Cau HHKG chuong3 quan he vuong goc

CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC BÀI 1: VECTƠ TRONG rKHÔNG r r r r r GIAN u r r r r r r Câu Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3b − 2c Chọn khẳng định u r r đúng? r u r A Hai vectơ y; z phương B Hai vectơ x; y phương r r r u r r C Hai vectơ x; z phương D Ba vectơ x; y; z đồng phẳng Hướng dẫn giải Chọn B u r r r u r + Nhận thấy: y = −2 x nên hai vectơ x; y phương Câu Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuur uuur r A Nếu ABCD hình bình hành OA + OB + OC + OD = uuu r uuur uuur uuur r B Nếu ABCD hình thang OA + OB + 2OC + 2OD = uuu r uuur uuur uuur r C Nếu OA + OB + OC + OD = ABCD hình bình hành uuu r uuur uuur uuur r D Nếu OA + OB + 2OC + 2OD = ABCD hình thang Hướng dẫn giải Chọn B Câu Cho hình hộp ABCD A1 B1C1D1 Chọn khẳng định đúng? uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuur A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng B CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur C CD1 , AD, A1C đồng phẳng D AB, AD, C1 A đồng phẳng Hướng dẫn giải + M , N , P, Q trung điểm AB,AA1 , DD1 ,CD + CD1 / /( MNPQ) + AD / / ( MNPQ ) + A1C / /( MNPQ ) uuuu r uuur uuuu r ⇒ CD1 , AD, A1C đồng phẳng r r r r r r u r r r r r r r Câu Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a + b; y = a − b − c; z = −3b − 2c Chọn khẳng định đúng? r u r r r r A Ba vectơ x; y; z đồng phẳng B Hai vectơ x; a phương r r r u r r C Hai vectơ x; b phương D Ba vectơ x; y; z đôi phương Hướng dẫn giải u r r r r u r r Ta có: y = x + z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng ( ) Câu Cho hình hộp ABCD A1 B1C1D1 Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uuur uuuur uuuur uuuu r AB + B1C1 + DD1 = k AC1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải + Ta có: uuu r uuuur uuuur AB + B1C1 + DD1 uuu r uuur uuuu r = AB + BC + CC1 uuuu r = AC1 Nên k = Chọn B uuuu r r Câu Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC ' = u , r u r uuur r uuuu r r uuuu CA ' = v , BD ' = x , DB ' = y đúng? uur r uur r r r r u r r r u A 2OI = − (u + v + x + y ) B 2OI = − (u + v + x + y ) uur r r r u r uur r r r u r C 2OI = (u + v + x + y ) D 2OI = (u + v + x + y ) Hướng dẫn giải + Gọi J , K trung điểm AB, CD + Ta có: uur uur uuur 2OI = OJ + OK r uuur uuur uuur uuu = OA + OB + OC + OD r r r r u = − (u + v + x + y ) uuur r uuur r uuur r uuur ur Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt AA1 = a, AB = b, AC = c, BC = d , đẳng thức sau,rđẳng r thức r urnàor đúng? r r r ur r r ur r r r r A a + b + c + d = B a + b + c = d C b − c + d = D a = b + c Hướng dẫn giải ( ) + Dễ thấy: uuur uuur uuu r r AB + BC + CA = r ur r r ⇒ b+d −c = Câu Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hành BCGF Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? uuur uuur uuur uuur uur uuur A BD, AK , GF đồng phẳng B BD, IK , GF đồng phẳng uuur uuur uuur uuur uur uuur C BD, EK , GF đồng phẳng D BD, IK , GC đồng phẳng Hướng dẫn giải  IK / /( ABCD)  + GF / /( ABCD)  BD ⊂ (ABCD)  uur uuur uuur ⇒ IK , GF , BD đồng phẳng + Các vecto câu A, C , D khơng thể có giá song song với mặt phẳng Câu Trong khẳng định sau, r khẳng r r định sai? A Nếu giá ba vectơ a, b, c cắt đơi ba vectơ đồng phẳng r r r r B Nếu ba vectơ a, b, c có vectơ ba vectơ đồng phẳng r r r C Nếu giá ba vectơ a, b, c song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng r r r D Nếu ba vectơ a, b, c có hai vectơ phương ba vectơ đồng phẳng Hướng dẫn giải + Nắm vững khái niệm ba vecto đồng phẳng Câu 10 Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r r A AC1 + A1C = AC B AC1 + CA1 + 2C1C = uuuu r uuur uuur C AC1 + A1C = AA1 uuur uuur uuuu r D CA1 + AC = CC1 Hướng dẫn giải + Gọi O tâm hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm trA Câu 11 Hãy chọn mệnh đề mệnhuđề uur sau uuuđây: r uuur uuur r A Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA = O uuur uuur B Tứ giác ABCD hình bình hành AB = CD uur uuu r uur uuu r C Cho hình chóp S ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình bình hành uuur uuur uuur D Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD Hướng dẫn giải B A D uur uuu r uur uuu r uur uuu r uur uuur uur uur uuur SB + SD = SA + SC ⇔ SA + AB + SA + AD = SA + SA + AC uuur uuur uuur ⇔ AB + AD = AC ⇔ ABCD hình bình hành C uuur uuur Câu 12 Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh A.Ta có AB.EG bằng? A a 2 B a C a D a2 Hướng dẫn giải B A C D F E H G uuur uuur uuu r uuur uuur r uuur uuur uuur AB.EG = AB.( EF + EH ) uuur2 uuu uuur uuur uuu ruuuu r = AB + AB AD ( EH = AD ) = AB.EF + AB.EH uuur uuur = a (Vì AB ⊥ AD ) Câu 13 Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là: uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur A OA + OB = OC + OD B OA + OC = OB + OD 2 2 uuu r uuur uuu r uuur C OA + OC = OB + OD uuu r uuur uuur uuur r D OA + OB + OC + OD = Hướng dẫn giải B A D C uuu r uuur uuu r uuur OA + OC = OB + OD uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur ⇔ OA + OA + AC = OA + AB + OA + BC uuur uuu r uuur ⇔ AC = AB + BC Câu 14 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Gọi I K tâm hình bình hành ABB’ A’ BCC’B’ Khẳng định sau sai? uur uuur uuuuu r A Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng B IK = AC = A ' C ' 2 uuur uur uuuuu r uuur uur uuur C Ba vectơ BD; IK ; B ' C ' không đồng phẳng D BD + IK = BC Hướng dẫn giải uur uuur A Đúng IK , AC thuộc ( B′AC ) B Đúng uur uuu r uuuu r r r r r IK = IB′ + B′K = a + b + ( − a + c ) 2 u u u r u u u u r r 1 r = b + c = AC = A′C ′ 2 C Sai uur uuu r uuuu r r r r r r r IK = IB′ + B′K = a + b + ( − a + c ) = b + c 2 uuur uur uuuur2 r r r r r ⇒ BD + IK = −b + c + b + c = 2c = B′C ′ ⇒ ba véctơ đồng phẳng D Đúng C uuur vìutheo ur câu uuuur uuur r r r r r ⇒ BD + IK = −b + c + b + c = 2c = B′C ′ = BC Câu 15 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M , N cho AM = 3MD; BN = NC Gọi P ,Q trung điểm AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định uuunào r uuusai? r uuuu r uuuu r uuur uuur A Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng B Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r C Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng D Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng ( ( ) ( ) ) ( ) A Sai uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur  MN = MA + AC + CN  MN = MA + AC + CN r uuuu r uuur uuur ⇒  uuuuur uuuuu r uuur uuur  uuuu  MN = MD + DB + BN 3MN = 3MD + 3DB + 3BN uuuu r uuur uuur uuur ⇒ 4MN = AC − 3BD + BC uuur uuur uuuu r ⇒ BD, AC , MN không đồng phẳng B Đúng uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur  MN = MP + PQ + QN ⇒ MN = PQ + DC ⇒ MN = PQ + DC u u u u r u u u u r u u u r u u u r   MN = MD + DC + CN uuuu r uuur uuur ⇒ MN , DC , PQ : đồng phẳng uuur uuu r uuur uuur C Đúng Bằng cách biểu diễn PQ tương tự ta có PQ = AB + DC uuuu r uuur uuur D Đúng Biểu diễn giống đáp án A ta có MN = AB + DC 4 Câu 16 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây: uuur uuur uuur uuu r uuur uuur r a2 A AD + CB + BC + DA = B AB.BC = − uuur uuur uuur uuur uuur uuur C AC AD = AC.CD D AB ⊥ CD hay AB.CD = Hướng dẫn giải ( ) ( ) A C B D Vì ABCD là tam giác uuutứ r diện uuu r uuurnênuucác ur tam uuur giác uuur$ABC,BCD,CDA,ABD$ uuur uuu r r A Đúng AD + CB + BC + DA = DA + AD + BC + CB = uuur uuur uuu r uuur −a B Đúng AB.BC = − BA.BC = − a.a.cos 600 = C Sai uuur uuur a2 AC AD = a.a.cos 600 = uuur uuur uuu r uuur a2 AC.CD = −CA.CD = − a.a.cos 60 = − uuur uuur uuu r uuur D Đúng AB ⊥ CD ⇒ AB.CD = uuur r uuur r uuur r Câu 17 Cho tứ diện ABCD Đặt AB = a , AC = b , AD = c , gọi G trọng tâm tam giác BCD Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? uuur r r r uuur r r r A AG = a + b + c B AG = a + b + c uuur r r r uuur r r r C AG = a + b + c D AG = a + b + c Hướng dẫn giải ( ) ( ( ) ) Gọi M trung điểm BC uuur uuu r uuur r uuuu r r uuur uuu r r uuur uuu AG = AB + BG = a + BM = a + AC − AB + AD − AB 3 u u u r u u u r r r r r r r r r = a + BC + BD = a + −2a + b + c = a + b + c 3 Câu 18 Cho hình hộp ABCD A1 B1C1D1 Gọi M trung điểm AD Chọn đẳng thức uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur A B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1 B C1M = C1C + C1D1 + C1B1 uuuur uuuu r uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuu r C C1M = C1C + C1D1 + C1B1 D BB1 + B1 A1 + B1C1 = B1 D 2 Hướng dẫn giải ( ( ) ) ( ) ( ) B A M C D A1 B1 D1 C1 A Sai uuuur uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuuur uuuur B1M = B1 B + BM = BB1 + BA + BD = BB1 + B1 A1 + B1 D1 2 uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur = BB1 + B1 A1 + B1 A1 + B1C1 = BB1 + B1 A1 + B1C1 2 B Đúng uuuur uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuur uuuu r uuuur uuuur C1M = C1C + CM = C1C + CA + CD = C1C + C1 A1 + C1 D1 2 uuuu r uuuur uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur = C1C + C1 B1 + C1 D1 + C1D1 = C1C + C1 D1 + C1B1 2 C Sai theo u câu B suy uur uuuur uuuur uuur uuur uuuu r D Đúng BB1 + B1 A1 + B1C1 = BA1 + BC = BD1 uuu r uuur uuur uuur r Câu 19 Cho tứ diện ABCD điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = ( G trọng tâm tứ diện) Gọi GO giao điểm GA mp ( BCD) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) uuu r uuuur A GA = −2G0G uuu r uuuur B GA = 4G0G uuu r uuuur C GA = 3G0G Hướng dẫn giải uuu r uuuur D GA = 2G0G Theo đề: GO giao điểm GA mp ( BCD ) ⇒ G0 trọng tâm tam giác BCD uuuu r uuuu r uuuur r ⇒ G0 A + G0 B + G0C = uuu r uuur uuur uuur r Ta có: GA + GB + GC + GD = uuu r uuur uuur uuur ⇒ GA = − GB + GC + GD uuuur uuuu r uuuu r uuuur = − 3GG0 + G0 A + G0 B + G0C uuuur uuuur = −3GG0 = 3G0G Câu 20 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AD, BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r A Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng B Các vectơ AB, AC , MN không đồng phẳng uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r C Các vectơ AN , CM , MN đồng phẳng D Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng Hướng dẫn giải uuuu r uuu r uuur A Đúng MN = AB + DC ( ( ) ( ) ) uuuu r B Đúng từ N ta dựng véctơ véctơ MN uuuu r MN khơng nằm mặt phẳng ( ABC ) uuur C Sai Tương tự đáp án B AN khơng nằm mặt phẳng ( CMN ) uuuu r uuur uuur D Đúng MN = AC + BD ABCD Câu 21.uu Cho ta định nghĩa “ G trọng tâm tứ diện ABCD u r utứ uurdiện uuur uuur Người r GA + GB + GC + GD = ” Khẳng định sau sai? A G trung điểm đoạn IJ ( I , J trung điểm AB CD ) B G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD C G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC D Chưa thể xác định Hướng dẫn giải ( ) A I G B D J C uuu r uuu r uuur uuur r uur uuu r r Ta có: GA + GB + GC + GD = ⇔ 2GI + 2GJ = ( ) ( ) G trung điểm IJ nên đáp án A Tương tự cho đáp án B C Câu 22 Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1D1 Gọi O tâm hình lập phương Chọn đẳng thức đúng? uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur A AO = AB + AD + AA1 B AO = AB + AD + AA1 uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur C AO = AB + AD + AA1 D AO = AB + AD + AA1 Hướng dẫn giải uuuu r uuu r uuur uuur Theo quy tắc hình hộp: AC1 = AB + AD + AA1 uuur uuuu r Mà: AO = AC1 uuur uuu r uuur uuur Nên AO = AB + AD + AA1 Câu 23 Tronguu ur mệnh uuur đề sau đây, uuu rmệnh uđề uu r đúng? A Từ AB = AC ta suy BA = −3CA uuu r uuur B Nếu AB = − BC B trung điểm đoạn AC uuu r u2uur uuur C Vì AB = −2 AC + AD nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng uuur uuur uuu r uuur D Từ AB = −3 AC ta suy CB = AC Hướng dẫn giải ( ( ) ) ( ( ( ) A M G B D N C uuu r uuur uuur Ta có: AB = −2 AC + AD uuur uuur uuur Suy ra: AB, AC , AD hay bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng ) ) Câu 24 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB, CD G trung điểm MN Trong sau, uuurcácuukhẳng ur uuuđịnh u r uu uu r khẳng uuuu r định sai? uuu r uuu r uuur uuur A MA + MB + MC + MD = 4MG B GA + GB + GC = GD uuu r uuur uuur uuur r uuuu r uuur r C GA + GB + GC + GD = D GM + GN = Hướng dẫn giải M , N , G trung điểm AB, CD, MN theo quy tắc trung điểm : uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur r GA + GB = 2GM ; GC + GD = 2GN ; GM + GN = uuu r uuur uuur uuur r GA + GB + GC + GD = Suy ra: uuu r uuur uuur uuur Hay GA + GB + GC = −GD Câu 25 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh A Hãy tìm mệnh đề sai mệnh đề sau uuurđây:uuuur uuur uuuur r uuuu r uuuu r A AB + B ′C ′ + CD + D ′A′ = B AD ′ AB ′ = a uuuu r uuuu r uuuu r C AB ′.CD ′ = D AC ′ = a Hướng dẫn giải D' C' A' B' D uuu r uuuur uuur uuuur r Ta có : AB + B ′C ′ + CD + D ′A′ = C A B uuu r uuur uuur uuuur uuuur r uuu r r r r uuur r ⇔ AB + AB + CD + B ′C ′ + D ′A′ = ⇔ AB + + = ⇔ AB = (vơ lí) ( ) ( ) Câu 26 Cho đẳng thức sai đẳng thức sau đây: uuurhình uuuhộp r uABCD.A’B’C’D’ uuu r uuuu r uuuur với uuutâm u r O Hãy uuu r uuur uuur uuuur A AB + BC + CC ′ = AD ′ + D ′O + OC ′ B AB + AA′ = AD + DD ′ uuur uuuu r uuur uuuu r r uuuu r uuur uuur uuur C AB + BC ′ + CD + D ′A = D AC ′ = AB + AD + AA′ Hướng dẫn giải D' A' C' B' D A C B uuu r uuur uuur uuuur uuur uuur Ta có : AB + AA′ = AD + DD ′ ⇔ AB = AD (vơ lí) r ruu r Câu 27 Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Trong khẳng định sau, khẳng định sai? r r r r u r r r r r r r r A Các vectơ x = a + b + 2c; y = 2a − 3b − 6c; z = −a + 3b + 6c đồng phẳng r r r r u r r r r r r r r B Các vectơ x = a − 2b + 4c; y = 3a − 3b + 2c; z = 2a − 3b − 3c đồng phẳng r r r r u r r r r r r r r C Các vectơ x = a + b + c; y = 2a − 3b + c; z = −a + 3b + 3c đồng phẳng r r r r u r r r r r r r r D Các vectơ x = a + b − c; y = 2a − b + 3c; z = −a − b + 2c đồng phẳng r u r r r Hướng u r dẫn r giải Các vectơ x, y , z đồng phẳng ⇔ ∃m, n : x = m y + nz r u r r Mà : x = m y + nz Câu 82 Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Cắt tứ diện mặt phẳng song song với cặp cạnh đối diện tứ diện Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Thiết diện hình chữ nhật B Thiết diện hình vng C Thiết diện hình bình hành D Thiết diện hình thang Hướng dẫn giải: Chọn A uuur uuur uuur uuur uuur uuu r Câu 83 Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC = AC AD = AD AB AB ⊥ CD , AC ⊥ BD , AD ⊥ BC Điều ngược lại không? Sau lời giải: uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bước 1: AB AC = AC AD ⇔ AC.( AB − AD ) = ⇔ AC.DB = ⇔ AC ⊥ BD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD = AD AB ta AD ⊥ BC AB AC = AD AB ta AB ⊥ CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Sai bước B Đúng C Sai bước D Sai bước Hướng dẫn giải: Chọn B · · Câu 84 Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC ·ASB = BSC Hãy xác định góc cặp vectơ = CSA uuu r uuur SC AB ? A 1200 B 450 C 600 D 900 Hướng dẫn giải: uuu r uuur uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur Ta có: SC AB = SC SB − SA = SC.SB − SC SA ( ) · = SA.SB cos BSC − SC.SA.cos ·ASC = · Vì SA = SB = SC BSC = ·ASC uuu r uuur Do đó: SC , AB = 90 ( ) Chọn D Câu 85 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc ( MN , SC ) bằng: A 450 B 300 C 900 D 600 Hướng dẫn giải: Ta có: AC = a ⇒ AC = 2a = SA2 + SC ⇒ ∆SAC vuông S uuuur uuu r uur uuu r uuuur uuu r 0 Khi đó: NM SC = SA.SC = ⇔ NM , SC = 90 ⇒ ( MN , SC ) = 90 Chọn C Câu 86 Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định sai? A Góc AC B1 D1 900 B Góc B1 D1 AA1 600 C Góc AD B1C 450 D Góc BD A1C1 900 ( ) Hướng dẫn giải: uuur uuuur uuur uuur uuur uuu r uuur Ta có: AA1.B1D1 = BB1.BD = BB1 BA + BC uuur uuu r uuur uuur = BB1.BA + BB1.BC = uuur uuu r uuur uuur 0 (vì BB1 , BA = 90 BB1 , BC = 90 ) uuur uuuur 0 Do đó: AA1 , B1 D1 = 90 ⇒ ( AA1 , B1 D1 ) = 90 ( ( ) ( ( ) ) ) Chọn B uuuur uuuu r Câu 87 Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 có cạnh a Gọi M trung điểm AD Giá trị B1M BD1 là: 3 A a B a C a D a Hướng dẫn giải: uuuur uuuu r uuur uuu r uuuu r uuu r uuur uuuur Ta có: B1M BD1 = B1 B + BA + AM BA + AD + DD1 uuur uuuur uuu r uuuu r uuur = B1 B.DD1 + BA + AM AD ( = −a + a + )( ) a2 a2 Chọn A Câu 88 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A A′C ′ ⊥ BD B BB′ ⊥ BD C A′B ⊥ DC ′ D BC ′ ⊥ A′D Hướng dẫn giải: uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Ta có: BB′.BD = BB′ BA + BC = BB′.BA + BB′.BC = ( ( · ′BA + cosB · ′BC = BB′.BA cosB ) ) Vì AA′B′B ABCD hai hình thoi nên uuur uuur · ′BA = B · ′BC ⇒ BB′.BD ≠ suy BB′ không vng góc với BD + B uuur uuur · ′BA + B · ′BC = 1800 ⇒ cosB · ′BA = −cosB · ′BC ⇒ BB′.BD = suy BB′ ⊥ BD + B · ′BC · ′BA B Nên đáp án B sai chưa có điều kiện góc B Chọn B Câu 89 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c a vng góc với c D Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng ( a, b ) Hướng dẫn giải: Chọn C uuur uuur Câu 90 Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB EG ? A 900 B 600 C 450 D 1200 Hướng dẫn giải: uuur uuur uuu r uuur Ta có: AB, EG = AB, AC = 45 ( ) ( ) Chọn C Câu 91 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm CD , α góc AC BM Chọn khẳng định đúng? 3 A cos α = B cos α = C cos α = D α = 600 Hướng dẫn giải: Gọi  O trọng tâm ∆BCD ⇒ AO ⊥ (BCD) Trên đường thẳng  d qua C song song BM lấy điểm N cho BMCN hình chữ nhật, từ suy ra: ∠(AC,BM ) = ∠(AC,CN) = ∠ACN = α a Có: CN = BM = a BN = CM = 2 2  AO = AB − BO = AB −  BM ÷ = a2 3  ON = BN + BO = a2 12 2 2 a AC + CN − AN ⇒ cosα = = 2.AC.CN Chọn C Câu 92 Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC, CB, BC' C' A uuuu r uuu r Hãy xác định góc cặp vectơ AB CC ' ? A 450 B 1200 C 600 D 900 Hướng dẫn giải: AN = AO + ON = Gọi I trung điểm CC' ∆CAC ' cân A ⇒ CC' ⊥ AI (1) ∆CBC' cân B ⇒ CC' ⊥ BI (2) uuuu r uuur (1),(2)  → CC' ⊥ (A IB) ⇒ CC' ⊥ AB ⇔ CC' ⊥ AB uuuu r uuur Kết luận: góc CC' A B 900 Chọn Dr r r r Câu 93 Cho a = 3, b = góc a b 1200 Chọn khẳng định sai khẳng đính sau? r r r r r r r r A a + b = 19 B a − b = C a − 2b = 139 D a + 2b = Hướng dẫn giải r r r2 r2 r r r r Ta có: a+ b = a + b + 2a.b.cos a,b = 19 ( ) Chọn A uuur uuur Câu 94 Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AF EG ? A 900 B 600 C 450 D 1200 Hướng dẫn giải: Đặt cạnh hình lập phương a Gọi I giao trung điểm EG Qua A kẻ đường thẳng d / /FI Qua I kẻ đường thẳng d'/ /FA  → d cắt d' J uuur uuur Từ suy ∠(EG,AF) = ∠EIJ = α IJ = AF = 2EI = 2FI = 2A J = a EJ = AE2 + AJ = 2 EI + IJ − EJ cosα = = ⇒ α = 600 2.EI.IJ Chọn B Câu 95 Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng? uuur uuur uuur uuur A AB AC = AB + AC − BC B AB AC = AB + AC − BC uuur uuur uuur uuur C AB AC = AB + AC − BC D AB AC = AB + AC − BC Hướng dẫn giải uuur uuur · BC = AB2 + AC − 2AB.AC.cos AB,AC = AB2 + AC − 2AB.AC , đáp án A ) ( Chọn A uuuruuuu r Câu 96 Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG a2 A a B a C Hướng dẫn giải D a 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AB.EG = AB.AC , mặt khác AC = AB + AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur Suy AB.EG = AB.AC = AB AB + AD = AB + AB.AD = a2 ( ) Chọn B Câu 97 Cho tứ diện ABCD có AB = a, BD = 3a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN A MN = a B MN = a 10 C MN = 2a Hướng dẫn giải Kẻ NP / /AC ( P ∈ AB) , nối MP NP đường trung bình ∆BAC ⇒ PN = a AC = 2 PM đường trung bình ∆ABD ⇒ PM = ( ) ( ) D MN = 3a 2 3a BD = 2 · · · Lại có AC,BD = PN ,PM = NPM = 90° suy ⇒ ∆NPM vuông P 10a Vậy MN = PN + PM = Chọn B Câu 98 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Ba đường thẳng cắt đôi không nằm mặt phẳng đồng quy C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng Hướng dẫn giải Gọi d1 , d2 , d3 đường thẳng cắt đôi Giả sử d1 , d2 cắt A , d3 khơng nằm mặt phẳng với d1 , d2 mà d3 cắt d1 , d2 nên d3 phải qua A Thật giả sử d3 khơng qua A phải cắt d1 , d2 hai điểm B, C điều vơ lí, đường thẳng khơng thể cắt mặt phẳng hai điểm phân biệt Câu 99 Cho tứ diện ABCD AB = 6, CD = , góc AB CD 60° điểm M BC cho BM = 2MC Mặt phẳng ( P ) qua M song song với AB CD cắt BD, AD, AC M , N , Q Diện tích MNPQ bằng: A 2 B C Hướng dẫn giải MNPQ Thiết diện hình bình hành ·AB;CD = QM · ;MP = QMP · = 60° Ta có ( ) ( ) D Suy SMPNQ = QM QN.sin 60 Lại có CM MQ ∆CMQ : ∆CBA ⇒ = = ⇒ MQ = CB AB AQ QN ∆AQN : ∆ACD ⇒ = = ⇒ QN = AC CD 0 Do SMPNQ = QM QN.sin 60 = 2.2.sin 60 = Chọn C Câu 100 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB = 4, CD = M điểm thuộc cạnh BC cho MC = 2BM Mặt phẳng ( P ) qua M song song với AB CD Diện tích thiết diện ( P ) với tứ diện là? A B ( ) ( 17 Hướng dẫn giải ) · · · Ta có AB,CD = MN ,MQ = NMQ = 90° Suy thiết diện MNPQ hình chữ nhật Lại có: CM MN ∆CMN : ∆CBA ⇒ = = ⇒ MN = CB AB 3 AN NP ∆ANP : ∆ACD ⇒ = = ⇒ MP = AC CD 16 Suy SMNPQ = MN.NP = Chọn D C D 16 · · Câu 101 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC = BAD = 600 Hãy xác định góc cặp vectơ uuur uuur AB CD ? A 600 B 450 C 1200 D 900 Hướng dẫn giải Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur AB.CD = AB AD − AC = AB AD − AB AC ( ) = AB AD.cos 600 − AB AC.cos 600 = uuu r uuur ⇒ AB, CD = 900 ( ) Câu 102 Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 Góc AC DA1 A 450 B 900 C 600 Hướng dẫn giải D 1200 · C Vì A ' C ' //AC nên góc AC DA1 DA 1 · Vì tam giác DA1C1 nên DA C = 60 1 Vậy góc AC DA1 600 · · Câu 103 Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC ·ASB = BSC Hãy xác định góc cặp = CSA uur uuur vectơ SA BC ? A 1200 B 900 C 600 D 450 Hướng dẫn giải Ta có uur uuur uur uuu r uur uur uuu r uur uur SA.BC = SA SC − SB = SA.SC − SA.SB ( ) = SA.SC.cos ·ASC − SA.SB.cos ·ASB = uur uuur ⇒ SA, BC = 900 ( ) Câu 104 Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos ( AB, DM ) A B C D Hướng dẫn giải Giả sử cạnh tứ diện a uuur uuuur uuu r uuuur uuur uuuur AB.DM AB.DM cos AB, DM = uuur uuuur = Ta có a AB DM a Mặt khác uuur uuuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur AB.DM = AB AM − AD = AB AM − AB AD = AB AM cos 300 − AB AD.cos 600 ( ) ( ) a 3 3a a a − a.a = − = 2 4 uuur uuuur 3 Do có cos AB, DM = Suy cos ( AB, DM ) = 6 Câu 105 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB = CD = M điểm thuộc cạnh BC cho MC = x.BC ( < x < 1) mp ( P ) song song với AB CD cắt BC , DB, AD, AC M , N , P, Q Diện tích lớn tứ giác bao nhiêu? A B 11 C 10 D Hướng dẫn giải = a ( )  MQ //NP //AB Xét tứ giác MNPQ có   MN //PQ //CD ⇒ MNPQ hình bình hành Mặt khác, AB ⊥ CD ⇒ MQ ⊥ MN Do đó, MNPQ hình chữ nhật MQ CM = = x ⇒ MQ = x AB = x Vì MQ //AB nên AB CB Theo giả thiết MC = x.BC ⇒ BM = ( − x ) BC MN BM = = − x ⇒ MN = ( − x ) CD = ( − x ) Vì MN //CD nên CD BC Diên tích hình chữ nhật MNPQ  x +1− x  S MNPQ = MN MQ = ( − x ) x = 36.x ( − x ) ≤ 36  ÷ =9   Ta có S MNPQ = x = − x ⇔ x = Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn M trung điểm BC Câu 106 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO CD bao nhiêu? A 00 B 300 C 900 D 600 Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuu r uuur Ta có AO.CD = CO − CA CD uuur uuur uuu r uuur = CO.CD − CA.CD = CO.CD.cos 300 − CA.CD.cos 600 ( ) a 3 a2 a2 a − a.a = − = 2 2 Suy AO ⊥ CD Câu 107 Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD, AD Góc ( IE , JF ) = A 300 B 450 C 600 Hướng dẫn giải D 900 Tứ giác IJEF hình bình hành   IJ = AB Mặt khác  mà AB = CD nên IJ = JE  JE = CD  Do IJEF hình thoi Suy ( IE , JF ) = 90 Câu 108 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với B Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c C Cho hai đường thẳng phân biệt a b Nếu đường thẳng c vng góc với a b a , b , c không đồng phẳng D Cho hai đường thẳng a b song song, a vng góc với c b vng góc với c Hướng dẫn giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 109 Mệnh đề sau đúng? A Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng cịn lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng kiA Hướng dẫn giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D · · = DAB = 600 , CD = AD Gọi ϕ góc AB Câu 110 Cho tứ diện ABCD với AC = AD, CAB CD Chọn khẳng định đúng?   =   = A cosϕ B ϕ = 600 C ϕ = 300 D cosϕ 4 Hướng dẫn giải uuu r uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD AB.CD Ta có cos AB, CD = uuur uuur = AB CD AB.CD ( ) Mặt khác uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur AB.CD = AB AD − AC = AB AD − AB AC ( ) = AB AD.cos 600 − AB AC.cos 600 1 = AB AD − AB AD = − AB AD = − AB.CD 2 4 1 − AB.CD uuur uuur Suy cos ϕ = Do có cos AB, CD = =− AB.CD Câu 111 Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Tứ giác CDD ' C ' hình gì? A Hình bình hành B Hình vng C Hình thang D Hình chữ nhật Hướng dẫn giải Tứ giác CDD ' C ' hình bình hành Lại có: DC ⊥ ( ADD ') ⇒ DC ⊥ DD ' Vậy tứ giác CDD ' C ' hình chữ nhật a I, J Câu 112 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ= ( trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD là: A 300 B 450 C 600 D 900 Hướng dẫn giải ( ) A J M B D I Gọi M trung điểm AC Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng MI MJ IM + MJ − IJ Tính được: cosIMJ   = =− MI MJ Từ suy số đo góc hai đường thẳng AB CD là: 600 Câu 113 Cho tứ diện ABCD với AB ⊥ AC , AB ⊥ BD Gọi P, Q trung điểm AB CD Góc PQ AB là? A 900 B 600 C 300 D 450 Hướng dẫn giải uuur uuur AB.PQ ⇒ AB ⊥ PQ r r r r r r r r Câu 114 Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = Gọi α góc hai vectơ a, b Chọn khẳng định đúng? A cos α = C cos α = Hướng dẫn giải B α = 300 r r r2 r2 rr rr (a − b) = a + b − a.b ⇒ a.b = rr a.b   = r r = Do đó: cosα a.b D α = 600 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Câu 115 Cho tứ diện ABCD Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: AB.CD + AC.DB + AD.BC = k A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r AB.CD + AC.DB + AD.BC = AC + CB CD + AC.DB − AD.CB uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur = AC CD + DB + CB CD − AD = AC.CB + CB AC = ( ) ( ( ) ) Chọn đáp án C Câu 116 Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? 2 2 2 A AB + AC + BC = ( GA + GB + GC ) B AB + AC + BC = GA2 + GB + GC 2 2 2 2 2 2 C AB + AC + BC = ( GA + GB + GC ) D AB + AC + BC = ( GA + GB + GC ) Hướng dẫn giải Cách Ta có uuu r uuu r uuur ( GA + GB + GC ) =0 uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur ⇔ GA2 + GB + GC + 2GA.GB + 2GA.GC + 2GB.GC = ⇔ GA2 + GB + GC + ( GA2 + GB − AB ) + ( GA2 + GC − AC ) + ( GB + GC − BC ) = ⇔ AB + AC + BC = ( GA2 + GB + GC ) Cách 2: Ta có: 2 ìï ïï MA2 = AB + AC - BC AB + AC BC ÷ ùù ị GA2 = ổ ỗ ữ ỗ ữ ùù 9ỗ ữ è ø ïï GA = MA ỵï Tương tự ta suy 4æ AB + AC BC BA2 + BC AC CA2 + CB AB 2 ữ ỗ ữ GA + GB + GC = ỗ + + ữ ữ ỗ 9ố 4 ø AB + BC + CA2 ) ( Û 3( GA2 + GB + GC ) = AB + BC + CA2 = Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC có cạnh Khi ìï AB + BC + CA2 = ïí Þ 3( GA2 + GB + GC ) = AB + BC + CA2 2 ïï GA + GB + GC = ỵ Câu 117 Trong không gian cho tam giác ABC Tìm M cho giá trị biểu thức P = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ A M trọng tâm tam giác ABC B M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C M trực tâm tam giác ABC D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải uur uuu r uuu r r Gọi G trọng tâm tam giác ABC Þ G cố định GA + GB + GC = uuur uur uuur uuu r uuur uuu r P = MG + GA + MG + GB + MG + GC uuur uur uuu r uuu r = 3MG + MG GA + GB + GC + GA2 + GB + GC ( ) ( ( ) ( ) ) = 3MG + GA2 + GB + GC ³ GA2 + GB + GC Dấu xảy Û M º G 2 Vậy Pmin = GA + GB + GC với M º G trọng tâm tam giác ABC Chọn đáp án.A r r r r r r r r Câu 118 Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 26; b = 28; a + b = 48 Độ dài vectơ a − b bằng? A 25 C Hướng dẫn giải r r2 rr r r2 r r = a + b − 2a.b = a + b − a + b B r r2 r r a −b = a −b ( ) 616 ( ) ( r2 r2 r r2 =  a + b ÷− a + b = 262 + 282 − 482 = 616   r r ⇒ a − b = 616 ( ) D 618 ) · · Câu 119 Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC BDA = 600 , ·ADC = 900 , BDC = 1200 Trong mặt tứ diện đó: A Tam giác ABD có diện tích lớn C Tam giác ACD có diện tích lớn B Tam giác BCD có diện tích lớn D Tam giác ABC có diện tích lớn Hướng dẫn giải Đặt DA = DB = DC = a a2 Tam giác ABD cạnh a nên diện tích S ABD = a2 Tam giác ACD D nên diện tích S ACD = DA.DC = 2 a2 Diện tích tam giác BCD S BCD = DB.DC sin1200 = Tam giác ABC có AB = a, AC = a 2, BC = a nên tam giác ABC vng A Diện tích tam a2 AB AC = 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn Câu 120 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng cịn lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng kiA Hướng dẫn giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 121 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Cho hai đường thẳng a, b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c giác ABC S ABC = vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng ( a,b) B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c D Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c Hướng dẫn giải Chọn D Theo định lý-sgk Câu 122 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng ( P ) , a ^ ( P ) Mệnh đề sau sai? A Nếu b ^ ( P ) b// a B Nếu b// ( P ) thìb ^ a C Nếu b// a b ^ ( P ) Chọn D D Nếu b ^ a b// ( P ) Hướng dẫn giải r r rr r r u r r r r r r Câu 123 Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a.b = 10 Xét hai vectơ y = a − b x = a − 2b, Gọi α r u r góc hai vectơ x, y Chọn khẳng định −2 A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = 15 15 15 15 Hướng dẫn giải rr r r r r r2 r2 rr Ta có x.y = a - 2b a - b = a + b - 3ab = ( r x = r x () r y = r y = )( ) () () r r r r rr a b = a + b ab ( ) ( ) ( ) = r = arr x.y cosa = r r = x y () ( r2 b = r2 r2 rr a + b - 2ab = ) () () = 15 Câu 124 Cho tam giác ABC có diện tích S Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: r uuur uuur uuur uuu S= AB AC − 2k AB AC 1 A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải 1 S = AB AC sinC = AB 2.AC sin2 C = AB 2.AC 1- cos2 C 2 uuur uuur uuur2 uuur = AB AC - AB AC Chọn C ( ) ( ( ) ) ... b, c đồng qui Hướng dẫn giải Theo giả thuyết m + n + p ≠ ⇒ tồn số khác Giả sử m ≠ r r r r r nr pr Từ ma + nb + pc = ⇒ a = − b − c m m r r ⇒ a, b, c đồng phẳng (theo định lý đồng phẳng ba véctơ)... hình hộp ABCD A’B’C’D’ ba véctơ AB′, C ′A′, DA′ đồng phẳng Hướng dẫn giải A Đúng theo định nghĩa đồng phẳng B Đúng theo định nghĩa đồng phẳng C Sai uuur uuur uuur r r  DA′ = AA′ − AD = a − c uuur... −2G0G uuu r uuuur B GA = 4G0G uuu r uuuur C GA = 3G0G Hướng dẫn giải uuu r uuuur D GA = 2G0G Theo đề: GO giao điểm GA mp ( BCD ) ⇒ G0 trọng tâm tam giác BCD uuuu r uuuu r uuuur r ⇒ G0 A + G0