Bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN BÀI TOÁN BIÊN HAI ðIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC HAI Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Tp Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN ðầu tiên, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN – Khoa Toán – Tin học, Trường ðại học Sư Phạm dành thời gian cơng sức tận tình hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Cơ Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám Hiệu trường ðH Sư phạm Tp.HCM, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn - Tin học, Phịng KHCN – SðH q Thầy Cơ giảng dạy, tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành khóa học Và để có kết ngày hơm nay, tơi giúp đỡ tận tình Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý, nhận ñược lời động viên, đóng góp ý kiến bạn ñồng nghiệp Khoa Vật Lý – Trường ðH Sư phạm Tp.HCM bạn bè người thân ðặc biệt, xin dành tặng kết cho ba mẹ gia đình thân u – người ñã tạo ñiều kiện, hỗ trợ ñộng viên tơi vượt qua khó khăn bước đường nghiên cứu khoa học Cuối cùng, trình viết luận văn này, khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Mọi ý kiến đóng góp, xin gửi theo ñịa chỉ: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Khoa Vật Lý, Trường ðại học Sư Phạm Tp.HCM 280 An Dương Vương, Quận 5, Tp.HCM Email: nguyenvuthunhan@gmail.com Xin chân thành cảm ơn Mục lục Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục .3 Danh mục ký hiệu MỞ ðẦU .8 Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN .10 Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN KHƠNG THUẦN NHẤT 12 2.1.1 ðịnh nghĩa 2.1.1 .12 2.1.2 ðịnh nghĩa 2.1.2 .12 2.1.3 Bổ đề 2.1.1 (bổ đề tính giải phương trình vi phân hàm khơng nhất) 13 2.1.4 Bổ ñề 2.1.2 .15 2 BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TOÁN PHI TUYẾN17 2.2.1 ðịnh nghĩa 2.2.1 .17 2.2.2 ðịnh nghĩa 2.2.2 .17 2.2.3 Mệnh ñề 2.2.1 ([8]) 17 2.2.4 Mệnh ñề 2.2.2 ([8]) 18 2.2.5 Bổ ñề 2.2.1 .18 2.2.6 Mệnh ñề 2.2.3 19 2.2.7 Mệnh ñề 2.2.4 (Tính chất tập V0 ((a; b); ℓ) 19 2.2.8 Bổ ñề 2.2.2 20 Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TỐN BIÊN HAI ðIỂM .23 BÀI TOÁN (1.1), (1.2) 23 3.1.1 ðịnh lý 3.1.1 23 3.1.2 Bổ ñề 3.1.1 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận) 23 3.1.3 Hệ 3.1.1 .27 3.1.4 Hệ 3.1.2 .28 3.1.5 ðịnh lý 3.1.2 30 3.1.6 Bổ ñề 3.1.2 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận) 30 3.1.7 ðịnh lý 3.1.3 34 3.1.8 Bổ ñề 3.1.3 .35 ðịnh lý 3.1.3’ .39 3.1.9 Hệ 3.1.3 .39 3.1.10 Hệ 3.1.4 42 BÀI TOÁN (1.1), (1.2) CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VỚI PHẦN CHÍNH KHƠNG TĂNG 45 3.2.1 ðịnh lý 3.2.1 45 3.2.2 Bổ ñề 3.2.1 .45 3.2.3 Bổ ñề 3.2.2 .47 3.2.4 Hệ 3.2.1 .51 3.2.5 Hệ 3.2.2 .55 3.2.6 Hệ 3.2.3 .56 3.2.7 Hệ 3.2.4 .58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Danh mục ký hiệu R: tâp hợp số thực R+ = [0, + ∞) N: tập hợp số tự nhiên C ([a ; b]; R) không gian ánh xạ liên tục u: [a, b] → R [a ; b] với chuẩn: || u ||C = max { |u(t)|: a ≤ t ≤ b} C0 ([a ; b]; R) = { u ∈ C( [a ; b]; R) : u(a) = 0, u(b) = 0} C1([a ; b]; R) không gian ánh xạ khả vi, liên tục u: [a, b] → R với chuẩn: u C1 = u C + u' C { } C01 ([ a ; b]; R) = u ∈ C1 ([a; b]; R) : u (a) = 0, u (b) = C ' ([a ; b]; R) không gian hàm liên tục tuyệt ñối [a ; b], với ñạo hàm cấp liên tục tuyệt ñối, hàm u: [a ; b] → R với b chuẩn: u C' = u ( a ) + ∫ u '( s ) ds a ' Cloc ( I ; D ) (với I ⊂ [a ; b] D ⊂ R) tập hợp ánh xạ u: I →D liên tục tuyệt ñối I cho u ∈ C ' ( I0 ; D) với tập compact I0 ⊂ I C ' ([a ; b]; (0, + ∞)) = {u ∈ C ' ([a ; b]; R): u(t) > 0, ∀ a ≤ t ≤ b} L ([ a; b ]; R ) không gian hàm f : [a ; b] → R khả tích Lebesgue b [a ; b] với chuẩn: f L = ∫ f ( s ) ds a L ( ( a; b ) ; R+ ) = { f ∈ L(( a; b); ℝ ) : f (t ) ≥ 0, ∀a < t < b} LP((a ; b); R), p> 1, không gian hàm f : (a ; b) → R, f P ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , với chuẩn f 1/ p Lp b  p =  ∫ f ( s ) ds  a  K ( ( a; b ) xR n ; D ) , n ∈ N , D ⊂ R , tập hợp ánh xạ f : ( a; b ) x R n → D thỏa mãn ñiều kiện Caratheodory ñịa phương, nghĩa là: f (., x ) : ( a; b ) → D ño ñược với x ∈ Rn sup { f (., x ) , x ∈ D } ∈ L ( ( a;b ) , R ) + với tập compact D0 ∈ R n f ( t ,.) : R n → D liên tục hầu khắp nơi với t ∈ (a ; b) M((a ; b); D), với D ⊂ R, tập hàm ño ñược f: (a ; b) → D L0([a;b]) tập hợp toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) tuyến tính, bị chặn thỏa mãn điều kiện: { sup ℓ ( v )(.) : v C } = ∈ L ( ( a; b ) ; R+ ) (*) L1((a ; b)) tập hợp toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) liên tục, dương thỏa mãn ñiều kiện (*) K((a ; b)) tập hợp toán tử F: C1 ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên tục thỏa mãn ñiều kiện: { sup F (v )(.) : v C1 } ≤ r ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , ∀r > K ((a ; b)) tập hợp toán tử F: C ' ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên tục thỏa mãn ñiều kiện: { sup F ( v )(.) : v C' } ≤ r ∈ L ( ( a; b ) ; R+ ) , ∀r > σ: L((a ; b); R) → L((a ; b); R) tốn tử xác định bởi:  t   σ ( p)(t ) = exp  ∫ p( s) ds   a +b    t σ α ( p)(t ) = σ ( p )( s ) ds σ ( p )(t ) α∫ t b σ ab ( p)(t ) = σ ( p)( s) ds ∫ σ ( p )( s)ds σ ( p)(t ) ∫a t [ p ]+ = ½ ( p + p ) [ p ]− = ½ ( p − p ) Ta nói tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} không giảm nếu: Với u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≥ v(t), a≤ t ≤ b ta có: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a≤ t ≤ b Ta nói tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} không tăng nếu: Với u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≤ v(t), a≤ t ≤ b ta có: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a ≤ t ≤ b Nghiệm toán: u”( t) = F (u) (t) với F∈K((a ; b)) hàm u ∈ C ' ( [ a ; b]; R) thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi (a ; b) - MỞ ðẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tốn biên cho phương trình hàm hình thành phát triển từ kỷ XVIII ngày tìm ứng dụng rộng rãi lĩnh vực kinh tế khoa học kỹ thuật Song, từ năm 1997, việc nghiên cứu phát triển theo hướng thực phát triển mạnh thu ñược nhiều kết Các kết ñược nghiên cứu nhóm nhà tốn học Grudia Cộng hịa Czech dẫn dắt giáo sư viên sỹ Ivan Kiguradze - Viện trưởng viện toán học Tbilisi Trong năm gần ñây, vấn ñề ñạt ñược nhiều kết cơng trình tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza R.Hakl, A.Lomtatidze Vì vậy, chúng tơi chọn ñề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển ñề tài theo hướng tác giả Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tơi tiếp tục học tập nghiên cứu tồn nghiệm tốn biên hai điểm cho phương trình: phương trình vi phân hàm cấp hai nhất, phương trình vi phân hàm cấp hai khơng nhất, áp dụng kết đạt cho phương trình vi phân hàm cấp hai đối số lệch ðối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, trọng việc nghiên cứu tính giải nghiệm tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn sở ñể tiếp tục nghiên cứu lớp toán biên hai điểm, nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai phương trình vi phân hàm bậc cao áp dụng kết cho phương trình vi phân đối số lệch bậc cao Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Phần giới thiệu tốn Chương Một số công cụ, kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày khái niệm, ñịnh nghĩa, bất ñẳng thức liên quan đến q trình xây dựng kết tốn ðồng thời, chúng tơi xây dựng bổ đề tính giải tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Chương Các kết tốn Dựa kết chương ñể xây dưng ñiều kiện ñủ cho tồn nghiệm cho phương trình vi phân hàm bậc hai 10 Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Trong luận văn này, nghiên cứu tồn nghiệm phương trình: u’’ (t) = F (u)(t) (1.1) u(a) = 0, u(b) = (1.2) thỏa mãn điều kiện: đó: F ∈ K((a ; b)) Bài tốn (1.1), (1.2) nghiên cứu chi tiết trường hợp F toán tử Nemytski, nghĩa là: F(u)(t) = f ( t, u (t), u’(t)), với f ∈K((a ; b)xR2; R) Khi đó, tốn (1.1) trở thành: u '' = f (t , u (t ), u '(t )) (1.3) Các kết toán biên (1.3), (1.2), trình bày cơng trình nhà toán học S.N.Bershtein [5], M.Nagumo, C.De la Vallée Poussin, L Tonelli H Epheser Hiện nay, lý thuyết tốn biên dạng (1.3), (1.2) hình thành cách đầy đủ, hàm f hàm khơng khả tích Trong năm gần ñây, vấn ñề ñạt ñược nhiều kết cơng trình tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza R.Hakl, A.Lomatatidze Vì vậy, cơng việc luận văn tiếp tục học tập phát triển ñề tài theo hướng tác giả Trong năm gần đây, cơng trình nghiên cứu lý thuyết tốn biên cho hệ phương trình vi phân hàm ([1 - 4, - 8], ) Hơn nữa, tốn (1.3), (1.2), tiếp tục nghiên cứu tỉ mỉ trường hợp tổng quát Tuy nhiên, gặp khó khăn sử dụng kỹ thuật lý thuyết 52 Ta xét: −1 t b  b wε (t ) = ε +  ∫ σ ( g )( s )ds   ∫ σ ( g )( s ) ds ∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds + a a  t t b  + ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds  , với a ≤ t ≤ b a t  Áp dụng bất ñẳng thức (3.2.22) ta chọn ε > cho: < wε ( t ) < , với a ≤ t ≤ b (3.2.24) Ta tính wε" (t ) : ðặt : b t t a t b a t wa (t ) = ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds wb (t ) = ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds t Ta có : wa' (t ) = −σ ( g )(t ).∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds + a ( b + ∫ σ ( g )( s )ds σ a ( g )(t ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) t ) b wb' (t ) = σ ( g )(t ).∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds − t ( t − ∫ σ ( g )( s ) ds σ b ( g )(t ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) a ) t wa" (t ) = − (σ ( g )(t ) ) '.∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds − a ( ) ( ( − (σ ( g )(t ) ) σ a ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t )  −σ ( g )(t ) σ a ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) b )) ' ' + ∫ σ ( g )( s )ds (σ a ( g )(t ) ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) + (σ a ( g )(t ) ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) )    t 53  t   σ ( g )(t ) = exp  ∫ g ( s ) ds  ;  a +b    Mà : t σ a ( g )(t ) = σ ( g )( s )ds ; σ ( g )(t ) ∫a b σ ( g )( s )ds σ ( g )(t ) ∫t σ b ( g )(t ) = [ p ]+ = ½ ( p + p ) ; [ p ]− = ½ ( p − p ) (σ ( g )(t ) ) ' = g (t ).σ ( g )(t ) ; Nên : t (σ a ( g )(t ) ) ' = σ ( g )(t ) − g (t ).∫ σ ( g )( s) ds a σ ( g )(t ) = − g (t ).σ a ( g )(t ) b (σ b ( g )(t ) ) ' = σ ( g )(t ) − g (t ).∫ σ ( g )( s ) ds t σ ( g )(t ) = − g (t ).σ b ( g )(t ) t Suy ra: w (t ) = − g (t ).σ ( g )(t ).∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds − " a a ( b ) ' −2 (σ ( g )(t ) ) σ a ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t )  + ∫ σ ( g )( s )ds (σ a ( g )(t ) ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) )    t b ( ) b + σ ( g )( s )ds [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) − g (t ).∫ σ ( g )( s ) ds.σ a ( g )(t ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) (3.2.25) ∫ t t b Tương tự : wb" (t ) = g (t ).σ ( g )(t ).∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds t ( ) t ' −2 (σ ( g )(t ) ) σ b ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t )  − ∫ σ ( g )( s )ds (σ b ( g )(t ) ) ([ p (t )]− + ℓ(1)(t ) )    a t t + ∫ σ ( g )( s ) ds.([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) + g (t ) σ ( g )( s ) ds.σ b ( g )(t ) a ∫ a ([ p(t )] − + ℓ(1)(t ) ) (3.2.26) 54 Mặt khác, ta lại có : −1 b  wε (t ) =  ∫ σ ( g )( s ) ds  ( wa" (t ) + wb" (t ) ) a  '' Nên từ (3.2.25) (3.2.26) ta có : −1 b  " ' wε (t ) = ( g (t ).wε (t ) − [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) +  ∫ σ ( g )( s ) ds  a  t b (σ ( g )(t ) ) [ p (t ) ] + ℓ(1)(t ) '  − σ ( g )( s )ds (σ ( g )(t ) ) [ p (t ) ] + ℓ(1)(t ) '   σ ( g )( s ) ds ∫  − −  a  ∫a  b   t ( ) ( ) Mà : t b ' '       ∫ σ ( g )( s )ds (σ a ( g )(t ) ) [ p(t ) ]− + ℓ(1)(t )  − ∫ σ ( g )( s )ds (σ b ( g )(t ) ) [ p(t )]− + ℓ(1)(t )       a t ( ) ( ) t b  = ([ p(t )]− + ℓ(1)(t ) )  ∫ σ ( g )( s )ds.σ a ( g )(t ) − ∫ σ ( g )( s)ds.σ b ( g )(t )  a t  ' t b   σ ( g )( s )ds t σ ( g )( s )ds  b ∫ ∫ ' =0 = ([ p(t )]− + ℓ(1)(t ) )  ∫ σ ( g )( s)ds a − ∫ σ ( g )( s)ds t t  σ ( g )(t ) σ ( g )( t ) a     Nên: wε" (t ) = ( g (t ).wε' (t ) − [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) Vậy: wε" (t ) = − [ p (t ) ]− + g (t ).wε' (t ) + ℓ(1)(t ) , với a < t < b (3.2.27) Kết hợp (3.2.24) ta có kết quả: wε" (t ) ≤ p (t ).wε (t ) + g (t ).wε' (t ) + ℓ( wε )(t ) , với a < t < b (3.2.28) ðiều chứng tỏ với hàm g ∈ M((a ; b); R) tồn wε ∈ C '([ a ; b]; R) cho: w’’(t) ≤ p(t)w(t) + g(t)w’(t) + ℓ(w)(t), với a < t < b Nên : (p, g, g) ∈ V0((a; b); ℓ) Vậy ñiều kiện (3.2.3) ñịnh lý 3.2.1 ñược thỏa mãn 55 Mặt khác, từ (3.2.23) ta có: [ F (v)(t ) − p(t )v(t ) − g (t )v '(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) ≥ − p (t )v (t )sgn v (t ) − g (t )v '(t )sgn v (t ) + p (t ) v(t ) + g (t ) v '(t ) − q (t ) ≥ −q (t ) Do đó, điều kiện (3.2.1), (3.2.2) thỏa mãn với (p1, g1, g2) ≡ (p, g, g) Vậy áp dụng định lý 3.2.1 ta có phương trình (1.1), (1.2) có nghiệm Vậy hệ 3.2.1 ñược chứng minh 3.2.5 Hệ 3.2.2 Ta ñịnh nghĩa: def ℓ(v)(t ) = h(t )v(τ (t )), v ∈ C ([a; b]; R) Xét phương trình: u "(t ) = h ( t ) u ( t ( t ) ) + G ( u )( t ) (1.6) τ ∈ M((a ; b); (a ; b)) G ∈ K((a ; b)) Giả sử với v ∈ C01 ([a; b]; R ) ta có: G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ), q ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , (3.2.29) Ngoài ra, giả sử h(t) ≤ 0, a < t < b (3.2.30) giả sử với ε ∈ (0; b – a) ta có: ( b − τ (t ) ) τ (t ) ∫ ( s − a ) h( s ) ds + (τ (t ) − a ) b ∫τ (b − s) h(s) ds ≤ b − a − ε , a < t < b (t ) a (3.2.31) Khi đó, tốn (1.6), (1.2) có nghiệm Chứng minh hệ 3.2.2: Trước tiên, ta chứng minh : (p1, g1, g2) ≡ (0,0,0) ∈ V0((a; b); ℓ) Thật vậy: t b   Xét: wε (t ) = ε + (b − t ) ∫ ( s − a) h( s) ds + (t − a) ∫ (b − s) h( s) ds  , a ≤ t ≤ b b−a b−a  Do (3.2.31) ta có : a wε (τ (t )) ≤ 1, a < t < b t  (3.2.32) 56 Mặt khác, ta lại có : t b   wε (t ) =  (b − t )(t − a ) h(t ) − ∫ ( s − a ) h( s ) ds − (t − a )(b − t ) h(t ) + ∫ (b − s ) h( s ) ds  b−a a t  ' b t   ( b − s ) h ( s ) ds − ( s − a ) h( s ) ds  ∫ ∫ b−a t a  = Suy ra: wε" (t ) = ( −(b − t ) h(t ) − (t − a) h(t ) ) = − h(t ) = h(t ) (do h(t) < 0) b−a Vậy, từ (3.2.32) ta có: wε" (t ) ≤ h(t ) wε" (τ (t )) Do đó, tồn wε ∈ wε ∈ C ' ([ a; b ];R ) cho: w"(t ) ≤ ℓ ( w )( t ) , với a < t < b Nên : (0, 0, 0) ∈ V0((a; b); ℓ) u’’(t) = h(t) u(τ(t)) + G(u)(t) = F(u)(t) Xét tốn: Ta có : [ F (v)(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) = G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ) Do : điều kiện (3.2.1), (3.2.2) thỏa mãn vớ i ( p1 , p2 , g1 , g ) ≡ ( 0,0,0,0 ) Vậy áp dụng định lý 3.2.1 ta có phương trình (1.6), (1.2) có nghiệm Vậy hệ 3.2.2 chứng minh 3.2.6 Hệ 3.2.3 Cố ñịnh ñiều kiện (3.2.30) giả sử tồn c ∈ [a ; b] cho: c b ∫ σ a ( f )(s) h(s) ds < 1, ∫ σ b ( f )(s) h(s) ds < a (3.2.33) c c h( s ) ds < 1, a < t < b ( f )( s ) σ t (t − τ (t ))σ ( f )(t ) ∫ (3.2.34) 57 ñó: f (t ) = h(t )(τ (t ) − t ), a < t < b (3.2.35) Ngoài ra, giả sử bất ñẳng thức (3.2.31) ñúng với v ∈ C01 ([a ; b]; R ) , q ∈ L((a ; b); R+) tốn (1.6), (1.2) có nghiệm Chứng minh hệ 3.2.3: Ta chứng minh: (p1, g1, g2) ≡ (0,0,0) ∈ V0((a; b); ℓ) Thật : c b ∫ σ a ( f )(s) h(s) ds ≥ ∫ σ b ( f )(s) h(s) ds Giả sử: a (3.2.36) c b c   ∫ σ a ( f )( s ) h( s ) ds < ∫ σ b ( f )( s ) h( s ) ds  c a  t  c h(ξ )  wε (t ) = ε + ∫ σ ( f )( s )  ∫ dξ  ds, a < t < b a  s σ ( f )(ξ )  ðặt: b    c h(ξ )  dξ  ds, a < t < b   wε (t ) = ε − ∫ σ ( f )( s )  ∫  t  s σ ( f )(ξ )    Từ (3.2.32) (3.2.33), ta chọn ε > cho < w ε(t) < 1, với a ≤ t ≤ b Lấy ñạo hàm cấp cấp hai wε(t) Ta có :  c h( s )  wε' (t ) = σ ( f )(t )  ∫ ds  , a < t < b  t σ ( f )( s )  Khi :  c h( s )   c h( s )  wε (t ) = (σ ( f )(t ) )  ∫ ds  + σ ( f )(t )  ∫ ds   t σ ( f )( s )   t σ ( f )( s )  " '  c h( s )  = f (t ) (σ ( f )(t ) )  ∫ ds  − h(t )  t σ ( f )( s )   c h( s )  = h(t ) + h(t )(τ (t ) − t ) (σ ( f )(t ) )  ∫ ds   t σ ( f )( s )  = h(t ) + h(t )(τ (t ) − t ) wε' (t ) , với a < t < b ' 58 Do (3.2.34) nên: wε" (t ) ≤ 0, a < t < b Do đó, wε' (t ) khơng tăng, từ ta có: τ (t ) ∫ wε (s)ds < wε (t ) (τ (t ) − t ) , a < t < b ' ' (3.2.37) t Kết hợp (3.2.37) với wε" (t ) ta có: wε" (t ) ≤ h(t ) + h(t ) ( wε (τ (t )) − wε (t ) ) = h(t ) (1 − wε (τ (t )) ) + h(t ) wε (t ) ≤ h(t ) wε (τ (t )) (do wε(t) < h(t) < 0, với a < t< b) Do đó, tồn wε ∈ C '([a; b]; R ) cho: w"(t ) ≤ ℓ(w)(t), với a < t < b Nên : (0, 0, 0) ∈ V0((a; b); ℓ) Xét toán: u "(t ) = h(t) u(τ(t)) + G(u)(t) = F(u)(t) Ta có : [ F (v)(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) = G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ) Do : ñiều kiện (3.2.1), (3.2.2) ñược thỏa mãn vớ i ( p1 , p2 , g1 , g ) ≡ ( 0,0,0,0 ) Vậy áp dụng ñịnh lý 3.2.1 ta có phương trình (1.6), (1.2) có nghiệm Vậy hệ 3.2.3 ñược chứng minh 3.2.7 Hệ 3.2.4 Xét phương trình dạng (1.4): u "(t ) = p1( t)u( t) + p2( u)( t).u’( t) + h( t) u( τ( t) + G( u)( t) ñó: τ ∈ M((a ; b); (a ; b)), p1∈ L((a ; b); R) p2, G ∈ K((a ; b)) Giả sử ñiều kiện (3.2.2) (3.2.31) ñược thỏa mãn với v ∈ C01 ([a; b]; R ) , p2, G ∈ K((a ; b)), q∈L((a ; b); R+) 59 Ngoài ra, giả sử tồn số λi ∈ [0;1], α ij ∈ [0; +∞), i, j = 1,2 c ∈ [ a; b] cho: +∞ ∫α 11 (c − a ) > 1− λ1 ds + α12 s + s − λ1 +∞ ∫α , 21 (b − c ) > 1−λ2 ds + α 22 s + s (3.2.38) − λ2 ( t − a ) [ p1 (t ) + h(t )] ≥ −α11 , λ1 Và λ   (t − a )λ1  g1 (t ) + + (τ (t ) − t ) h(t )  ≥ −α12 , a < t < c t−a   ( b − t ) [ p1 (t ) + h(t )] ≥ −α 21 , λ2 λ   (b − t )λ2  g1 (t ) + + (τ (t ) − t ) h(t )  ≤ α 22 , c < t < b b−t   (3.2.39) Với phiếm hàm h thỏa mãn ñiều kiện (3.2.30) Khi đó, tốn (1.4), (1.2) có nghiệm Chứng minh hệ 3.2.4: Ta cần chứng minh : (p, g1, g2) ∈ V0((a; b); ℓ) Hay cần chứng minh: với hàm g ∈ M ( ( a; b ) ; R ) thỏa mãn bất ñẳng thức: g1(t) ≤ g(t) ≤ g2(t), với a < t < b tồn w ∈ w ∈ C ' ([a; b]; R ) cho: w"(t ) ≤ p ( t ) w ( t ) + g ( t ) w’ ( t ) + ℓ ( w )( t ) , với a < t < b Thật : Giả sử c ∈ (a ; b) (trường hợp c = a, c = b chứng minh hoàn toàn tương tự) Do (3.2.38) nên tồn < γi < ki < + ∞, i = 1, cho: k1 ∫α γ ds 11 + α12 s + s (c − a ) = 1−λ1 − λ1 k2 , ∫α γ Ta xây dựng hai hàm ρ1, ρ2 cho : ds 21 + α 22 s + s (b − c ) = 1− λ2 − λ2 (3.2.40) 60 k1 ∫ ρ1 ( t ) ds α11 + α12 s + s k2 ∫ (t − a ) = ds ρ2 ( t ) α 21 + α 22 s + s 1−λ1 , a < t ≤ c − λ1 (b − t ) = (3.2.41) 1− λ2 − λ2 ,c ≤ t < b (3.2.42) Từ (3.2.40) ta có: γ1 < ρ1(t) < k1, a < t < c, γ2 < ρ2(t) < k2, c < t < b, Xét: ρ1 (c) = γ1, ρ2 (c) = γ2 (3.2.43)  t  − λ1 exp   ∫ ( s − a ) ρ1 ( s ) ds  , a ≤ t ≤ c  c  v(t ) =  c  − λ2  b − s s ds exp ( ) ρ ( )   ,c < t ≤ b ∫  t   (3.2.44) t   −λ1  (t − a) ρ1 (t ).exp  ∫ ( s − a)−λ1 ρ1 ( s )ds  , a < t < c   c  Suy : v '(t ) =  (3.2.45)  c  −(b − t )−λ2 ρ2 (t ).exp  (b − s )−λ1 ρ2 ( s ) ds  , c < t < b ∫    t   Ta lại có :  −λ (t − a )−λ1−1.ρ (t ) + (t − a )−λ1 ρ ' (t ) + (t − a )−2λ1 ρ (t ) 1     t   −λ1  ,a < t < c exp ( s − a ) ρ ( s ) ds  ∫   c   v ''(t ) =  −λ (b − t )−λ2 −1 ρ (t ) − (b − t )−λ2 ρ ' (t ) + (b − t )−2λ2 ρ (t ) 2    c    (b − s )−λ1 ρ ( s ) ds  , c < t < b exp ∫    t   (3.2.46) Mặt khác , từ (3.2.41), (3.2.42) ta có : ρ1' (t ) = −(t − a )−λ1 (α11 + α12ρ1 (t ) + ρ12 (t )) , ρ2' (t ) = (b − t )−λ2 (α21 + α22ρ2 (t ) + ρ22 (t )) (3.2.47) 61 Thế (3.2.47) vào (3.2.46) ta có : v ''(t ) = − λ1 1 v '(t ) − α + α12ρ1 (t ) + ρ12 (t )).v (t ) + ρ12 (t ).v (t ) 2λ1 ( 11 2λ1 (t − a ) (t − a) (t − a ) =− λ1 α12 −λ v '(t ) − α11.v(t ) − t − a ) ρ1 (t ).v(t ) 2λ1 λ1 ( (t − a ) (t − a ) (t − a ) =−  α λ1  12  − + v ( t ) 2λ λ1   v '(t ) , ( t − a ) t − a (t − a ) ( )   α11 với a < t < c (3.2.48) Tương tự ta có : v ''(t ) = −  α λ2  22  + − v ( t ) 2λ λ2   v '(t ) , c < t < b (3.2.49) b − t b − t (b − t ) ( )   α21 v "(t ) ≤ , với a < t < b Suy : (3.2.50) ' ((a; b) \ {c}; R+ ), v '(t ) > , a < t < c Ngoài ra: v (t ) > 0, a ≤ t ≤ b, v ∈ Cloc v’(t) < 0, c < t < b ; v’(c-) ≥ v’(c+) (3.2.51) Khi đó, xét hàm ño ñược g : (a ; b) → R thỏa mãn : g1(t) ≤ g(t) ≤ g2(t), a 0, u0(b) = v(b) > nên : u0(t)> 63 Vậ y w(t) > với a ≤ t ≤ b Hay : tồn w ∈ w ∈ C ' ([ a; b]; R ) cho: w ''(t ) ≤ p (t ) w(t ) + g (t ) w '(t ) + h(t ) w(τ (t )) , với a < t < b Nghĩa : (p, g1, g2) ∈ V0((a; b); ℓ) Vậy ñiều kiện (3.2.2) ñịnh lý 3.2.1 thỏa mãn Tiếp tục, xét tốn : u’’( t) = p1( t)u( t) + p2( u)( t).u’( t) + h( t) u( τ( t) + G( u)( t) = F(u)(t) Ta có : [ F (v)(t ) − p1 (t )v(t ) − p2 (v)(t )v '(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) = G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ) (do bất ñẳng thức (3.2.29)) nên điều kiện (3.2.1) thỏa mãn Do đó, áp dụng định lý 2.1 ta có tốn (1.4), (1.2) có nghiệm Vậy hệ 3.2.4 ñược chứng minh 64 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn ñã ñạt ñược mục tiêu ban ñầu ñề Qua kết luận văn, chúng tơi nghiên cứu tính giải tính nghiệm tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai áp dụng kết cho phương trình vi phân đối số lệch Qua đó, câu hỏi tự nhiên đặt là: kết cịn hay khơng cho phương trình vi phân hàm bậc cao Hơn nữa, tốn chúng tơi cịn chưa nghiên cứu tính chất xấp xỉ nghiệm Ngồi ra, kết cịn hay khơng tốn biên dạng tuần hồn, hay tốn biên nhiều ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc cao Các vấn đề nói chung cịn mở, chưa giải cặn kẽ Chính vậy, thơng qua kết ñã ñạt ñược luận văn này, chúng tơi mong muốn mở rộng tiếp tục nghiên cứu vấn ñề vừa nêu 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh I.Kiguradze and B.Puza , On boundary value problems for systems of linear functional differential equations, Czechslovak Math, J 47, (1997) (No.2) , 341-373 I.Kiguradze and B.Puza , Conti–Opial type theorems for systems of functional differential equations, Differentsialnye Uravneniya, 33, (1997) (No.2) , 185-194 I.Kiguradze and B Puza , On the sovability of nonlinear boundary value problems for fuctional differential equations, Georgian Math, J, (1998) (No 3), 251-262 I T.Kiguradze, Some singluar boudary value of problem for ordinary differential quations , Tbilisi Univ Press, Tbilisi (1975) S.N.Berstein, On variational calculus equations Uspekhi mat.nauk (1940), (No.1), 32 – 74 J.Hale, Theory of functional differential equations Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg-Berlin, (1977) A.G.Lomtatidze, On a boundary value problem for second order nonlinear ordinary differential equations with singularities, Differentsial’snye Uraneniya 22 (1986), (No.3), 416 – 426 A.G.Lomtatidze and S.V Mukhigulashvili, On a two-point boundary value problem for second order functional differential equations, Mem Differential Equations Math Phys.10 (1997), 125 – 128, 150 – 152 66 V.V.Gudkov, Yu A.Klokov, A.J.Lepin and V.D.Ponomarev, Two-point boundary value problems for ordinary equations, Zinatne, Riga, (1973) 10 I.T.Kiguradze, On a priori estimates for derivatives of bounded funtions satisfying second order differential inequalities, Differentsial’nye Uravneniya (1967), (No 7), 1043 - 1052 ... nghiệm tốn biên hai điểm cho phương trình: phương trình vi phân hàm cấp hai nhất, phương trình vi phân hàm cấp hai khơng nhất, áp dụng kết ñạt ñược cho phương trình vi phân hàm cấp hai đối số... tiếp tục nghiên cứu lớp toán biên hai ñiểm, nhiều ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai phương trình vi phân hàm bậc cao áp dụng kết cho phương trình vi phân ñối số lệch bậc cao Cấu trúc luận... đề tính giải tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai Chương Các kết tốn Dựa kết chương ñể xây dưng ñiều kiện ñủ cho tồn nghiệm cho phương trình vi phân hàm bậc hai