Đề thi và đáp án kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2014 - chuyên Phan Bội Châu Tỉnh Nghệ An

Vì X, Y nằm trong tứ giác AEIF nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là khoảng cách giữa. X, Y không vượt quá 1.[r]

(1)

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

130B Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 098 770 84 00

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

NĂM HỌC 2014 – 2015

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu (7,0 điểm)

a) Giải phương trình x 1 2x x 3 2x x2 4x3.

b) Giải hệ phương trình

2

1 ( 1) ( 1) 2

3 1.

x y

y x

xy x y

  

  



   



Câu (3,0 điểm)

a) Tìm số nguyên x y thoả mãn phương trình 9x 2 y2  y

b) Tìm chữ số a, b cho ab2 ab3.

Câu (2,0 điểm)

Cho số a, b, c không âm Chứng minh

 2  

2 2 3

3 2 .

a b  c abc  ab bc ca

Đẳng thức xảy nào?

Câu (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AE CF cắt H Gọi P điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C); M, N hình chiếu P đường thẳng AB AC Chứng minh rằng:

a) OB vuông góc với EF BH 2EF BO  AC

(2)

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

Câu (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có BAC60 ,o BC 2 3cm Bên tam giác cho 13 điểm Chứng minh 13 điểm ln tìm điểm mà khoảng cách chúng không lớn 1cm

- HT -

Họ tên thí

sinh:

Sè b¸o danh:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

NĂM HỌC 2014 – 2015

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Mơn: TỐN

Câu Nội dung Điểm

1 7,0

a) 3,5

Điều kiện: x 1

Ta có: x 1 2x x 3 2x x2 4x3

0,5

  

2x x 3 2x x 1 x 1 x 3 0

         0,25

   

2x x 3 1 x 1 x 3 1 0

        0,5

 x 3 1 x 1 2x 0

(3)

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

3 1 (1)

1 2 (2)

x x x         0,5

Ta có (1)  x 2 (loại) 0,5

(2)

2

0 0

1 4 4 1 0

x x

x x x x

             0 1 17 8 x x         1 17 8 x 

  (thỏa mãn)

0,5

Vậy phương trình cho có nghiệm 1 17 8

x  0,25

b) 3,5 đ

Điều kiện: x  1;y  1

Hệ phương trình cho tương đương với

2

1 ( 1) ( 1) 2

1 .

1 1 4

x y y x x y y x               0,5

Đặt ;

1 1

x y

u v

y x

 

  , hệ cho trở thành

2 1

2 1 4 u v uv         0,5 2 2 2 1 2 0

u v uv

               2 1 0 u v u v        

(4)

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

Suy 1

2

u  v 1 2

u   v 0,5

Nếu 1

2

u  v 1 2 1

1 2

y x

x y

 

   

  

 (thỏa mãn) 0,75

Nếu 1

2

u  v 1 2 1

1 2 3

y x

x y

   

       

 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: 1; 1 3 x y x  y

0,75

2 3,0 đ

a) 2,0 đ

Phương trình cho tương đương với 9xy1y2 (1) 0,5

Nếu y1 3 y 2 y 1 3  3y1y2 9

mà 9x 9,  x  nên ta có mâu thuẫn

0,5

Suy y1 3, y 1 3k k  y 3k1k 0,5

Thay vào (1) ta có: 9x3k3k  3 x k k 1 0,25

Vậy phương trình có nghiệm:  1 3 1

x k k

y k

 

 

 

 k 0,25

b) 1,0 đ

Từ giả thiết suy abab ab (1)

Vì ab a b * nên ab số phương

0,25

(5)

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

Nếu a b 1, a b 4, a b 16 thay vào (1) khơng thỏa mãn

Nếu a b 9 thay vào (1) ta ab 27

Vậy a2, b7

0,5

3 2,0 đ

Đặt 3a2 x,3b2  y, 3c2 z

Suy a2 x b3,  y c3, z3, a x3,b y3, c z3 x y z, , 0

Bất đẳng thức cho trở thành:

x3 y3z33xyz2 x y3  y z3  z x3 3 (1)

0,5

Vì vai trị x y z, , bình đẳng nên giả sử x  y z 0

Khi x x  y2 z y z 2 z x yx yyz0

Suy x3 y3z33xyzxy x  y yz y  z zx z x (2)

0,5

Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có xy x  y2xy xy 2 x y3 (3)

Tương tự ta có yz y z2 y z3 (4)

zx z x2 z x3 (5)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức (3), (4), (5) ta

       3 3 3

2

xy xy  yz yz zx zx  x y  y z  z x (6)

0,5

(6)

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

x3 y3z33xyz2 x y3  y z3  z x3 3

Đẳng thức xảy x y z hay a b c

4 6,0 đ

a) 4,0 đ

N1

M1 x

O F

E H

N

M

P

C B

A

Vì AEC AFC 90   0nên tứ giác ACEF nội tiếp

0,5

Suy BFE ACB (cùng bù với góc AFE) (1)

0,5

Kẻ tia tiếp tuyến Bx đường tròn (O) B

Ta có ACBABx(cùng chắn cung AB ) (2)

0,5

Từ (1) (2) suy BFE ABx 0,5

Do Bx EF// 0,5

Mà OBBx nên OBEF 0,5

Xét BEF BAC có ABC chung BFE ACB ( theo (1))

nên BEF BAC đồng dạng

0,5

Mặt khác BEFvà BAC nội tiếp đường tròn bán kính 2 BH

đường

trịn bán kính OB nên

2.

EF BH

AC  OB

Từ ta có BH 2EF BO  AC

(7)

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

P F

N

M E I

H G

O

C B

A

b) 2,0 đ

Gọi M1 N1 điểm đối xứng với P qua AB AC

Ta có AM B1 APB (do tính chất đối xứng) (3)

0,25

APB ACB (cùng chắn cung AB) (4) 0,25

Tứ giác BEHF nội tiếp nên BFE BHE (5)

Mặt khác theo câu a) BFE  ACB (6)

0,25

Từ (3), (4), (5), (6) suy AM B 1 BHE AM B1 AHB1800, 0,25

tứ giác AHBM1 nội tiếp 0,25

 

1

AHM ABM

  mà ABM1ABP nên AHM1 ABP 0,25

Chứng minh tương tự ta có AHN1 ACP 0,25

    

1 180

AHM  AHN ABP ACP M1, N1, H thẳng hàng

Mặt khác MN đường trung bình tam giác PM1 N1 , MN qua trung

điểm PH

0,25

5 2,0 đ

Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC M, N, P trung điểm BC, CA, AB

Do tam giác ABC nhọn nên O nằm

tam giác ABC Vì BAC600 nên MOC 600, suy

0 2

sin 60 MC

OA OB OC 

(8)

http://edufly.vn

TRUNG TÂM EDUFLY

Vì O nằm tam giác ABC OM BC ON,  AC OP,  AB

Suy tam giác ABC chia thành tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp đường trịn có đường kính (đường kính OA, OB, OC)

0.25

Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tứ giác chứa điểm 13 điểm cho, giả sử tứ giác ANOP 0,25

Gọi E, F, G, H trung điểm NA, AP, PO, ON I trung điểm

OA, suy IAIPIOIN 1 0,25

Khi tứ giác ANOP chia thành tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội

tiếp đường trịn có đường kính 0,25

Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tứ giác chứa điểm điểm cho, giả sử tứ giác AEIF chứa điểm X, Y số 13 điểm cho

0,25

Vì X, Y nằm tứ giác AEIF nên X, Y nằm đường trịn ngoại tiếp tứ giác này, XY khơng lớn đường kính đường trịn này, nghĩa khoảng cách

X, Y không vượt

0,25

Lưu ý : Thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	547,75 KB