Giáo trình thuyết tương đối rộng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ GIÁO TRÌNH LÊ NAM TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - 2002 LỜI NÓI ĐẦU Ngày nhà khoa học mô tả vũ trụ dựa hai lý thuyết sở có tính riêng phần, thuyết tương đối rộng học lượng tử Hai lý thuyết thành tựu trí tuệ vĩ đại nửa đầu kỷ Lý thuyết tương đối rộng mô tả lực hấp dẫn cấu trúc cực vĩ vũ trụ Trái lại học lượng tử lại mô tả tượng phạm vi nhỏ, cỡ phần triệu centimét Cơ lượng tử nói riêng vật lý lượng tử nói chung giảng dạy thường xuyên cho sinh viên khoa toán khoa lý cấp đại học Trái lại thuyết tương đối rộng lại chưa quan tâm thích đáng Tuy nhiên với thời gian, thuyết tương đối rộng dạy thường xuyên cho sinh viên chưa tốt nghiệp đại học điều tránh khỏi Đây lý thuyết khó – giống kỷ lục điền kinh năm mươi năm trước người bình thường khơng thể đạt ngày sinh viên đại học luyện tập tốt đạt Hoàn toàn giống lý thuyết Einstein xác lập cách tám mươi lăm năm Sau thời gian dài thai nghén tìm đường vào giới vật lý trường đại học dù dù nhiều chiếm vị trí thường xun thời khóa biểu dành cho sinh viên khoa vật lý toán ứng dụng chưa tốt nghiệp đại học Ngày lý thuyết đánh giá có giá trị tiếp thu Nó đối tượng nghiên cứu nghiêm túc sinh viên khoa vật lý tốn có quan tâm trung bình lý thuyết này, kể người sau khơng có dự định trở thành nhà nghiên cứu Việc nhiều người học thuyết tương đối rộng xem thành cơng khác thành cơng tồn diện lý thuyết Tuy việc dạy thuyết tương đối rộng cho sinh viên chưa tốt nghiệp đặt số vấn đề đặc biệt sau Nội dung lý thuyết phải hạn chế cách hợp lý Có nghĩa nêu đủ nét nhất, kể số tiến gần lại khơng q khó sinh viên Giáo trình dành cho sinh viên đại học phải có tính kiểm tra Ngoài tập thiên kỹ thuật tính tốn phải có thêm tập địi hỏi phải suy nghĩ để tìm lời giải tập loại khó Có liên hệ chặt chẽ với kiến thức môn vật lý khác để giúp cho sinh viên hiểu sâu điều học, giúp sinh viên vận dụng tốt kiến thức học dạy trường phổ thông Cung cấp tảng định để giúp sinh viên nghiên cứu sâu có nguyện vọng Dựa tinh thần tác giả xây dựng giáo trình thuyết tương đối rộng dành cho sinh viên khoa Vật Lý Đại học Sư phạm Trong trình biên soạn tác giả tham khảo giáo trình trường đại học sau: Trường đại học Princeton Misner – Thorne – Wheeler: Gravitation Freeman and company – Repinted 1999 2.Trường đại học Cradiff Schutz: First course in general relativity Cambridge University Press – Reprinted 1999 3.Trường đại học Southompton D’inverno: Introducing Einstein’s relativity Oxford University Press – Reprinted 1996 4.Trường tổng hợp Oxford Hughston – Tod: Introduction to general relativity Cambridge University Press – Reprinted 2000 5.Trường công nghệ Massachusetts Weinberg : Gravitation and Cosmology Wiley & Sons Inc – Reprinted 2000 Trong trình biên soạn tác giả giúp đỡ nhiệt tình đồng nghiệp Cho phép tác giả cảm ơn thầy Phạm Văn Đổng, thầy Lý Vĩnh Bê, thầy Thái Khắc Định, cô Trần Quốc Hà giúp đỡ nhiều từ lúc thai nghén lúc giáo trình in Tác giả xin cảm ơn giáo sư Nguyễn Ngọc Giao – người thầy kính mến tác giả - có nhiều góp ý bổ ích nội dung giáo trình Tác giả cám ơn nhiệt tình sinh viên Nguyễn Thị Nhị Hà Nguyễn Thị Hằng việc đánh máy thảo đồng thời gửi lời cám ơn tới anh Tom Nguyễn – việt kiều Mỹ – giúp đỡ nhiều việc tìm tài liệu tham khảo Do lần đầu biên soạn nên sai sót điều khó tránh khỏi Tác giả biết ơn bạn đọc góp ý để giáo trình ngày tốt Cuối cho phép tác giả viết lại lời Stephan Hawking – nhà vật lý lý thuyết xuất sắc nay: Tám mươi năm trước tin lời Eddington có hai người hiểu thuyết tương đối rộng Ngày hàng vạn sinh viên đại học hiểu lý thuyết hàng triệu người làm quen với thuyết tương đối rộng Khi lý thuyết phát minh vấn đề thời gian lý thuyết thấu triệt đơn giản hóa giảng dạy nhà trường nét Và người đủ khả có kiến thức định định luật trị vũ trụ điều hành sống Lê Nam NỘI DUNG CỦA GIÁO TRÌNH BAO GỒM Chương I : Phép tính tenxơ khơng gian Riemann Mục đích chương cung cấp cho sinh viên kiến thức cần thiết cơng cụ tốn học thuyết tương đối rộng Sinh viên trang bị phép tính : Đạo hàm hiệp biến, đạo hàm lie, đạo hàm tuyệt đối tenxơ… không gian cong, – chiều Chương II : Phương trình Einstein Trong chương sinh viên học theo cách mà Einstein làm cách tám mươi lăm năm xây dựng phương trình từ nguyên lý tác dụng tối thiểu Ta nhận phương trình vi phân bậc hai phi tuyến mang tên Einstein Chương III : Nghiệm Schwarzchild Sinh viên học cách giải phương trình Einstein để tìm nghiệm Schwarzchild Trong trình giải tính tốn q phức tạp bỏ bớt nhằm giúp cho sinh viên tiếp thu dễ dàng Sau sinh viên làm quen với ba hệ quan trọng: - Giải thích tận tốc quỹ đạo kỳ lạ thuỷ mà học Newton không giải - Sự truyền tia sáng không – thời gian cong quanh mặt trời - Thời gian dường trơi chậm nơi có trường hấp dẫn lớn Chương IV : Lỗ đen Một vật thể kỳ lạ tự nhiên lỗ đen Chương giới thiệu cho sinh viên vùng không - thời gian quanh lỗ đen khơng quay lỗ đen quay Đó lỗ đen Schwarzchild lỗ đen Kerr Chương V : Sóng hấp dẫn Khi ta giải gần phương trình Einstein cho chân khơng ta nghiệm mơ tả q trình sóng Đó sóng hấp dẫn Tuy nhiên ngày hôm nhà vật lý thực nghiệm chưa đo sóng hấp dẫn Chương VI : Vũ trụ học tương đối tính Chương giới thiệu phương trình Friedman từ ta tính ba mơ hình vũ trụ Đó mơ hình vũ trụ Mở, vũ trụ Phẳng, vũ trụ Đóng Chương trình tương ứng với 45 tiết lên lớp dành cho sinh viên khoa vật lý năm thứ tư Chương VII : Phụ lục tập CHƯƠNG I PHÉP TÍNH TENXƠ §1 QUY TẮC CHỈ SỐ Người ta hay dùng chữ sau để ký hiệu số: i , j , k , l , n , m , α ,β , γ , µ , ν , a , b , c , d , e , Trong biểu thức số lặp lại có lần số gọi số tự - free index Yba X ca Ta thấy b c số lặp lại lần số a lặp lại hai lần Điều có nghĩa ta phải lấy tổng theo số Ví dụ: a Υ b Χ ca = Υ b Χ c + Υ b Χ c1 + Υ b Χ c + Υ b Χ c với a = 0,1,2,3 (chỉ số lấy tổng gọi số câm - dummy index.) §2 MA TRẬN CHUYỂN TỌA ĐỘ Xét khơng gian n chiều Ta có hai hệ tọa độ cũ ký hiệu sau: Hệ tọa độ cũ : x1 , x , , x n Hệ tọa độ : x , x , , x n Ta có phương trình liên hệ tọa độ cũ: x a → x a : x a = f a ( x1 , x , , x n ) ≡ x a ( x ) (1) Như biết phần giải tích định thức Jacobi không tọa độ phụ thuộc tuyến tính với Nếu x a độc lập tuyến tính với Jacobi khác zero ⎛ ∂x ∂x ∂x ⎞ ⎜ n ⎟ ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂x ⎜ ∂x ∂x ∂x ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ∂x a ⎞ n ∂x ⎟ = ⎜⎜ b ⎟⎟ (2) ⎜ ∂x ∂x ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎜ n ⎟ n ∂x n ⎟ ⎜ ∂x ∂x n ⎟ ⎜ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂x Định thức ma trận chuyển tọa độ gọi Jacobi ký hiệu là: ∂x a J = b ≠ a b = 1,2 , , n ∂x Hoàn toàn tương tự ta có phép biến đổi ngược từ cũ: (3) x →x : a a x = x (x ) a a ∂x a J= b ≠0 ∂x (4) Ta nhận thấy nhân hai ma trận với cho ma trận đơn vị ∂x a ∂x b a c = ( phầntử) c = δ a c b ∂x ∂x Trong a δ c = δ ac = δ ac = Ký hiệu Kronecker a=c (6) a≠c §3 TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN Để đơn giản ta xét không gian hai chiều phẳng với tọa độ x1,x2 hai véctơ sở e1 , e hình vẽ A2 A A2 e2 θ2 θ1 e1 A1 A1 Nếu hai trục tọa độ ta khơng vng góc ta có hai cách mơ tả vectơ Chiếu vng góc véctơ A lên hai trục ta A1 = A cos θ1 = A.e1 A2 = A cos θ = A.e2 Chiếu véctơ A song song theo trục ta A1 , A2 đó: A = A e1 + A e2 Như biết A1 , A2 A , A ta xác định véctơ A A1 , A2 goïi thành phần hiệp biến véctơ A A1 , A gọi thành phần phản biến véctơ A Ta viết A =( A1 , A2 ) A =( A1 , A2 ) Về thuật ngữ ta nói véctơ hiệp biến Aa có nghĩa ta ý tới thành phần hiệp biến Tương tự cho véctơ phản biến Nói chung Aa ≠ Aa Tuy nhiên không gian phẳng với hệ trục tọa độ vng góc thành phần hiệp biến phản biến Không gian Euclide với hệ tọa độ Descartes 2.Xét không gian n chiều Điểm P có tọa độ x a Cịn Q có tọa độ x a + dx a P dx a Q Trong hệ tọa độ cũ a Vectơ d x = PQ x1 , x , , x n vectơ có thành phần Trong hệ tọa dộ x , x , , x n thành phần tương ứng véctơ dx Do x a = f a ( x1 , x , , x n ) ≡ x a ( x ) nên dx a = ∂x a b dx ∂xb a (1) Bây ta định nghĩa: Véctơ phản biến hay tenxơ phản biến hạng tập hợp đại lượng Χ a hệ tọa độ x1 , x , , x n điểm P mà tuân theo quy luật ∂x a b X = b X ∂x a Ví dụ X (2) Cho đường cong x a = x a ( u ) không thời - gian bốn chiều a = ,1,2 ,3 dx a véctơ tiếp tuyến với đường cong điểm P du Véctơ có bốn thành phần X tạo nên tenxơ phản biến hạng Vectơ: X a = p Ta viết lại : ⎛ dx dx1 dx dx ⎞ a X =⎜ , , , ⎟ = (X ,X ,X ,X ) ≡ X du du du du ⎝ ⎠ Chú ý: ta nói véctơ phản biến hạng ta thường ký hiệu X a mà không cần dấu vectơ Từ ta tổng quát hóa: Tenxơ phản biến hạng tập hợp đại lượng X ab hệ tọa độ - x a Mà tuân theo quy luật biến đổi sau chuyển hệ tọa độ từ x a → x − a : X ab ∂x a ∂x b cd = c d X ∂x ∂x (3) Các đại lượng X ab thành phần tenxơ hạng tính hệ tọa độ x a Hồn tồn tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng (véctơ hiệp biến) ∂x b X a = a X b ∂x Tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng hai: (4) ∂x c ∂x d X cd ∂x a ∂x b X ab = (5) Ta có định nghĩa tenxơ hỗn hợp hạng X a bc ∂x a ∂x e ∂x f d = d X ef ∂x ∂x b ∂x c (6) ⎛ p⎞ ⎝ ⎠ Tenxơ hạng không vô hướng ta thường ký hiệu chữ Φ Ta thường ký hiệu tenxơ hạng p phản biến, hạng q hiệp biến ⎜ ⎟ q Tại tenxơ lại nhà vật lý ý? ab Xét hai tenxơ X Y chiếu) thỏa mãn tính chất: ab hệ tọa độ (với nhà vật lý hệ quy X ab = Y ab (7) Nhân hai vế (7) với: ∂x c ∂x d ab ∂x c ∂x d ab X = a b Y ∂x a ∂x b ∂x ∂x Theo định nghĩa (3) ta có X cd = Y cd (8) Biểu thức (8) phương trình (7) xét hệ tọa độ (hệ quy chiếu mới) Từ ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ hệ tọa độ hệ tọa độ khác Nói cách khác phương trình tenxơ khơng phụ thuộc vào hệ quy chiếu qn tính hay khơng qn tính Như tenxơ cơng cụ tốn học phù hợp để xây dựng thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng quát) §4 ĐẠI SỐ TENXƠ Phép cộng thực với tenxơ loại với số giống nhau: a a Ybca + Z bc = X bc Phép nhân tenxơ - phép nhân - outer product ⎛ p1 ⎞ ⎝ 1⎠ ⎛ p1 + p2 ⎞ ⎟ ⎝ 1+q ⎠ Tenxơ loại ⎜ ⎟ nhân với tenxơ tenxơ cho ta tenxơ loại ⎜ q q a Yba Z cd = X bcd Tenxơ hạng hai nhân với tenxơ hạng cho ta tenxơ hạng Nếu ta có véctơ A véctơ B nhân tenxơ hai vectơ ký hiệu sau: A ⊗ B = Αb Βb Nếu hai vectơ phản biến Phép nhân - inner product Yba Z ac = X bc cho ta tenxơ hạng Hoặc ta có: T aU ab = Vb cho ta tenxơ hạng Nhận xét: Hai tenxơ nhân với nhau, tất số khác ta có phép nhân ngồi cịn ta có cặp số giống ta có phép nhân Phép rút gọn tenxơ - contraction a a ta cho số a=c thì Rbad tenxơ hiệp biến hạng Vì ta Cho tenxơ Rbcd a ký hiệu: Rbad = Rbd a a Hoặc ta có: δ b aRbcd = Racd = Rcd Tenxơ đối xứng với hai số ta hốn vị số cho mà tenxơ không đổi: X ab = X ba Nếu khơng gian ta n chiều ta biểu diễn tenxơ dạng ma trận n hàng n cột Do phần tử ma trận tenxơ đối xứng nên ta có n(n + 1) thành phần độc lập Tenxơ phản đối xứng X ab = − X ba X aa =- X aa ⇔ X aa =0 Từ ta suy ⇒ Nghĩa thành phần nằm đường chéo zero Như tenxơ phản đối xứng có n(n − 1) thành phần độc lập * Trong không gian bốn chiều : Tenxơ X ab có 42 = 16 thành phần Tenxơ X bca có 43 = 64 thành phần a Tenxơ X bcd có 44 = 256 thành phần §5 TENXƠ METRIC Xét không gian n chiều Ta chọn hệ tọa độ chuẩn x , x , , x n cho độ dài vô bé nối hai điểm lận cận có dạng: ds = dx a dx a (1) Ví dụ: Ta có biểu thức quen thuộc ds = dx + dy + dz tọa độ Descartes không gian chiều Bây ta chuyển (1) sang hệ tọa độ x , x , , x n ds = dx a dx a = Nếu ta đặt c ∂x a ∂x a ∂x c b ∂x d = dx dx d dx b dx d b d b ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x a ∂x c = gbd (2) ∂xb ∂x d ds = gbd dxb dx d (3) g ab gọi tenxơ metric hiệp biến g ab tenxơ metric phản biến xác định từ biểu thức gab g ac = δ c b (4) ⇒ Ta lập ma trận gồm g ab Tìm ma trận nghịch đảo ( g ab ) Ma trận nghịch đảo ma trận ( g ab ) Ta có cách định nghĩa thứ hai: dx = dx a ea = dxb eb ; ea : vectơ sở Φ Với ( ea eb = g ab ) Ta viết tích vơ hướng hai vectơ nhờ tenxơ metric: A.B = gab A a B b = g ab Aa Bb = A a Ba = Aa B a (5) (6) Ta định nghĩa không gian Riemann : Không gian với hệ tọa độ (x2) có ds = g ab dx a dxb với g ab có phần tử khác gọi tenxơ Riemann Ví dụ: bề mặt đất không gian Riemann chiều nằm không gian ba chiều thơng thường rθφ Ta có khoảng cách hai điểm mặt cầu ds tính theo cơng thức: ds = r d θ + r sin θ d φ = g 22 d θ + g 33 d φ gθθ = g22 = r ; g23 = g32 = ; gφφ = g33 = r sin θ §6 ĐẠO HÀM LIE Cho đại lượng vô hướng Φ Rõ ràng vô hướng Φ không thay đổi chuyển hệ tọa độ Nếu điểm không gian Riemann ứng với giá trị củš ta trường vơ hướng hay trường tenxơ hạng không Tương tự tenxơ Tab xác định điểm vùng thuộc khơng gian Riemann kết ta có trường tenxơ hạng tương ứng Cho hai trường vectơ X Y, giao hoán tử Lie hai vectơ tác dụng lên hàm f định nghĩa: [X ,Y ] f = (XY − YX ) f = X (Yf ) − Y (Xf ) (1) [X ,Y ](αf1 + βf2 ) = α[X ,Y ] f1 + β[X ,Y ] f2 (2) Với f1 , f hai hàm bất kỳ; α , β = const thực, Lie giao hoán tử thỏa mãn: [X ,Y ]( f g ) = f [X ,Y ]g + g[X ,Y ] f (3) Từ ba biểu thức trên, ta thấy giao hoán tử Lie toán tử tuyến tính tốn tử giống phép vi phân Trong hệ tọa độ xa ta định nghĩa vectơ X : RR = C − R (2) Đặt biết số u ⇒ R = C (1 − cos u ) R = Cu sin u (3) Thay lại vào (2) : 1 C (1 − cos u ) C u sin u = C − C (1 − cos u) 1 C (1 − cos u )u (1 − cos u ) = C (1 − + cos u ) 2 C2 u (1 − cos u)(1 − cos u )(1 + cos u ) = (1 + cos u) C2 u (1 − cos u ) = Hay C u(1 − cos u ) = Tích phân vế theo dt : C du ∫ (1 − cos u) dt dt = ∫ dt = t Cu Cu du − ∫ ∫ cos udu = t 20 20 (Chú ý ta chọn u = ( t = u = ( R = theo (3) Kết ta : c(u − sin u ) = t (4) Ta viết lại (3) (4) : R= C (1 − cos u ) r= C ( u − sin u ) R Big Bang πC t Big Crunch πC Mơ hình gọi mơ hình vũ trụ đóng Closed Universe – Vũ trụ hữu hạn Vũ trụ nở dần từ điểm kỳ dị t = đoạt tới bán kính cực đại Rmax = C Khi u = π hay t = π C sau co dần lại tới điểm kỳ dị u = 2π hay t =π C Điểm gọi Big Crunch vụ co lớn Tại điểm kỳ dị t = ta có R = ⇒ mật độ chất lớn vô hạn Vũ trụ tn theo mơ hình Big Bang : Khởi đầu từ điểm sau bùng nổ, lớn dần lên tới hơm nở Vũ trụ có điểm khởi đầu điểm kết thúc sau chu kỳ lặp lại b Khi k = RR = C R= C R1 / R1 / R = C ⇒ ∫ R1 / dR ∫ C dt dt R3 / = C t ⇒ R = Ct 3/2 ⇒ R = số t / Đồ thị đường cong nằm đường thẳng đường parabol Có điểm kỳ dị t = Vũ trụ nở từ điểm kỳ dị tiếp tục vô hạn Do k = nên khơng gian phẳng Ta có mơ hình vũ trụ phẳng Flat Universe c Khi k = - : RR = C + R Đặt : R = C (cosh u − 1) Đạo hàm theo t : R = Cu sinh u Thay (9) vào (7) : 1 1 C (cosh u − 1) C u sinh u = C + C cosh u − C 2 C2 u (cosh − 1) (cosh u − 1)(cosh u + 1) = (1 + cosh u) 2 C (cosh u − 1) u = C (cosh u − 1)u = t du 1 u du ∫ 2C cosh u dt dt − C ∫ dt dt = ∫ dt 0 u (ta chọn u = ⇒ R = R = ứng với t = 0) C (sinh u − u ) = t (10) Viết lại (8) (10) : C (cosh u − 1) t = C (sinh u − u) R= (11) (11) mơ tả đường cong có dạng hàm emũ Vũ trụ có điểm kỳ dị t = sau nở Ta có mơ hình vũ trụ mở Open Universe R k=–1 k=0 k=+1 t Kết luận : Ta có mơ hình vũ trụ : Mở – Phẳng – Đóng Cả mơ hình có điểm kỳ dị t = ⇒ ( vũ trụ có điểm khởi đầu (Big Bang) Các số liệu đo cho thấy tuổi vũ trụ 12 – 18 tỷ năm Để biết vũ trụ tn theo mơ hình ta cần giải vấn đề vật chất tối (dark matter or missing mass) Khi ta biết xác giá trị ( vũ trụ Nếu mật độ vật chất vũ trụ giá trị tới hạn gọi ρcr ( ρcr = critical density) vũ trụ tn theo mơ hình phẳng Các số liệu ngày cho thấy ρ ∼ ρcr vũ trụ tn theo mơ hình câu hỏi chưa có lời giải đáp Phụ lục 1: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP §1 KHƠNG THỜI GIAN MINKOWSKI Khơng thời gian Minkowski không gian phẳng chiều t, x, y, z với metric phẳng Có hai cách chọn dấu metric a) (+ - - -) , b) (- + + +) Với trường hợp a ta nói Signature –2 Còn trường hợp b Signature +2 Ta thường ký hiệu : (x ) = (x , x , x , x ) = (t, x, y, z ) a Yếu tố độ dài ds = g ab dx a dx b = η ab dx a dx b đó: η00 = +1 ; η11 = η 22 = η33 = −1 ηab = a ≠ b ( ) − (dx ) − (dx ) − (dx ) ds = ηab dx a dx b = dx 2 2 = dt − dx − dy − dz ta chọn Signature –2 §2 NĨN ÁNH SÁNG - THE NULL CONE Ta có hệ quy chiếu O Ta xây dựng vectơ sở : e0 = (1,0,0,0 ) e2 = (0,0,1,0 ) e1 = (0,1,0,0) e3 = (0,0,0,1) Các vectơ sở thỏa mãn biểu thức sau: e0 e0 = ; e11 = e22 = e33 = −1 ea eb = a ≠ b ea eb = η ab Từ ta rút Một vectơ biểu diễn thông qua vectơ sở : A = A0 e0 + A1e1 + A2 e2 + A3e3 Ta có tích vơ hướng vectơ : AB = A a ea B b eb = A a B b ea eb = A a B bη ab = A a B b g ab AB = − A0 B + A1 B1 + A2 B + A3 B Từ ta có bình phương độ dài vectơ XX = X = g ab X a X b = η ab X a X b = X a X a Vectơ X gọi : Timelike _ giống thời gian X > Spacelike_ giống không gian X < Null vector_ vectơ null X = Vectơ null có bình phương độ dài zero có thành phần khác zero Nếu ta chọn Signature(- + + +) dấu ngược lại Từ định nghĩa vectơ null ta có : X = η ab X a X b = η00 X X + η11 X X + η 22 X X + η33 X X = (X ) − ( X ) − ( X ) − (X ) 2 2 =0 Tập hợp tất vectơ null điểm P cho trước không thời gian Minkowski tạo nên nón ánh sáng t Vectơ spacelike Vectơ timelike Vectơ null P y Nón ánh sáng với trục z ẩn (được dấu kín) x Ý nghĩa vật lý: -Vectơ timelike nối kiện có quan hệ nhân với Ví dụ hạt chuyển động với vận tốc v khoảng cách điểm quỹ đạo thỏa mãn: ( ) ds = (cdt )2 − dx + dy + dz 〉 tốc độ ánh sáng nhân với thời gian lớn quãng đường mà hạt thời gian -Vectơ Spacelike nối kiện độc lập nhau, khơng có tính nhân với - Khi hai kiện liên hệ với tín hiệu ánh sáng : ( ) ds = (cdt ) − dx + dy + dz = Các kiện nằm nón ánh sáng Ví dụ kiện mặt trời xuất vết đen lớn tám phút sau người quan sát đất chụp ảnh vết đen (sự kiện hai) Hai kiện nằm nón ánh sáng chúng nối với vectơ null §3 THỜI GIAN RIÊNG Ta có vật chuyển động.Thời gian tính theo đồng hồ gắn chặt với vật (cùng chuyển động với vật) gọi thời gian riêng Từ hiệu ứng dãn nở thời gian ta có : dt = γ dτ ⎛ v2 ⎞ ⎝ ⎠ −1/ với γ = ⎜1 − ⎟ c ⎛ v2 ⎞ dτ = ⎜⎜1 − ⎟⎟ dt ⎝ c ⎠ 2 ⎧ ⎛ v2 ⎞ ⎡⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ ⎤ ⎫⎪ 2⎪ dτ = ⎜⎜1 − ⎟⎟dt = dt ⎨1 − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ ⎪⎩ c ⎢⎣⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎝ c ⎠ 1 = (cdt )2 − dx − dy − dz = ds c c 2 c dτ = ds { } Nếu chọn hệ đơn vị c = dτ = ds - Do S thông số Affine nên thời gian riêng thông số Affine - Nếu người quan sát chuyển động với vật vận tốc vật so với zero.Khi ds = (cdt )2 − = c dt = dt chọn c = thời gian tính theo đồng hồ thời gian riêng Do: ds = g ab dx a dxb nên ds = dt = g 00 dt Suy g 00 = §4 TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP Ta phát biểu hai tiên đề Einstein theo ngôn ngữ tenxơ sau: Không gian thời gian biểu diễn không thời gian chiều với: - Γ a bc = Γ a cb Các g ab điểm kỳ dị Đạo hàm hiệp biến tenxơ metric zero ∇c g ab = a R bcd = - Thời gian riêng xác định từ dτ = g ab dx a dxb - Hạt tự chuyển động dọc theo đường trắc địa timelike - Hạt photon (ánh sáng) chuyển động dọc theo đường trắc địa null §5 VECTƠ VẬN TỐC BỐN CHIỀU dx i vi cdt c i ;u = = = γv i = u = 1 dτ ⎛ dτ ⎛ v2 ⎞ v2 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜ c ⎟ ⎜ c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) a ⎛ cdt dx dy dz ⎞ dx , , , ⎟≡ u = u ,u ,u ,u = ⎜ ⎝ dτ dτ dτ dτ ⎠ dτ ( ) − (u ) − (u ) − (u ) (v + v + v ) = γ (c − v ) u u = η ab u a u b = u = γ 2c − γ 2 2 2 x y z 2 2 c2 − v2 = = c2 1− v c uu = c uu = chọn c=1 ta có Signature (+ - - -) Nếu ta chọn Signature (- + + +) uu = −1 γ= ⎛⎜1 − v ⎞⎟ c2 ⎠ ⎝ = dt dτ u v : vectô vận tốc chiều : vectơ vận tốc chiều mà ta thường sử dụng học_vận tốc bình thường_ordinary velocity Vectơ động lượng bình thường chiều: p = γmv Ta định nghĩa vectơ động lượng chiều: ( ⎛E ⎞ Ρ = ⎜ , p x , p y , p z ⎟ = Ρ , Ρ1 , Ρ , Ρ ⎝c ⎠ Xét tích vơ hướng sau: ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ΡΡ = η ab Ρ a Ρ b = Ρ − Ρ1 − Ρ − Ρ E2 E2 = − px2 − p y2 − pz = − p c c Từ công thức E = p 2c + m 2c − p = m2 c ta có: ΡΡ = p + m c − p = m c Nếu chọn c=1 p = m2 Nếu ta chọn Signature (- + + +) p = −m Ta cịn cách chứng minh thứ hai dựa vào định nghĩa vectơ động lượng chiều: Ρ = mu ;với u vectơ vận tốc chiều ΡΡ = m u u = m u u = -Xét vật có động lượng chiều p so với hệ quy chiếu đứng yên Người quan sát chuyển động với vận tốc chiều u khác so với vận tốc chiều vật Xét tích vơ hướng sau: ⎛E ⎞⎛ dt dx dy dz ⎞ Ρu = ⎜ , p x , p y , p z ⎟⎜ c , , , ⎟ ⎠⎝ dτ dτ dτ dτ ⎠ ⎝c ⎛E ⎞ = ⎜ , p x , p y , p z ⎟(cγ , γv x , γv y , γv z ) ⎝c ⎠ = γE − γ ( p x v x + p y v y + p z v z ) Ρu = γ (E − pv ) (a) Vẫn toán ta áp dụng phép biến đổi Lorentz cho năng_động lượng từ hệ quy chiếu đứng yên sang hệ quy chiếu người quan sát có vận tốc chiều u = cγ , v với v vận tốc chiều bình thường ( ) E ′ = γ (E − vp x ) = γ (E − v p ) (b) Do vật chuyển động dọc theo trục Ox nên v p = vpx So sánh (a) (b) ta rút ra: Ρu = E ′ lượng vật người quan sát chuyển động với vận tốc u ño -Ta có cách chứng minh thứ hai: Xét vật hệ quy chiếu người quan sát Như người quan sát hệ quy chiếu đứng yên so với nhau.Vì vận tốc chiều người quan sát lúc là: u0b = (c,0,0,0 ) γ = Còn động lượng chiều hạt so với người quan sát là: ⎛ E′ ⎞ Ρ0b = ⎜ , p′x , p′y , p′z ⎟ ⎝ c ⎠ ⎛ E′ ⎞ Ρ0b u0b = ⎜ , p′x , p′y , p′z ⎟(c,0,0,0 ) = E ′ ⎝ c ⎠ Ρu = Ρ0b u0b = E ′ Ta hồn tồn áp dụng cơng thức cho hệ tọa độ thực chất phương trình tenxơ bậc khơng Nếu ta chọn Signature (-+ + +) thì: Ρu = Ρ0b u0b = − E ′ ≡ − Eobserver E0b : Naêng lượng hạt người quan sát chuyển động đo Khi ta chọn Ġ cơng thức khơng đổi §6.TENXƠ NĂNG_ĐỘNG LƯỢNG CHO CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG Xét trường gồm hạt bụi rời rạc không tương tác Với trường xác định hai đại lượng -Vận tốc chiều dòng hạt: dx a u = dτ a τ : thời gian riêng dọc theo đường giới (quỹ đạo) hạt bụi -Mật độ riêng đo người quan sát chuyển động với dòng hạt bụi: ρ = ρ (x ) Từ ta xây dựng tenxơ hạng hai đơn giản sau: T ab = ρ u a u b Bây ta xét chất lỏng lý tưởng mô tả ba đại lượng sau: dxα dτ -Trường mật độ riêng: ρ0 = ρ ( x ) -Vận tốc chiều: uα = -Trường áp suất vô hướng: ρ = ρ ( x ) Trong trường hợp giới hạn ρ = chất lỏng lý tưởng trở thành trường hạt bụi rời rạc Xét chất lỏng hệ quy chiếu chuyển động với chất lỏng Do tính đẳng hướng chất lỏng tĩnh (chất lỏng đứng yên hệ quy chiếu chuyển động với mình) nên áp suất theo ba phương nhau.Khi ta xây dựng tenxơ năng_sức căng cho dòng chất lỏng lý tưởng: ⎛ ρ0 ⎜ ⎜ ab T =⎜ ⎜⎜ ⎝ 0 p 0 p 0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ p ⎟⎠ Do chất lỏng đứng yên nên vận tốc chiều u = (1, 0, 0, ) Từ ta tổng quát hóa: T ab = ( ρ + p )u a u b − pg ab Ta kiểm tra lại: T 00 = ( ρ + p )u 0u − pg 00 = ρ + p − p = ρ 0 u u = ; g 00 = η 00 = T 11 = ( ρ + p )u1u1 − pg 11 = − p (−1) = p 1 u u = ; g 11 = η11 = −1 Tương tự: T 22 = T 33 = ρ Nếu ta chọn Signature (- + + +) tenxơ T ab có dạng: T ab = ( ρ + p )u a u b + pg ab T 00 = ( ρ + p )u 0u + pg 00 = ρ0 + p − p = ρ0 Chú ý thuật ngữ: lúc η 00 = g 00 = −1 Tenxơ năng_ động lượng = Tenxơ năng_sức căng The stress_ energy tensor BÀI TẬP 1/ Hãy chứng tỏ đạo hàm hiệp biến tenxơ metric hiệp biến zero Cho biết ký hiệu Chris toffel loại có dạng cơng thức –chương 2/ Giống lần tenxơ metric phân biến 3/ Chứng minh đồng thức Ricci 4/ Chứng minh tenxơ Riemann phản đối xứng với hai cặp số 5/ Chứng minh tenxơ Riemann phản đối xứng với hai số cuối 6/ Chứng minh tenxơ Riemann phản đối xứng với hai số đầu 7/ Chứng minh đẳng thức Bianchi 8/ Hãy chứng minh: Nếu ta chọn hàm Lagrange có dạng L = g ab x a xb phương trình đường trắc địa có dạng: b d 2xa dx c a dx + Γ bc =0 du du du Hãy chứng minh ta chọn L = ( g x x ) dạng phương trình trắc địa a b 1/ ab không thay đổi 10 Xét họ đường trắc địa theo thông số Affine λ đánh số n x a = x a (λ , n ) Hãy chứng minh với hai véctơ đơn vị n u ta ∇Un=∇N u 11 Hãy chứng minh ∇ ⎡⎣( − g ) 12 Từ định nghĩa g ab = ηab + hab 1/ g ab ⎤ = ⎦ Hãy chứng minh : g ab = ηab − h ab 13 Cho tọa độ x − a = x a + ξ a Hãy chứng minh 14 habNew = hab − ξ a ,b − ξb ,a Từ kết qủa 13 chứng minh tiếp New h ab = hab − ξ a ,b − ξ b,a + η abξ c , c 15 Cho biết hab = − KTab 2 Và hab = hab − ηab h Hãy chứng minh: 16 ⎛ ⎞ ∇ hab = k ⎜ Tab − ηabT ⎟ 2 ⎝ ⎠ Hãy chứng minh hệ SI tiến động trục qũy đạo Thủy có dạng: 24π 3a 2πε = − e c 2T ( 17 Cho x = x (τ ) a a ) dx a ;u = dτ a Hãy u b∇bu a = 18 Một hạt khối lượng m chuyển động mặt phẳng chịu tác động trường xuyên tâm với : U = −m µ r Hãy chứng minh: 19 Mơmen động lượng hạt số Phương trình Binet suy từ phương trình Newton tọa độ cực mV Hàm Lagrange hạt tự có dạng L = - 20 Hãy viết hàm dạng tenxơ Hãy chứng minh phương trình chuyển động hạt trùng với phương trình đường trắc địa Hãy chứng minh hàm Lagrange hạt m học tương đối tính có dạng 2⎛ V L = − mc ⎜⎜1 − ⎝ c 21 ⎞ ⎟⎟ ⎠ Xét không gian chiều với - Tọa độ cũ x1 = x; x = y; x3 = z - Tọa độ x = r; x = θ ; x = φ a Tìm phương trình liên hệ x a = x a ( x ) 22 b Tìm tenxơ metric hiệp biến phản biến c Viết hàm Lagrange hạt tự hệ tọa độ d Viết phương trình đường trắc địa r ,θ , φ Nếu hai kiện nối với bỡi véctơ Spacelike thì: 23 a Tồn hệ quy chiếu qn tính, hai kiện đồng thời xảy b Không tồn hệ quy chiếu qn tính, hai kiện xảy điểm Nếu hai kiện nối với bỡi véctơ timelike thì: a Tồn hệ quy chiếu qn tính, hai kiện xảy điểm b Không tồn hệ quy chiếu qn tính, chúng xảy đồng thời (giải giản đồ không thời gian t, x) • H R c = ; H0=H(t0); 24 Nếu ta đặt: H = ρ R 8π ta chứng minh được: : ρ > ρ c ⇒ k = +1 ρ0 = ρc ⇒ k = o ρ < ρ c ⇒ k = −1 25 Nếu cho vũ trụ bong bóng hình cầu nở cơng thức tính vận tốc học Newton ta tìm ρ c (gợi ý: ta có định luật Hubble V=HR ) 26 Từ phương trình R R + R + k = dần phương trình sau: •• •• • • 2R R+ R + k = 27 •2 R = Hãy tính Rab cho: a Metric Schwarzchild b Metric Robertson - Walker C −k R ; C= 8π ρR 3 Tài liệu tham khảo Chandrasekhar S (1998), The Mathematical Theory of Black holes, Oxford University press – reprinted D’inverno (1998), Introducting Einstein’s Relativity, Oxford University press – reprinted Hugshton LP and Tod K (1999), Introduction to General Relativity, Cambridge University press – reprinted Lawden D.P (1982), Introduction to Tensor Caculus, Relativity and Cosmology, Wiley – New York – reprinted Landau and Lifshits (1967), The Classical Theory of Fields, Scientific Press – Moscow Lim Yung Kuo (edi) (1995), Problems and Solutions on Solid State Physics and Relativity, World Scientific – reprinted Misner C – Thorne K Wheeler J (1999), Gravitation, Freeman – San Franciscoreprinted Schutz B.F (1999), First Course in General Relativity, Cambridge University press – reprinted Stephani (2001), General Relativity, Cambridge University Press – reprinted 10 Wasserman R.H (1992), Tensors and Manifolds with Applications to Mechanics and Relativity, Oxford University press – reprinted 11 Weinberg (1975), Gravitation and Cosmology, Wiley & Sons Inc Giáo trình THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm TP.HCM đăng ký kế hoạch năm 2002 Ban Ấn Bản Phát hành Nội ĐHSP chụp 300 cuốn, khổ 20 x 30, xong ngày 29 tháng 11 năm 2002 ... học mơ tả vũ trụ dựa hai lý thuyết sở có tính riêng phần, thuyết tương đối rộng học lượng tử Hai lý thuyết thành tựu trí tuệ vĩ đại nửa đầu kỷ Lý thuyết tương đối rộng mô tả lực hấp dẫn cấu trúc... người học thuyết tương đối rộng xem thành công khác thành công toàn diện lý thuyết Tuy việc dạy thuyết tương đối rộng cho sinh viên chưa tốt nghiệp đặt số vấn đề đặc biệt sau Nội dung lý thuyết. .. Trái lại thuyết tương đối rộng lại chưa quan tâm thích đáng Tuy nhiên với thời gian, thuyết tương đối rộng dạy thường xuyên cho sinh viên chưa tốt nghiệp đại học điều tránh khỏi Đây lý thuyết khó