Vì X, Y nằm trong tứ giác AEIF nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là khoảng cách giữa. X, Y không vượt quá 1.[r]
(1)http://edufly.vn
TRUNG TÂM EDUFLY
130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2014 – 2015
Mơn thi:
TỐNThời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu (7,0 điểm)
a) Giải phương trình
x
1 2
x x
3
2
x
x
2
4
x
3.
b) Giải hệ phương trình
2
2
1
(
1)
(
1)
2
3
1.
x
y
y
x
xy
x
y
Câu (3,0 điểm)
a) Tìm số nguyên x y thoả mãn phương trình
9
x
2
y
2
y
b) Tìm chữ số a, b cho
ab
2
a
b
3.
Câu (2,0 điểm)
Cho số a, b, c không âm Chứng minh
2
2 2 3
3
2
.
a
b
c
abc
ab bc
ca
Đẳng thức xảy nào?
Câu (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AE CF
cắt H Gọi P điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C); M, N
hình chiếu P đường thẳng AB AC Chứng minh rằng:
a) OB vuông góc với EF
BH
2
EF
BO
AC
(2)
http://edufly.vn
TRUNG TÂM EDUFLY
130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00
Câu (2,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có
BAC
60 ,
oBC
2 3
cm Bên tam giác
cho 13 điểm Chứng minh 13 điểm ln tìm điểm mà
khoảng cách chúng không lớn 1cm
- HT -
Họ tên thí
sinh:
Sè b¸o danh:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2014 – 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Mơn: TỐN
Câu Nội dung Điểm
1 7,0
a) 3,5
Điều kiện:
x
1
Ta có:
x
1 2
x x
3
2
x
x
2
4
x
3
0,5
2
x x
3
2
x
x
1
x
1
x
3
0
0,25
2
x
x
3 1
x
1
x
3 1
0
0,5
x
3 1
x
1
2
x
0
(3)http://edufly.vn
TRUNG TÂM EDUFLY
130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00
3
1
(1)
1
2
(2)
x
x
x
0,5Ta có
(1)
x
2
(loại) 0,5(2)
2
0
0
1 4
4
1 0
x
x
x
x
x
x
0
1
17
8
x
x
1
17
8
x
(thỏa mãn)0,5
Vậy phương trình cho có nghiệm
1
17
8
x
0,25b) 3,5 đ
Điều kiện:
x
1;
y
1
Hệ phương trình cho tương đương với
2
2
1
(
1)
(
1)
2
1
.
1
1
4
x
y
y
x
x
y
y
x
0,5Đặt
;
1
1
x
y
u
v
y
x
, hệ cho trở thành2
1
2
1
4
u
v
uv
0,5 2 22
1
2
0
u
v
uv
u
v
uv
21
0
u
v
u
v
(4)http://edufly.vn
TRUNG TÂM EDUFLY
130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00
Suy
1
2
u
v
1
2
u
v
0,5Nếu
1
2
u
v
1 2
1
1 2
y
x
x
y
x
y
(thỏa mãn) 0,75Nếu
1
2
u
v
1
2
1
1
2
3
y
x
x
y
x
y
(thỏa mãn)Vậy hệ phương trình có nghiệm:
1;
1
3
x
y
x
y
0,75
2 3,0 đ
a) 2,0 đ
Phương trình cho tương đương với
9
x
y
1
y
2
(1) 0,5Nếu
y
1 3
y
2
y
1
3
3
y
1
y
2
9
mà
9
x
9
,
x
nên ta có mâu thuẫn0,5
Suy
y
1 3,
y
1 3
k k
y
3
k
1
k
0,5Thay vào (1) ta có:
9
x
3
k
3
k
3
x
k k
1
0,25Vậy phương trình có nghiệm:
1
3
1
x
k k
y
k
k
0,25b) 1,0 đ
Từ giả thiết suy
ab
a
b
a
b
(1)Vì
ab
a
b
* nêna
b
số phương0,25
(5)http://edufly.vn
TRUNG TÂM EDUFLY
130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00
Nếu
a
b
1,
a
b
4,
a b
16
thay vào (1) khơng thỏa mãnNếu
a
b
9
thay vào (1) taab
27
Vậy
a
2,
b
7
0,5
3 2,0 đ
Đặt 3
a
2
x
,
3b
2
y
,
3c
2
z
Suy
a
2
x b
3,
y c
3,
z
3,a
x
3,
b
y
3,
c
z
3x y z
, ,
0
Bất đẳng thức cho trở thành:
x
3
y
3
z
3
3
xyz
2
x y
3
y z
3
z x
3 3
(1)0,5
Vì vai trị
x y z
, ,
bình đẳng nên giả sửx
y
z
0
Khi
x x
y
2
z y
z
2
z
x
y
x
y
y
z
0
Suy
x
3
y
3
z
3
3
xyz
xy x
y
yz y
z
zx z
x
(2)0,5
Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có
xy x
y
2
xy xy
2
x y
3 (3)Tương tự ta có
yz y
z
2
y z
3 (4)
zx z
x
2
z x
3 (5)Cộng vế theo vế bất đẳng thức (3), (4), (5) ta
3 3 3
2
xy x
y
yz y
z
zx z
x
x y
y z
z x
(6)0,5
(6)http://edufly.vn
TRUNG TÂM EDUFLY
130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00
x
3
y
3
z
3
3
xyz
2
x y
3
y z
3
z x
3 3
Đẳng thức xảy
x
y
z
haya
b
c
4 6,0 đ
a) 4,0 đ
N1
M1 x
O F
E H
N
M
P
C B
A
Vì
AEC AFC 90
0nên tứ giác ACEF nội tiếp0,5
Suy
BFE
ACB
(cùng bù với góc
AFE
) (1)0,5
Kẻ tia tiếp tuyến Bx đường tròn (O) B
Ta có
ACB
ABx
(cùng chắn cung AB ) (2)0,5
Từ (1) (2) suy
BFE
ABx
0,5Do
Bx EF
//
0,5Mà
OB
Bx
nênOB
EF
0,5Xét
BEF
BAC
có
ABC
chungBFE
ACB
( theo (1))nên
BEF
BAC
đồng dạng0,5
Mặt khác
BEF
và
BAC
nội tiếp đường tròn bán kính2
BH
đường
trịn bán kính OB nên
2.
EF
BH
AC
OB
Từ ta có
BH
2
EF
BO
AC
(7)http://edufly.vn
TRUNG TÂM EDUFLY
130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00
P F
N
M E I
H G
O
C B
A
b) 2,0 đ
Gọi M1 N1 điểm đối xứng với P qua AB AC
Ta có
AM B
1
APB
(do tính chất đối xứng) (3)0,25
APB
ACB
(cùng chắn cung AB) (4) 0,25Tứ giác BEHF nội tiếp nên
BFE
BHE
(5)Mặt khác theo câu a)
BFE
ACB
(6)0,25
Từ (3), (4), (5), (6) suy
AM B
1
BHE
AM B
1
AHB
180
0, 0,25tứ giác AHBM1 nội tiếp 0,25
1
AHM
ABM
mà
ABM
1
ABP
nên
AHM
1
ABP
0,25Chứng minh tương tự ta có
AHN
1
ACP
0,25
1
180
AHM
AHN
ABP
ACP
M1, N1, H thẳng hàngMặt khác MN đường trung bình tam giác PM1 N1 , MN qua trung
điểm PH
0,25
5 2,0 đ
Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC M, N, P trung điểm BC, CA, AB
Do tam giác ABC nhọn nên O nằm
tam giác ABC Vì
BAC
60
0 nênMOC
60
0, suy
0
2
sin 60
MC
OA OB
OC
(8)http://edufly.vn
TRUNG TÂM EDUFLY
130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00
Vì O nằm tam giác ABC
OM
BC ON
,
AC OP
,
AB
Suy tam giác ABC chia thành tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp đường trịn có đường kính (đường kính OA, OB, OC)
0.25
Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tứ giác chứa điểm 13 điểm cho, giả sử tứ giác ANOP 0,25
Gọi E, F, G, H trung điểm NA, AP, PO, ON I trung điểm
OA, suy
IA
IP
IO
IN
1
0,25Khi tứ giác ANOP chia thành tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội
tiếp đường trịn có đường kính 0,25
Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tứ giác chứa điểm điểm cho, giả sử tứ giác AEIF chứa điểm X, Y số 13 điểm cho
0,25
Vì X, Y nằm tứ giác AEIF nên X, Y nằm đường trịn ngoại tiếp tứ giác này, XY khơng lớn đường kính đường trịn này, nghĩa khoảng cách
X, Y không vượt
0,25
Lưu ý : Thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa