Tuyển tập các đề thi vào các trường chuyên ở Hà Nội từ năm 1996 đến 2006

Một nông trường dự định trồng 75ha rừng trong một tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80ha và hoàn thành sớm trước một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trườ[r]

(1)

Trung tâm gia sư VIP –Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Trường THPT Chu Văn An Hà Nội – Amstecdam Năm học 2005- 2006

Mơn thi : Tốn Ngày 21- -2005

Thời gian làm :150 phút

Bài ( điểm ) Cho biểu thức P x x x x x

x x x x x

  

  

 

a) Rút gọn P b) Tìm x để

2 P 

Bài ( điểm ) Cho bất phương trình 3m1x 1 2mx m( tham số) Giải bất phương trình với m  1 2

2 Tìm m để bất phương trình nhận giá trị x 1 nghiệm Bài ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng

 

:

d xya  parabol  P :yax a2( làm tham số dương )

1 Tìm a để  d cắt  P hai điểm phân biệt A B Chứng minh A B nằm bên phải trục tung

2 Gọi x A x hoành độ B A B tìm giá trị nhỏ biểu thức ,

4

A B A B

T

x x x x

 



Bài ( điểm ) Đường trịn tâm O có dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB.Lấy điểm M cung lớn AB dựng tia , Ax vng góc với đường thẳng MI H cắt BM C

1 Chứng minh AIB,AMC tam giác cân

2 Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di động cung tròn cố định

3 Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn Bài ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông A có ABAC trung tuyến

 

, ,

(2)

Mơn thi : Tốn Ngày 180- -2004

Bài ( điểm ) Cho biểu thức

2

1 1

2

1

x x x

P

x x x

     

     

     

   

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P x 

Bài ( điểm ) Cho phương trình x2m2xm23m 4 0(m tham số ) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá m

2 Tìm m để tỷ số hai nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối Bài ( điểm ) Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng  d có phương trình

 

2kx k1 y2(k tham số )

1 Với giá trị k đường thẳng  d song song với đường thẳng

yx Khi tính góc tạo  d với tia O x

2 Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng  d lớn

Bài ( điểm ) Cho góc vng xOy hai điểm ,A B nằm cạnh O (x A nằm O B điểm ), M cạnh Oy Đường trịn  T đường kính AB cắt tia MA MB điểm thứ hai , , C E Tia OE cắt đường tròn  T điểm thứ hai F

1 Chứng minh bốn điểm O A E M nằm đường tròn, xác định tâm , , , đường tròn

2 Tứ giác OCFM hình Tại

3 Chứng minh hệ thức OE.OFBE BM OB2

(3)

Mơn thi : Tốn Ngày 26- -2003

Bài 1: ( điểm ) Cho biểu thức  

2 2 1

2

1

x

x x x x

P

x x x x



 

  

  

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biểu thức Q 2 x

P

 nhận giá trị số nguyên

Bài ( điểm) Trong mặt phẳng tọa độ O ,xy cho parabol  P :y x2 đường thẳng  d qua điểm I0;1 có hệ số góc k

1 Viết phương trình đường thẳng  d Chứng minh với giá trị

 

,

k d cắt  P hai điểm phân biệt A B

2 Gọi hoành độ A B x 1 x chứng minh 2, x1x2 2

3 Chứng minh tam giác OAB vuông

Bài ( điểm ) Cho đoạn thẳng AB2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường trịn  O đường kính AB nửa đường trịn

 O' đường kính AO Trên  O' lấy điểm M ( khác A O , tia ) OM cắt

 O C gọi , D giao điểm thứ hai CA với  O' Chứng minh tam giác ADM cân

2 Tiếp tuyến C  O cắt tia OD E xác định vị trí tương đối , đường thẳng EA  O  O'

3 Đường thẳng AM cắt OD H đường tròn ngoại tiếp , COH cắt  O điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm A M , N thẳng hàng

(4)

Mơn thi : Tốn Ngày 21- -2002

Bài ( điểm ) Cho biểu thức

1 1

x x x

P

x x x x x

  

  

   

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q x P

 

Bài 2( điểm ) Cho hệ phương trình hai ẩn x y, với m tham số

 

   

2

mx y

m x y m

  

 

  

 

1 Giải hệ phương trình với m  

2 Trong mặt phẳng toạ độ xOy xét hai đường thẳng có phương trình (1) (2) a) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng (1) qua điểm cố định

B đường thẳng (2) qua điểm cố định C

b) Tìm m để giao điểm A hai đường thẳng thoả mãn điều kiện BAC vng  Tính diện tích ABC ứng với giá trị m

Bài ( điểm ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính , BC điểm A nửa đường trịn ( A khác , ).B C Hạ AH vng góc với BC H thuộc ( BC ) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường trịn đường kính , HB HC chúng cắt , AB AC E F

1 Chứng minh AE AB AF.AC

2 Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường trịn đường kính HB HC

3 Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng mỉnh ba điểm I A K thẳng hàng , ,

4 Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B nửa đường tròn  O M chứng , minh MC AH EF đồng quy , ,

(5)

Mơn thi : Tốn Ngày 21- -2001

Thời gian làm :150 phút Bài ( điểm ) Cho biểu thức

2

:

5

x x x x

P

x x x x x

      

      

        

   

a) Rút gọn P

b) Tìm x để 1 P  

Bài ( điểm ) Cho phương trình x m  3 2mx 1 

1 Tìm tham số m để phương trình có nghiệm nhất, tính nghiệm với

m  

2 Tìm giá trị m để phương trtình (1) nhận x 5 2 nghiệm Gọi m m hai nghiệm phương trình (1) ( ẩn 1, 2 m ) Tìm x để m m số 1, 2 đo hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền 22 Bài ( điểm ) Cho hai đường tròn  O , bán kính R đường trịn  O' bán kính

2 R

tiếp xúc A Trên đường tròn  O lấy điểm B cho ABR điểm M cung lớn AB Tia MA cắt đường tròn  O' điểm thứ hai

N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB Q cắt đường tròn  O' P

1 Chứng minh OAM đồng dạng với O AN'

2 Chứng minh độ dài đoạn thẳng NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M Tứ giác ABQP hình Tại

4 Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị theo R

(6)

Mơn thi : Tốn Ngày 21- -200

Bài ( điểm ) Cho biểu thức P 2x x x x x

x x x x x

  

  

 

a) Rút gọn P b) So sánh P với

c) Với giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức

P nhận giá trị nguyên

Bài ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng  d :ymx1 parabol  P :yx2

1 Vẽ parabol  P đường thẳng  d m 1

2 Chứng minh với giá trị tham số m, đường thẳng  d qua điểm cố định cắt  P hai điểm phân biệt A B

3 Tìm giá trị tham số m để diện tích tam giác OAB (đơn vị diện tích)

Bài ( điểm ) Cho đoạn thẳng AB2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia A ,x By vuông góc với AB Một đường thẳng  d thay đổi cắt Ax M cắt By , N cho ln có AM BN a2

1 Chứng minh OAM đồng dạng với BNO góc MON vng 

2 Gọi H hình chiếu O MN chứng minh đường thẳng ,  d tiếp xúc với nửa đường tròn cố định H

(7)

4 Tìm vị trí đường thẳng  d cho chu vi AHBđạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn theo a

Bài 4: Chứng minh với a, b, c> 0, ta có:

a c c b b a a c c b b a      3 3 3

Trường THPT Chu Văn An Hà Nội – Amstecdam Năm học 1999-2000

Mơn thi : Tốn Ngày 17- -1999

Thời gian làm :150 phút Bài ( điểm ) Cho biểu thức

3 2

:

2

x x x x

P

x x x x x

      

      

        

   

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên x để P 0 c) Với giá trị x biểu thức

P đạt giá trị nhỏ Bài ( điểm ) Cho phương trình 2

5 0(

x mxm   m tham số ) Giải phương trình với m  1

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

3 Với giá trị m mà phương trình có nghiệm, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tất nghiệm

Bài ( điểm ) Cho tam giác ABC có góc A tù, đường trịn  O đường kính AB cắt đường trịn  O' đường kính AC giao điểm thứ hai H Một đường thẳng  d quay quanh A cắt đường tròn  O đường tròn  O' M N cho A nằm M N

1 Chứng minh H thuộc BC tứ giác BCNM hình thang vng Chứng minh tỷ số HM

(8)

3 Gọi I trung điểm MN K trung điểm , BC Chứng minh bốn điểm , , ,

A H K I thuộc đường tròn I di chuyển cung trịn cố định Xác định vị trí đường thẳng  d để diện tích HMN lớn

Mơn thi : Tốn Ngày 17- -1999

Thời gian làm :150 phút Bài (3 điểm ) Cho biểu thức

1

1 :

1 1

xy x xy x

x x

P

xy xy xy xy

       

        

   

   

a) Rút gọn P

b) Cho 1

x  y  Tìm giá trị lớn P

Bài ( điểm ) Cho phương trình x14m1x12m2m 1 *  Giải phương trình với m  1

2 Chứng minh phường trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt x x với 1, 2 giá trị tham số m

3 Tìm giá trị m để x1  x2 2

Bài ( điểm ) Cho đường tròn O R;  đường kính AB kẻ tia tiếp tuyến , Ax lấy điểm P AP R Từ P kẻ PM tiếp xúc với đường tròn M Tứ giác OBMP hình

(9)

3 Chứng minh P di động tia Ax AP R trực tâm H tam giác PAM chạy cung tròn cố định

4 Dựng hình chữ nhật PAON Chứng minh B M N thẳng hàng , ,

Mơn thi : Tốn Ngày 11- -1998

Bài ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức  

3 3 2

2

x x x x

P

x x x x

   

  

   

a) Rút gọn P

b) Tìm x để 15 P 

Bài (2,5 điểm ) Giải toán cách lập hệ phương trình

Một máy bơm để bơm đầy bể nước tích 60m với thời gian định trước 3 Khi bơm

2 bể điện 48 phút Đến lúc có điện trở lại người ta sử dụng thêm máy bơm thứ hai có cơng suất 10m3/ h Cả hai máy bơm hoạt động để bơm đầy bể với thời gian dự kiến Tính cơng suất máy bơm thứ thời gian máy bơm hoạt động

(10)

hai tia phân giác cắt F Gọi I K theo thứ tự giao điểm dây , DEvới cạnh AB AC ,

a) Chứng minh tam giác EBF D, AF cân

b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK song song AB c) Tứ giác AIFK hình Tại

d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi, đơng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK

Bài (1 điểm) Tìm giá trị x thoả mãn hệ thức sau

2 3 x 2    3x 4 2  

Mơn thi : Tốn Ngày 11- -1996

Bài 1(2,5 điểm) Cho biểu thức 1

2

a a a

P

a a a a

  

   

   

a) Rút gọn P b) Tìm a để P 1

c) Tìm giá trị aN cho Plà số tự nhiên

Bài (2,5 điểm ) Giải toán cách lập hệ phương trình

Một nơng trường dự định trồng 75ha rừng tuần lễ Do tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên trồng 80ha hoàn thành sớm trước tuần Hỏi tuần lâm trường dự định trồng rừng

Bài (4 điểm ) Cho đoạn thẳng AB điểm M nằm A B Trong nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB dựng hình vng AMCD

MBEF Hai đường thẳng AF BC cắt N

a) Chứng minh AF BC, suy điểm N nằm hai đường trịn ngoại tiếp hình vng AMCD MBEF

(11)

c) Cho A B cố định , M di động đoạn AB chứng minh đường thẳng , MN ln qua điểm cố định

d) Tìm vị trí điểm M cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn

Bài (1 điểm) Cho hai phương trình ax2bx c 1  cx2 bxa0 2  Với a c  Gọi   hai nghiệm lớn Chứng minh ,   2

Mơn thi : Tốn Ngày 11- -1995

Bài (2 điểm) Cho biểu thức 2 x x P

x

 





3

2

x x x

B

x

  



 a) Rút gọn A B

b) Tìm giá trị x để AB

Bài (3 điểm) Cho phương trình x22m1xm 5 0(x ẩn )

a) Xác định m để phương trình có nghiệm x  1 tìm nghiệm cịn lại b) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt x x với 1, 2 giá trị m

(12)

cung nhỏ AC P giao điểm , AC BM Tia , BC cắt tia AM, Ax N Q ,

a) Chứng minh tam giác ABN cân b) Tứ giác APNQ hình Tại

c) Gọi K điểm cung AB khơng chứa điểm C Hỏi xảy ba điểm Q M K thẳng hàng không Tại , ,

d) Xác định vị trí điểm C để đường trịn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với đường tròn  O

Bài (1điểm) Giải phương trình 1995 1996 1 

x  y  z  xyz

Đáp số:

Bài a) A2 x ;1 Bx1 b) x1,2 1

Bài 2: a) Nghiệm thứ hai x2  m1x 5

c) m 

Bài x3;y 1994;z1997

Mơn thi : Tốn Ngày 11- -1994

Bài (2,5 điểm ) Cho biểu thức :

1

x x

P

x

x x x x x

   

     

        

   

a) Rút gọn P

b) Tìm điều kiện x để P 0

Bài ( 2,5 điểm ) Cho hệ phương trình  1

3

m x y

x my

   

 

 

  a) Giải hệ phương trình với m  1.

b) Chứng minh m hệ phương trình ln có nghiệm c) Tìm m để xy đạt giá trị lớn

(13)

Mx tia đối tia MC Trên tia đối tia MBlấy điểm D cho

MDMC

1) Chứng minh tia MA tia phân giác BMx 

2) Gọi K giao điểm thứ hai đường thẳng DC với đường tròn  O Tứ giác MIKD hình Tại

3) Gọi G trọng tâm MDK Chứng minh M di động AC nhỏ G ln nằm đường tròn cố định

d) Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng AD với đường tròn  O ,Elà giao điểm thứ hai phân giác IBN với đường tròn  O Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định M di động ACnhỏ Bài ( điểm) Tìm đa thức f x  biết f x  chia cho x 2 dư 2, f x  chia cho x 2 dư -2, f x  chia cho x  thương x dư 2

Mơn thi : Tốn Ngày 18- -1992

Bài ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức

   

2

3

1

2

a E

a

a a



  



 

1 Rút gọn E

2) Tính giá trị nhỏ E

Bài (2,5 điểm ) Một ôtô tải từ A đến B với vận tốc 30km/h Sau thời gian xe ơtơ xuất phát từ A với vận tốc 40km/h khơng có thay đổi đuổi kịp ôtô tải B Nhưng sau

(14)

Bài ( điểm ) Cho nửa đường trịn đường kính AB có điểm M Trên đường kính AB có điểm C cho ACBC Trên nửa mặt phẳng bờ

ABcó chứa M kẻ tia , Ax By  AB Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax F Đường thẳng qua C vng góc CF cắt By điểm

Q Gọi D giao điểm CFvới AM E giao điểm CQ với , BM 1) Chứng minh tứ giác ACMF CDME nội tiếp

2) Chứng mỉnh AB/ /DE

3) Chứng minh ba điểm F M Q thẳng hàng , ,

4) Ngoài điểm M ra, đường tròn ngoại tiếp tam giác DMF EMQ cịn có điểm chung nửa khơng? Tại sao?

Bài (1 điểm) Giải phương trình 2x4 x35x2  x

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2006

MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút Ngày thi: 11 – 06 – 2006

Câu (2 điểm ) Cho biểu thức :

1 1

x x

P

x x x x x x

   

      

    

   

a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức QP x nhận giá trị nguyên Câu ( điểm )

a) Giải phương trình x44x32x24x 1 b) Giải hệ phương trình

2

3

2

x xy y

x xy

   

 

  

(15)

Câu (2 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol  P có phương trình

2

x

y  Gọi  d đường thẳng qua điểm I0; 2  có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng  d Chứng minh đường thẳng  d cắt parabol  P hai điểm phân biệt A B k thay đổi

b) Gọi H K theo thứ tự hình chiếu vng góc , A B lên trục hồnh Chứng minh tam giác IHK vng I

Câu (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính , R AB đường kính cố định đường tròn  O Đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn  O

B MN đường kính thay đổi đường trịn  O cho MN khơng vng góc với AB M  A M, B Các đường thẳng AM AN cắt đường thẳng

d tương ứng C D Gọi Ilà trung điểm đoạn thẳng CD H giao , điểm AI MN Khi MN thay đổi, chứng minh

a) Tích AM AC khơng đổi

b) Bốn điểm C M N D thuộc đường tròn , , , c) Điểm H thuộc đường tròn cố định

d) Tâm J đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB thuộc đường thẳng cố định

Câu5 (1 điểm) Cho hai số dương x y, thoả mãn điều kiện xy1 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2 2

x y xy

 



KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2005- 2006

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút Ngày thi: 12 – 06 – 2005

Bài (2 điểm) Rút gọn biểu thức

1 1

2 1 2 2005 2004 2004 2005

A    

  

2 Cho đẳng thức

xy2yz2zx2 xy2z2y z 2x2x z 2y2 Chứng minh x yz

(16)

1 Giải phương trình x23x3x22x32 x2

2 Cho phương trình x2 m5xm 6 1  với m tham số Tìm m để hai nghiệm x x phương trình (1) có hệ thức 1, 2 2x13x2 13

Bài (1 điểm ) Cho phương trình m2 1x22m21x m 0 ,  với m tham số Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Ax12x22 Với x x 1, 2 nghiệm phương trình (1)

Bài ( điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm  O , có đường phân giác cắt I Các đường thẳng AI BI CI cắt đường tròn , ,  O tương ứng điểm M N P , ,

1 Chứng minh tam giác NIC cân N

2 Chứng minh điểm I trực tâm tam giác MNP

3 Gọi E giao điểm MN AC F giao điểm , PM AB Chứng minh ba điểm E I F thẳng hàng , ,

4 Gọi K chung điểm BC giả sử BI vng góc với IK BI, 2IK tính góc Acủa tam giác ABC

Bài ( điểm ) Giải phương trình 5x36x212x 8

Bài (2 điểm ) Cho biểu thức

2

1 2

x x x x x x x x

M

x

x x x x x

     

   



   

 

(17)

Bài (2 điểm ) a) Giải phương trình x23x2x27x1224 b) Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 5x2y24xy2 x Bài (2 điểm ) Giải hệ phương trình

2

6

1

x xy x y

x y

    

 

 

 

Bài (3 điểm) Cho đường tròn  O dây cung BC cố định Gọi A điểm cố định di động cung lớn BC đường tròn  O ,( A khác B C Tia ) phân giác góc ACB cắt đường trịn  O điểm D khác C lấy điểm , I thuộc CD cho DI DB Đường thẳng BI cắt đường tròn  O điểm K khác điểm B

a) Chứng minh tam giác KAC cân

b) Chứng minh đường thẳng AI qua điểm J cố định, từ xác định vị trí A để độ dài AI lớn

c) Trên tia đối tia AB lấy điểmM cho AM AC Tìm tập hợp điểm M A di động cung lớn BC đường tròn  O

Bài ( điểm ) Tìm cặp số x y;  cho y nhỏ thoả mãn

2

5

x  y  y xy 

Bài (2,5 điểm ) Cho biểu thức 1

1 1

x x

A

x x x x x

 

  

   

(18)

c) Chứng mỉnh A 

Bài ( 2điểm )

1 Phân tích biểu thức 2

2

x  x xy y  y thành nhân tử Giải hệ phương trình

2

1

x x xy y y

x y

     

 

 

 

Bài (2 điểm) Cho hàm số     

2

3

x x x

y f x

x x

   

 

 

1 Tìm tập xác định hàm số y f x 

2 Chứng minh y 3 Chỉ rõ dấu xảy x Bài (3 điểm ) Cho đường tròn  O dây cung AB Gọi M điểm cung AB điểm , C nằm A B thuộc dây AB Tia MC cắt đường tròn  O D

1 Chứng minh MA2 MC MD

2 Kẻ Bt tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD chứng minh , BM Bt , thuộc đường thẳng

3 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 BCD O tâm đường ;

tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng mỉnh C chuyển động AB tổng bán kính đường trịn  O1  O2 không đổi

Bài (1 điểm) Cho phương trình x1x2x3x4m biết phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt x x x x Chứng minh 1, 2, 3, 4

1 .2 24

x x x x  m

MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút Ngày thi: 30 – 06 – 2002 Bài (2 điểm )

(19)

b) Chứng minh với a b c, , Z

 3  3  3  3

A a b c   a b c   b c a   c a b chia hết cho 24 Bài (2 điểm) Giải phương trình     

4 x5 x6 x10 x12 3 x

Bài ( điểm ) Chứng minh

1 a2b2c2 ab bc ca  với a b c , , x4y4 z4 xyz x yz với x y z, ,

Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm  O Các đường cao AD BP CK cắt , , H

1 Chứng minh góc HAB góc OAC

2 Gọi E M tương ứng trung điểm , AH BC Chứng minh tứ giác KEPM tứ giác nội tiếp

3 Qua A dựng đưịng thẳng Axvng góc với KP Chứng minh đường thẳngAx qua điểm cố định ba đỉnh A B C tam giác thay đổi , , đường tròn  O

Bài (0,5 điểm ) Tìm nghịêm nguyên phương trình sau 2x62x y3 y2 64 Quyển

(20)

Bài Tìm tất số có bốn chữ số abcd cho a b cd c; d ab Bài Cho tam giác ABC dựng tam giác cân ABX BCY CAZ đồng dạng , , sau đỉnh X phía với C so với cạnh AB đỉnh , Y khác phía với A so với cạnh BC đỉnh Z khác phía với B so với cạnh CA

a) Chứng minh bốn điểm X Y C Z khơng thẳng hàng tứ giác , , , XYCZ hình bình hành

b) Khi bốn điểm X Y C Z thẳng hàng , , ,

Bài Cho số A 1111 11 có 1999 chữ số Có hay khơng bội số dương A , mà tổng chữ số nhỏ 1992

Bài Các đường chéo tứ giác ABCD cắt tại O tứ giác Gọi diện tích tam giác AOB COD , S 1 S diện tích tứ giác 2,

ABCD S

a) Chứng minh S1  S2  S *

b) Hệ thức (*) ABCD hình thang Bài Chứng minh phương trình 3

0 x x x x x  x 

(21)

Ngày 13- -1995

Thời gian làm :120 phút Bài (2 điểm)

a) Chứng minh với số thực a b c d ta ln có , , ,  2 2

ab cd  a c b d

b) Giải phương trình x 1 y 1 z 1 2xy z  Đáp số: x y2;z5

Bài (3 điểm) Cho đa giác 1995 cạnh Ta tô màu xanh đỏ tất đỉnh chúng Chứng minh rằng, với cách tô, tồn tam giác cân có ba đỉnh màu

Bài (2 điểm) Trong buổi diễn có nghệ sĩ tham gia, có nam nữ Mỗi người biểu diễn tiết mục khác Hỏi có cách xếp chương trình cho tiết mục đầu tiết mục cuối chương trình nam nghệ sĩ biểu diễn Đáp số: 36 (cách)

Bài (3 điểm) Người ta chia số 1,2,3,4,5 thành hai nhóm.Chứng minh nhóm ln tìm hai số có hiệu trùng với số nhóm

(22)

Mơn thi : Tốn Ngày 12- -1995

Thời gian làm :180 phút Bài (1,5 điểm) Giải phương trình

94 96 190 9027

x  xx  x Đáp số: x 95

Bài (1,5 điểm ) Cho 20 số nguyên dương thoả mãn

1 10

1a a a 20

1 10

1b b b 20

Chứng minh tồn số 1  i j 20 1k l 20 cho

i j k l

a a b b

Bài (2 điểm) Hãy tính A3x33x2 với

3

1 23 513 23 513

1

3 4

x

   

 

  

 

 

Đáp số: 5

Bài ( điểm ) Giải phương trình tìm nghiệm nguyên

x x y y y y Đáp số : Phương trình có nghiệm ngun

x y ;  0, ;  1, ; 0, ;    1, ; 5, ; 6,   

Bài a) Cho đường tâm O đường thẳng d cắt đường tròn hai điểm A B Từ điểm M d nằm bên ngồi đường trịn, kẻ hai tiếp tuyến ME MF E ( F hai tiếp điểm ) Tìm tập hợp đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF , M di động d

b) Cho tam giác ABC đường phân giác góc , C cắt đường thẳng AB P Q Chứng minh CP CQ

2 2

4R CB CA ( R tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

(23)

Mơn thi : Tốn Ngày 23- -1996

Thời gian làm :150 phút Bài (2,5 điểm) Xét biểu thức

1 2

:

1

1 1

x A

x

x x x x x x

    

     



      

 

a) Rút gọn A. Đáp số: 1 x 



b) Để A đạt giá trị nhỏ nhất, MT Ađạt giá trị nhỏ giá trị dạt x 0,giá trị nhỏ A  1

Bài ( 2,5 điểm ) Một người xe máy từ A đến B cách 120km với vận tốc

dự định trước Sau

3 quãng đường AB, người tăng thêm vận tốc 10km/h quãng đường lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đường, biết ngưịi đến B sớm dự định 24 phút

Đáp số: Vận tốc dự định 40km/h; thời gian xe lăn bánh đường 23 5h Bài (4 điểm) Cho đường tròn O R; , dây BC cố định Gọi A thuộc cung BC nhỏ, cung AB cung AC M  cung ; AC nhỏ, tuỳ ý

a) Chứng minh AMDABC MA; tia phân giác BMD

b) Chứng minh A tâm vòng tròn ngoại tiếp BCD BDC; có độ lớn khơng phụ thuộc vị trí điểm M

c) Tia DABC E cắt đường tròn  O điểm thứ hai F.Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

d) Chứng minh PAE.AF=const, M di động Tính PP R ABC , Bài (1 điểm ) Cho hai bất phương trình 3mx2mx1 ;  m2x0   Tìm

m để hai bất phương trình có tập nghiệm

(24)

Mơn thi : Tốn - Tin Ngày 04- -1996

Thời gian làm :120 phút Bài 1(5 điểm) Giải phương trình x4 x233 Đáp số:x  1

Bài (5 điểm ) Tìm số có ba chữ số Pabc a b c( , , đôi khác nhau).sao cho P trung bình cộng tất số có cách hoán vị ba chữ số a b c ,

Đáp số: Có hai nghiệm cần tìm 518 629

Bài (5 điểm) Trên bảng số có viết p chữ số 0, p chữ số r chữ số Cho phép thực thao tác

0:

T thay đồng thời hai số 1,2 số

1:

2 :

a) Cho q3,q3,r 4 Hãy dãy thao tác kể để cuối bảng số Số tối thiểu thao tác dãy Tại sao? b) Trong trường hợp tổng quát, giả sử tồn dãy thao tác khác để lại số, số số cịn lại dãy số ban đầu