Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9 vào các ô của bảng (mỗi số điền vào một ô) sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng con có kích thước 2 2 đều bằng nhau và bằng một số T nào đó... L[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu (3,0 điểm).
a) Tính tổng: 12 12 12 12 1 2 2
1 2 2012 2013
S
b) Cho số nguyên x y thỏa mãn 4x5y7 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P5| | 3| |.x y
Câu (1,5 điểm).
Tìm số hữu tỉ x, y thỏa mãn: 3 3x y Câu (1,5 điểm).
Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn
abc Chứng minh rằng:
2 1
3
2 3
a b c a b c
b c a a b c
Câu (3,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC (AC AB ) có đường cao AA',BB',CC trực' tâm H Gọi ( )O đường trịn tâm O, đường kính BC Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn ( )O (M, N tiếp điểm) Gọi M giao điểm thứ hai của'
'
A N đường tròn ( )O , K giao điểm OH ' 'B C Chứng minh rằng:
a) M đối xứng với M qua BC ' b) Ba điểm M H N thẳng hàng., ,
c) ' '
' '
KB HB
KC HC
Câu (1,0 điểm).
Cho bảng ô vuông 3 (3 hàng cột) Người ta điền tất số từ đến vào ô bảng (mỗi số điền vào ô) cho tổng bốn số bảng có kích thước 2 đều số T Tìm giá trị lớn nhất có thể T.
—Hết—
Cán coi thi khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
(2)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa
- Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn
- Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần
II ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
1
(3đ) 1
Ta có: * 2 2
2 2
1 ( 1) ( 1)
,1
( 1) ( 1)
n n n n
n
n n n n
2
2
2
( 1) 1 1
( 1)
n n
n n n n
Suy 12 2 1
( 1)
n n n n (do *
1
1
1
n
n n )
Áp dụng kết trên, ta có
2
2
2
1 1
1
1 2
1 1
1
2 3
1 1
1
2012 2013 2012 2013
Cộng vế với vế 2012 đẳng thức trên, ta
2013
2013
S
2
Nhận xét: Nếu có x, y thỏa mãn điều kiện đề thì xy0 Do cần xét hai trường hợp sau
TH1: x 0 y Khi đó P5| | 3| | 5x y x3y 5y 7 4x
Suy 3·7 13 21
5
x x
P x Do đó, P nhỏ x nhỏ nhất. Do x nguyên dương, y nguyên âm nên x3, y 1 Vậy, trường hợp này, P nhỏ 12.
(3)Suy 3·7 13 21
5
x x
P x Do đó, P nhỏ x lớn nhất.
Do x nguyên âm, y nguyên dương nên x 2,y3 Vậy, trường hợp này, P nhỏ 1.
So sánh kết hai trường hợp, giá trị nhỏ P đạt được x 2, y3
2
(1,5đ) Tìm số hữu tỷ x, y thỏa mãn: 3Điều kiện x0;y0 3x y (1)
(1)2 3 3 x y 6 xy (3x y 2) 6 xy 3 (2)
(3 2) 36 36
x y xy xy
2
12 (3 2)
12
xy xy x y (3)
x, y số hữu tỉ, nên từ (3) suy xy số hữu tỉ.
+ Nếu 3x y 2 0, ta có vế trái (2) số vô tỉ, vế phải (2) số hữu tỉ, điều vơ lí
+ Nếu 3x y 2 0, kết hợp với (2) ta có:
3
3
1
6
4
x y x y
xy xy
Giải hệ ta được:
x y
1
x
y
Thay vào (1) ta
x y thỏa mãn yêu cầu toán
3
(1,5đ)
Đặt a y,2b z
x y (với x, y, z > 0) 3 x c
z
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
2 2
3 y z x y z x x y z
zx xy yz x y z y z x
3 3 3 2 2 2
x y z xyz y z xz x y x z xy yz
( )( ) ( )( ) ( )( )
(4)Không tính tổng quát giả sử x y z
Ta có: (1) (x y x y z ) (2 ) z z x z y( )( ) 0 (2) Dễ thấy (2) suy đpcm
Dấu ‘‘=’’ xảy
1
a
x y z b
c
4
(3đ) a
O H
B'
C'
M'
A' A
B C
M
N
Từ giả thiết ta có: AMO ANO AA O ' 90onên điểm A, A’, M, O,
N thuộc đường trịn đường kính AO.
'
AA N AMN (1)
Lại có: 1'
2
AMN MM N sđ MN (2)
Từ (1) (2) MM N AA N' ' MM’//AA’
Mà BCAA’BCMM’
(5)b
AMC’ vàABM có AMC' ABM chung góc MAB
' ~
AMC ABM AM AC' AM2 AB AC. '
AB AM (3)
Dễ thấyAC H' ~AA B' ' ' ' '
AC AH AA AH AB AC
AA AB (4)
Từ (3) (4) '.
'
AA AH AM AH AM
AM AA
Mặt khác AHM và AMA có chung góc ' A AM nên’
~ ' '
AHM AMA AMH AA M (5)
Tứ giác AMA’N nội tiếp AA M ANM' (6) Có AM, AN tiếp tuyến (O) AMN ANM (7) Từ (6) (7) AMN AA M ' (8) Từ (5) (8) ta có AMH AMN
Dễ thấy H, N nằm phía so với đường thẳng AM nên tia MH trùng tia MN hay M, H, N thẳng hàng
c
F K
E
D
H
B'
C'
B O C
Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’ , d cắt BB’ CC’ lần lượt tại D, E
' ' '
'
KB KH KC KB OD
OD OH OE KC OE (9)
Ta có: BDO ECO (vì BB C ) ' ' BOD EOC
2
2
~
DBO CEO OD OB OD OE OC OD OC
(6)Lấy F (F ≠ E) đường thẳng CC’ cho OE = OF
' '
OFC B C H (vì ' OEC ) Lại có HB C OCF' '
' '
' ' ~
' '
B C H CFO HB OC HB OC
HC OF HC OE (11)
Từ (9), (10), (11)
2
' '
' '
KB HB
KC HC
5
(1đ)
1,0 điểm
Tổng tất số ghi bảng 3 45
Gọi x số ghi ô (2; 2) (ô trung tâm của bảng); ô lại ghi số a, b, c, d, e, f,
g, h (Hình 1):
Cộng tổng tất số ghi bảng kích thước 2 ta 4T 4x a c e g( ) 2( b d f h ) 45 2 x(x b d f h ) Do x9,x b d f h 9 35 nên
4T 45 2·9 35 98 T 24 (do T) Trên Hình phương án điền số cho
24
T
a b c
h x d
g f e
Hình
4
3
5
