Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB. 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh. AB,BC,CD,DA của hình vuông.[r]
(1)SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN - LỚP
Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu1( 3,0 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm nguyên
8x 3xy5y25
2)Tìm tất số nguyên dương n cho A= n.4n3 7n Câu 2( 4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A= 10 30 2 :
2 10 2
2) Cho số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn
2 2
x
x yz y z z xy
a b c
Chứng minh
2 2
a bc b ca c ab
x y z
Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình:
6x
x m (Với m tham số) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x12x22 12
2) Giải hệ phương trình:
3 3
2
8x 27 18
4x 6x
y y
y y
Câu 4( 7,0 điểm)
1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC đường trịn (O) thay đổi ln vng góc cắt BD H Gọi P,Q,R,S chân đường vng góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB
a) CMR: 2 2
D
HA HB HC H không đổi b) CMR :PQRS tứ giác nội tiếp
2) Cho hình vng ABCD MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q thuộc cạnh
AB,BC,CD,DA hình vng CMR:SABCD ≤
4
MN NP PQ QM
AC
Câu 5( 2,0 điểm)
Cho a,b,c số thực dương CMR:
3 2a
ab bc ca a b c
a b c b c c a b
(2)Hướng dẫn
Câu1.1)8x23xy5y25
Z x x y x x y x x y 25 40 24 25 25 ) ( 2
Khi 3x+5 ước 25 từ tìm (x;y)(10;31);(2;7);(0;5) ( cách khac nhân vế với đưavề tích)
1.2) Với n chẵn n=2k
m N
m t n t k k k k
A k k k k k 14 114 6
2 7 ) 16 ( ) (
2 2
Với n lẻ n=2k+1
m N
m n t k k k k
A k k k k k 14 7 ) ( )
( 2 2
Vậy n14m6 n14m1 ( với nN) A chia hết cho Câu2.1) 10 30 2 :
2 10 2
= 2 3 4 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 2.2)
2 2
x
x yz y z z xy
a b c
) ( ) ( : ) ( ) ( : ) ( ) ( 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 xyz z y x z ab c xyz z y z x y x ab y x xyz Z c Tuongtu xyz z y x y ac b z xy yz y x z x ac z x xz y y b Tuongtu xyz z y x x bc a yz x xz xy z y bc z y yz x x a xy z c xz y b yz x a
Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM
Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm / 0m9(*)
Mặt khác ta phải có
2 12 2 1 2 2 2 2 m x m x x x x x m x x x x x x m x x x x
(3)3.2)Giải hệ phương trình
2
3
3
6 4
18 27 8
y x y x
y y
x
HD y =0 không nghiệm hệ chia vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có
hệ
1
4
18 27
2
3
y x y
x y x
Đặt
b y
a x
ta có hệ
1 3
18
2
3
ab b a
ab b a
b a
Hệ có nghiệm
5
6 ;
5 ;
6 ;
5 ) , (x y
Câu 4.1)
O H
R S
P
Q
D
C B
A
a) theo Pitago
; ;
;
; 2 2 2 2
2
2
AD HD
HA CD HD
HC BC HB
HC AB HB
HA
suy đpcm
b)Tứ giác HPBS nội tiếp HPSHBSDBC
Tứ giác HPAQ hình chữ nhật HPQHAQCADCBD Do SPQHPSHPQ2CBC
Tương tự SQR2BDC
Do DBCBDC1800 SPQSRQ1800 nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo)
(4)L K
P Q
I
C N
D
M
A B
Cách Gọi T, K, L trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình trung tuyến tam giác vng ta có MNNPPQQM 2(KLCLIKAI)2AC từ suy đpcm Cách Ta có theo Pitago
2
)
(
2
2 BM BN
MN BN
BM BM
BN
MN ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky
Tương Tự
2 ;
2 ;
2
AM AQ MQ DQ DP PQ NP CN
NP
Nên
MN NP PQ QM a dpcm a
a a AM QA DQ PD CP NC NB BM QM PQ NP MN
2
4
2 2
Dấu “=” xảy MNPQ hình chữ nhật
Câu
Cho a,b c>0 Chứng minh rằng:
6 2
3 3 2
2 3
c b a c b a
ca c
b a
bc c
b a
ab
Dự đốn a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b
Tacó áp dụng BĐT
z y x z
y x z
y x z y
x 1
9 1
(5)1 1 1 1
(1)
3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
ab ab ab ab ab a
a b c a c b c b a c b c b a c b c
Tương tự
1 1 1 1
(2)
2 3 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
1 1 1 1
(2)
3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
bc bc bc bc bc b
a b c a b a c c a c b c b a b b c
ac ac ac ac ac c
a b c a b b c a a b b c a a b b c
Từ (1) (2) (3)
6 2
9
1 a b c a b c
c a
ab bc c
b ac ab b
a bc ac
P
Dấu “=” xảy a=b=c
