Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 31 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
31
Dung lượng
468,14 KB
Nội dung
MỤC LỤC Trang Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắc Mở đầu Chương 1: Kiến thức 1.1.Định nghĩa ví dụ 1.2.Một số tính chất mơđun nội xạ 10 Chương 2: Đặc trưng môđun tựa nội xạ tính chất (1-C1) 2.1.Một số tính chất mơđun tựa nội xạ 15 2.2.Một số tính chất lớp CS-môđun (1-C1)-môđun 18 2.3.Đặc trưng môđun tựa nội xạ tính chất (1-C1) 26 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 31 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Các ký hiệu luận văn chủ yếu dựa vào F.W Anderson and K.R Fuller [1], Ngo Sy Tung [5] N M : Giao tập hợp N tập hợp M N M : N môđun môđun M N e M: N môđun cốt yếu môđun M N M: N hạng tử trực tiếp M A B : tổng trực tiếp môđun A môđun B M i : Tổng trực tiếp môđun Mi với tập số I iI M i :Tích Đềcác mơđun Mi iI M i :Tập hợp mà phần tử tổng tập hợp Mi , iI iI MỞ ĐẦU Cùng với phát triển tốn học đại nói chung, lý thuyết mơđun nhà toán học quan tâm đạt nhiều kết xuất sắc Vào năm 1977, Chatters Hajarnavis đưa khái niệm CS-môđun (Extending Module) Khi lớp CS-mơđun đời lý thuyết mơđun phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết vành Đặc biệt, Đinh Văn Huỳnh, P.F Smith, R.Wisbauer, A.Harmanci, Nguyễn Việt Dũng, Ngô Sỹ Tùng,…, người nghiên cứu đạt nhiều kết CS-môđun Lớp (1-C1)-môđun mở rộng thực lớp CS-môđun lớp CS-mơđun nhiều nhà tốn học ngồi nước nghiên cứu Vì việc nghiên cứu đặc trưng mơđun tựa nội xạ tính chất (1C1) vấn đề có ý nghĩa thời Đó lí chúng tơi chọn đề tài “đặc trưng mơđun tựa nội xạ tính chất (1-C1)” Trong đề tài dựa sở báo “Some Results on quasi-continuous modules” Ngô Sỹ Tùng, Đại Học Vinh Luận văn chia làm hai chương với phần mở đầu, kết luận, danh mục ký hiệu tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày định nghĩa, ví dụ tính chất có liên quan đến luận văn Chương 2: Trình bày số tính chất môđun tựa nội xạ, lớp CS-môđun, (1-C1)-môđun đặc trưng mơđun tựa nội xạ tính chất (1-C1) Kết chương là: Hệ 2.1.3, Hệ 2.2.3, Bổ đề 2.2.4, Bổ đề 2.2.9, Mênh đề 2.2.11, Định lí 2.3.2 Luận văn tháng năm 2007, thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm túc suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn, giúp cho tác giả tự tin trình độc lập sáng tạo, tu dưỡng rèn luyện khả tập dượt nghiên cứu khoa học Trong trình học tập viết luận văn, tác giả nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo tổ Đại số trường Đại học Vinh Cũng dịp này, tác giả xin cảm ơn đến thầy, cô giáo khoa Toán, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, Khoa Sau đại học trường Đại học sư phạm Đồng Tháp bạn lớp cao học khoá 13 Đồng Tháp, Sở Giáo dục Đào tạo TP Cần Thơ, Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Hà Huy Giáp, động viên giúp đỡ để luận văn hoàn thành kế hoạch Cuối cùng, khả cịn nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận góp ý chân tình q thầy giáo, cô giáo tất bạn Vinh, tháng 04 năm 2008 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong tồn luận văn vành ln xét vành kết hợp có đơn vị ký hiệu môđun môđun phải unita vành R 1.1.Định nghĩa ví dụ 1.1.1.Định nghĩa Cho môđun M N M Môđun N gọi cốt yếu M, ký hiệu N e M, N K với môđun khác không K M Nếu N mơđun cốt yếu M, ta nói M mở rộng cốt yếu N Ví dụ Mơđun M e M ; nZ e Z, n 1.1.2.Định nghĩa Môđun U gọi môđun A B khác U A B 0, hay môđun khác không U môđun cốt yếu U Ví dụ Z-mơđun Z A, B Z A= nZ, B= mZ, với * m, n N A B= [m,n]Z 0, ([m,n] bội số chung nhỏ m,n ) 1.1.3.Định nghĩa Cho môđun M N M Môđun N gọi đóng M N khơng có mở rộng thực M Nói khác N gọi đóng M với mơđun K M mà N e K K=N Ví dụ A B hai mơđun M thỏa mãn M=A B mơđun B đóng M 1.1.4.Định nghĩa Cho mơđun M N M Môđun K M gọi bao đóng mơđun N M K môđun tối đại M cho N e K Hệ Bao đóng môđun tồn Chứng minh Thật cho H M Ta chứng minh tồn bao đóng H M Đặt S={K M/H e K} - S khác rỗng H S - Sắp thứ tự S theo quan hệ Lấy tập S, thứ tự tuyến tính K1 K2 … Kn … (1) Đặt A= Ki, ta thấy A cận (1) Ta chứng minh A S hay H e A Lấy x A x suy tồn n để x Kn, mà H e Kn suy Rx H suy H e A suy A S Vậy tập thứ tự tuyến tính có cận Theo Bổ đề Zorn suy S có phần tử tối đại K Ta chứng minh K bao đóng H Do K S suy H e K, tồn B M cho K e B suy H e B suy B S điều mâu thuẩn với giả thiết tính tối đại K suy B=K Ví dụ Xét Z- mơđun, 2Z có bao đóng Z 1.1.5.Định nghĩa Cho môđun M N,H M Môđun H gọi phần bù giao N M H môđun tối đại môđun M thỏa mãn H N=0 1.1.6.Định nghĩa (1) Một môđun M khác không gọi mơđun đơn trường hợp khơng có môđun không tầm thường (2) Cho họ (Mi)i I tập hợp môđun đơn M Nếu M tổng trực tiếp tập hợp này, M= Mi phân tích nửa đơn iI M Một môđun M gọi mơđun nửa đơn trường hợp có phân tích nửa đơn 1.1.7.Định nghĩa (1) Một mơđun M gọi khơng thể phân tích trường hợp khác khơng khơng có hạng tử trực tiếp không tầm thường (2) Một hạng tử trực tiếp K M gọi hạng tử trực tiếp tối đại M K có bù hạng tử trực tiếp khơng phân tích N M (3) Một phân tích M= Mi mơđun M tổng trực tiếp iI môđun khác không (Mi)iI gọi bù hạng tử trực tiếp (bù hạng tử trực tiếp tối đại) trường hợp cho hạng tử trực tiếp K jJ M có tập hợp J I với M = M j K 1.1.8.Định nghĩa Cho hai môđun I J (1) Môđun I gọi J-nội xạ (J-injective) với đơn cấu môđun g:K J với đồng cấu mơđun f: K I có đồng cấu mơđun f *:J I (f * mở rộng f theo đơn cấu g) cho f *.g = f g K f J f* I (2) Môđun I gọi tựa nội xạ (quasi-injective) I I- nội xạ Ví dụ: i) Z–mơđun q Z nội xạ ii) Z–môđun Z Z nội xạ 1.1.9 Định nghĩa Cho hai môđun P J (1)Môđun P gọi J-xạ ảnh (J- projective) với toàn cấu * g:J K có đồng cấu h :P J K với đồng cấu h:P sau cho g.h*= h P h* h J g K (2) Môđun P gọi tựa xạ ảnh (quasi-projective) P P-xạ ảnh 1.1.10 Định nghĩa Cho môđun M Ta thường xét điều kiện sau: (C1) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M (C2) Nếu A B môđun M đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3) Nếu môđun A B hạng tử trực tiếp M A B=0 A B hạng tử trực tiếp M (1-C1) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (1) Một môđun M gọi CS-môđun (hay Extending) M thỏa mãn điều kiện (C1) (2) Một môđun M gọi (1-C1)-môđun M thỏa mãn điều kiện (1-C1) (3) Một môđun M gọi liên tục (hay continuous) M thỏa mãn điều kiện (C1) (C2) (4) Một môđun M gọi tựa liên tục (hay quasi-continuous) M thỏa mãn điều kiện (C1) (C3) 1.1.11.Định nghĩa Cho họ mơđun (Ai/iI) Khi tích đềcác A (a i ) / a i A i , i I với phép tốn cộng phép nhân vơ iI i hướng theo thành phần (ai)+ (bi)=(ai+bi); (ai)r =(air), mơđun Mơđun gọi tích trực tiếp họ (Ai/iI) Trường hợp Ai = A, i I , ta ký hiệu A i A I iI Phép chiếu Pj : Ai iI (ai) Aj R-đồng cấu môđun, j I aj 1.1.12.Định nghĩa Môđun A gọi tổng trực tiếp họ môđun (Ai/iI) điều kiện sau thỏa mãn: (1) A = Ai , iI (2) A j A i 0; j I i j 1.1.13.Định nghĩa Một họ {Ai/iI} môđun M gọi hạng tử trực tiếp địa phương M Ai tổng trực tiếp Ai hạng tử iI iJ trực tiếp M với tập hữu hạn J I Nếu Ai tổng trực tiếp M hạng tử trực tiếp địa phương iI hạng tử trực tiếp 1.2.Một số tính chất mơđun nội xạ 1.2.1.Mệnh đề Cho N A-môđun nội xạ Nếu B A N B-nội xạ N A -nội xạ B Chứng minh i) Ta chứng minh N B-nội xạ Với môđun X B ta có X A Mà N A-nội xạ nên với đồng cấu : X N mở rộng thành đồng cấu h : A N cho hi Chọn : B N cho h.i Khi mở rộng nên N B -nội xạ i i X B A h N ii) Ta chứng minh N A -nội xạ B Giả sử X B môđun A B : X N đồng cấu bất B kỳ Gọi đồng cấu tự nhiên từ A vào A ( ' x) Ta xét biểu đồ sau: ' thu hẹp X B i X A ' X 10 A B B Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 1.2.7 Mệnh đề 2.1.4 2.1.6.Hệ [3, Proposition 1.19] M i tựa nội xạ Mi iI Mj nội xạ (i,j=1,2,3,…,n) M n tựa nội xạ M nội xạ Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 2.1.5 17 2.2.Một số tính chất lớp CS-mơđun (1-C1)-mơđun 2.2.1.Hệ Cho mơđun M Nếu M CS-mơđun M (1-C1)-môđun Chứng minh Giả sử M CS-môđun theo định nghĩa CS-môđun, môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Do vậy, môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M, từ dẫn đến M (1-C1)–môđun theo Định nghĩa 1.1.10 2.2.2.Bổ đề Giả sử M mơđun đó, ta có: i) Cho A môđun tùy ý M Nếu A đóng hạng tử trực tiếp M A đóng M ii) Mọi hạng tử trực tiếp M đóng M Chứng minh i) Giả sử M M1 M A đóng M1, ta chứng minh A đóng M Thật vậy, xét phép chiếu : M1 M M1 Giả sử A e B M ta chứng minh A = B Ta có: A M suy A M A đơn cấu Do A A e B M1 Vì A đóng M1 nên B A B 1 B B Suy 1 B B mà ta có A e B suy 1 B Hay B B M1 Do A đóng M1 nên ta có A = B Vậy A đóng M ii) Giả sử A hạng tử trực tiếp M ta có M A B Lấy N M cho A e N A B e N B Từ e N B suy NB0 Xét phép chiếu : A B A ta có Ker B mà N B nên N ker() B đơn cấu Vì N nhúng đơn cấu vào mơđun A mà A N A N Vậy A đóng M 18 2.2.3 Hệ Hạng tử trực tiếp (1-C1) – môđun (1-C1) – môđun Chứng minh Giả sử A M hay M A B , M thoả (1-C1) Ta thấy A đóng M ta chứng minh A (1-C1)–mơđun Thật vậy, lấy mơđun T đóng A Do A đóng M sử dụng Bổ đề 2.2.2 ta có T đóng M Mà M (1-C1)–môđun nên T M M T K với K M Mặt khác M A B T A , suy tồn môđun C A K M thỏa mãn A K T A A K T 0 , suy A A K T hay A C T T A , A (1-C1) – mơđun 2.2.4.Bổ đề Nếu M (1-C1)–mơđun, mơđun đóng M (1-C1)–mơđun Chứng minh Giả sử N mơđun đóng M U mơđun đóng N (Do mơđun A đóng mơđun B mà mơđun B đóng mơđun C mơđun A đóng mơđun C) Khi U đóng M Vì M (1-C1)–môđun nên U hạng tử trực tiếp M nghĩa M U X với X mơđun M Vì U N nên theo luật modunlar ta có N U X N Như U hạng tử trực N suy N (1-C1)–môđun 2.2.5.Hệ Nếu M (1-C1)–mơđun hạng tử trực tiếp M (1-C1)–môđun Chứng minh Gọi môđun N hạng tử trực tiếp M U mơđun đóng N Khi đó, theo Bổ đề 2.2.4 U đóng M Vì M (1-C1)–môđun nên U môt hạng tử trực tiếp M, ta có M=U U/ với U/ mơđun M Vì U N nên theo luật modunlar ta có N=U (N U/) Vậy U hạng tử trực tiếp N Hay N (1-C1) –môđun 19 2.2.6.Mệnh đề Giả sử M (1-C1)–môđun X U mơđun đóng M, X hạng tử trực tiếp M U mơđun Khi X U hạng tử trực tiếp M Chứng minh Vì A hạng tử trực tiếp M M X M1 với M1 môđun M Gọi : M M1 phép chiếu tự nhiên Giả sử V mở rộng cốt yếu U M1, U X U đơn cấu nên ta có U U , U môđun Như V môđun đóng M1 Do M1 hạng tử trực tiếp M, M (1-C1)-môđun, M1 (1-C1)-môđun Ta thấy 1 V 1 U X U (vì X ) Ta chứng minh 1 V X U Thật vậy, lấy x 1 V x V mà x x ' m1 với x ' X, m1 M1 x m1 V Từ suy x x ' m1 X V hay X U 1 (V) X V (*) Ta chứng minh X U cốt yếu X V Thật vậy, gọi Z X U V Lấy x u X U, u Theo (*) ta có x u X V hay x u x ' v , v= x – x’ V nên suy Z Bởi V nên Z e V Từ ta có X Z e X V Nhưng X Z X U nên X U e X V Theo giả thiết X U đóng nên X U X V Vì M X M1 V hạng tử trực tiếp M1 nên M X V M với M2 môđun M1 Suy X V hạng tử trực tiếp M nghĩa X U hạng tử trực tiếp M 2.2.7.Mệnh đề Giả sử M M M M1 M2 (1-C1)mơđun Khi M (1-C1)-mơđun mơđun đóng K M hạng tử trực tiếp M, K M K M 20 Chứng minh Giả sử M (1-C1)-mơđun Lúc K M mơđun đóng M thỏa mãn K M1 K M , rõ ràng ta có K hạng tử trực tiếp M Ngược lại, mơđun đóng K với K M1 K M hạng tử trực tiếp M, ta chứng minh M (1-C1)-mơđun Giả sử L mơđun đóng M Khi tồn phần bù H L cho L M e H, ta có H đóng M Theo giả thiết H M1 nên M H H' mơđun M Theo luật modunlar ta có L H L H ' Hơn L H' đóng L, L đóng M, nên L H' đóng M Vì vậy, theo giả thiết L H ' M L H hạng tử trực tiếp H’, nghĩa H' L H X với X môđun H’ Mà M H H' suy M H L H' X L M hay L hạng tử trực tiếp M Vậy M (1-C1)-môđun 2.2.8.Bổ đề Cho M1 M2 môđun M M M Khi M2 M1 nội xạ với môđun N M cho N M , tồn môđun M’ M cho M M M ' N M ' Chứng minh Giả sử môđun N M, với N M , tồn môđun M’ M cho M M M ' N M Cho L M1 g : L M đồng cấu Đặt H x g x \ x L Khi H mơđun M H M Theo giả thiết tồn môđun H’ M cho M M H ' H H' Giả sử : M M phép chiếu tắc (đối với tổng trực tiếp M M H' ) 21 Khi M1 : M1 M với x L ta có: x x g x g x x g x g x g x g x Như mở rộng g M1 Vậy M2 M1 nội xạ Ngược lại, M2 M1 nội xạ, gọi i phép chiếu tự nhiên i : M M i Xét biểu đồ giao hốn sau, 1 N ; 2 N Do M2 M1 nội xạ nên tồn đồng cấu : M1 M cho N M1 M2 Đặt M ' x x / x M1 ta có: M ' M {x M x M1} = M1+M2 Hơn với x M x M ' M ' M Như ta có M M ' M Ta lại có với y N y = y M2, nên y M ' suy N M' 2.2.9.Bổ đề Cho R vành M R-môđun cho M M M M n tổng trực tiếp hữu hạn mơđun Mi với i=1,2,…,n, M i , i 1, , n họ mơđun nội xạ lẫn Khi M (1-C1)-môđun Mi (1-C1)-môđun với i = 1,2,…,n Chứng minh Điều kiện cần theo Hệ 2.2.3, ta thấy M (1-C1)-mơđun Mi (1-C1)-môđun, i = 1,2,…,n Ngược lại, giả thiết Mi, với i = 1,2,…,n (1-C1)-môđun nội xạ lẫn nhau, ta chứng minh M (1-C1)-môđun phương pháp qui nạp theo n Ta cần chứng minh cho trường hợp n=2 Giả sử M M1 M 22 Gọi K mơđun đóng M Vì M1và M2 hạng tử trực tiếp M nên K M1=0 K M2=0 Khơng làm tính tổng quát ta giả sử K M2=0 Khi đó, M2 M1- nội xạ nên theo Bổ đề 2.2.8, tồn môđun L M cho M =L M2 K L Đặt : M1 M M1 phép chiếu tự nhiên, với phần tử xL tồn x1 M1, x2M2 cho x=x1+x2 Khi ta có (x)= (x1+x2)=x1 Cho (x) = ( x1 + x2) =x1=0 x = 0+x2, L M2=0 nên x =x2=0 hay ker ( L ) = Như L đơn cấu Bây ta xét phần tử x/1M1 Vì M=L M2 nên tồn x/2M2, x/L cho x/1 = x/ + x/2 x/ = x/1- x/2 Khi (x/) = (x/1- x/2 )= x/1 hay toàn cấu Vậy L là đẳng cấu hay L M1 L Gọi K/ môđun M1 mà K K/ Vì K mơđun đóng M nên K đóng L điều dẫn đến K/ đóng M1 Do M1 (1-C1)-mơđun nên K/ M1, nghĩa M1= K/ U/ Gọi U môđun L mà U U/ Ta chứng minh L = K U Thật vậy, lấy phần tử x U K L Khi đó, nên L (x) L (U K) L (U) L L đẳng cấu (K) =U/ K/= hay x=0 Vậy U K=0 Bây lấy phần tử x L x2U/ cho L L (x) =x/M1 Khi có x1K/, (x) = x/ =x/1+x/2 Điều dẫn đến tồn phần tử x1K, x2U cho x/1 = Như L L (x1), x/2= (x) = x/ = x/1+x/2= L L (x2) (x1) + L (x2) = L (x1+x2) hay x =x1+x2 Vậy L=K U Khi ta có M= L M2 =K U M2 hay K M Hay M (1-C1)- môđun 23 2.2.10.Bổ đề Giả sử K hạng tử trực tiếp mơđun M Khi đó, ta có K phần bù giao môđun N M K N K N e M Chứng minh Giả sử K phần bù giao môđun N K hạng tử trực tiếp M K N theo Mệnh đề 1.2.9 ta có K N cốt yếu M Ngược lại, giả sử N, K môđun M K hạng tử trực tiếp M với K N ; K N e M Khi tồn mơđun K/ M cho M K K ' Giả sử tồn môđun K1 M cho K K K N Khi K K1 M K1 K K ' K K K ' Giả sử có y K1 K ' Trước hết yr n k yr k N K1 N Bởi yr k K K ' Mâu thuẫn chứng tỏ K K ' K =K1 Như K phần bù giao N M 2.2.11.Mênh đề Giả sử R- vành M R-môđun cho M M M M n tổng trực tiếp mơđun Mi phân tích bù hạng tử trực tiếp Giả thiết với i j n , đơn cấu Mi Mj đẳng cấu Khi phát biểu sau tương đương (1)M (1-C1)-môđun (2) M i M j (1-C1)-môđun với i j n Chứng minh (1) (2) hiển nhiên theo Hệ 2.2.3 (2) (1) Giả sử môđun A M i M j (1-C1)-môđun với 1 i j n 24 Gọi K M i (K môđun đều) f: K Mj đồng cấu Đặt U x f x : x K M i M j , U K (do phép chiếu tự nhiên : M i M j M i có U K ) môđun A Lấy y U M j tồn x K cho y = x – f(x), suy x y f x M j K Do y = dẫn đến U M j Bởi A (1-C1)-mơđun nên tồn môđun U ' A U e U' Do phân tích bù hạng tử trực tiếp nên có: A U ' M i A U'M j Trường hợp 1: A U'M i Gọi i phép chiếu từ U ' M i đến Mi gọi i Mi Khi U e U ' nên U’ đóng A U'M j Như đơn cấu, từ giả thiết suy đẳng cấu Điều có nghĩa A U'M j Ta gọi j Mi j : U'M j M j phép chiếu tắc Khi , với x K, x f x x f x , f x M j x f x U' Từ ta có x i M x i M [f ( x ) x f x ] i i i M f x i M x f x f x i i Có nghĩa mở rộng f hay Mj Mi nội xạ Trường hợp 2: A U' M j gọi j : U'M j M j phép chiếu gọi j Mi Khi x M i , x x f x f x f x M j x f x U ' Từ ta có x x f x f x f x , nghĩa mở rộng f hay Mj Mi nội xạ Như vậy, môđun M i 1 i n nội xạ lẫn áp dụng Bổ đề 2.2.9 ta có M (1-C1)-mơđun 25 ... Vì M (1-C1)–môđun nên U hạng tử trực tiếp M nghĩa M U X với X mơđun M Vì U N nên theo luật modunlar ta có N U X N Như U hạng tử trực N suy N (1-C1)–môđun 2.2.5.Hệ Nếu M (1-C1)–mơđun... (1-C1)–mơđun nên U mơt hạng tử trực tiếp M, ta có M=U U/ với U/ mơđun M Vì U N nên theo luật modunlar ta có N=U (N U/) Vậy U hạng tử trực tiếp N Hay N (1-C1) –môđun 19 2.2.6.Mệnh đề Giả... bù H L cho L M e H, ta có H đóng M Theo giả thiết H M1 nên M H H' mơđun M Theo luật modunlar ta có L H L H ' Hơn L H' đóng L, L đóng M, nên L H' đóng M Vì vậy, theo giả