Từ điểm M nằm ngồi Đường trịn (O) , ta kẻ tiếp tuyến MA , MB , Gọi S trung điểm MB , SA cắt (O) Tại C , MC , cắt (O) D Gọi Q ,là trung điểm CD , H giao điểm AB , MO Tìm tất tứ giác nội tiếp tạo từ tiếp tuyến điểm nêu GIẢI ˆ ˆ Xét (O) Ta có , MA , MB , tiếp tuyến (O) � MAO MBO 90� ˆ ^ QO CD MQO=90 Q , trung điểm CD (gt) �^ A,B,Q,Cùng thuộc đường trịn đường kính MO � M, A, B, Q, O, thuộc đường tròn đường kính MO � tứ giác MAQO, MAOB,MQOB,AQOB, Là tứ Giác nội tiếp Gọi G giao điểm AB, CD ˆ ˆ Ta có GQOH có GQO GHO 90�nên nội tiếp VMAO vuông A , có AH đường cao � MA MH.MO (hệ thức lượng)(1) MA MC VMAC ∽VMDA(g.g) � � MA MC.MD MD MA (2) Từ (1) (2) � MH.MO=MC.MD ˆ MDO ˆ � VMHC ∽VMDO(c.g.c) � MHC CHOD nội tiếp(góc ngồi=góc đỉnh đối) ˆ ˆ Xét VMBA Có SH đường trung bình � SH//MA � HSA MAS (sole trong) ˆ ˆ Lại có MAS ABC (hệ góc tạo tiếp tuyến dâycung) � SCHB nội tiếp(2 đỉnh S,B,Cùng nhìn CH góc ) Gọi J giao điểm DH với (O) H � HA.HB=HJ.HD Ta có AJBD nội tiếp AB �JD= Lại có MAOB nội tiếp � HA.HB=HM.HO � HJ.HD=HM.HO Hay tứ giácMJOD nội tiếp Xét (O) Có A,D,B,J,C, Cùng thuộc đường trịn (O) � ACBD,ACJD,AJBD,CJBD tứ giác nội tiếp ˆ H ˆ D Ta có CHOD nội tiếp (cmt) � ˆ 90� ˆ O � D � � ˆ ˆ ˆ ˆ O H1 H 90�� H � 1 ˆ ˆ O O VCOD Lại có ( Cân) ˆ ˆ � O2 H1 � CHOI nội tiếp (2 đỉnhH,O,cùng nhìn CI góc=nhau) Vì CHOD nội tiếp (cmt) � C,H,O,D,I, Cùng thuộc đường tròn � CHOD,CODI,CHOI,OHID tứ giác nội tiếp Từ trung điểm Q dựng (d)//BQ Cắt AB Tại K ˆ ˆ Ta có CQK CDB (đồng vị ) ˆ ˆ Do CAB CDB () ˆ CQK ˆ � Tứ giác AQKC nội tiếp ( CAK ,2 đỉnhA,Q, nhìn CK góc = ) ˆ ˆ � CKA CQA ˆ ˆ Lại có CQA MBA (Do M,B,O,Q,A thuộc đường trịn đường kính MO ) � CK//MB hay CK OB Từ C dựng CP Vng góc với OA ,Gọi Z giao điểm CP Và AB ˆ ˆ Ta có CZB MAB (CZ OA , OA MA � CZ//MA )(đồng vị ) ˆ ˆ Do CQB MAB ˆ ˆ Nên CZB CQB � Tứ giácCZQB nội tiếp (2 đỉnhZ ,Q nhìn CB góc có số đo =nhau) Tóm lại có tất 18 Tứ giác nội tiếp