Tải Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 Sở GD&ĐT Hải Dương năm học 2016 - 2017 - Đề thi học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán lớp 10 có đáp án

Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất.. Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn..[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 05/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang)

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + 1 - m2 (1), (m là tham số)

1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2)

2) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6

Câu II (3,0 điểm)

2

2

3

x y y x xy

x

x xy y







( x 3 x1)(x  x 4x3) 2 x2) Giải phương trình

3) Giải bất phương trình (x2 - 3x + 2)(x2 - 12x + 32) ≤ 4x2

Câu III (3,0 điểm)

1

3

AN  AD

G

BK

BC 1) Cho hình bình hành ABCD Gọi M là trung điểm cạnh CD; N là

điểm thuộc cạnh AD sao cho Gọi là trọng tâm tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC tại K Tính tỉ số

BC a CA b AB c   ABC a2 b2 2c2 tanAtanC 2 tanB2) Cho tam giác ABC không có góc vuông và có các cạnh Chứng minh rằng nếu tam giácthỏa mãn và thì tam giác ABC đều

Oxy ABC C AB x 2y0 I4;2

9 4;

2

M 

  BC A B C B, , 3) Trong mặt phẳng tọa độ , cho cân tại và có diện tích bằng 10 Đường thẳng có phương trình Điểm là trung điểm cạnh

ĐỀ CHÍNH THỨC

AB, điểm thuộc đường thẳng Tìm tọa độ các điểm biết điểm có tung độ là số nguyên

Câu IV (1,0 điểm)

Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi Nếu trồng khoai tây trên 1 ha

cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn

Câu V (1,0 điểm)

, ,

a b c Cho các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

a ab bc b bc ca c ca ab

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10

THPT – NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)

Câu

I.1

2 2( 1) 1 2 (1)

y x  m x  m Cho hàm số (m là tham số)

,

A B KAB K (2; 2) K  Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục

hoành tại hai điểm phân biệtsao cho tam giácvuông tại , trong đó

2 2( 1) 1 2 0 2 2( 1) 2 1 0

,

A B    ' 0 (m1)2  m2   1 0 2m 2 0 m  Đồ thị 1

hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương

1, 2

x x Gọi các nghiệm của phương trình (2) là

,

A B A x( ;0), ( ;0)1 B x2 KA (x1 2;2), KB (x2  2;2)

Tọa độ các giao điểm là ;

0,25

KAKB KA KB   x  x     x x  x x  

 

3

m

m





1

m   m 1m  Kết hợp điều kiện , ta được , 3 0,25

Câu

I.2

m Tìm giá trị của để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.

2 2( 1) 1 2 2 2( 1) ( 1)2 ( 1)2 1 2

y x  m x  m  y x  m x m  m   m

2

" " x m 12m  Dấu xảy ra khi Giá trị lớn nhất của hàm số là 2 0,25

2m  2 6 m Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2 0,25

II.1

2

2

x y y x xy

x

x xy y







x y Điều kiện

xy

2 1

4

x

x y

Chia hai vế của (1) cho ta có phương trình

0,25

2

4

x

x

x y x

      

0,25

x y

0,25

2 1

1

2

x x

y

x y

x y







0,25

Câu

II.2  x 3 x1 x2 x24x3 2x

Giải phương trình

1

x  x 1 x 3 x  Điều kiện Với 1 0

2 2

2 2

2 2

 x  x x  x x  x x 

1 0



0,25

2

2 2

2

Câu

II.3

(x  3x2)(x 12x32) 4 x Giải bất phương trình (1)

               

( 3 2)( 12 32) 4

6 8 9 8 4 (2)

0

x  Xét , thay vào bất phương trình (2) không thỏa mãn 0,25 2

x x 0Xét , chia hai vế của (2) cho ta được bất phương trình

         

t 6 t 9  4 t215t54 4 t215t50 0  5 t 10

8

t x

x

 

Đ

ặt , có bất phương trình

0,25

2

2

0

5 10

x

t

  





   





5 17 x 5 17

    

0,25

Câu

III.1 ABCD M CD N AD

1 3

AN  AD

G BMN AG BC K

BK

BC Cho hình bình

hành Gọi là trung điểm cạnh ; là điểm thuộc cạnh sao cho Gọi là

trọng tâm tam giác , đường thẳng cắt tại Tính tỉ số

3

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

0,25

BK xBC  AK AB BK AB xBC AB x AD

, ,

A G K

K G

D N

1 4 4

2 1

2

8 4

9 9

x









Ba điểm thẳng hàng nên

0,25

BK

BC

    

0,25

Câu

III.2

ABC BC a CA b AB c ,  ,  ABC a2b2 2c2 tanAtanC2 tanB

ABC Cho tam giác không có góc vuông và có các cạnh Chứng minh

rằng nếu tam giácthỏa mãn và thì tam giác đều

tanB abc , tanC abc

tan

cos

2

a

A

bc

0,25

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2.

0,25

4 2 2 4 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0

0,25

2 2 2 2

a b  c  a b c  Kết hợp với Vậy tam giác ABC đều. 0,25

Câu

III.3 Oxy ABC C AB x 2y0 I4;2 AB

9 4;

2

M 

  BC A B C B, , Trong mặt phẳng tọa độ , cho cân tại và có diện tích bằng 10 Đường thẳng có

phương trình Điểm là trung điểm cạnh , điểm thuộc đường thẳng Tìm

tọa độ các điểm biết điểm có tung độ là số nguyên

2 ; ,( ) 8 2 ; 4 

B AB  B b b b  A  b  b AB 20 b 2

; : 2 10 0

CI x y   Phương trình

 ;10 2  5 4

C CI  C c  c  CI   c

 

 

4 2 6 1 1

ABC

bc b c

bc b c



  



  

CM   c c  MB  b b 

 

2

c k b

  





    



 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



0,25

   1 , 3 1 2

1 2

b b

  

 

 

   2 , 3 3 2;1 , 6;3 ; 2;6

2

b

c





  



Câu

IV

Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích

5 ha Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh.

Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50

triệu đồng tiền lãi Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi

sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại

cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết

rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn

( )

x ha y ha( )Giả sử trồng cà rốt và khoai tây

5

x y   x  0, y  0Điều kiện : và

3 x  5 ySố phân vi sinh cần dùng là: (tấn)

3 x  5 y  18Ta có

T  x  ySố tiền thu được là (triệu đồng)

0,25

I

C

M

x yTa cần tìm thoả mãn:

5

x y







T  x  ysao cho đạt giá trị lớn nhất

0,25

Oxy d x y1:   5; d2: 3 x  5 y  18Trên mặt phẳng tọa độ vẽ các

đường thẳng

1

d C (5;0) E (0;5)Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại

điểm

2

d D (6;0)

18 0;

5

A   

 Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại điểm

1

d d2

7 3

;

2 2

B   

 Đường thẳng và cắt nhau tại điểm

OABCBiểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền

đa giác

0,25

0 0

x

T y











5

250 0

x

T y











0

270 18

5

x

T y













7

3 2

x

T y









 

1,5 ha 3,5 haVậy để thu được tổng số tiền lãi cao nhất thì nông trại trồng

cà rốt và khoai tây

0,25

Câu

V

, ,

a b c Cho các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

a ab bc b bc ca c ca ab

P

Đặt

0,25

3 3 3 3 3 3

P

      x y z, , xyz 1 Ta có với dương

và

x  y  x y x y xy  x y xy  x y    x y xy

3 3

3 3

x y x y xy xyz xy x y z

0,25

3 3

y z  yz x y z  3 3

z x  xz x y z  Tương tự ;

1

P

xy x y z yz x y z zx x y z xyz

0,25

" " x   y z 1 a b c  Dấu xảy ra khi

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.