính chất hàm sơ cấp) Người ta chọn một hàm phụ trợ g(x) khả tích cho f(x) như sau tỏ ra hiệu quả: h(x) ≡ f(x) + g(x) = const; ∀x ∈ [a; b] 17 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích... (Trong đó R là 1 hàm hữu tỷ) a 12 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Sử dụng các phép thế sau: 1) Phép thế tổng quát (Phép thế vạn năng): 2dt ⎧ ⎪ dx = 1 + t 2 x ⎪ Đặt t = tg ⇒ ⎨ 2 2 ⎪ sin x = 2t và cos x = 1 − t ⎪ 1 + t2 1 + t2 ⎩ 2) • • • Ba phép thế đặc biệt: R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = cosx R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx)... http://www.toanthpt.net • c +∞ −∞ Hay +∞ −∞ c ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx; ∀c ∈ R Việc sử dụng công thức Newton - Leibnitz cũng không khác mấy khi gọi F(x) là nguyên hàm của f(x), ta có: ∫ f(x)dx = lim F(b) − F(a) ∫ f(x)dx = F(b) − lim F(a) b →+∞ a II b +∞ −∞ a→−∞ TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2: Cho hàm f giới nội và khả tích trong đoạn [a + ε; b] nhưng không giới nội hoặc không khả b tích trong toàn bộ [a;... chứng minh bất đẳng thức xảy ra giữa hai hàm dưới dấu tích phân Khi hai cận hai vế khác nhau ta cần chọn biến số để đổi ở một trong hai vế để hai cận hai vế như nhau và làm tương tự như trên w w w • ⎧ f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b] ⎪ Vậy muốn chứng minh ∫ f(x)dx ≤ A Ta tìm hàm g(x) thỏa ⎨ b a ⎪ ∫ g(x)dx = A ⎩a • Đôi khi còn sử dụng dấu của tam thức bậc hai, quy nạp, đạo hàm để chứng minh b b a b a ∫ f(x)dx... 15 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net c b a Cơ sở của phương pháp là áp dụng hợp lý công thức (1): b a c ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx qua hai bước (để tính các tích phân xác đònh mà hàm dưới dấu tích phân có chứa | |; max; min và cả trường hợp đoạn lấy tích phân không áp dụng được công thức Newton - Leibnitz) B1: Chọn cận trung gian... + b − x)dx a a b 0 biết f liên tục trên [a; b] b 0 (HQ): ∫ f(x)dx = ∫ f(b − x)dx 16 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt a 4 −a http://www.toanthpt.net ⎧ f liên tục trên [-a; a] biết ⎨ ⎩ f chẵn; ∀a > 0 a 0 ∫ f(x)dx = 2 ∫ f(x)dx ⎧ f liên tục trên [-a; a] ⎩ f lẻ; ∀a > 0 a 5 6 biết ⎨ ∫ f(x)dx = 0 −a a+ T ∫ a T f(x)dx = ∫ f(x)dx (HQ): ⎧ f liên tục trên R ⎩ f có... ϕ(x)] ϕ '(x) ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ 19 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ′ ⎛ ϕ2 (x) ⎞ 2) ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f ⎡ϕ 2 (x)⎤ ϕ '2 (x) − f ⎡ϕ1 (x)⎤ ϕ '1 (x) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ϕ (x) ⎟ ⎝ 1 ⎠ http://www.toanthpt.net Ghi chú: Khi tìm giới hạn của một hàm tích phân đôi khi phải sử dụng quy tắc L’hospitale Tất cả các dạng vô đònh 0 × ∞; ∞ - ; 1∞ ; ∞ 0 ; và 0 0 đều đưa được về dạng vô đònh 0 ∞ . Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân NGUYÊN HÀM VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA: ĐN 1 : F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a;. thì I không là một hằng số thực. Lúc đó I là một hàm số thực theo biến số thực x : I(x) gọi là một hàm số - tích phân hay gọn hơn hàm tích phân. Thường ta