Tải Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 Sở GD&ĐT Hải Dương năm học 2016 - 2017 - Đề thi học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán lớp 10 có đáp án

Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất.. Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn..[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 05/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + - m2 (1), (m tham số).

1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tam giác KAB vuông K, K(2; -2)

2) Tìm giá trị m để hàm số (1) có giá trị lớn Câu II (3,0 điểm)

2

2

2

1

3 x y y x xy

x x xy y

   

 

  



 1) Giải hệ phương trình

2

( x 3 x1)(x  x 4x3) 2 x2) Giải phương trình

3) Giải bất phương trình (x2 - 3x + 2)(x2 - 12x + 32) ≤ 4x2 Câu III (3,0 điểm)

1 AN  AD

G BK

BC 1) Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD; N là

điểm thuộc cạnh AD cho Gọi trọng tâm tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC K Tính tỉ số

, ,

BC a CA b AB c   ABC a2 b2 2c2

  tanAtanC 2 tanB2) Cho tam giác ABC

khơng có góc vng có cạnh Chứng minh tam giácthỏa mãn tam giác ABC

Oxy ABC C AB x 2y0 I4;2

9 4;

2 M  

  BC A B C B, , 3) Trong mặt phẳng tọa độ , cho

AB, điểm thuộc đường thẳng Tìm tọa độ điểm biết điểm có tung độ số nguyên Câu IV (1,0 điểm)

Một nông trại dự định trồng cà rốt khoai tây khu đất có diện tích Để chăm bón loại này, nông trại phải dùng phân vi sinh Nếu trồng cà rốt cần dùng phân vi sinh thu 50 triệu đồng tiền lãi Nếu trồng khoai tây ha cần dùng phân vi sinh thu 75 triệu đồng tiền lãi Hỏi nông trại cần trồng loại diện tích để thu tổng số tiền lãi cao nhất? Biết số phân vi sinh cần dùng không vượt 18

Câu V (1,0 điểm) , ,

a b cCho số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

ab bc ca

P

a ab bc b bc ca c ca ab

  

     

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

THPT – NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN

(Hướng dẫn chấm gồm trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu I.1

2 2( 1) 1 (1)

y x  m x  m Cho hàm số (m tham số).

,

A B KAB K (2; 2)K  Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệtsao cho tam giácvng ,

2 2( 1) 1 0 2( 1) 1 0

x m x m x m x m

            Phương trình

hồnh độ giao điểm (2) 0,25

,

A B ' 0 (m 1)2 m2 1 0 2m 2 0 m 1

              Đồ thị

hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt phương

trình (2) có hai nghiệm phân biệt 0,25

1,

x x Gọi nghiệm phương trình (2)

,

A B A x( ;0), ( ;0)1 B x2 KA (x1 2;2),KB (x2  2;2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tọa độ giao điểm ;

0,25

1 2

( 2)( 2) 2( )

KAKB KA KB   x  x     x x  x x    

2 1 2.2( 1) 0 4 3 0

3 m

m m m m

m  

           



 .

1

m   m 1m 3Kết hợp điều kiện , ta , 0,25 Câu

I.2

mTìm giá trị để hàm số (1) có giá trị lớn 6.

2 2( 1) 1 2 2( 1) ( 1)2 ( 1)2 1

y x  m x  m  y x  m x m  m   m

2

( 1) 2

y x m m

      . 0,25

2

y m

   . 0,25

" " x m 12m 2Dấu xảy Giá trị lớn hàm số 0,25

Câu II.1

2

2

2 (1)

1

3 (2) x y y x xy

x x xy y

   

 

  



 Giải hệ phương trình

0,

x y Điều kiện

xy x x y   

Chia hai vế (1) cho ta có phương trình

0,25

2

1 1 1 1 1

3

1 1

4

x x

x

x xy y x x y y x x y y x

x

x y x

                                          0,25

2 4 1 1

4 2

1

1 1 1 1 1 2

4 4

x x x

x y x x y x

x x

x y

x y x x y x

                                                                  

    Ta có hệ

0,25

2

2

1 1

1 2

x x x

x x y x y x y                              . 0,25 Câu

II.2   

2

3

x  x x  x  x  x

Giải phương trình

x  x 1 x 3 x 1 0Điều kiện Với

           2 2 2

3

3 3

4

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

      

             

        0,25

2 3 ( 3)( 1) 1 0

 x  x x  x x  x x 

 3  1

1

x x

x x x x

x x                 0,25 2

0 1 13

3

2

3

x x

x x x x x

x x x x

 

  

           

    

2

0 1 5

1

2

1

x x

x x x x x

x x x x

 

  

           

    

  0,25

Câu II.3

2 2

(x  3x2)(x 12x32) 4 x Giải bất phương trình (1)

               

   

2 2

2

2 2

( 2)( 12 32)

1 4

6 (2)

x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x

    

           

      0,25

0

x  Xét , thay vào bất phương trình (2) khơng thỏa mãn. 0,25

x x 0Xét , chia hai vế (2) cho ta bất phương trình

 6 8  9 8

8

x x x x

x x

x x x x

       

         

   

t 6 t 9 4 t2 15t 54 4 t2 15t 50 0 5 t 10

              t x x   Đ ặt , có bất phương trình

0,25

2

2

8 0

5

0

5 10

8 10 10

0 17 17

x x x

x

x x x

t x x x x x x                                           

5 17 x 17

    

0,25

Câu

III.1 ABCD M CD N AD

1 AN  AD

G BMN AG BC K BK

BC Cho hình bình

hành Gọi trung điểm cạnh ; điểm thuộc cạnh cho Gọi trọng tâm tam giác , đường thẳng cắt Tính tỉ số

 

 

3

1

3

5

6 2

1

2

AG AN AM AB

AD AD AC AB AD AC AB

AD AB AD AB AB AD

AG AB AD

                                                                                           0,25

BK xBC  AK AB BK AB xBC AB x AD

                                                                                                                             

Đặt 0,25

1 4

2 9

2

2

8

9

m m

AK mAG AB xAD m AB AD AB x AD AB AD

m m

m x

x

 

         

 





 



 

   



  

 

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

         

Ba điểm thẳng hàng nên

0,25

8

9

BK

BK BC

BC     

0,25 Câu

III.2

ABC BC a CA b AB c ,  ,  ABC a2 b2 2c2

  tanAtanC 2 tanB ABCCho tam giác góc vng có cạnh Chứng minh

rằng tam giácthỏa mãn tam giác

 2 2  2 2

tanB abc , tanC abc

R c a b R a b c

 

   

 

2 2 2

sin 2

tan

cos

2 a

A R abc

A

b c a

A R b c a

bc

  

   

0,25

 2 2  2 2  2 2

tanA tanC 2.tanB abc abc abc

R b c a R a b c R a c b

     

     

2 2 2 2 2

1 1

2

b c a a b c a c b

  

      .

0,25

c2 a2 b2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 a2 c2 b2

         

 2 2  2 2

2 b c a a b c

    

 2  2   2

4 2 2 2 2

a b c c a b b a c

        

     

2 2 2 2

2

a a b c c b c b

      

0,25

2 2

a b  c  a b c  Kết hợp với Vậy tam giác ABC đều. 0,25

Câu

III.3 Oxy ABCC AB x 2y0 I4; 2 AB

9 4;

2 M  

  BC A B C B, , Trong mặt

phương trình Điểm trung điểm cạnh , điểm thuộc đường thẳng Tìm tọa độ điểm biết điểm có tung độ số nguyên

2 ; ,( ) 8 ; 

B AB  B b b b  A  b  b AB 20 b

;

: 10

CI x y   Phương trình

 ;10 

C CI  C c  c  CI   c

   

4

1

10

2 10

ABC

bc b c

S CI AB b c bc

bc b c 

  



        

  

 0,25

11

4 ; , 4;

2

CM   c c  MB  b b 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

| 11 9 16

2

2

c k b

M BC k CM k MB bc b c

c k b

  

 

            

    



 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



0,25

   1 ,

1

b b

    

 

 Từ ( không thỏa mãn). 0,25

   2 , 3 2;1 , 6;3 ; 2;6

2

b

A B C

c

 

  



 Từ 0,25

Câu IV

Một nông trại dự định trồng cà rốt khoai tây khu đất có diện tích 5 Để chăm bón loại này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt cần dùng phân vi sinh thu 50 triệu đồng tiền lãi Nếu trồng khoai tây cần dùng phân vi sinh thu 75 triệu đồng tiền lãi Hỏi nông trại cần trồng loại diện tích để thu tổng số tiền lãi cao nhất? Biết số phân vi sinh cần dùng không vượt 18

( )

x ha y ha( )Giả sử trồng cà rốt khoai tây.

5

x y  x0,y0Điều kiện :

3x5ySố phân vi sinh cần dùng là: (tấn)

3x5y18Ta có

50 75

T  x ySố tiền thu (triệu đồng).

,

x yTa cần tìm thoả mãn:

0, 0

5

3 5 18

x y

x y

x y

 

 

 



  

 (I)

50 75

T  x ysao cho đạt giá trị lớn nhất.

0,25

Oxyd x y1:  5; d2: 3x5y 18Trên mặt phẳng tọa độ vẽ

đường thẳng

1

d C(5;0) E(0;5)Đường thẳng cắt trục hoành điểm , cắt trục tung

điểm

2

d D(6;0)

18 0;

5 A 

 Đường thẳng cắt trục hoành điểm , cắt trục tung

tại điểm

1

d d2

7 3 ; 2 2 B 

 Đường thẳng cắt điểm

OABCBiểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình (I) miền

đa giác

0

0 0

x

T y

 

 

  

5

250 0

x

T y

 

 

  

0

270 18

5 x

T y

  

 

   

7

2 287,5

3 2 x

T y

   

 

   

 ; ; ;

1,5 3,5 haVậy để thu tổng số tiền lãi cao nơng trại trồng

cà rốt khoai tây

0,25

Câu V

, ,

a b cCho số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

ab bc ca

P

a ab bc b bc ca c ca ab

  

     

1 1

1 1

P

a c b a c b

b a c b a c

  

      x a;y b;z c

b c a

  

Đặt

3 3 3

1 1

1 1

P

x z y x z y

  

      x y z, , xyz 1 Ta có với dương

và

 

3 ( ) ( )2 ( ) 3 1 ( )

x y  x y x y xy  x y xy  x y    x y xy

3

3

1 ( ) ( )

1

1 ( )

x y x y xy xyz xy x y z

x y xy x y z

        

 

   

0,25

3

1

1 ( )

y z  yz x y z  3

1

1 ( )

z x  xz x y z  Tương tự ;

1 1

1

( ) ( ) ( )

P

xy x y z yz x y z zx x y z xyz

    

     

0,25

" " x   y z a b c  Dấu xảy

P 1Vậy giá trị lớn 0,25