Dạy dạng toán về số và chữ số

MI CC BN N VI CU LC B TON TIU HC (violet.vn/toantieuhoc) NI GIAO LU TRAO I V CHUYấN MễN TON TIU HC NI CUNG CP CC TI LU V TON TIU HC T A N Z Giải bài toán về số và chữ số nh thế nào ? Phan Duy Nghĩa (P. Hiệu trởng trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh) * * * * * * * * * * * Bài toán về số và chữ số viết trong hệ thập phân thờng gặp từ cuối cấp tiểu học đến cấp trung học và có tác dụng lớn trong việc rèn luyện t duy cho học sinh. Việc lựa chọn cách giải tuỳ thuộc vào giả thiết của từng bài toán và kiến thức của từng lớp. Dới đây xin trình bày một số cách giải đối với các bài toán dạng này. 1. Phơng pháp xét chữ số tận cùng Ví dụ. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị. Giải : Gọi số phải tìm là ab (a 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có : ab = b x 9. Vì a 0 nên b 0. Vì b x 9 có tận cùng là b (khác 0) nên b = 5. Do đó : ab = 5 x 9 = 45. 2. Phơng pháp sử dụng tính chẵn - lẻ Ví dụ . Có một số gồm hai chữ số mà hai lần chữ số hàng chục thì bằng 5 lần chữ số hàng đơn vị. Tìm số đó. Giải : Gọi số phải tìm là ab (a 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có : a x 2 = b x 5. - Vì a x 2 là số chẵn nên b x 5 cũng phải là số chẵn ; mà 5 là số lẻ nên b phải là số chẵn. - Vì giá trị lớn nhất của a là 9 nên a x 2 có giá trị lớn nhất là 9 x 2 = 18 ; do đó giá trị lớn nhất của b x 5 cũng chỉ là 18. Vì thế giá trị lớn nhất của b cũng chỉ là 3 (vì nếu b = 4 thì 4 x 5 = 20 > 18), mà b là số chẵn nên b = 2 và a x 2 = 2 x 5. Suy ra : a = 5. Số cần tìm là 52. 3. Phơng pháp thử chọn Ví dụ. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau abc sao cho: a 1 + b 1 + c 1 = 1 Giải : Giả sử a < b < c, suy ra c 1 < b 1 < a 1 . Do đó ta có : a 1 + b 1 + c 1 < a 1 + a 1 + a 1 . Hay : 1 < a 1 x 3 nên suy ra a < 3. Mà a lớn hơn 1, vậy a = 2. Với a = 2 thì 2 1 + b 1 + c 1 = 1. Suy ra : b 1 + c 1 = 2 1 . Suy ra b và c phải lớn hơn 2. Hơn nữa : 2 1 = b 1 + c 1 < b 1 + b 1 = b 1 x 2. Suy ra b < 4. Vậy b = 3. Khi đó ta có : 3 1 + c 1 = 2 1 . Suy ra : c = 6. Nhng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là : 236, 263, 326, 362, 632, 623. 4. Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết Ví dụ. Tìm số abc biết rằng : 7b ac = 3 2 Giải : Ta có : 7b < 100 và 7b chia hết cho 3. Do đó b = 2 ; 5 ; 8. - Với b = 2 thì 27 : 3 = 9. Suy ra ac = 2 x 9 = 18. Vậy abc = 128. - Với b = 5 thì 57 : 3 = 19. Suy ra ac = 2 x 19 = 38. Vậy abc = 358. - Với b = 8 thì 87 : 3 = 29. Suy ra ac = 2 x 29 = 58. Vậy abc = 588. Vậy có ba số thoả mãn điều kiện bài toán là abc = 128 ; 358 ; 588. 5. Phơng pháp sử dụng chặn trên, chặn dới Ví dụ. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho : a 4 + 3 b = 6 5 Giải: Vì a 4 + 3 b = 6 5 mà 6 5 < 1 nên 3 b < 1 (vì a 4 0). Do đó : b < 3. Vì a 4 + 3 b = 6 5 nên a 4 = 6 5 - 3 b . Nếu b = 0 thì a 4 = 6 5 . Không có giá trị tự nhiên nào của a để có a 4 = 6 5 . Nếu b = 1 thì a 4 = 6 5 - 3 1 . Ta tìm đợc a = 8. Nếu b = 2 thì a 4 = 6 5 - 3 2 . Ta tìm đợc a = 24. Vậy ta tìm đợc a = 8, b = 1 và a = 24, b = 2. 6. Phơng pháp sử dụng kỹ thuật thực hiện phép tính Ví dụ. Tìm số có bốn chữ số, biết rằng nếu số đó nhân với 9 thì đợc một số có bốn chữ số nhng đợc viết theo thứ tự ngợc lại với số phải tìm. Giải: Gọi số phải tìm là abcd (a 0 ; a, b, c, d < 10), số viết theo thứ tự ngợc lại là dcba . Theo bài ra ta có : abcd x 9 dcba Vì tích là số có 4 chữ số ( dcba ) nên a = 1 và d = 9. Khi đó ta có : 91bc x 9 19cb Khi nhân chữ số hàng trăm của số bị nhân (b) với 9 thì phép nhân này không nhớ sang hàng nghìn (vì nếu có nhớ sang hàng nghìn thì tích sẽ là số có 5 chữ số). Do đó b = 0 hoặc b = 1. Nếu b = 0 thì ta có 910c x 9 019c Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8. c x 9 + 8 = 0 hay c x 9 có tận cùng là 2. Do đó c = 8 để 8 x 9 = 72. Thử : 1089 x 9 = 9801 (đúng với đầu bài). Nếu b = 1 thì ta có : 911c x 9 119c Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8. c x 9 + 8 = 1 hay c x 9 phải có tận cùng là 3. Do đó c = 7 để 7 x 9 = 63. Thử : 1179 x 9 = 10611, trái với bài ra vì tích có 5 chữ số. Vậy số cần tìm là 1089. 7. Phơng pháp phối hợp nhiều cách giải Ví dụ. Tìm số gồm ba chữ số có hàng trăm là 1 và số đó bằng 17 lần tổng các chữ số của nó. Giải: Gọi số phải tìm là ab1 (a, b < 10). Theo bài ra ta có : (1 + a + b) x 17 = ab1 17+ a x 17 + b x 17 = ab1 (một tổng nhân một số) a x 17+ b x 17 = ab1 - 17(tìm 1 số hạng của tổng) a x 17 + b x 17 = 100 + a x 10 + b 17 a x 7 + b x 16 = 83. Vì tổng là số lẻ (83), b x 16 là số chẵn nên a x 7 phải là số lẻ, do đó a phải là số lẻ. Xét các trờng hợp của a, ta có : *) Nếu a = 1 thì b x 16 = 83 1 x 7 = 76. (b = 76 : 16 đây là phép chia có d nên loại) *) Nếu a = 3 thì b x 16 = 83 3 x 7 = 62. (b = 62 : 16 đây là phép chia có d nên loại) *) Nếu a = 5 thì b x 16 = 83 5 x 7 = 48. b = 48 : 16 = 3. Thử : (1 + 5 + 3) x 17 = 153. Đúng với yêu cầu. *) Nếu a = 7 thì b x 16 = 83 7 x 7 = 34. (b = 34 : 16 đây là phép chia có d nên loại) *) Nếu a = 9 thì b x 16 = 83 9 x 7 = 20. (b = 20 : 16 đây là phép chia có d nên loại) Vậy số phải tìm là 153. Để làm quen với các phơng pháp trên, các bạn hãy giải các bài toán sau nhé : Bài 1. Tìm abcd biết : dcba + dcb + dc + d = 4321 Đáp số : 1983 Bài 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho : 3 a - b 4 = 5 1 Đáp số : a = 3 và b = 5 Bài 3. Cho phân số b a có giá trị bằng 4 3 . Nếu giảm mẫu số đi 12 và giữ nguyên tử số thì đợc phân số mới có giá trị bằng 7 6 . Tìm phân số b a . Đáp số : 96 72 Bài 4. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất N gồm chín chữ số là N = hikabc deg , biết rằng : ab chia hết cho 2 ; abc chia hết cho 3 ; abcd chia hết cho 4 ; abcde chia hết cho 5 ; degabc chia hết cho 6 ; habc deg chia hết cho 7 ; hiabc deg chia hết cho 8 và hikabc deg chia hết cho 9. Đáp số : 102000564 . bài toán về số và chữ số nh thế nào ? Phan Duy Nghĩa (P. Hiệu trởng trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh) * * * * * * * * * * * Bài toán về số và chữ. chẵn - lẻ Ví dụ . Có một số gồm hai chữ số mà hai lần chữ số hàng chục thì bằng 5 lần chữ số hàng đơn vị. Tìm số đó. Giải : Gọi số phải tìm là ab (a 0