Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm những giá trị của biến để các phân thức trên được xác định là những giá trị sao cho giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0... Những giá trị của biểu thức để phân thức nhận giá trị 0 [r]
PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP §9 BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Một biểu thức chứa phép tính cộng, trừ, nhân, chia chứa biến mẫu thức gọi biểu thức phân - Một đa thức gọi biểu thức nguyên - Nhờ quy tắc phép cộng, trừ, nhân, chia phân thức ta biến đổi biểu thức phân thành phân thức - Giá trị biểu thức phân xác định với điều kiện giá trị mẫu thức khác Biến biểu thức phân nhận giá trị cho giá trị tương ứng mẫu thức khác B BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho phân thức: x3 − 3x + a x − 10 c x2 + y2 xy − 3x − y + x2 + x − b x + x − 10 d 3x − x + x + x y − x − xy + x − y Tìm giá trị biến để phân thức xác định Tìm giá trị biến để phân thức nhận giá trị Hướng dẫn giải: Tìm giá trị biến để phân thức xác định giá trị cho giá trị tương ứng mẫu thức khác Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 82 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP a Ta có: x − 10 = ⇒ x = 10 ⇒ x = Do đó: x − 10 ≠ x ≠ 10 = Vậy giá trị biến để phân thức xác định là: x ≠ b Ta có: x + 3x − 10 = ⇒ ( x − )( x + 5) = ⇒ x − = x + = ⇒ x = 2; x = −5 Do x + x − 10 ≠ x ≠ 2; x ≠ −5 Vậy giá trị biến để phân thức xác định là: x ≠ 2; x ≠ −5 c Ta có: xy − 3x − y + = ⇒ x ( y − 3) − ( y − 3) = ⇒ ( y − 3)( x − ) = ⇒ y − = ⇒ x − = ⇒ y = 3; x = Do đó: xy − y + ≠ x ≠ 2; y ≠ Vậy giá trị biến để phân thức xác định là: x ≠ 2; y ≠ d Ta có: x3 + x y − x − xy + x − y = ⇒ x2 ( x + y ) − x ( x + y ) + ( x + y ) = ( ) ⇒ ( x + y ) x2 − x + = 3 Mà x − x + = x − x + + = x − + ≠ 4 2 Suy ra: ( x + y ) ( x − x + 1) = ⇒ x + y = ⇒ x = − y Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 83 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Do đó: x + x y − x − xy + x − y ≠ x ≠ − y Vậy giá trị biểu thức để phân thức xác định là: x ≠ − y Những giá trị biểu thức để phân thức nhận giá trị giá trị cho giá trị tương ứng tử thức Tuy nhiên, ta cần lưu ý giá trị phải làm cho phân thức xác định a Ta có: x − x + = ⇒ x ( x − 1) − ( x − 1) = ⇒ ( x − 1) x ( x + 1) − = ( ) ⇒ ( x − 1) x + x − = ⇒ ( x − 1) ( x + ) = ⇒ x − = x + = ⇒ x = 1; x = −2 Với giá trị này, phân thức xác định b Ta có: x + x − = ⇒ x ( x + ) − ( x + 5) = ⇒ ( x + 5)( x − 1) = ⇒ x + = x − = ⇒ x = −5; x = Với giá trị biến, ta thấy giá trị x=-5 giá trị mà phân thức không xác định (xem phần I) Vậy giá trị biến để phân thức nhận giá trị là: x=1 c Ta có: x + y = ⇒ x = y = Với giá trị biến, phân thức xác định Vậy giá trị biến để phân thức nhận giá trị là: x=y=0 d Ta có: x − x + = ⇒ ( x − x + ) = Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 84 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP ( ) ⇒ x − x + + 1 = ⇒ ( x − 1) + 1 = Nhưng ( x − 1) + ≠ nên ( x − 1) + 1 ≠ 2 Vậy khơng có giá trị biến để phân thức nhận giá trị Nhận xét: Ta tìm giá trị biến để phân thức nhận giá trị ta cần lưu ý xem giá trị có làm cho phân thức xác định hay khơng Ví dụ: Tìm giá trị biến để phân thức Ta có: x2 + x − = ⇒ x + x − = x + x − 10 x + x − 10 ( x2 + 4x − nhận giá trị x + x − 10 ) ⇒ x + x − = x + x − 10 ⇒ ( x + x − ) − ( x + x − 10 ) = ⇒ x + = ⇒x=− Với giá trị biến, phân thức xác định Vậy giá trị biến để phân thức nhận giá trị là: x = − Bài 2: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức tính giá trị phân thức: 2x + a x − a với x = 2a x x + a2 1+ a x − b x − 4x + x + với x=2004 x +2 −x x3 + Hướng dẫn giải: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 85 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP 2x + a (2x − a ) + (2x + a ) 4x 2x − a = 2x − a = 2x − a x x x 2 2 x +a x +a x + a2 1+ a ( x2 + a2 4x x = : = x − a x2 + a2 2x − a ) Khi x=2a, giá trị phân thức là: ( ) ( a ) + a 4 a + a 20a 20a = = = 2.2a − a 4a − a 3a 2 x − b x − 4x + x + = x +2 −x x3 + ( ( x + 1) ( x ) ( x + ) − x ( x + 1) − x +1 x3 + − x + 3x − ( x − 1)( − x ) − x x3 + = = : 2− x x3 + x +1 x3 + = ( x − 1)( − x ) x3 + ) x ( x + 1) − x − x + ( x2 + − 2x2 + 2x − x3 + = x + − x4 − x x3 + ) x3 + ( x − 1)( − x ) x + = = x −1 2− x x3 + ( − x ) ( ) Khi x=2004, giá trị phân thức là: 2004-1=2003 Nhận xét: Để giá trị biểu thức phân, trước hết ta nên rút gọn biểu thức (nếu được) Bài 3: Tìm giá trị nguyên biến x để giá trị tương ứng phân thức sau số nguyên Tìm giá trị nguyên phân thức x + 16 a A = x+2 x3 + x + x + b B = 2x +1 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 86 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Hướng dẫn giải: a A = x + 16 ( x + ) + 6 = = 5+ x+2 x+2 x+2 Do x số nguyên nên A nhận giá trị nguyên (x+2) ước Các ước là: ±1, ±2, ±3, ±6 ; với x = −2 phân thức khơng xác định vậy, ta lập bảng giá trị sau: x+2 -1 -3 -6 x -3 -1 -5 -8 A -1 11 b Thực phép chia ( x + x + x + ) cho ( 3x + 1) thương (x ) + dư 3x3 + x + x + = x2 + + 3x + 3x + Do x số nguyên nên B nhận giá trị nguyên (3x+1) ước Các ước là: ±1, ±3 3x + = ⇒ x = ⇒ A = x + = −1 ⇒ x = − (loại x số nguyên) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 87 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP 3x + = ⇒ x = (loại ) 3 x + = −3 ⇒ x = − (loại) Vậy A có giá trị nguyên tương ứng là: C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị cua biến để biểu thức sau xác định a c x + x − 18 x2 + x + − x + 3xy − y −5 x + xy + 15 − y −2 x3 + x + e x − xy + y g b x3 + x + x3 − x + d − x3 x − xy + y x − xy + y f x y − x y + 3xy − 3x + x − −x2 + x2 + y2 + x + y + h x2 + 5x + x+2 x − 6x − Bài 2: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: a 1 + x 2x +1 x2 + x− x 4x2 − y x y − x y + xy x c y + xy − x y x3 − y 2y + x − 1− b y y2 + x x x − 2y x −3 x−4 − d + 3x + x ( x − )( x − 3) 1+ (1 + x )(1 + x ) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 88 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP x +1 x −1 − x − x +1 f x3 1− − x3 x y + x+ y x− y e 2( x + y) xy − x− y x − y2 Bài 3: Rút gọn tính giá trị biểu thức: x + ) − 12 ( x−2 x3 + x + x + + − a : x3 − x − x3 − x + x − x + ( x − ) Với x=-2; x=2 x − y ) + xy ( x5 + y + x y + x3 y b : 1: 3 2 3 x + y + x y + xy x − y x + y − xy ( ) )( ) ( Với x=124,5; y=24,5 c − x + x y − z y + z − x2 x + z − y − 1 : yz yz y−z Với x=0,3; y= -1,4; z=2,1 ( ) x y + z + y ( x − xy ) x + y + z − xyz d xy + xz ( y + z ) ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )2 Với x=3; y=-5; z=-1 36 x − 144 x − 36 x + 144 ( x − 1) ( x + 1) x −1 x + − + 2 2 x − x + x − x + x − x − x + x3 + 27 e Với x=3 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 89 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP f ( 3( x + 2) ) x + x + x + + x − x − 10 x3 − x + x − ( ) 3 : + − x + ( x + 1) ( x − 1) Với x= -5 1 x y − + − a − x a − y ( a − x ) ( a − y )2 g a ( x + y ) + 1 − 2 ( a − x ) ( a − y ) ( a − x )( a − y ) Với x= -1230; y= 246 Bài 4: Tính giá trị nguyên biến x để giá trị tương ứng phân thức sau số nguyên Tìm giá trị nguyên phân thức a A = c C = 3x − x + 3x + 2x2 + 2x −1 b B = x − x + 10 x + 2x −1 d D = x3 + x − 3x + x+2 Bài 5: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn đồng thời đẳng thức: x − y + z = x − xy + x − z = Bài 6: Chứng tỏ rằng: a2 ( c − b ) b2 ( a − c ) c2 (b − a ) + + bc ac ba a a+b+c=1 =1 a ( c − b ) b ( a − c ) c (b − a ) + + bc ac ba a − b b − c c − a a + b b + c c + a b a+b+c=0 + + + + = a+b b+c c + a a − b b−c c−a Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 90 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP c a2 b2 c2 a b c + + = + + = b+c c+a a+b b+c c+a a+b a Cho xyz=1 Tính: M = Bài 7: b 1 + + + x + xy + y + yz + z + zx 1 yz zx xy + + = Tính: N = + + x y z x y z c Cho x1 = x −1 y −1 x −1 x −1 ; x2 = ; x3 = ; ; xk +1 = k ; x2004 = y +1 x1 + x2 + xk + Hướng dẫn giải: Bài 1: a ĐS: x ≠ −1; x ≠ −3 d.ĐS: x ≠ y; x ≠ b ĐS: x ≠ 1; x ≠ −1 5y c ĐS: x ≠ 3; y ≠ f ĐS: x ≠ e ĐS: x ≠ 0; y ≠ ; y ≠ y h x ≠ −2; x ≠ −1; x ≠ g ĐS: Biểu thức xác định Bài 2: a ( x − 2y) b ĐS: 3x + ĐS: 2x +1 x d ĐS: 13 e ĐS: 3 c ĐS: x− y x+ y f ĐS: − x ( x + x + 1) x +1 Bài 3: a ĐS: ( x3 + x3 − ( x − ) ) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 91 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Khi x=-2: Giá trị biểu thức là:0 Khi x=2: Biểu thức không xác đinh b ĐS: x-y; Khi x=124,5; y=24,4: Giá trị biểu thức là:100 c ĐS: − 3( x + z − y ) Khi x=0,3 ; y= -1,4 ; z= 2,1: Giá trị biểu thức : -5,7 d ĐS: x+ y+ z 2( y + z) Khi x=3; y=-5; z= -1: Giá trị biểu thức là: e ĐS: 72 x − 3x + Khi x= : Giá trị biểu thức là: f ĐS: x+2 Khi x=-5 : Giá trị biểu thức là: − g ĐS: 2a Khi x=-1230; y= 346 : Giá trị biểu thức là: 2a (không phụ thuộc vào giá trị biến x, y ) Bài 4: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 92 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP a A= 3x − x + = x −1+ 3x + 3x + A số nguyên ⇒ ( 3x + ) ước ⇒ x + = ±1;3 x + = ±5 Do x số nguyên nên x + = −1;3 x + = Các giá trị nguyên A tương ứng là: -3; b B= x3 − x + 10 x + = x2 − 4x + + 2x −1 2x −1 B số nguyên ⇒ ( x − 1) ước ⇒ x − = ±1; x − = ±7 Các giá trị nguyên B tương ứng là: -4; ; 23; c 4x2 + 2C = = 2x +1 + 2x −1 2x −1 C số nguyên ⇒ 2C số nguyên ⇒ ( x − 1) ước ⇒ x − = ±1; x − = ±3 Các giá trị nguyên C tương ứng là: -1; d D= x3 + x − 3x + 11 = x2 − + x+2 x+2 D số nguyên ⇒ ( x + ) ước 11 ⇒ x + = ±1; x + = ±11 Các giá trị nguyên D tương ứng là: -13; 9; 117; 119 Bài 5: x − y + z = (1) x − xy + x − z = (2) Ta có: x − y + z = ⇒ z = − x + y Thay vào (2) ta có: Nguyễn Quốc Tuấn (Tởng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 93 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP x − xy + x − y − = ⇒ x + x − = y ( x + ) = x + 3x − ⇒ y = 2x −1 − x+2 x+2 y số nguyên ⇒ ( x + ) ước ⇒ x + = ±1; x + = ±3 Các giá trị nguyên x, y, z thỏa điều kiện toán là: x = −3; y = −6; z = −1; x = −1; y = 0; z = 3; x = −5; y = −10; z = −3; x = 1; y = 0; z = 1; Bài 6: a Rút gọn vế trái: a2 (c − b) = + bc a (c − b) bc b2 ( a − c ) + ac b (a − c) ac + + c2 (b − a ) ba c (b − a ) ba = = ( a − b )( b − c )( c − a )( a + b + c ) abc ( a − b )( b − c )( c − a ) abc ⇒ VT= a + b + c = b a −b b−c c −a a +b A= + + a +b b+c c+a a−b = 1+ = 1+ a + b ( b − c )( c + a ) + ( b + c )( c − a ) a −b ( b + c )( c + a ) 2c ( b − a ) 2c ( b − a ) a+b = 1− a − b c + c ( a + b ) + ab c + c ( a + b ) + ab Vì a+b+c=0 nên a+b= -c Do đó: A = − 2c ( b − a ) c + c ( a + b ) + ab = 1+ 2c 2c = + c − c + ab abc Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 94 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP a−b b−c c−a b+c 2a + + = 1+ Tương tự: B = abc a+b b+c c+a b−a 2b3 a −b b −c c − a c + a C = + + = + abc a+b b+c c+a c−a Khi đó: VT=A+B+C= + a + b3 + c abc Mà ta có: a + b3 + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) ⇒ Khi a + b + c = a + b3 + c3 = 3abc ⇒ c Do a + b3 + c3 = abc a b c + + =1 b+c c+a a+b b c a2 ba ca a a= + + + + a = b+c c+a a+b b+c c+a a+b b c ab b2 cb a + + + + b= b = b+c c+a a+b b+c c+a a+b b c ac bc c2 a + + + + c= c = b+c c+a a+b b+c c+a a+b ⇒ a+b+c = a2 b2 c ba ac ab cb ac bc = + + + + + + + + b+c c+a a+b c+a a+b b+c a+b b+c c+a a2 b2 c2 a2 b2 c2 = + + + + =0 + (a + b + c) ⇒ b+c c+a a+b b+c c+a a+b Bài 7: Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 95 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP z= N= a Thay xy 1 1 yz zx xy + + = xyz + + x y z y z x 1 1 1 + + =0⇒ + + = x y z x y z xyz y +1 x2 = − ; x3 = ; x4 = y ⇒ x5 = x1 y 1− y Quý thầy cô nhận bạn file WORD Zalo 0918.972.605 TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TỐN MỚI NHẤT-2019 Nguyễn Quốc Tuấn (Tởng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 96 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt online biểu mẫu: https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89 Đọc trước sách tại: https://xuctu.com/sach-truc-tuyen/ Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 97 ... ⇒ x + = ⇒x=− Với giá trị biến, phân thức xác định Vậy giá trị biến để phân thức nhận giá trị là: x = − Bài 2: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức tính giá trị phân thức: 2x + a x − a với x... Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 91 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Khi x=-2: Giá trị biểu thức là:0 Khi x=2: Biểu thức không xác đinh b ĐS:... trị phân thức là: 2004-1=2003 Nhận xét: Để giá trị biểu thức phân, trước hết ta nên rút gọn biểu thức (nếu được) Bài 3: Tìm giá trị nguyên biến x để giá trị tương ứng phân thức sau số nguyên