Hcd3 tugiacnoitiep

2 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp C TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN MỤC LỤC C TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN  TỨ GIÁC NỘI TIẾP  Lý thuyết  Bài tập NỘI TIẾP  ĐIỂM CHỨNG MINH ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN 11 MINH CÁC THUỘC CÁC ĐƯỜNG TRÒN  Lý thuyết 11  Bài tập 11  BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) 14 Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc 14 Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 .16 Dạng 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện 17 Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm 18 Dạng 5: Chứng minh điểm nằm đường tròn .18 Trong hình học đề thi tuyển sinh vào 10, câu a thường yêu cầu em chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp chứng minh điểm thuộc đường tròn Đây ý dễ toán nên em kiếm điểm tối đa từ ý nhé! Chủ đề hệ thống số biện pháp chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp mà em thường gặp Hãy nắm vững kiến thức học trước để phục vụ cho lời giải nhé! VNTEACH.COM Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Chúc em đạt kết cao học tập!  TỨ GIÁC NỘI TIẾP  Lý thuyết Định nghĩa A Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) Hình bên :Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Định lí Trong tứ giác nội tiếp,tổng số đo hai góc đối diện B O D 180 C Định lí đảo Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đường trịn Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Phương pháp 2: Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc  Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện (tương tự phương pháp 1) Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳn g thức Ptoleme VNTEACH.COM Thuận: Nếu tứ giác nội tiếp đường trịn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện Đảo: Nếu tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng tích cặp cạnh đối diện tích hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường trịn 2 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Ví dụ minh họa: Bài 1: nội tiếp Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp 2: Chứng minh đỉnh cách điểm  Gọi O trung điểm BC Xét BB’C có : BB'C 90 (GT) A OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền  OB’ = OB = OC = r (1) C' B'  Xét BC’C có : BC'C 90 (GT) Tương tự  OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2)  B, C’, B’, C  (O; r)  Tứ giác BC’B’C B O C nội tiếp đường tròn Cách 2: Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lạ góc tứ giác nội tiếp  Ta có: BB’  AC (giả thiết)  BB'C 90 A C' B'  900 CC’  AB (giả thiết)  BC'C  B’, C’ nhìn cạnh BC góc vng B O C  B’, C’ nằm đường trịn đường kính BC Hay tứ giác BC ' B ' C nội tiếp đường trịn đường kính BC VNTEACH.COM Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Cách 3: Phương pháp phương pháp 4: Tứ giác có tổng góc đối 180 Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện  Ta có: BB’  AC (giả thiết)  BB'A 90  900 CC’  AB (giả thiết)  CC'A    Xét ABB AC C có ABB  AC C 90 BAC chung Vậy ABB AC C (g-g)  AB ' AB AB ' AC '    AC ' AC AB AC A C' AB ' AC '   Xét ABC  ABC ta có AB AC BAC chung B' Vậy ABC  ABC (c-g-c)   AB 'C' ABC Tứ giác BC ' B ' C có góc ngồi đỉnh B O B ' góc đỉnh B Vậy tứ giác BC ' B ' C nội C tiếp (Phương pháp 2) Để sử dụng theo phương pháp tứ giác  ' BC  C  ' B ' C 1800 BC ' B ' C có C nên tứ giác BC ' B ' C tứ giác nội tiếp  Bài tập Bài 1: Cho đường tròn tâm O điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C) tiếp điểm Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh BC, CA, AB Gọi giao điểm BM IK P; giao điểm CM, IH Q a) Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được; b) Chứng minh MI2 = MH.MK; c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp suy PQ  MI ; Hướng dẫn giải   a) * BIM BKM 90 suy tứ giác BIMK nội tiếp 0   * CIM CHM 90 suy tứ giác CIMH nội tiếp VNTEACH.COM (phương pháp 1) (phương pháp 1) Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp     b) Tứ giác BIMK nội tiếp nên IKM IBM ; (nội tiếp chắn cung MI); KIM KBM (1) (nội tiếp chắn cung KM)     Tứ giác CIMK nội tiếp nên ICM IHM ; (cùng chắn cung MI); MIH MCH (cùng chắn (2) cung MH)   Xét đường trịn tâm (O) có : KBM BCM ; (góc tạo tiếp tuyến dây cung(;   MBI MCH (góc tạo tiếp tuyến dây cung) Từ  1 ,     ,    3 suy (3)     KIM IHM ; MKI MIH Do IMK MHI ( g.g )  MK MI   MI MK MH MI MH      c) * Ta có PMQ  PIQ BMC  PIM  QIM    BMC  MCI  MBC 1800   PMQ  PIQ 1800 Hay Suy tứ giác MPIQ nội tiếp (phương pháp 1) * Từ ta có     MPQ MIQ  MPQ MBC  PQ / / BC mà MI  BC nên MI  PQ Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2 R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C tiếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn  O  D ( D khác B ) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh MBCD tứ giác nội tiếp (xem cách giải Bài 3) Hướng dẫn giải VNTEACH.COM Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp x N C M D E A I H O B   0   Vì MA,  MC tiếp tuyến nên: MAO MCO 90 Tứ giác AMCO có MAO  MCO 180  AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MO   ADB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  ADM 900 (1) Lại có: OA OC R ; MA MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC   AEM 900 (2)   Từ (1) (2) suy ADM  AEM 90 Tứ giác AMDE có hai đỉnh A, E kề nhìn cạnh MA góc khơng đổi Vậy tứ giác AMDE nội tiếp đường trịn đường kính MA Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E , F ( F B E )  Chứng minh: ABD DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải VNTEACH.COM Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp o o    1) ADB có ADB 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )  ABD  BAD 90 (vì tổng ba o góc tam giác 180 )(1) X E o  90o ABF có ABF 90 ( BF tiếp tuyến )  AFB  BAF o (vì tổng ba góc tam giác 180 ) (2) C D   Từ (1) (2)  ABD DFB o O   2) Tứ giác ACDB nội tiếp    ABD    ACD    180 A O F B     mà ECD    ACD    180 ( Vì hai góc kề bù)  ECD DBA o o        Theo ABD DFB , ECD DBA  ECD DFB Mà EFD    DFB    180 ( Vì hai góc o   kề bù) nên  ECD    AEFD    180 , tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Bài 4: Cho nửa đường trịn đường kính BC 2 R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH  BC Nửa đường trịn đường kính BH , CH có tâm O1 ; O2 cắt AB CA thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R 25 BH 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải A o  Ta có BAC 90 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường trịn) E o   Tương tự có BDH CEH 90 D Xét B O1 H O O2 C tứ giác ADHE có  ADH   A AEH 90o hay ADHE hình chữ nhật VNTEACH.COM Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Từ DE  AH mà AH =BH CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) hay AH 10.40 202  BH 10; CH 2.25  10 40   DE 20     ADE b) Ta có: BAH = C (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH (1) o     (Vì ADHE hình chữ nhật) => C ADE C  BDE 180 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường trịn Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh cách sử dụng hệ thức lượng tam giác đồng dạng sau: Tam giác AHB vng H, đường cao AH Ta có AH  AD AB Tam giác AHC vuông H, đường cao AE Ta có AH  AE AC Ta có AD.AB AE.AC  AD AE  AC AB AD AE    Xét tam giác ADE tam giác ACB có AC AB , BAC DAE 90 (góc chung)    ADE ” ACB  ADE  ACB mà ADE  EDB 1800 nên ADE  ECB 1800   Tứ giác BDEC có ADE  ECB 180 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường trịn Bài 5: Từ tốn quen thuộc cho (O,R) Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tiếp tuyến Ax By với (O), lấy N thuộc (O), kẻ tiếp tuyến với (O) N cắt Ax C, cắt By D Gọi I K giao điểm AN CO, MN OD Chứng minh NIOK hình chữ nhật Ta có toán sau: D N C I A VNTEACH.COM K O B Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn  O  Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax,  By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ANB đồng dạng với CMD từ suy IMKN tứ giác nội tiếp y x D N C K I A M O B   0 a) Ta có tứ giác ACNM có: MNC 90 (gt) MAC 90 (tínhchất tiếp tuyến)    MAC 1800 ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự  MNC tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD b) ANB CMD có:   ABN CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)   BAN DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ANB CMD (g.g)  o O   c) ANB CMD  CMD ANB 90 (do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   ) VNTEACH.COM Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp   0   Suy IMK INK 90  INK  IMK 180 Vậy IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đường trịn Hướng dẫn giải Ta có :  MEP    sd AD  MB  sd DM  DCP  Mà Hay   DCP   (góc có đỉnh nằm bên (O)) M (góc nội tiếp)   sd AD  MA A P E  B O D   Lại có : AM MB   Nên : MEP = DCP C Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngồi đỉnh E góc đỉnh C Vậy tứ giác PEDC nội tiếp đường tròn Định lý Ptoleme Bài 7: Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh: AC BD = AB DC + AD BC Hướng dẫn giải   Lấy E  BD cho BAC = EAD B  DAE  ” CAB (g g) A VNTEACH.COM E O C 10 D Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp AD DE  AC BC   AD BC = AC DE (1) Tương tự: BAE  ” CAD (g g) BE AB =  CD AC  BE AC = CD AB (2) Từ (1) (2)  AD BC + AB CD = AC DE + EB AC  AD BC + AB CD = AC DB (đpcm)  CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN  Lý thuyết Phương pháp: - Chỉ khoảng cách từ điểm tới tất điểm  Lợi dụng tam giác vng có cạnh huyền chung  Chứng minh đỉnh đa giác nằm đường tròn  Sử dụng cung chứa góc VNTEACH.COM 11 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp  Chứng minh tứ giác nội tiếp  Bài tập Bài 1: Cho hình thoi ABCD có góc A 60 , AB = a Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường tròn Xác định tâm tính bán kính đường trịn theo a Hướng dẫn giải B Gọi O giao điểm AC BD ta có OB = OD Do ABCD hình thoi nên ta có AC  BD 0   Ta có BAD 60 nên BAO 30 (tính chất đường chéo hình thoi) Tam giác ABO vng O có a  OB  ABsinBAO  OB a.sin 300  E A F C O H G D 0    Xét tam giác vng ABO có ABO  BAO 90 ( hai góc phụ nhau) mà BAO 30 suy ABO 600  hay EBO 60 OE  AB EB EA ( tính chất đường trung tuyến tam giác vuông E trung điểm AB  Tam giác EOB tam giác cân E có EBO 60 nên tam giác EBO tam giác  OE OB Chứng minh tương tự với tam giác vng BOC, COD DOA ta có : OE OB OF OC OG OD OH Vậy điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn tâm O Bán kính VNTEACH.COM OB  a 12 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu D lên BC E, điểm đối xứng E qua BD F Chứng minh điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường trịn Hướng dẫn giải  Do DE  BC  DBE 90 Vì E F đối xứng với qua BD nên BD đường trung trực đoạn thẳng EF  BF BE ; DF DE F A   BED 900 BFD BED (c-c-c)  BFD D Cách Gọi O trung điểm BD Xét tam giác vuông ABD vng A có AO trung tuyến nên O B C E AO  BD OB OD (1) EO  BD OB OD (2) Tam giác vng BDE vng E có OE trung tuyến nên FO  BD OB OD (3) Tam giác vng BFDvng F có OF trung tuyến nên Từ (1), (2), (3)  OA OB OD OE OF Vậy điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn tâm O với O trung điểm BC Cách 2:    Tứ giác BADE có BAD  DEB 180 nên tứ giác BADE tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn trung điểm BD    Tứ giác BFDE có BFD  DEB 180 nên tứ giác BFDE tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn trung điểm BD VNTEACH.COM 13 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Từ   suy điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn tâm O với O trung điểm BC Bài 3: Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC Cát tuyến ADE không qua tâm O (D nằm A E) Gọi I trung điểm DE Chứng minh điểm O,B,A,C,I thuộc đường tròn Hướng dẫn giải Do AC AB tiếp tuyến nên C   OCA OBA 900 Do I trung điểm ED nên OI  ED P (đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây cung)   hay OID OIA 90 O A D I E B Gọi P trung điểm OA CP  AO OP PA Xét tam giác vng OCA có CP đường trung tuyến nên BP  AO OP PA Xét tam giác vng OBA có BP đường trung tuyến nên IP  AO OP PA Xét tam giác vng OIA có IP đường trung tuyến nên Vậy OP PA PC PI PB nên điểm O,B,A,C,I thuộc đường tròn VNTEACH.COM 14 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp  BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc Bài 1: Cho đường trịn đường kính AB, C điểm đường kính AB Trên đường trịn lấy điểm D, gọi M điểm cung BD Đường thẳng MC cắt đường tròn E, đường thẳng DE cắt AM K Đường thẳng qua C song song với AD cắt DE F Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKCE nội tiếp đường tròn b) CK  AD c) CF = CB Bài 2: Cho đường trịn tâm O có đường kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC ( AB  AC ); D điểm thuộc bán kính OC Đường thẳng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F a) Chứng minh tứ giác ADCF tứ giác nội tiếp   b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh : AME 2 ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đường trịn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC  đường tròn (O) biết BC = 8cm; ABC 60 Bài 3: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC, AD lấy điểm E, F cho  EAF 450 Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự G, H Chứng minh a) ADFG; GHFE tứ giác nội tiếp b) Tam giác CGH tứ giác GHFE có diện tích Bài 4: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC   a) Chứng minh BAC 2 BDC b) Gọi M điểm cung AC, tia đối tia MB lấy điểm E cho ME = MC Chứng minh bốn điểm B; D; E; C thuộc đường tròn VNTEACH.COM 15 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Bài 5: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B D Gọi A điểm cung lớn BD Các tia AD, AB cắt tiếp tuyến Bx Dy đường tròn N M Chứng minh a) Tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn b) MN// BD c) MA.MB    MD Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, với AC > AB Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính MC Tia BM cắt đường trịn (O) D Đường thẳng qua A D cắt đường tròn (O) S a) Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp   b) Chứng minh ABD ACD c) Chứng minh AC tia phân giác góc SCB d) Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy e) Chứng minh DM tia phân giác góc ADE f) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE  k) Biết bán kính đường trịn (O) R ACB 30 Tính độ dài cung MS Bài 7: Cho đường trịn (O;R) có AB đường kính cố định, cịn CD kà đường kính thay đổi Gọi (d) tiếp tuyến đường tròn B; AC, AD cắt (d) P, Q a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn b) Chứng minh đường trung tuyến AI tam tam giác AQP vng góc với DC c) Khi CD thay đổi tâm E đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD chuyển động đường ? Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 Bài 1: Cho tam giác ABC có góc nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC F; E Gọi H giao điểm BE, CF; D giao điểm AH với BC Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AEHF; AEDB nội tiếp đường tròn VNTEACH.COM 16 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp b) AF.AB = AE.AC Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh AD  BE  CF 9r tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn (AC > BC) nội tiếp đường tròn tâm O Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vng góc O MC a) Chứng minh rằng: MAOH tứ giác nội tiếp b) Tia HM phân giác góc AHB c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MA, MB E F Nối HE cắt AC F, nối HF cắt BC Q Chứng minh PQ//EF Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BFEC, BFHD nội tiếp b) Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF c) AD cắt cung BC M Chứng minh tam giác BHM cân Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E; BM cắt CQ F a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp  b) Chứng minh PCQ 1v c) Chứng minh EF // AB Bài 5: Cho nửa đường trịn đường kính AB C điểm thuộc nửa đường tròn Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho AD = AB Trên đoạn AB lấy điểm E cho AE = AC; DE cắt BC H; AH cắt nửa đường tròn K Chứng minh:   a) DAH BAH b) OK  BC c) Tứ giác ACHE nội tiếp d) B, K, D thẳng hàng VNTEACH.COM 17 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Dạng 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C, D hai điểm di động đường tròn Các tia AC, AD cắt Bx E F ( F nằm B E) a) Chứng minh ABF ~BDF b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp c) Khi C, D di động nửa đường tròn Chứng minh AC.AE = AD.AF có giá trị khơng đổi 0   d) Cho BOD 30 , DOC 60 Hãy tính diện tích tứ giác ACDB Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, vẽ nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F a) Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh: AE AB    AF AC d) Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh: a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) AC //FG d) Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B.Các tiếp tuyến A hai đường tròn (O’); (O) cắt đường tròn (O); (O’) C D Trung trực AC trung trực AD cắt S a) Tứ giác AOSO ' tứ giác ? Vì sao? Chứng SB  AB b) Lấy E đối xứng với A qua B Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp VNTEACH.COM 18 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Dạng 5: Chứng minh điểm nằm đường tròn Bài 1: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát tuyến AMN Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh AB   AM AN b) Chứng minh điểm A, B, I, C, O nằm đường tròn IB KB = c) Gọi K giao điểm BC AI Chứng minh rằng: IC KC Bài 2: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) qua hai điểm B C Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường trịn) Gọi E hình chiếu O xy; AO cắt MN F a) Chứng minh AM2 = AB AC b) Chứng minh điểm A, N, O, E, M nằm đường tròn c) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB d) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi Bài 3: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM Trên nửa mặt  phẳng bờ AN không chứa M lấy điểm B cho ABO 90 Đường thẳng BO cắt AN D, cắt đường thẳng AM C Đường thẳng BM cắt AN K Gọi I trung điểm AC BI cắt AN E Chứng minh: a) Năm điểm A, B, N, O, M nằm đường tròn b) BD phân giác tam giác BKN c) DN.AK = AN.DK d) Tam giác BEN cân Bài 4: Cho hình vuông ABCD điểm M cạnh BC Vẽ hình vng AMPQ cho P Q thuộc nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B Chứng minh rằng: a) Ba điểm Q, C, D thẳng hàng b) Năm điểm A, M, C, P, Q thuộc đường tròn c) điểm P chạy đoạn thẳng cố định M chuyển động cạnh BC VNTEACH.COM 19 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Bài 5: Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B C tiếp điểm) cát tuyến AMN (M nằm A N) với đường trịn Gọi E hình chiếu O MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn a) Chứng minh năm điểm A, O, E, C, B nằm đường tròn   b) Chứng minh AEC BIC c) Chứng minh BI//MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn VNTEACH.COM 20