Ở đây chúng tôi chủ yếu là áp dụng các kết quả đã chứng minh ở trên để chứng minh tính hữu hạn này. Cụ thể tính hữu hạn này được trình bày ở định lý 3.2.2. Đây cũng chính là phần khái quát hóa kết quả của Brodmann và Lashgari cho lớp môđun -minimax. Để độc giả có thể dễ nắm được cách chứng minh, chúng tôi sẽ chứng minh ý quan trọng trước là Định lý 3.2.1, sau đó là áp dụng trực tiếp Định lý 3.2.1 vào chứng minh Định lý 3.2.2.
Định lý 3.2.1.Cho là một iđêan của R và cho M là một R-môđun. Cho t là một số nguyên không âm sao cho Hi M là -cominimax với mọi it và ExttRR/ ,M
là -minimax. Khi đó, với mọi môđun con -minimax N của Ht M và mọi R- môđun hữu hạn sinh L thỏa SuppLV thì R-môđun HomRL, Ht M /N là - minimax.
Chứng minh: Từ dãy khớp ngắn
0NHt M Ht M /N 0 cảm sinh dãy khớp dài sau:
1
Hom ,Ht Hom ,Ht / Ext , ….
R L M R L M N R L N
Theo Hệ quả 2.3.5 thì 1
ExtR L N, là -minimax. Vậy theo Mệnh đề 2.3.3 với
R-môđun HomRL, Ht M là -minimax thì HomRL, Ht M /N sẽ là - minimax. Theo Hệ quả 2.3.8, ta chỉ cần chứng minh R-môđun HomRR/ , Ht M là -minimax. Ta chứng minh bằng quy nạp theo t.
Khi t0, theo giả thiết thì R-môđun 0
ExtR R/ ,M HomR R/ ,M là - minimax nên ta suy ra HomRR/ , M là -minimax. Mặt khác, ta có đẳng
cấu 0
HomR R / , H M HomR R / , M nên 0
HomR R/ , H M là - minimax. Với t0, giả sử định lý đúng cho t1. Do M là -cominimax nên
Exti / ,
R R M là -minimax với mọi i0. Mặt khác, từ dãy khớp ngắn
0 M M M / M 0 cảm sinh nên dãy khớp
1
ExttR R/ ,M ExttR R/ ,M / M ExttR R/ , M . Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 và các giả thiết thì R-môđun ExtRt R/ ,M / M là - minimax. Với 0
H M / M 0 và Hi M / M Hi M với mọi i0 nên ta suy ra Hi /
M M là một -cominimax với mọi i < t. Do đó, ta có thể xem M 0. Gọi E là bao nội xạ của M và đặt M1E M/ thì ta có E 0 và HomRR/ ,E0, như vậy thì ta có thể suy ra rằng 1
1
Hi M Hi M và
1
1
cho M1 với giả thiết 1
1
HomR R/ ,Ht M là -minimax. Vậy ta suy ra
HomR R/ ,Ht M là -minimax. ∎
Bây giờ, chúng tôi đã có các công cụ cần thiết để chứng minh định lý chính của luận văn này, một khái quát hóa kết quả của Brodmann và Lashgari.
Định lý 3.2.2. Cho là một iđêan của R và cho M là một R-môđun -minimax. Cho t là số nguyên không âm sao cho Hi M là -minimax với mọi it. Khi đó, với mọi môđun con -minimax N của Ht M thì R-môđun HomRR/ , Ht M /N
là -minimax. Nói riêng, chiều Goldie của Ht M /N là hữu hạn, do đó tập
Ass (HR t M /N) là hữu hạn.
Chứng minh:
Do M là R-môđun -minimax, nên ExttRR/ ,M là -minimax, với SuppM
⊆ V(), nên Supp HR i M V( ) là -cominimax với mọi it. Ta có dãy khớp
ngắn
0 N Ht M Ht M /N 0 (*) cảm sinh dãy khớp dài sau:
1
Hom / ,Ht Hom / ,Ht / Ext / , …
R R M R R M N R R N
Theo Hệ quả 2.3.5 thì 1
ExtR R/ ,N là -minimax, Từ Định lý 3.2.1 cho ta suy ra rằng R-môđun HomRR/ , Ht M là -minimax. Do đó, theo Mệnh đề 2.3.3 thì
1
...ExtiR R/ , Ht M /N ExtiR R/ ,N ExtiR R/ , Ht M .... Dùng cách quy nạp như trong Định lý 3.2.1, ta suy ra ExtiRR/ , Ht M /Nlà - minimax với mọi i. Mặt khác, do SuppM ⊆ V() nên SuppRHt M /N ⊆ V(). Do đó Ht M /Nlà -cominimax. Theo Hệ quả 3.1.6 thì Ht M /N có chiều Goldie hữu hạn và tập Ass (HR t M /N) là hữu hạn. ∎
Từ Định lý 3.2.2, chúng tôi kết luận rằng, đối với lớp môđun -minimax thì kết quả về tính hữu hạn của Brodmann và Lashgari [11, Định lý 2.2] vẫn đúng.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày được các kết quả chủ yếu sau:
Định nghĩa và một số tính chất của môđun -minimax như Mệnh đề 2.3.6, Định lý 2.3.7, Hệ quả 2.3.8.
Một số tính chất đặc trưng của đối đồng điều địa phương của môđun - cominimax như Mệnh đề 3.1.7, Mệnh đề 3.1.8, Hệ quả 3.1.10.
Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của đối đồng điều địa phương của môđun -minimax như Định lý 3.2.2, Hệ quả 3.2.3.
Vì thời gian và khả năng có hạn nên luận văn vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp góp ý và chỉ dẫn thêm để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tự Cường (2006), Giáo trình đại số hiện đại, NXB Đại Học Quốc Gia, Hà Nội.
[2] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc Gia, Tp. Hồ Chí Minh.
[3] Nguyễn Tiến Quang (2008), Giáo trình môđun và nhóm Aben, NXB Đại học Sư Phạm, Hà Nội.
[4] Dương Quốc Việt (2013), Cơ sở lí thuyết module, NXB Đại học Sư Phạm, Hà Nội.
Tiếng Anh
[5] K.Divaani-Aazar, M.A. Esmkhani. (2005), Artinanness of local cohomology modules of ZD-modules, Comm. Algebra 33, 2857-2863.
[6] M.Aghapournahr, L.Melkersson. (2010), Finiteness properties of minimax and coatomic local cohomology modules, Arch. Math.519-528.
[7] M.F.Atiyah, I.G.Macdonald. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison – wesley Publishing Company, Inc.
[8] J.Azami, R.Naghipour, B.Vakili. (2008), Finiteness properties of local cohomology modules for -minimax modules, Proc. Amer. Math. Soc.137, 439-448.
[9] H. Bass (1963), On the ubiquity of Gorenstein rings, Math. Z. 82, 8-28.
[10] K.Bahmanpour, R.Naghipour. (2008), On the cofiniteness of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc.136, 2359-2363.
[11] M.P.Brodmann, F.A.Lashgari. (2000), A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc.128, 2851-2853.
[12] M.P.Brodmann, R.Y.Sharp. (1998), Local Cohomology : an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, Cambridge.
[13] W.Bruns, J.Herzog.(1998), Cohen-Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol.39, Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[14] R.Hartshorne. (1970), Affine duality and cofiniteness, Invent. Math.9, 145-164. [15] H.Matsumura. (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin. [16] H.Matsumura. (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press. [17] W.Vasconcelos. (1974), Divisor Theory in Module Categories, North – Holland
Publishing Company, Amsterdam. [18] T.Zink. (1974), Endlichkeitsbedingungen
..
f u r moduln
..
u ber einem Noetherschen ring, math. Nachr.164, 239-252.
[19] H.Z..
ochinger. (1986), Minimax – moduln, J. Algebra 102. 1-32.
[20] H.Z..
ochinger. (1988),
.. ..
U ber die Maximalbedingung f u r radikalvole Untermoduln, Hokkaido Math. J. 17, 101-116.