Đối đồng điều địa phương môđun a minimax

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Chƣơng Hoa Anh ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MƠĐUN -MINIMAX LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Chƣơng Hoa Anh ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Tốn Tin, lãnh đạo chun viên Phịng KHCN-SĐH trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Tơi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên, GS.TS Bùi Xuân Hải quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số khóa 24 trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh Cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Minh Trí (Đại học Đồng Nai) dành thời gian đọc toàn luận văn cho tơi nhiều nhận xét, góp ý q báu để luận văn hồn thành tốt Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập trình thực luận văn Tp.HCM, ngày tháng năm 2015 Chương Hoa Anh BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT Spec R : Tập iđêan nguyên tố vành R Ass(M) : Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M V() : Tập iđêan nguyên tố (trong vành R cho trước) chứa iđêan . HomR(M, N) : Tập tất R-đồng cấu f : M ⟶ N Supp(M) : Giá môđun M Gdim M : Chiều Goldie môđun M GdimM : Chiều Goldie -tương đối môđun M Hi ( M ) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M theo iđêan . E(M) : Bao nội xạ môđun M  (M ) : Môđun -xoắn môđun M MP : Địa phương hóa mơđun M iđêan ngun tố P MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm tử Ext 1.2 Địa phương hóa 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết giá 1.4 Hàm tử -xoắn 12 1.5 Môđun đối đồng điều địa phương 14 1.6 Bao nội xạ 16 1.7 Số Bass 20 Chƣơng 2: MÔĐUN -MINIMAX VÀ CHIỀU GOLDIE 21 2.1 Chiều Goldie 21 2.2 Môđun minimax 22 2.3 Môđun -minimax 24 Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MƠĐUN -MINIMAX 32 3.1 Mơđun -cominimax đối đồng điều địa phương 32 3.2 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết 36 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Cho R vành Noether giao hoán,  iđêan R, M R-môđun hữu hạn sinh Một câu hỏi quan trọng đại số giao hoán đưa tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương thứ i Hi  M  hữu hạn Brodmann Lashgari [11, Định lý 2.2] cho M R-môđun hữu hạn sinh số nguyên không âm t cho môđun đối đồng điều địa phương H0  M  , H1  M  , , Ht 1  M  hữu hạn sinh Khi đó, Ass R Ht  M  hữu hạn Theo [5] R-mơđun M có chiều Goldie hữu hạn ( G dimM <  ) M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không, bao nội xạ E(M) M phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích (nội xạ) Ngồi ra, R-mơđun M có chiều Goldie -tương đối hữu hạn chiều Goldie môđun -xoắn Γ(M ) M hữu hạn Ta gọi R-môđun M -minimax chiều Goldie -tương đối môđun thương M hữu hạn Luận văn trình bày khái niệm, tính chất mơđun -minimax (viết tắt -minimax) cho thấy kết Brodmann Lashgari cho lớp R-mơđun -minimax Cụ thể nội dung luận văn chứng minh định lý sau đây: Định lý 3.2.2 Cho R vành giao hoán Noether,  iđêan R M R-môđun -minimax Cho t số nguyên không âm cho Hi  M  minimax với i < t Khi đó, với R-mơđun -minimax N Ht  M    R-môđun Hom R R / ,Ht  M  / N -minimax Nói riêng, chiều Goldie Ht  M  / N hữu hạn Ass R (Ht  M  / N ) hữu hạn Nội dung luận văn bao gồm chương, tóm tắt sau: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại khái niệm số kết hàm tử Ext, địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết giá, hàm tử -xoắn, môđun đối đồng điều địa phương, bao nội xạ số Bass Chƣơng 2: Môđun -minimax chiều Goldie Chương trình bày khái niệm chiều Goldie, mơđun -minimax số tính chất mơđun minimax, có tính chất quan trọng Mệnh đề 2.3.3 áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2 Chƣơng 3: Đối đồng điều địa phƣơng môđun -minimax Chương chia mục nhỏ 3.1 3.2 Mục 3.1 trình bày khái niệm mơđun cominimax số tính chất nó, có tính chất quan trọng Hệ 3.1.6 áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2 Mục 3.2 cho thấy kết Brodmann Lashgari [11, Định lý 2.2] cho lớp R-mơđun minimax, phần luận văn Trong Chương vành R ln vành giao hốn, Chương Chương vành R ln vành giao hốn Noether có đơn vị khác không,  iđêan R Môđun đối đồng điều địa phương thứ i M theo iđêan  định nghĩa sau: i i H ( M ) = lim Ext R ( R / n , M ) n≥1 Độc giả tham khảo thêm [12, Định lý 1.3.8] Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, trình bày số khái niệm, tính chất, mệnh đề mà sử dụng chương chương 3, vành R chương vành giao hốn Chúng tơi khơng chứng minh chi tiết tính chất, mệnh đề, định lý chương này, độc giả tham khảo thêm số tài liệu [1], [2], [3], [4], [7], [12], [15], [16] 1.1 Hàm tử Ext Cho A, C R-môđun Xét phép giải xạ ảnh C n 1 X :  X n  X n-1   X1  X  C  Phức thu gọn tương ứng X là: n 1 X :  X n  X n1   X1  X  Ta có dãy nửa khớp sau: 0 1  n 1 Hom( X , A) :  Hom( X ,A)  Hom( X ,A)   Hom( X n 1 ,A)   n 1 n  Hom( X n ,A)  Hom( X n 1 ,A)  đồng cấu  n  (1)n 1 *n 1 , với n  Với số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n phức là:   Hn Hom  X ,A  Kerδ n / Im δ n-1, gọi tích mở rộng n-chiều mơđun A C, kí hiệu Ext nR (C,A) Khi vành R rõ, ta kí hiệu đơn giản Extn(C,A) Mệnh đề 1.1.1 Cho A, C R-môđun Khi ... Goldie môđun M GdimM : Chiều Goldie -tương đối môđun M Hi ( M ) : Môđun đối đồng điều đ? ?a phương thứ i môđun M theo iđêan . E(M) : Bao nội xạ môđun M  (M ) : Môđun -xoắn môđun M MP : Đ? ?a phương. .. MÔĐUN  -MINIMAX VÀ CHIỀU GOLDIE 21 2.1 Chiều Goldie 21 2.2 Môđun minimax 22 2.3 Môđun  -minimax 24 Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU Đ? ?A PHƢƠNG C? ?A MƠĐUN  -MINIMAX ... hoán,  iđêan R, M R -môđun hữu hạn sinh Một câu hỏi quan trọng đại số giao hoán đ? ?a tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều đ? ?a phương thứ i Hi  M  hữu hạn Brodmann Lashgari [11, Định