Từ điểm M nằm ngồi Đường trịn (O) , ta kẻ tiếp tuyến MA , MB , Gọi S trung điểm MB , SA cắt (O) Tại C , MC , cắt (O) D Gọi Q ,là trung điểm CD , H giao điểm AB , MO Tìm tất tứ giác nội tiếp tạo từ tiếp tuyến điểm nêu GIẢI ˆ ˆ Xét (O) Ta có , MA , MB , tiếp tuyến (O) ⇒ MAO = MBO = 90° ˆ Q , trung điểm CD (gt) ⇒ QO ⊥ CD ⇒ MQO=90° A,B,Q,Cùng thuộc đường trịn đường kính MO ⇒ M, A, B, Q, O, thuộc đường tròn đường kính MO ⇒ tứ giác MAQO, MAOB,MQOB,AQOB, Là tứ Giác nội tiếp Gọi G giao điểm AB, CD ˆ ˆ Ta có GQOH có GQO = GHO = 90° nên nội tiếp VMAO vuông A , có AH đường cao ⇒ MA = MH.MO (hệ thức lượng)(1) MA MC VMAC ∽VMDA(g.g) ⇒ = ⇒ MA = MC.MD MD MA (2) Từ (1) (2) ⇒ MH.MO=MC.MD ˆ = MDO ˆ ⇒ VMHC ∽VMDO(c.g.c) ⇒ MHC CHOD nội tiếp(góc ngồi=góc đỉnh đối) ˆ ˆ Xét VMBA Có SH đường trung bình ⇒ SH//MA ⇒ HSA = MAS (sole trong) ˆ ˆ Lại có MAS = ABC (hệ góc tạo tiếp tuyến dâycung) ⇒ SCHB nội tiếp(2 đỉnh S,B,Cùng nhìn CH góc ) Gọi J giao điểm DH với (O) { H} ⇒ HA.HB=HJ.HD Ta có AJBD nội tiếp AB ∩ JD= Lại có MAOB nội tiếp ⇒ HA.HB=HM.HO ⇒ HJ.HD=HM.HO Hay tứ giácMJOD nội tiếp Xét (O) Có A,D,B,J,C, Cùng thuộc đường tròn (O) ⇒ ACBD,ACJD,AJBD,CJBD tứ giác nội tiếp ˆ =H ˆ D Ta có CHOD nội tiếp (cmt) ⇒ ˆ = 90° ˆ +O D ˆ ˆ ˆ ˆ =O H1 + H = 90° ⇒ H 1 ˆ ˆ O = O VCOD Lại có ( Cân) ˆ ˆ ⇒ O2 = H1 ⇒ CHOI nội tiếp (2 đỉnhH,O,cùng nhìn CI góc=nhau) Vì CHOD nội tiếp (cmt) ⇒ C,H,O,D,I, Cùng thuộc đường tròn ⇒ CHOD,CODI,CHOI,OHID tứ giác nội tiếp Từ trung điểm Q dựng (d)//BQ Cắt AB Tại K ˆ ˆ Ta có CQK = CDB (đồng vị ) ˆ ˆ Do CAB = CDB () ˆ = CQK ˆ ⇒ Tứ giác AQKC nội tiếp ( CAK ,2 đỉnhA,Q, nhìn CK góc = ) ˆ ˆ ⇒ CKA = CQA ˆ ˆ Lại có CQA = MBA (Do M,B,O,Q,A thuộc đường trịn đường kính MO ) ⇒ CK//MB hay CK ⊥ OB Từ C dựng CP Vng góc với OA ,Gọi Z giao điểm CP Và AB ˆ ˆ Ta có CZB = MAB (CZ ⊥ OA , OA ⊥ MA ⇒ CZ//MA )(đồng vị ) ˆ ˆ Do CQB = MAB ˆ ˆ Nên CZB = CQB ⇒ Tứ giácCZQB nội tiếp (2 đỉnhZ ,Q nhìn CB góc có số đo =nhau) Tóm lại có tất 18 Tứ giác nội tiếp