Đề thi đại học khối A chính thức môn toán năm 2012

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC [r]

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn : TỐN - Khối : A

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu (2,0 điểm) Cho hàm số yx42( m1)x2m ( )2 1 ,với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Câu (2,0 điểm) Giải phương trình s in2x+cos2x=2cosx-1

Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

3

2

3 22

1

x x x y y y

x y x y

      

 

   

 

(x, y  R)

Câu (1,0 điểm) Tính tích phân

2

1 ln(x 1)

I dx

x

 





Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a

Câu (1,0 điểm) : Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P3x y 3y z 3z x  6x26y26z2

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử 11 1;

2

M 

 và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

1

x y z

 

và điểm I (0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I

Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn

5Cnn Cn Tìm số hạng chứa x5

khai triển nhị thức Niu-tơn

1 14

n

nx x

 



 

 

, x ≠

B Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vng

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

1

2 1

x y z

  , mặt phẳng (P) : x + y – 2z + = điểm A (1; -1; 2) Viết phương trình

đường thẳng  cắt d (P) M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN

Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa 5( )

z i

i z



 

 Tính mơđun số phức w = + z + z

BÀI GIẢI GỢI Ý PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1: a/ Khảo sát, vẽ (C) :

m =  y = x4 – 2x2

D = R, y’ = 4x3 – 4x, y’ =  x = hay x = 1

Hàm số đồng biến (-1; 0) (1; +), nghịch biến (-;-1) (0; 1) Hàm số đạt cực đại x = yCĐ = 0, đạt cực tiểu x = ±1 yCT = -1

lim

xy  Bảng biến thiên :

x - -1 + y’  +  +

y + + -1 -1

y =  x = hay x = 

Đồ thị tiếp xúc với Ox (0; 0) cắt Ox hai điểm ( 2; 0) b/ y’ = 4x3 – 4(m + 1)x

y’ =  x = hay x2 = (m + 1)

Hàm số có cực trị  m + >  m > -1 Khi đồ thị hàm số có cực trị A (0; m2), B (- m 1; – 2m – 1); C ( m 1; –2m – 1)

Do AB = AC nên tam giác vng A Gọi M trung điểm BC  M (0; -2m–1) Do ycbt  BC = 2AM (đường trung tuyến nửa cạnh huyền)

 m 1 = 2(m2 + 2m + 1) = 2(m + 1)2  = (m + 1) m 1 =

3

(m 1) (do m > -1)  = (m + 1) (do m > -1)  m =

Câu s in2x+cos2x=2cosx-1

 sinxcosx + 2cos2x = 2cosx  cosx = hay sinx + cosx =

 cosx = hay

2 sinx + 2cosx =

1

2  cosx = hay cos(x 3) cos3

 

 

 x =

2 k hay x k



 

  hay 2

3

x  k 

Câu 3:

3

2

3 22

1

x x x y y y

x y x y

      

 

   

 

Đặt t = -x

Hệ trở thành

3 2

2

3 9( ) 22

1

t y t y t y

t y t y

      

 

   

 

Đặt S = y + t; P = y.t

Hệ trở thành

3

2

3 3( ) 22 3( ) 22

1 1

2 ( )

2 2

S PS S P S S PS S P S

S P S P S S

           

 



 

     

 

 

3

2

3

2 45 82

4

1

( ) 2

2

S S S

P

P S S S

     



 

 

  

   



Vậy nghiệm hệ 3; ; 1;

2 2



   



   

   

x y

-1

2 O

-

Cách khác :

3

2

3 22

1

( ) ( )

2

x x x y y y

x y               

Đặt u = x

 ; v = y +

Hệ cho thành

3

2

3 45 45

( 1) ( 1) ( 1)

2 4

1

u u u v v v

u v               

Xét hàm f(t) = 3 45

2

t  t  t có f’(t) = 32 45

t  t < với t thỏa t

 f(u) = f(v + 1)  u = v +  (v + 1)2 + v2 =  v = hay v = -1  v u     

hay v u        Hệ cho có nghiệm 3; ; 1;

2 2

              Câu

1 ln(x 1)

I dx x   



= 3 2 1

1 ln(x 1)

dx dx x x  





= 3 1 x

  = J

3J Với

2

ln(x 1)

J dx

x

 



Đặt u = ln(x+1)  du = 1dx

x  ; dv =

1

dx

x , chọn v =

1

x

 -

J = ( 1) ln( 1)3 x x    + dx x



= ( 1) ln( 1)3

x x



  + ln x13 = 4ln ln



 + ln3

= 2ln ln 3



 Vậy I = 2ln ln

3



 

Cách khác : Đặt u = + ln(x+1)  du =

dx

x  ; đặt dv = dx

x , chọn v =

1

x



, ta có :





3

1

1 ln( 1)

I x

x

    +

3

1 ( 1)

dx x x 



=





3

1

1

1 ln( 1) ln x x x x      = 2

ln ln

3



 

Câu

Gọi M trung điểm AB, ta có

2 3 6

a a a MH  MBHB  

2 2 2

2 3 28 7

2 6 36 3

a a a a

CH        CH      2 7 2 3 a

SC  HC  ; SH = CH.tan600 = 21

a





2 3

1 7 7

,

3 4 12

a a

V S ABC  a

dựng D cho ABCD hình thoi, AD//BC

Vẽ HK vng góc với AD Và tam giác vng SHK, ta kẻ HI chiều cao SHK

Vậy khoảng cách d(BC,SA) khoảng cách 3HI/2 cần tìm

2 3 3

3 2 3

a a

HK   , hệ thức lượng

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

21 3

3 3

HI HS HK a a

    

   

   

   

   

B A

C S

H M

K





42 3 3 42 42

,

12 2 2 12 8

a a a

HI d BC SA HI

     

Câu x + y + z = nên z = -(x + y) có số khơng âm khơng dương Do tính chất đối xứng ta giả sử xy 

Ta có 3x y 32y x 32x y 12( 2 )

P       x y xy =

2 2

3x y y x x y 12[( ) ]

P       xy xy 

2

2

3 2.3 12[( ) ]

y x x y

x y

x y xy

  



   



3

3 2.3

x y x y

x y

 

   Đặt t = xy  , xét f(t) = 2.( 3)3t2 3t f’(t) = 2.3( 3) ln 33t 2 3 2 3( 3.( 3) ln 1)3t 0

   

 f đồng biến [0; +)  f(t)  f(0) =

Mà 3x y  30 = Vậy P  30 + = 3, dấu “=” xảy  x = y = z = Vậy P = A Theo chương trình Chuẩn :

Câu 7a

Ta có : AN = 10

a

; AM =

a

; MN =

a

;

cosA =

2 2

2

AM AN MN

AM AN

 

=

2   45 o

MAN 

(Cách khác :Để tính MAN = 450 ta tính

 

1

3

( )

1

3

tg DAM DAN



  



)

Phương trình đường thẳng AM : ax + by 11 a 2b

  =



2

2

cos

2

5( )

a b MAN

a b



 



 3t2 – 8t – = (với t = a

b)  t = hay

1

t  

+ Với t =  tọa độ A nghiệm hệ :

3 17

x y

x y

   



  



 A (4; 5)

+ Với

t    tọa độ A nghiệm hệ :

3

x y

x y

   



  



 A (1; -1)

Cách khác: A (a; 2a – 3), ( , )

d M AN  , MA = 10

2

MH   ( 11)2 (2 7)2 45

2 2

a  a 

 a = hay a =  A (1; -1) hay A (4; 5) Câu 8a Ta có M (-1; 0; 2) thuộc d, gọi ud



= (1; 2; 1) vectơ phương đường thẳng d [ , ]

2

( , )

2

d

d

MI u

AB R

IH d I d

u

   

 

  [MI u , d] ( 2;0; 2)  IH = 

2

2

R

  R =

3  phương trình mặt cầu (S) :

2 ( 3)2

x y z 

Câu 9.a 5Cnn1Cn3  ( 1)( 2)

n n n

n    30 = (n – 1) (n – 2), (do n > 0)  n =

B A

C D

N

Gọi a hệ số x5 ta có

7

7

7

1

i i

i x

C ax

x



    

 

   

 

 



7

7 14

7

( 1)

2 i

iC i x i ax

    

   

 

 14 – 3i =  i =

7 7

1

2 i i

C a

   

   

   a = 35 16 

Vậy số hạng chứa x5 35 16 

.x5

B Theo chương trình Nâng cao :

Câu 7b Phương trình tắc (E) có dạng :

2

2 ( )

x y

a b

a b   Ta có a =

(E )cắt (C ) điểm tạo thành hình vuông nên :

M (2;-2) thuộc (E) 42 42

a b

   16

3

b

  Vậy (E) có dạng

2 16 16

3

x y

 

Câu 8b Md M( ; ; 2  t t t t) ( R); A trung điểm MN N(3 ; 2 t  t; 2t) ( )

N P  t N( 1; 4; 0)  ;  qua A N nên phương trình có dạng :

2

x y z

 

Câu 9b z x yi

5( )

z i

i z



  

5( )

2

x yi i

i

x yi

 

  

 

5[( ( 1) ) ( 1)

x y i

i

x yi

 

  

  5x 5(y 1)i 2(x 1) (x 1)i 2yi y

         5x5(y1)i(2x 2 y) ( x 1 )y i

2

1 5( 1)

x y x

x y y

   



   



3

7

x y

x y

  

 

   

1

x

y

   

 

z = + i; w  1 z z2  1 (1i)(1i)2    1 1 i 1 2i ( 1)  2 3i w 4 9 13

   