Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn các điều kiện của đề bài.. với mọi số thực dương [r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC
(2)MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1 Ánh xạ
1.1.1 Định nghĩa
1.1.2 Đơn ánh
1.1.3 Toàn ánh
1.1.4 Song ánh
1.1.5 Tích ánh xạ
1.1.6 Ánh xạ ngược
1.1.7 Ảnh tập hợp
1.2 Hàm số
1.2.1 Định nghĩa
1.2.2 Hàm số chẵn hàm số lẻ
1.2.3 Hàm số cộng tính hàm số nhân tính
1.2.4 Hàm số đơn điệu
1.2.5 Hàm số liên tục
1.2.6 Hàm số bị chặn
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính
1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số
1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số
(3)1.4.3 Cận đúng, cận
1.5 Tập trù mật 10
CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC 11
2.1 Giải phương trình hàm phép 11
2.2 Giải phương trình hàm cách sử dụng tính đơn ánh,
tồn ánh, song ánh 14
2.3 Giải phương trình hàm phương pháp phân li biến số 17
2.4 Giải phương trình hàm dựa vào giá trị đối số giá
trị hàm số 20
2.5 Giải phương trình hàm cách sử dụng đẳng thức kiểu
"truy hồi" 23
2.6 Giải phương trình hàm lớp hàm đơn điệu 31
2.7 Giải phương trình hàm lớp hàm liên tục 36
2.8 Giải phương trình hàm lớp hàm bị chặn 41
2.9 Giải phương trình hàm cách sử dụng dãy hàm số 44
2.10 Giải phương trình hàm phương pháp thêm biến 51
CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP 57
(4)N Tập hợp số tự nhiên
Z+ Tập hợp số nguyên dương
Z Tập hợp số nguyên
Z− Tập hợp số nguyên âm
Q Tập hợp số hữu tỷ
Q+ Tập hợp số hữu tỷ dương
Q− Tập hợp số hữu tỷ âm
R Tập hợp số thực
R+ Tập hợp số thực dương
R− Tập hợp số thực âm [x] Phần nguyên số thực x.
(5)MỞ ĐẦU
Trong năm qua, tốn Phương trình hàm
trong thử thách lớn em học sinh kì thi
chọn học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế Trải qua trình học tập,
nghiên cứu cơng tác, tơi nhận thấy học sinh chuyên Toán
gặp nhiều khó khăn việc tiếp cận tốn Phương
trình hàm Có lẻ chúng thuộc dạng Tốn khó hồn tồn lạ
đối với em Bên cạnh đó, việc giải tốn Phương trình hàm địi
hỏi em phải vận dụng nhiều kĩ năng, tư kiến thức Giải
tích, Đại số, Số học, Cuối cùng, tài liệu tham khảo Phương
trình hàm hạn chế
Với lí nói với mong muốn tìm hiểu kĩ Phương
trình hàm có thêm tài liệu tham khảo cho đối tượng học
sinh chun Tốn, tơi viết
"PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC".
Tài liệu gồm chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương trình bày kiến thức sở sử dụng
Chương Chương
Chương 2: Các phương pháp giải phương trình hàm tập số thực
Chương trình bày phương pháp hay sử dụng để giải
bài tốn Phương trình hàm tập số thực
Chương 3: Các toán tổng hợp
Chương trình bày số toán sử dụng tổng hợp phương
pháp Chương để giải
Tơi xin tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè đồng
(6)tài liệu
Sai sót điều tránh khỏi tài liệu Vì thế, tơi xin
trân trọng đón nhận góp ý nhận xét quý bạn đọc thông
qua email phankhoa21393@gmail.com
Đà Nẵng, tháng năm 2019
(7)CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Ánh xạ
1.1.1 Định nghĩa
Cho hai tập hợp X Y Một ánh xạ f từ X đến Y quy
tắc cho tương ứng với phần tử x X phần tử xác định, ký
hiệu f (x) Y , ta viết f : X → Y Tập hợp X gọi nguồn hay miền
xác định tập hợp Y gọi đích hay miền giá trị ánh xạ f
1.1.2 Đơn ánh
Ánh xạ f : X → Y gọi đơn ánh với x1, x2 thuộc X
mà x1 6= x2 kéo theo f (x1) 6= f (x2), hay f (x1) = f (x2) kéo theo x1 = x2,
hay với y thuộc Y có nhiều x thuộc X cho y = f (x).
1.1.3 Toàn ánh
Ánh xạ f : X → Y gọi toàn ánh với y thuộc Y có ít
nhất x thuộc X cho y = f (x).
1.1.4 Song ánh
Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh vừa đơn ánh, vừa
là tồn ánh
1.1.5 Tích ánh xạ
Giả sử cho hai ánh xạ f : X → Y g : Y → Z Ánh xạ h : X → Z
(8)xạ f ánh xạ g, kí hiệu h = g ◦ f
1.1.6 Ánh xạ ngược
Ánh xạ f : X → X xác định f (x) = x với x thuộc X
là ánh xạ đồng X, kí hiệu f = 1X
Giả sử f : X → Y g : Y → X hai ánh xạ cho g ◦ f = 1X
f ◦ g = 1Y Thế g gọi ánh xạ ngược f
Ánh xạ f : X → Y có ánh xạ ngược f song
ánh Ta thường kí hiệu ánh xạ ngược f−1
1.1.7 Ảnh tập hợp
Giả sử f : X → Y ánh xạ cho, A tập X.
Thế người ta gọi
f (A) = {y ∈ Y | tồn x thuộc A cho f (x) = y}
là ảnh tập A f
1.2 Hàm số
1.2.1 Định nghĩa
Ánh xạ f : D → R gọi hàm số xác định tập số thực (gọi tắt hàm số) D tập khác rỗng R Tập D gọi tập xác định hàm số f Tập f (D) gọi tập giá trị hàm số f
1.2.2 Hàm số chẵn hàm số lẻ
Xét hàm số y = f (x) có tập xác định D tập hợp khác rỗng
M D.
Hàm số f gọi hàm số chẵn M với x thuộc M
(9)Hàm số f gọi hàm số lẻ M với x thuộc M kéo
theo −x thuộc M f (−x) = −f (x).
1.2.3 Hàm số cộng tính hàm số nhân tính
Xét hàm số y = f (x) có tập xác định D tập hợp khác rỗng
M D.
Hàm số f gọi hàm cộng tính M với x, y thuộc
M kéo theo x + y thuộc M f (x + y) = f (x) + f (y).
Hàm số f gọi hàm nhân tính M với x, y thuộc
M kéo theo xy thuộc M f (xy) = f (x)f (y).
1.2.4 Hàm số đơn điệu
a Định nghĩa
Xét hàm số y = f (x) có tập xác định D tập hợp khác rỗng
M D.
Hàm số f gọi đồng biến (hay tăng) M với hai số thực x1,
x2 bất kì thuộc M thỏa mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) ≤ f (x2)
Hàm số f gọi nghịch biến (hay giảm) M với hai số thực
x1, x2 bất kì thuộc M thỏa mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) ≥ f (x2)
Hàm số f gọi tăng thực M với hai số thực x1, x2 bất
kì thuộc M thỏa mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) < f (x2)
Hàm số f gọi giảm thực M với hai số thực x1, x2 bất
kì thuộc M thỏa mãn x1 < x2 kéo theo f (x1) < f (x2)
b Tính chất
1) Mọi hàm đơn điệu thực khoảng đơn ánh
khoảng
(10)3) Nếu hàm số f : R → R đơn điệu cộng tính f (x) = ax với mọi số thực x (a số thực).
4) Nếu hàm số f : R+ → R+ đơn điệu nhân tính f (x) = xa
với số thực dương x (a số thực).
1.2.5 Hàm số liên tục
a Định nghĩa
Hàm số f : D → R liên tục x0 thuộc D limx→x
0f (x) = f (x0)
b Tính chất
1) Nếu hàm số f đơn ánh liên tục khoảng thì
nó đơn điệu khoảng
2) Nếu hàm số f : R → R liên tục cộng tính f (x) = ax với mọi số thực x (a số thực).
3) Nếu hàm số f : R+ → R+ liên tục nhân tính f (x) = xa với
mọi số thực dương x (a số thực).
4) Nếu hàm số f : R → R liên tục f x + y
!
= f (x) + f (y)
2 với
mọi số thực x, y f (x) = ax + b với số thực x (a, b số
thực)
5) Nếu hàm số f xác định liên tục đoạn [a; b] có giá
trị nhỏ giá trị lớn [a; b].
1.2.6 Hàm số bị chặn
a Định nghĩa
Xét hàm số f : D → R tập hợp khác rỗng M D Hàm số
f gọi bị chặn D tồn số thực dương M để |f (x)| ≤ M
(11)b Tính chất
Nếu hàm số f : R → R cộng tính bị chặn đoạn [a; b] thì
f (x) = cx với số thực x (c số thực).
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính
1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp nhất với hệ số hằng
Đó phương trình có dạng
un+1 + aun = (1.1)
với số nguyên dương n (a số thực khác 0) Nghiệm tổng
quát phương trình (1.1)
un = C(−a)n
với số nguyên dương n (C số thực).
1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất với hệ số hằng
Đó phương trình có dạng
un+2 + aun+1 + bun = (1.2)
với số nguyên dương n (a, b số thực b 6= 0) Khi đó,
phương trình (1.2) có phương trình đặc trưng
λ2 + aλ + b = 0. (1.3)
Nếu phương trình (1.3) có hai nghiệm phân biệt λ1, λ2 phương
trình (1.2) có nghiệm tổng quát
(12)với số nguyên dương n (C1, C2 hai số thực)
Nếu phương trình (1.3) có nghiệm kép λ0 phương trình (1.2) có
nghiệm tổng qt
un = (C1 + C2n)λn0
với số nguyên dương n (C1, C2 hai số thực)
Nếu phương trình (1.3) có hai nghiệm phức λ1 = α − βi = r(cos Φ −
i sin Φ) λ2 = α + βi = r(cos Φ + i sin Φ) (với i đơn vị phức, r = √
α2 + β2, cot Φ = α
β, < Φ < π) phương trình (1.2) có nghiệm tổng
qt
un = rn(C1cos nΦ + C2sin nΦ)
với số nguyên dương n (C1, C2 hai số thực)
1.4 Cận trên, cận dưới, cận đúng, cận đúng, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1.4.1 Cận trên, cận dưới
Cho A tập hợp khác rỗng R.
Số thực a gọi cận (hoặc số chặn trên) tập hợp
A x ≤ a với số thực x thuộc A.
Số thực a gọi cận (hoặc số chặn dưới) tập hợp
A x ≥ a với số thực x thuộc A.
Tập hợp A gọi bị chặn có cận Tập hợp A
gọi bị chặn có cận Tập hợp A gọi bị chặn
nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn
1.4.2 Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất
(13)Nếu số thực a thuộc A a cận A a gọi phần
tử lớn A, ký hiệu max A Phần tử lớn (nếu có)
của A nhất.
Nếu số thực a thuộc A a cận A a gọi phần
tử nhỏ A, ký hiệu A Phần tử nhỏ (nếu có)
của A nhất.
1.4.3 Cận đúng, cận đúng
Cho A tập hợp khác rỗng R.
Nếu tập A bị chặn phần tử nhỏ tập hợp cận
trên A gọi cận Nếu tập A không bị chặn ta
nói cận A +∞ Cận A Cận
trên A kí hiệu sup A.
Nếu tập A bị chặn phần tử lớn tập hợp cận
dưới A gọi cận Nếu tập A khơng bị chặn ta
nói cận A −∞ Cận A Cận
dưới A kí hiệu inf A.
Xét hàm số f : D → R tập hợp khác rỗng A D Khi đó, inf f (A) gọi cận f A sup f (A) gọi
là cận f A Cận cận f
trên A, theo thứ tự, kí hiệu sup
A
f (x) inf
A f (x).
Giả sử a số thực Khi đó, a = sup A x ≤ a với
mọi số thực x thuộc A với số thực dương , tồn số thực x0
thuộc A cho x0 > a − .
Giả sử a số thực Khi đó, a = inf A x ≥ a với
mọi số thực x thuộc A với số thực dương , tồn số thực x0
(14)1.5 Tập trù mật
Một tập A khác rỗng R gọi trù mật R chỉ nếu với số thực x, tồn dãy số (xn) ⊂ A cho lim xn = x.
Do đó, A tập trù mật R với số thực x, y mà x < y, tồn số thực a thuộc A cho x < a < y.
(15)CHƯƠNG 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC
2.1 Giải phương trình hàm phép thế
Bài tốn Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
xf (y) + yf (x) = (x + y)f (x)f (y) (2.1)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = y = 1
vào (2.1) f (1) = f (1) = 1.
Nếu f (1) = ta lại cho y = vào (2.1) f (x) = với số
thực x.
Nếu f (1) = ta cho y = vào (2.1) được
xf (x) − 1 =
với số thực x Do đó,
f (x) =
1 nếu x 6= 0
a nếu x = 0
với số thực x (a số thực).
Thử lại, hai hàm số tìm thỏa mãn (2.1)
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = x với số thực x
và f (x) =
1 nếu x 6= 0
a nếu x = 0
(16)Bài toán Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
f(x − y)2 = f (x)2 − 2xf (x) + y2 (2.2)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho y = vào
(2.2)
f x2 = f (x)2 − 2xf (x) (2.3)
với số thực x Ta cho x = vào (2.2) được
f y2 = f (0)2 + y2 (2.4)
với số thực y Ta cho y = vào (2.4) f (0) = f (0)2, suy
f (0) = f (0) = Ta thay y x (2.2) được
f (0) = (f (x) − x)2 (2.5)
với số thực x.
Nếu f (0) = (2.5) cho f (x) = x với số thực x.
Nếu f (0) = (2.5) cho f (x) = x + f (x) = x − với số
thực x Giả sử tồn số thực a mà f (a) = a − Từ (2.3) (2.4), ta
có
f a2 = f (a)2 − 2af (a) f
a2 = + a2.
Ta suy a = Do đó, f (0) = −1 Điều mâu thuẫn Như vậy,
f (x) = x + với số thực x.
Thử lại, hai hàm số tìm thỏa mãn (2.2)
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = x với số thực x
(17)Bài tốn Tìm tất hàm f : R+ → R thỏa mãn f(1) = và
f (xy) = f (x)f y
!
+ f (y)f
x
!
(2.6)
với số thực dương x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Đầu tiên, ta cho x = y = vào (2.6) f (3) =
2 Tiếp theo, ta cho x = vào (2.6)
f y
!
= f (y) (2.7)
với số thực dương y Từ (2.6) (2.7), ta thu được
f (xy) = 2f (x)f (y) (2.8)
với số thực dương x, y Trong (2.8), ta thay y bởi
x áp dụng
(2.7)
f (x)2 =
với số thực dương x Cuối cùng, (2.8), ta thay y x được
f x2 =
với số thực dương x Do đó, f (x) =
2 với số thực dương x. Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn điều kiện đề
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) ≡
Bài tốn Tìm tất hàm f : R \
(2
)
→ R thỏa mãn
2f (x) + f 2x 3x − 2
!
(18)với số thực x khác
3.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Trong (2.9) , ta thay x bởi 2x
3x − 2
2f 2x
3x − 2 !
+ f (x) = 1992x
3x − 2 (2.10)
với số thực x khác
3 Từ (2.9) (2.10), ta suy f (x) =
1992x(x − 1) 3x − 2
với số thực x khác
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.9)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = 1992x(x − 1) 3x − 2 với mọi số thực x khác
3
2.2 Giải phương trình hàm cách sử dụng tính đơn ánh, tồn ánh, song ánh
Bài tốn Tìm tất hàm f : R+ → R+ thỏa mãn
x2(f (x) + f (y)) = (x + y)f (yf (x)) (2.11)
với số thực dương x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Trong (2.11), ta thay y x được
xf (x) = f (xf (x)) (2.12)
với số thực dương x Ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy,
với hai số thực dương x1, x2 bất kì mà f (x1) = f (x2) Ta thay x x1
và y x2 (2.11)
(19)Từ (2.12), ta suy
2x21f (x1) = (x1 + x2)x2f (x2).
Dẫn đến, 2x21 − x1x2 − x22 = hay x1 = x2 Vậy f đơn ánh Do đó, cho x = vào (2.12), ta f (1) = Ta tiếp tục cho x = 1
vào (2.11)
1 + f (y) = (1 + y)f (y)
với số thực dương y Vì vậy, f (y) =
y với số thực dương y.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.11)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) =
x với số thực
dương x.
Bài tốn Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
f (f (x) + y) = 2x + f (f (y) − x) (2.13)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Trong (2.13), ta thay y −f (x) được
f (0) − 2x = f (f (−f (x)) − x)
với số thực x Ta chứng minh f toàn ánh Thật vậy, với
mọi số thực y, ta đặt x1 =
f (0) − y
2 , suy
y = f (0) − 2x1 = f (f (−f (x1)) − x1)
Ta tiếp tục đặt x0 = f (−f (x1)) − x1 thì y = f (x0) Vậy f một
toàn ánh Do tồn số thực a cho f (a) = Ta cho x = a vào
(2.13)
(20)với số thực y Vì f tồn ánh nên với số thực x, tồn số
thực y0 cho
x + a = f (y0). (2.15)
Từ (2.14) (2.15), ta suy
x + a = 2a + f (x)
với số thực x Do đó, f (x) = x − a với số thực x.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.13)
Vậy nghiệm hàm toán f (x) = x + C với số thực x
(C số thực).
Bài tốn Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
f (x2 + f (y)) = xf (x) + y (2.16)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Đầu tiên, ta cho x = vào (2.16) được
f (f (y)) = y (2.17)
với số thực y Suy ra, f song ánh Do đó, tồn nhất
số thực a cho f (a) = Ta lại cho x = a y = vào (2.16) được
f a2 + f (0)= 0.
Dẫn đến,
(21)Từ (2.17), ta thu a2+ f (0) = f (0), tức a = hay f (0) = Tiếp
theo, ta cho y = vào (2.16) được
f x2 = xf (x) (2.18)
với số thực x Từ (2.17) (2.18), ta được
f x2 = ff (x)2
với số thực x Từ tính đơn ánh f , ta rút được
f (x)2 = x2
với số thực x Do đó, f (x) = x f (x) = −x với số thực x.
Cuối cùng, giả sử tồn hai số thực a, b khác mà f (a) = a và
f (b) = −b Ta cho x = a y = b vào (2.16) được
f a2 − b= a2 + b.
Vì vậy, a2 − b = a2 + b −a2 + b = a2 + b, tức a = b = 0,
điều vơ lí Kết hợp f (0) = 0, ta f (x) = x với số thực x
hoặc f (x) = −x với số thực x.
Thử lại, hai hàm số tìm thỏa mãn (2.16)
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = x với số thực x
và f (x) = −x với số thực x.
2.3 Giải phương trình hàm phương pháp phân li biến số
Bài tốn Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
(x + y)(f (x) − f (y)) = (x − y)(f (x) + f (y)) (2.19)
(22)Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta rút gọn (2.19)
được
xf (y) = yf (x)
với số thực x, y Suy ra,
f (x) x =
f (y) y
với số thực x, y khác Do đó, f (x) = ax với số thực x khác 0
(a số thực tùy ý) Ngoài ra, cho x = y = vào (2.19), ta
được f (0) = Vì vậy, f (x) = ax với số thực x (a số thực).
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.19)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = ax với số thực x (a
là số thực)
Bài toán Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
f (2020x − f (y)) = f (2019x) − f (y) + x (2.20)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = y = 0
vào (2.20) f (−f (0)) = Ta lại cho y = −f (0) vào (2.20) được
f (2020x) = f (2019x) + x (2.21)
với số thực x Từ (2.20) (2.21), ta suy ra
f (2020x − f (y)) = f (2020x) − f (y) (2.22)
với số thực x, y Ta thay x bởi x
2020 (2.22)
(23)với số thực x, y Khi thay y 2019x (2.20), ta được
f (2020x − f (2019x)) = x
với số thực x Do đó, f tồn ánh Vì vậy, với hai số thực x,
u bất kì, tồn số thực y0 sao cho x − u = f (y0) Do đó, từ (2.23), ta suy
f (u) − u = f (x) − x
với số thực x, u Như vậy, f (x) = x + b với số thực x (b hằng
số thực)
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.20)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = x + b với số thực x
(b số thực).
Bài tốn 10 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn xf (y) − yf (x) = f y
x
!
(2.24)
với số thực x khác số thực y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = và y = vào (2.24) f (0) = Ta lại cho x = y = vào (2.24) được f (1) = Khi cho y = vào (2.24), ta được
f x
!
= −f (x) (2.25)
với số thực x khác Trong (2.24), ta thay y bởi
x sử dụng (2.25)
thì
f x2 = x + x
!
(24)với số thực x khác Mặt khác, từ (2.24), ta có
x2f y2− y2f x2 = f y2 x2 (2.27)
với số thực x khác số thực y Từ (2.26) (2.27), ta thu
được
x2 y + y
!
f (y) − y2 x + x
!
f (x) = x y + y x ! f y x !
với số thực x, y khác Ta rút gọn được
(x2 − 1)yf (y) = (y2 − 1)xf (x) (2.28)
với số thực x, y khác Từ (2.28), ta suy ra
yf (y) y2 − 1 =
xf (x) x2 − 1
với số thực x, y khác −1, 0, Do đó, f (x) = C x − x
!
với số thực x khác −1, 0, (C số thực) Tuy nhiên, vì
f (0) = f (1) = f (−1) = nên
f (x) =
C x − x
!
nếu x 6= 0
0 nếu x = 0
với số thực x (C số thực).
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.24)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) =
C x − x
!
nếu x 6= 0
0 nếu x = 0
với số thực x (C số thực).
(25)Bài toán 11 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
f (x + f (y)) = x + f (y) + xf (y) (2.29)
với số thực x, y.
Lời giải Ta nhận thấy f (x) ≡ −1 nghiệm hàm toán.
Giả sử tồn hàm số f khác hàm −1 thỏa mãn đề Suy
ra, tồn số thực a cho f (a) 6= −1 Ta cho y = a vào (2.29) được
f (x + f (a)) = (1 + f (a))x + f (a) (2.30)
với số thực x Vì vế phải (2.30) có tập giá trị R nên với mọi số thực t, tồn số thực u mà f (u) = t Ta cho x = vào (2.29) được
f (f (y)) = f (y) (2.31)
với số thực y Do đó, ta cho y = u vào (2.31) f (t) = t với mọi
số thực t.
Thử lại, hàm số tìm khơng thỏa mãn (2.29)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) ≡ −1.
Bài tốn 12 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
f (x − f (y)) = 2f (x) + x + f (y) (2.32)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Đặt f (0) = a Ta cho y = vào (2.32) được
(26)với số thực x Vì vế phải (2.33) có tập giá trị R nên với mọi số thực t, tồn hai số thực u v cho t = f (u) − 2f (v) Trong
(2.32), ta thay x f (x) − f (y) được
f (f (x) − 2f (y)) = 2f (f (x) − f (y)) + f (x) (2.34)
với số thực x, y Trong (2.32), ta lại thay x f (x) được
f (f (x) − f (y)) = 2f (f (x)) + f (x) + f (y) (2.35)
với số thực x, y Trong (2.32), ta thay x f (y) được
f (f (y)) = −f (y) + a
2 (2.36)
với số thực y Từ (2.34), (2.35) (2.36), ta suy ra
f (f (x) − 2f (y)) = −(f (x) − 2f (y)) + 2a (2.37)
với số thực x, y Ta cho x = u y = v vào (2.37) f (t) = −t+2a
với số thực t Do đó, f (x) = −x + C với số thực x (C hằng
số thực)
Thử lại, có hàm số f (x) = −x với số thực x thỏa mãn (2.32).
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = −x với số thực x.
Bài tốn 13 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
f (x − f (y)) = f (f (y)) + xf (y) + f (x) − 1 (2.38)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Đặt f (0) = a Vì
hàm khơng khơng nghiệm hàm phương trình tồn
số thực y0 sao cho f (y0) 6= Từ (2.38), ta có
(27)với số thực x Vì vế phải (2.39) có tập giá trị R nên với số thực t, tồn hai số thực u v cho t = f (u) − f (v) Trong (2.38),
ta thay x f (x) được
f (f (x) − f (y)) = f (f (y)) + f (x)f (y) + f (f (x)) − 1 (2.40)
với số thực x, y Trong (2.38), ta lại thay x f (y) được
f (f (y)) = −1
2f (y)
2 + a + 1
2 (2.41)
với số thực y Từ (2.40) (2.41), ta suy ra
f (f (x) − f (y)) = −(f (x) − f (y))
2
2 + a (2.42)
với số thực x, y Ta cho x = u y = v vào (2.42) f (t) = −t
2+a
với số thực t Do đó, f (x) = −x
2 + C với số thực x (C hằng số thực)
Thử lại, có f (x) = −x
2 + với số thực x thỏa mãn (2.38).
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = −x
2 + với số thực x.
2.5 Giải phương trình hàm cách sử dụng đẳng thức kiểu "truy hồi"
Bài tốn 14 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
f (x + y) + xy = f (x)f (y) (2.43)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho y = vào
(2.43)
(28)với số thực x Trong (2.44), ta thay x x + được
f (x + 2) = f (x + 1)f (1) − x − 1 (2.45)
với số thực x Từ (2.44) (2.45), ta thu được
f (x + 2) = f (1)2f (x) − (f (1) + 1)x − 1 (2.46)
với số thực x Mặt khác, (2.43), ta cho y = được
f (x + 2) = f (x)f (2) − 2x (2.47)
với số thực x Từ (2.46) (2.47), ta suy ra
f (x)f (2) − f (1)2 = (1 − f (1))x − 1 (2.48)
với số thực x Do đó, f (x) = ax + b với số thực x (a, b hai
hằng số thực)
Thử lại, có f (x) = x + với số thực x f (x) = −x + với
mọi số thực x thỏa mãn (2.43).
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = x + với số
thực x f (x) = −x + với số thực x.
Bài tốn 15 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
xf (x) − yf (y) = (x − y)f (x + y) (2.49)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho y = vào
(2.49)
xf (x) − f (1) = (x − 1)f (x + 1)
với số thực x Suy ra,
f (x + 1) = x
x − 1f (x) −
1
(29)với số thực x khác Ta lại cho y = vào (2.49) được
xf (x) − 2f (2) = (x − 2)f (x + 2)
với số thực x Dẫn đến,
f (x + 2) = x
x − 2f (x) −
2
x − 2f (2) (2.51)
với số thực x khác Trong (2.50), ta thay x x + được
f (x + 2) = x + 1
x f (x + 1) −
1
xf (1) (2.52)
với số thực x khác Từ (2.50) (2.52), ta thu được
f (x + 2) = x + 1
x − 1f (x) −
2
x − 1f (1) (2.53)
với số thực x khác Từ (2.51) (2.53), ta thu được
f (x) = (f (2) − f (1))x + 2f (1) − f (2) (2.54)
với số thực x khác 0, Rõ ràng, (2.54) với x = và
x = Trong (2.49), ta cho x = y = −1 f (1) + f (−1) = 2f (0).
Ta lại cho x = y = −1 vào (2.49) 2f (2) + f (−1) = 3f (1).
Từ đó, ta có f (0) + f (2) = 2f (1), nên (2.54) với x = Do
đó, f (x) = ax + b với số thực x (a b hai số thực).
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.49)
Vậy nghiệm hàm toán f (x) = ax + b với số thực
x (a b hai số thực).
Bài toán 16 (Vietnam MO 2017) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
(30)với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = vào
(2.55)
f (f (y) − f (1)) = 2f (1) + y (2.56)
với số thực y Từ (2.56), ta suy f song ánh Do đó, tồn tại
số thực a cho f (a) = Bây giờ, ta cho x = y = a vào (2.55) được
f (0) = a2 Còn cho x = a y = vào (2.55), ta f (a3) = Từ tính đơn ánh f , ta rút a = a3, tức a ∈ {−1; 0; 1} Như
thế, f (0) = f (0) = 1.
Nếu f (0) = ta cho y = vào (2.55) sử dụng tính tồn ánh của
hàm số f f (x) = −2x với số thực x.
Nếu f (0) = ta cho x = y = vào (2.55) f (−1) = Ta tiếp
tục cho x = y = vào (2.55) f (1) = Khi đó, (2.56) trở thành
f (f (y)) = y (2.57)
với số thực y Trong (2.55), ta thay y f (y) được
f (xy − f (x)) = 2f (x) + xf (y) (2.58)
với số thực x, y Ta lại thay x f (x) (2.55) được
f (f (x)f (y) − x) = 2x + yf (x) (2.59)
với số thực x, y Trong (2.58), ta cho x = −1 được
f (−y − 2) = − f (y)
với số thực y Dẫn đến,
(31)với số thực y Ta cho x = −1 vào (2.59) kết hợp với (2.57) được
f (2y − 2) = 2f (y) + 1 (2.61)
với số thực y Khi cho y = vào (2.59) kết hợp với (2.57), ta lại
được
f (x) − x = f (2x)
với số thực x Do đó,
f (2x − 2) = f (x − 1) − x + 1 (2.62)
với số thực x Ta cho y = vào (2.55) sử dụng (2.57) được
f (−x) = 2x + f (x) (2.63)
với số thực x Từ (2.60) (2.63), ta thu được
f (x − 2) = − 2x − f (x) (2.64)
với số thực x Từ (2.61) (2.62), ta thu được
f (x − 1) = 2f (x) + x (2.65)
với số thực x Dẫn đến,
f (x − 2) = 2f (x − 1) + x − 1 (2.66)
với số thực x Từ (2.64), (2.65) (2.66), ta rút f (x) = −x + với số thực x.
Thử lại, có f (x) = −x + với số thực x thỏa mãn (2.55).
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = −x + với số
(32)Bài tốn 17 (IMO 2015) Hãy tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
f (x + f (x + y)) + f (xy) = x + f (x + y) + yf (x) (2.67)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Trong (2.67), ta cho x = y = f (f (0)) = Ta tiếp tục cho x = y = f (0) vào
(2.67) f (0) = f (0) = 2.
Nếu f (0) = ta suy f (2) = Ta cho y = vào (2.67) được
f (x + f (x + 1)) = x + f (x + 1) (2.68)
với số thực x Trong (2.67), ta lại cho x = thay y x+f (x+1)
và kết hợp (2.68)
f (x + 1) = − x
với số thực x Dẫn đến, f (x) = − x với số thực x.
Nếu f (0) = ta cho x = −1 y = vào (2.67) f (−1) = −1.
Ta tiếp tục cho x = y = −1 vào (2.67) f (1) = Ta lại thay
y y − x (2.67) được
f (x + f (y)) + f (x(y − x)) = x + f (y) + (y − x)f (x) (2.69)
với số thực x, y Ta cho y = vào (2.69) được
f (x) + f −x2 = x − xf (x) (2.70)
với số thực x Ta lại thay x −x (2.70) được
(33)với số thực x Từ (2.70) (2.71), ta thu được
(x + 1)f (x) + (x − 1)f (−x) = 2x (2.72)
với số thực x Trong (2.67), ta thay y − x được
f (x + 1) + f (x(1 − x)) = x + + (1 − x)f (x) (2.73)
với số thực x Trong (2.67), ta lại thay x −x y −1 + x
được
f (−x − 1) + f (x(1 − x)) = −x − + (x − 1)f (−x) (2.74)
với số thực x Từ (2.72) (2.74), ta suy ra
f (−x − 1) + f (x(1 − x)) = x − − (x + 1)f (x) (2.75)
với số thực x Ta trừ (2.73) (2.75) vế theo vế được
f (x + 1) − f (−x − 1) = + 2f (x) (2.76)
với số thực x Từ (2.72), ta có
f (−x) = 2x − (x + 1)f (x) x − 1
với số thực x khác Do đó,
f (−x − 1) = 2x + − (x + 2)f (x + 1)
x (2.77)
với số thực x khác Từ (2.76) (2.77), ta được
(x + 1)f (x + 1) = 2x + + xf (x)
với số thực x khác Vì f (1) = nên
(34)với số thực x Bây giờ, ta thay x x − y −x (2.67)
được
f (x − 2) + f (x(1 − x)) = x − − xf (x − 1) (2.79)
với số thực x Ta trừ (2.73) (2.79) vế theo vế được
f (x + 1) − f (x − 2) = + (1 − x)f (x) + xf (x − 1)
với số thực x Dẫn đến,
f (x + 3) − f (x) = − (x + 1)f (x + 2) + (x + 2)f (x + 1) (2.80)
với số thực x Từ (2.78), ta thu được
(x + 2)f (x + 2) = (x + 1)f (x + 1) + 2x + 3 (2.81)
với số thực x Từ (2.78) (2.81), ta suy ra
(x + 2)f (x + 2) = 4x + + xf (x) (2.82)
với số thực x Từ (2.78), ta thu được
(x + 3)f (x + 3) = 2x + + (x + 2)f (x + 2) (2.83)
với số thực x Từ (2.82) (2.83), ta dẫn đến
(x + 3)f (x + 3) = 6x + + xf (x) (2.84)
với số thực x Ta nhân hai vế (2.80) với (x + 1)(x + 2)(x + 3)
rồi sử dụng (2.78), (2.82), (2.84), sau đó, ta khai triển rút gọn thu
được
2(x3 + 6x2 + 9x + 3)(f (x) − x) = 0
với số thực x Do đó, f (x) = x với số thực dương x Mặt khác, từ
(2.70), ta có f (−x2) = −x2 với số thực dương x Dẫn đến, f (x) = x
với số thực âm x Tóm lại, f (x) = x với số thực x.
Thử lại, hai hàm số tìm thỏa mãn (2.67)
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = − x với số
(35)2.6 Giải phương trình hàm lớp hàm đơn điệu
Bài tốn 18 Tìm tất hàm đơn điệu f : R → R thỏa mãn f (x + f (y)) = f (x) + y (2.85)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = vào
(2.85)
f (f (y)) = y + f (0) (2.86)
với số thực y Suy ra, f đơn ánh Trong (2.85), ta thay x bởi
f (x) được
f (f (x) + f (y)) = f (f (x)) + y (2.87)
với số thực x, y Từ (2.86) (2.87), ta thu được
f (f (x) + f (y)) = f (f (x + y))
với số thực x, y Vì f đơn ánh nên ta được
f (x + y) = f (x) + f (y)
với số thực x, y Do f (x) = ax với số thực x (a số
thực)
Thử lại, có f (x) = x với số thực x f (x) = −x với số
thực x thỏa mãn (2.85).
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = x với số thực x
(36)Bài toán 19 Tìm tất hàm tăng thực f : R → R thỏa mãn f (xf (y)) = yf (2x) (2.88)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = y = 1
vào (2.88) f (f (1)) = f (2) Vì f tăng thực nên f (1) = Ta cho
x = vào (2.88) được
f (f (y)) = yf (2) (2.89)
với số thực y Ta suy ra
f (f (f (y))) = f (yf (2)) (2.90)
với số thực y Từ (2.88), (2.89) (2.90), ta thu được
f (y)f (2) = 2f (2y) (2.91)
với số thực y Ta chứng minh f (x) = 2x với số thực x Thật
vậy, giả sử tồn số thực x0 sao cho f (x0) 6= 2x0 Nếu f (x0) < 2x0
f (f (x0)) < f (2x0) Ta cho y = x0 vào (2.89) f (f (x0)) = x0f (2) Ta lại cho y = x0 vào (2.91) f (2x0) =
1
2f (x0)f (2) Do đó, 2x0 < f (x0) (vì f (2) > f (1) > 0), điều mâu thuẫn Nếu f (x0) > 2x0 tương
tự trường hợp ta đến điều mâu thuẫn
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.88)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = 2x với số thực x.
Bài tốn 20 Tìm tất hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa mãn
f
x + f (x)
2 + y
(37)và
(f (x) − f (y))(x − y) ≥ 0 (2.93)
với số thực không âm x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Từ (2.93), ta suy ra f hàm tăng [0; +∞).
Ta khẳng định f (x) ≥ x với số thực không âm x Thật vậy,
giả sử tồn số thực không âm x0 mà f (x0) < x0 Ta cho x = x0
y = x0 − f (x0)
2 vào (2.92)
f (x0) = 2x0 − f (x0) + f
f
x0 − f (x0) . Vì f f
x0 − f (x0)
≥ nên f (x0) ≥ x0 Điều mâu thuẫn
Bây giờ, ta tìm giá trị f (0) Đặt f (0) = c Ta cho x = c và
y = vào (2.92) được
f
c + f (c)
2
= 2c.
Mặt khác, f (c) ≥ c nên
f
c + f (c)
2
≥ f (c).
Dẫn đến,
f (c) ≤ 2c. (2.94)
Ta tiếp tục thay x = y = vào (2.92) được
f c
2 !
= −c + f (c).
Vì c
2 ≥ nên f
c
2 !
≥ c Ta suy ra
(38)Từ (2.94) (2.95), ta suy f (c) = 2c c = Vậy f (0) = 0.
Cuối cùng, ta thay y = vào (2.92) được
f
x + f (x)
2
= 2x − f (x) (2.96)
với số thực không âm x Tuy nhiên, dựa vào khẳng định f (x) ≥ x
với số thực khơng âm x tính khơng giảm hàm f [0; +∞),
ta có
f
x + f (x)
2
≥ x (2.97)
và
2x − f (x) ≤ x (2.98)
với số thực không âm x Từ (2.96), (2.97) (2.98), ta suy ra
f (x) = x với số thực không âm x.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.92) (2.93)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = x với số thực
không âm x.
Bài tốn 21 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn
(f (x) + f (z))(f (y) + f (t)) = f (xy − zt) + f (xt + yz) (2.99)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = y = z = t = vào (2.99) f (0) = f (0) =
2 Nếu f (0) =
2 ta cho
x = y = z = vào (2.99) f (t) =
2 với số thực t Nếu f (0) = 0 thì ta cho z = t = vào (2.99) được
(39)với số thực x, y Ta cho x = y = vào (2.100) f (1) = hoặc
f (1) = Nếu f (1) = ta cho y = vào (2.100) f (x) = với
mọi số thực x Nếu f (1) = ta cho x = y = t = vào (2.99)
được
f (−z) = f (z)
với số thực z Do đó, f hàm số chẵn Từ (2.100), ta có
f (x)2 = fx2
với số thực x Ta suy f (x) ≥ với số thực không âm x Trong
(2.99), ta thay t x z y được
f x2 + y2 = (f (x) + f (y))2
với số thực x, y Do đó,
f x2 + y2 ≥ f
x2
với số thực khơng âm x, y Vì vậy, hàm số f tăng [0; +∞) Mặt
khác, ta cho y = z = t = vào (2.99) được
f (x − 1) + f (x + 1) = 2(f (x) + 1)
với số thực x Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
f (n) = n2 với số nguyên dương n Từ (2.100), ta khẳng định
f (r) = r2 với số hữu tỷ dương r Ta chứng minh f (x) = x2 với số thực dương x Thật vậy, giả sử tồn số thực dương a mà f (a) 6= a2
Nếu f (a) < a2 thì tồn số hữu tỷ r cho qf (a) < r < a Vì f là
hàm tăng (0; +∞) r < a nên f (r) < f (a), suy r2 < f (a) hay r < qf (a) Điều mâu thuẫn Nếu f (a) > a2 tương tự ta cũng suy điều mâu thuẫn Do đó, f (x) = x2 với số thực x.
Thử lại, ba hàm số tìm thỏa mãn (2.99)
Vậy tốn có ba nghiệm hàm f (x) ≡ 0, f (x) ≡
(40)2.7 Giải phương trình hàm lớp hàm liên tục
Bài tốn 22 Tìm tất hàm liên tục f : R → R thỏa mãn f (x) = f x
2 !
(2.101)
với số thực x.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Bằng phương pháp
quy nạp, ta có
f (x) = f x
2n
!
(2.102)
với số thực x, với số nguyên dương n Trong (2.102), ta cho
n → +∞ sử dụng tính liên tục hàm f f (x) = f (0) với mọi
số thực x Suy f hàm hằng.
Thử lại, hàm thỏa mãn (2.101)
Vậy phương trình nghiệm với hàm
Bài tốn 23 Tìm tất hàm liên tục f : R → R thỏa mãn f (1) = −1 và
f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy (2.103)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho y = vào
(2.103) f (0) = Nếu ta đặt g(x) = f (x) − x2 − 2x (2.103) trở
thành
g(x + y) = g(x) + g(y)
với số thực x, y Vì thế, g(x) = −4x với số thực x Tức là
(41)Thử lại, hàm số vừa tìm thỏa mãn (2.103)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = x2 − 2x với số
thực x.
Bài tốn 24 Tìm tất hàm liên tục f : R+ → R+ thỏa mãn
f
f (xy)
= f (x)f (y) (2.104)
với số thực dương x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho y = vào
(2.104)
f
f (x)
= f (1)f (x)
với số thực dương x Dẫn đến,
f
f (xy)
= f (1)f (xy)
với số thực dương x, y Do đó,
f (1)f (xy) = f (x)f (y) (2.105)
với số thực dương x, y Nếu ta đặt g(x) = f (x)
f (1) (2.105) trở thành
g(xy) = g(x)g(y)
với số thực dương x, y Vì thế, g(x) = xa với số thực dương x
(a số thực) Tức f (x) = kxa với số thực dương x (k a
là số thực)
Thử lại, có f (x) = với số thực dương x f (x) = k
x với
mọi số thực dương x (k số thực dương) thỏa mãn (2.104).
Vậy toán có nghiệm hàm f (x) = với số thực dương
x f (x) = k
(42)Bài tốn 25 Tìm tất hàm liên tục f : R → R thỏa mãn f x + y
2 !
= qf (x)f (y) (2.106)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Từ (2.106), ta có f (x) ≥ với số thực x.
Nếu tồn số thực x0 để f (x0) = ta cho x = x0 vào (2.106)
f (x) = với số thực x.
Nếu f (x) > với số thực x Từ (2.106), ta suy ra
ln f x + y
!
= ln f (x) + ln f (y)
2 (2.107)
với số thực x, y Nếu ta đặt g(x) = ln f (x) (2.107) trở thành
g x + y
2 !
= g(x) + g(y)
2 (2.108)
với số thực x, y Do đó, g(x) = ax + b với số thực x (a, b các
hằng số thực) Như vậy, f (x) = abx với số thực x (a, b hằng
số thực dương)
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.106)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) ≡ f (x) = abx với
số thực x (a, b số thực dương).
Bài tốn 26 Tìm tất hàm liên tục f : [0; 1] → R thỏa mãn f (x) =
2 "
f x
2 !
+ f 1 + x
!#
(2.109)
với số thực x thuộc [0; 1].
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Vì hàm số f liên tục
(43)và giá trị nhỏ m số thực b thuộc [0; 1] Do đó,
1
"
f a
2 !
+ f 1 + a
!#
≤ M.
Dẫn đến, f (a) ≤ M Nhưng f (a) = M nên f a
!
= M Bằng phép quy
nạp, ta
f a
2n
!
= M (2.110)
với số nguyên dương n Trong (2.110), ta cho n → +∞ sử dụng
tính liên tục hàm f M = f (0) Tương tự, ta chứng minh
được m = f (0) Do đó, f hàm [0; 1].
Thử lại hàm [0; 1] thỏa mãn (2.109)
Vậy hàm [0; 1] nghiệm hàm toán
Bài toán 27 Tìm tất hàm liên tục f : R → R thỏa mãn f (x + y)f (x − y) = f (x)2f (y)2 (2.111)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = y = 0
vào (2.111) f (0)2 = f (0)4, suy f (0) ∈ {−1; 0; 1}.
Nếu f (0) = cho y = vào (2.111), ta f (x) = với số
thực x.
Nếu f (0) = ta thay y x (2.111) được
f (2x) = f (x)22 (2.112) với số thực x Suy ra, f (x) ≥ với số thực x Giả sử tồn số
thực a để f (a) = Từ (2.112) phương pháp quy nạp, ta thu được
f a
2n
!
(44)với số nguyên dương n Trong (2.113), ta cho n → +∞ được
f (0) = Điều mâu thuẫn Do đó, f (x) > với số thực x.
Ta cho x = vào (2.111) được
f (−y) = f (y)
với số thực y Vì thế, f hàm số chẵn Bằng phương pháp quy nạp,
ta chứng minh
f (nx) = f (x)n2 (2.114) với số thực x, với số nguyên dương n Trong (2.114), ta thay x
bởi my
n
f (my) = f my n
!n2
với số thực y, với số nguyên dương m, n Dẫn đến,
f my n
!n2
= f (y)m2 (2.115)
với số thực y, với số nguyên dương m, n Ta cho y = vào
(2.115)
f m n
!n2
= f (1)m2 (2.116)
với số nguyên dương m, n Từ (2.116) tính chẵn hàm f , ta
suy
f (q) = cq2 (2.117) với số hữu tỷ q (c = f (1)) Với số thực r, tồn dãy số hữu tỷ
(qn) cho lim qn = r Ta thay q qn (2.117)
f (qn) = cq
2
(45)với số nguyên dương n Trong (2.118), ta cho n → +∞ f (r) =
cr2 với số thực r Vì vậy, f (x) = cx2 với số thực x (c số thực dương)
Nếu f (0) = −1 đặt g(x) = −f (x), ta tìm g(x) = cx2 với mọi số thực x (c số thực dương) Vì vậy, f (x) = −cx2 với số thực x (c số thực dương).
Thử lại, nghiệm hàm tìm thỏa mãn (2.111)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = cx2 với số thực x,
f (x) = −dx2 với số thực x (c, d số thực dương) f (x) ≡ 0.
2.8 Giải phương trình hàm lớp hàm bị chặn
Bài toán 28 Tìm tất hàm f : R → R bị chặn trên −1 2;
1
!
và thỏa mãn
f (x) −
2f
x
2 !
= x2 (2.119)
với số thực x.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Từ (2.119) bằng
phương pháp quy nạp, ta thu
f (x) =
2n+1f x
2n+1
!
+ x2 +
23 + · · · + 23n
!
(2.120)
với số thực x, với số nguyên dương n Với số thực x, tồn
tại số nguyên dương N để
|x| 2n+1 <
1
với số nguyên dương n lớn N Từ (2.118), ta suy ra
f (x) =
2n+1f x
2n+1
!
+ x2 −
1 7.8n
!
(46)với số thực x, với số nguyên dương n lớn N Vì f bị chặn trên
−1 2;
1
!
nên cho n → +∞ (2.121), ta thu f (x) = 7x
2
với số thực x.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn đề
Vậy f (x) = 7x
2 với số thực x nghiệm hàm bài
toán
Bài tốn 29 Có tồn hay khơng hàm f : R → R thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:
1 f bị chặn R;
2 f (1) = 1;
3.
f x + x2
!
= f (x) + f
x
!2
(2.122)
với số thực x khác ?
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn điều kiện đề Vì f bị chặn R nên tồn số thực α để α = sup
R+
f (x) Vì f (2) = nên α ≥ Khi đó,
f (x) ≤ α (2.123)
với số thực dương x Ngoài ra, với số thực dương , tồn số
thực a khác cho
f (a) ≥ α − . (2.124)
Ta cho x = a vào (2.122) kết hợp (2.123), (2.124) được
f a
!
(47)với số thực dương Ta lại cho x =
a vào (2.122) kết hợp (2.123),
(2.124), (2.125)
α ≥ −√ + (α − )2 (2.126)
với số thực dương bé α Trong (2.126), ta cho → 0+
α ≥ α2.
Ta suy ≤ α ≤ Điều mâu thuẫn.
Vậy không tồn hàm số thỏa mãn đề
Bài tốn 30 Tìm tất hàm f : R → R bị chặn [0; 1] và thỏa mãn
f (4f (x) + f (y)) = 4x + y (2.127)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta thay y x vào
(2.127)
f (5f (x)) = 5x (2.128)
với số thực x Trong (2.127), ta lại thay x 5f (x) y 5f (y)
rồi kết hợp (2.128)
f (20x + 5y) = 20f (x) + 5f (y) (2.129)
với số thực x, y Ta cho x = y = vào (2.129) f (0) = Do
đó, từ (2.129), ta thu
f (20x + 5y) = f (20x) + f (5y)
với số thực x, y Vì vậy,
(48)với số thực x, y Mặt khác, f bị chặn [0; 1] nên f (x) = ax với
mọi số thực x (a số thực).
Thử lại, hai hàm số f (x) = x f (x) = −x thỏa mãn đề với
mọi số thực x.
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = x với số thực x
và f (x) = −x với số thực x.
2.9 Giải phương trình hàm cách sử dụng dãy hàm số
Bài tốn 31 Hãy tìm tất hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa mãn
f (x) + f (f (x)) = 2x (2.130)
với số thực không âm x.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta xây dựng dãy
hàm số (un) sau
u1(x) = x
un+1(x) = f (un(x))
với số nguyên dương n Trong (2.130), ta thay x un(x) được
un+2(x) + un+1(x) − 2un(x) = 0 (2.131)
với số thực không âm x, với số nguyên dương n Ta giải phương
trình sai phân (2.131)
un(x) =
2x + f (x)
3 +
f (x) − x
6 .(−2)
n (2.132)
với số thực không âm x, với số nguyên dương n.
(49)tồn số thực không âm a cho f (a) 6= a Từ (2.132), ta có
un(a) =
2a + f (a)
3 +
f (a) − a
6 .(−2)
n
với số nguyên dương n Nếu f (a) < a lim u2n(a) = −∞, vơ lí.
Nếu f (a) > a lim u2n+1(a) = −∞, vơ lí.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.130)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = x với số thực
khơng âm x.
Bài tốn 32 Hãy tìm tất song ánh tăng f : R → R thỏa mãn f (x) + f−1(x) = 2x (2.133)
với số thực x.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta thay x f (x)
vào (2.133)
f (f (x)) − 2f (x) + x = 0 (2.134)
với số thực x Ta xây dựng dãy hàm số (un) sau
u1(x) = x
un+1(x) = f (un(x))
với số nguyên dương n Trong (2.134), ta thay x un(x) được
un+2(x) − 2un+1(x) + un(x) = 0 (2.135)
với số thực x, với số nguyên dương n Ta giải phương trình sai
phân (2.135)
(50)với số thực x, với số nguyên dương n Dẫn đến,
un(x) − un(0) = (f (x) − x − f (0))n + 2x − f (x) − f (0)
với số thực x, với số nguyên dương n Vì un tăng nên
f (x) − x − f (0) + 2x − f (x) − f (0)
n > 0 (2.136)
với số thực dương x, với số nguyên dương n và
f (x) − x − f (0) + 2x − f (x) − f (0)
n < 0 (2.137)
với số thực âm x, với số nguyên dương n Trong (2.136) và
(2.137), ta cho n → +∞ được
f (x) − x − f (0) ≥ 0 (2.138)
với số thực dương x và
f (x) − x − f (0) ≤ 0 (2.139)
với số thực âm x.
Bây giờ, ta lại thay x f−1(x) vào (2.133) được
f−1 f−1(x)− 2f−1(x) + x = 0 (2.140)
với số thực x Ta xây dựng dãy hàm số (vn) sau
v1(x) = x
vn+1(x) = f−1(vn(x))
với số nguyên dương n Trong (2.140), ta thay x vn(x) được
vn+2(x) − 2vn+1(x) + vn(x) = 0 (2.141)
với số thực x, với số nguyên dương n Ta giải phương trình sai
phân (2.141)
vn(x) =
(51)
với số thực x, với số nguyên dương n Suy ra,
vn(f (x)) − vn(f (0)) = (x − f (x) + f (0))n + 2f (x) − x − 2f (0)
với số thực x, với số nguyên dương n Vì vn ◦ f một
song ánh tăng nên
x − f (x) + f (0) + 2f (x) − x − 2f (0)
n ≥ (2.142)
với số thực dương x, với số nguyên dương n và
x − f (x) + f (0) + 2f (x) − x − 2f (0)
n ≤ (2.143)
với số thực âm x, với số nguyên dương n Trong (2.142) và
(2.143), ta cho n → +∞ được
x − f (x) + f (0) ≥ 0 (2.144)
với số thực dương x và
x − f (x) + f (0) ≤ 0 (2.145)
với số thực âm x.
Từ (2.138), (2.139), (2.144) (2.145), ta thu f (x) = x + f (0)
với số thực x Vì vậy, f (x) = x + C với số thực x (C số
thực)
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.133)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = x + C với số thực x
(C số thực).
Bài tốn 33 Tìm tất hàm số f : R \
(1 3; −
1
)
→ R thỏa mãn
f (x) + f x + 1
1 − 3x !
(52)với số thực x khác
3 và − 3.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta xây dựng dãy
hàm số (un) sau
u1(x) = x
un+1(x) =
un(x) + 1
1 − 3un(x)
với số nguyên dương n Rõ ràng, với số thực x khác
3 − thì (un(x)) dãy số tuần hồn chu kỳ Do đó, từ (2.146), ta có
f (u1(x)) + f (u2(x)) = u1(x)
f (u2(x)) + f (u3(x)) = u2(x)
f (u3(x)) + f (u1(x)) = u3(x)
với số thực x khác
3 −
3 Giải hệ này, ta thu
f (u1(x)) =
u1(x) + u3(x) − u2(x)
với số thực x khác
3 −
3 Vì vậy, f (x) =
9x3 + 6x2 − x + 2 18x2 − 2 với
mọi số thực x khác
3 −
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.146)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = 9x
3 + 6x2 − x + 2
18x2 − 2 với mọi số thực x khác
(53)Bài tốn 34 Tìm tất hàm số liên tục f : R → R thỏa mãn f (x) + f 2x
3 !
= 3x
5 (2.147)
với số thực x.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = vào
(2.147) f (0) = Ta xây dựng dãy hàm số (un) sau
u1(x) = x
un+1(x) =
2un(x)
3
với số nguyên dương n Do đó, un(x) = x
2
!n−1
với số thực x,
với số nguyên dương n Dẫn đến, lim un(x) = với số thực x.
Ta thay x u1(x), u2(x), , un(x) (2.147) được
f (u1(x)) + f (u2(x)) =
3u1(x)
f (u2(x)) + f (u3(x)) =
3u2(x)
.
f (un(x)) + f (un+1(x)) =
3un(x)
5
với số thực x, với số nguyên dương n Từ đó, ta dẫn đến
f (u1(x)) + (−1)n+1f (un+1(x)) =
9
25u1(x) "
1 − −2
!n#
(2.148)
với số thực x, với số nguyên dương n Trong (2.148), ta cho
n → +∞ sử dụng tính liên tục hàm số f f (x) = 9x
25 với mọi số thực x.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.147)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = 9x
(54)Bài tốn 35 Tìm tất hàm liên tục f : R → R thỏa mãn f x2+ f (x) = x2 + x (2.149)
với số thực x.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Đặt g(x) = f (x) − x,
từ đề bài, ta dẫn đến g hàm số liên tục, g(0) = 0, g(1) = và
gx2+ g(x) = 0 (2.150)
với số thực x Như thế, g hàm số chẵn Từ (2.150), ta suy ra
g(x) = gx4
với số thực x Dẫn đến,
g(x) = g
x14
(2.151)
với số thực dương x Ta xây dựng dãy hàm số (un) sau
u1(x) = x
un+1(x) = u
1
n(x)
với số nguyên dương n Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh
được
un(x) = x
1 4n−1
với số thực dương x, với số nguyên dương n Do đó, lim un(x) = 1
với số thực dương x Trong (2.151), ta thay x un(x) được
g(un+1(x)) = g(un(x))
với số thực dương x, với số nguyên dương n Cũng phương
pháp quy nạp, ta thu
(55)với số thực dương x, với số nguyên dương n Trong (2.152), ta
cho n → +∞ sử dụng tính liên tục hàm g g(x) = g(1) với
mọi số thực dương x Do đó, g(x) = với số thực dương x Tóm lại,
f (x) = x với số thực x.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.149)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = x với số thực x.
2.10 Giải phương trình hàm phương pháp thêm biến
Bài tốn 36 Hãy tìm tất hàm số f : R+ → R+ thỏa mãn
f (x + y) = f (x)f (y)f (xy) (2.153)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Từ (2.153), ta thêm
biến z được
f (x + y + z) = f (x)f (y + z)f (xy + zx) (2.154)
với số thực dương x, y, z Từ (2.153) (2.154), ta thu được
f (x + y + z) = f (x)f (y)f (z)f (yz)f (xy)f (zx)f x2yz (2.155)
với số thực dương x, y, z Ta hốn đổi vị trí x y (2.155)
được
f (y + x + z) = f (y)f (x)f (z)f (zx)f (xy)f (yz)f xy2z (2.156)
với số thực dương x, y, z Từ (2.155) (2.156), ta được
f x2yz = f xy2z (2.157)
với số thực dương x, y, z Ta thay z bởi
(56)với số thực dương x, y Dẫn đến, f (x) = c với số thực dương x
(c số thực dương) Từ (2.153), ta suy c = Vì vậy, f (x) = 1
với số thực dương x.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.153)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) ≡ 1.
Bài tốn 37 Hãy tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
xf (x) − yf (y) = (x − y)f (x + y) (2.158)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Từ (2.158), ta thêm
biến z được
xf (x) − zf (z) = (x − z)f (x + z)
với số thực x, z Do đó,
(x − z)f (x + z) = (x − y)f (x + y) + (y − z)f (y + z) (2.159)
với số thực x, y, z Với số thực t, ta ln tìm số thực
x0, y0, z0 sao cho x0 + z0 = t, x0 + y0 = y0 + z0 = Cụ thể,
x0 =
t + 1
2 , y0 =
1 − t
2 và z0 =
t − 1
2 Từ (2.159), ta thu
f (t) = tf (1) + (1 − t)f (0)
với số thực t Tóm lại, f (x) = ax + b với số thực x (a, b các
hằng số thực)
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (2.158)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = ax + b với số thực x
(57)Bài toán 38 Hãy tìm tất hàm số liên tục f : R → R thỏa mãn
f (x + y) + f (xy − 1) = f (x) + f (y) + f (xy) (2.160)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Đặt g(x) = f (x) − f (x − 1), (2.160) trở thành
f (x + y) = f (x) + f (y) + g(xy) (2.161)
với số thực x, y Từ (2.161), ta thêm biến z được
f (x + y + z) = f (x) + f (y + z) + g(xy + zx) (2.162)
với số thực x, y, z Kết hợp (2.161) (2.162), ta được
f (x + y + z) = f (x) + f (y) + f (z) + g(yz) + g(xy + zx) (2.163)
với số thực x, y, z Ta đổi chỗ x y (2.163) được
f (x + y + z) = f (x) + f (y) + f (z) + g(zx) + g(xy + yz) (2.164)
với số thực x, y, z Từ (2.163) (2.164), ta được
g(yz) + g(xy + zx) = g(zx) + g(xy + yz) (2.165)
với số thực x, y, z.
Ta chứng minh
g(u) + g(v) = g(u + v) + g(0) (2.166)
với số thực u, v.
(58)Nếu u > v > với số thực dương w, ta cho x = s
vw u , y =
suv
w và z =
swu
v vào (2.165)
g(u) + g(v + w) = g(u + v) + g(w). (2.167)
Trong (2.167), ta cho w → 0+ và sử dụng tính liên tục hàm g thì
được (2.166)
Nếu u < v < với số thực dương w, ta cho x =
svw
u , y = −
suv
w và z =
swu
v vào (2.165)
g(u) + g(v + w) = g(u + v) + g(w). (2.168)
Trong (2.168), ta cho w → 0+ và sử dụng tính liên tục hàm g thì
được (2.166)
Nếu u < v > với số thực âm w, ta cho x = svw
u , y =
suv
w
và z = − swu
v vào (2.165)
g(u) + g(v + w) = g(u + v) + g(w). (2.169)
Trong (2.169), ta cho w → 0− và sử dụng tính liên tục hàm g thì
được (2.166)
Nếu u > v < với số thực âm w, ta cho x = − svw
u , y =
suv
w và z =
swu
v vào (2.165)
g(u) + g(v + w) = g(u + v) + g(w). (2.170)
Trong (2.170), ta cho w → 0− và sử dụng tính liên tục hàm g thì
được (2.166)
Nếu u = v = (2.166) hiển nhiên đúng.
Bây giờ, ta đặt h(x) = g(x) − g(0) (2.166) trở thành
(59)với số thực x, y Vì h hàm số liên tục R nên h(x) = ax với số thực x (a số thực) Do đó, g(x) = ax + b với số
thực x (a, b số thực) Khi đó, (2.161) trở thành
f (x + y) = f (x) + f (y) + axy + b (2.171)
với số thực x, y Bây giờ, ta lại đặt q(x) = f (x) −a 2x
2+ b (2.171)
trở thành
q(x + y) = q(x) + q(y)
với số thực x, y Vì q hàm số liên tục R nên q(x) = cx với số thực x (c số thực) Tóm lại, f (x) = Ax2 + Bx + C
với số thực x (A, B, C số thực).
Thử lại, hàm số f (x) = Ax2+ Bx + C với số thực x (A,
B, C số thực A = B + C) thỏa mãn (2.160).
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = Ax2+ Bx + C với số
thực x (A, B, C số thực A = B + C).
Bài tốn 39 Hãy tìm tất hàm số f : R+ → R+ thỏa mãn q
f (8f (xy)2 + x2y2) = 3(yf (x) + xf (y)) (2.172)
với số thực dương x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Từ (2.172), ta thêm
biến z được
q
f (8f (xyz)2 + x2y2z2) = 3(yzf (x) + xf (yz)) = 3(yf (zx) + zxf (y))
với số thực dương x, y, z Dẫn đến,
(60)với số thực dương x, y, z Nếu ta đặt g(x) = f (x)
x (2.173) trở
thành
g(x) + g(yz) = g(zx) + g(y) (2.174)
với số thực dương x, y, z Trong (2.174), ta cho y = được
g(x) + g(z) = g(zx) + g(1)
với số thực dương x, z Dẫn đến,
g (ex) + g (ey) = gex+y+ g(1) (2.175)
với số thực x, y Nếu ta đặt h(x) = g (ex) − g(1) (2.175) trở
thành
h(x + y) = h(x) + h(y)
với số thực x, y Bằng phương pháp quy nạp, ta thu được
h(nx) = nh(x)
với số thực x, với số nguyên dương n Vì thế,
h(x) > −g(1)
n (2.176)
với số thực x, với số nguyên dương n (do h(x) > −g(1) với mọi
số thực x) Trong (2.176), ta cho n → +∞ h(x) ≥ với số
thực x Vì vậy, h hàm số tăng R Từ đó, ta suy h(x) = với mọi số thực x Tóm lại, f (x) = ax với số thực dương x (a hằng
số thực dương)
Thử lại, hai hàm số f (x) = + √
79
4 x f (x) =
9 −√79
4 x thỏa mãn (2.172) với số thực dương x.
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = + √
79
4 x với mọi số thực dương x f (x) = −
√ 79
(61)CHƯƠNG 3
CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP
Bài tốn 40 (Thailand MO 2019) Tìm tất hàm số f : R+ → R+ thỏa mãn
f x + yf (x) + y2 = f (x) + 2y (3.1)
với số thực dương x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Với hai số thực dương x, t tùy ý, tồn số thực dương y0 sao cho y0f (x) + y02 = t Cụ thể,
y0 = q
f (x)2 + 4t − f (x)
2 .
Từ (3.1), ta suy
f (x + t) = qf (x)2 + 4t (3.2)
với số thực dương x, t Trong (3.2), ta đổi chỗ x t cho nhau
thì
f (x + t) = qf (t)2 + 4x (3.3)
với số thực dương x, t Từ (3.2) (3.3), ta thu được
f (x)2 − 4x = f (t)2 − 4t
với số thực dương x, t Do đó,
(62)với số thực dương x (C số thực khơng âm) Vì vậy, f (x) =
2√x + b với số thực dương x (b số thực không âm).
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (3.1)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = 2√x + b với số thực
dương x (b số thực khơng âm).
Bài tốn 41 (Spain MO 2018) Tìm tất hàm số f : R+ → R+
thỏa mãn
f (x + f (y)) = yf (xy + 1) (3.5)
với số thực dương x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta thay x bởi y − 1 y
trong (3.5)
f y − 1
y + f (y)
!
= yf (y) (3.6)
với số thực y lớn Trong (3.5), ta lại thay y bởi x − 1
x + f (x)
được
f x + f x − 1
x + f (x)
!!
= x − 1
x + f (x)
!
f (x + xf (x)) (3.7)
với số thực x lớn Từ (3.6) (3.7), ta thu được
x − 1
x + f (x) = 1
với số thực x lớn Hay, f (x) =
x với số thực x lớn 1.
Khi đó,
f (1 + f (x)) =
(63)với số thực dương x Ta lại cho x = vào (3.5) được
f (1 + f (y)) = yf (y + 1) (3.9)
với số thực dương y Mặt khác,
f (x + 1) =
x + 1 (3.10)
với số thực dương x Từ (3.8), (3.9) (3.10), ta f (x) =
x với
mọi số thực dương x.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (3.5)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) =
x với số thực
dương x.
Bài toán 42 (Benelux MO 2016) Tìm tất hàm số f : R → Z thỏa mãn
f (f (y) − x)2 + f (x)2 + f (y)2 = f (y)(1 + 2f (f (y))) (3.11)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Đặt a = f (0) Ta cho x = y = vào (3.11) a − a2 = (f (a) − a)2 Suy ra, a − a2 ≥ Vì
a số nguyên nên a = a = 1.
Nếu a = ta cho y = vào (3.11) được
f (−x)2 + f (x)2 =
với số thực x Do đó, f (x) = với số thực x.
Nếu a = ta cho x = y = vào (3.11) f (1) = Khi cho
y = vào (3.11), ta được
(64)với số thực x Vì f (x) f (1 − x) số nguyên nên từ (3.12),
ta thu
f (x)2 = (3.13)
với số thực x Mặt khác, cho x = vào (3.11), ta có
f (y) − = (f (f (y)) − f (y))2
với số thực y Vì vậy,
f (x) ≥ 1 (3.14)
với số thực x Từ (3.13) (3.14), ta thu f (x) = với số
thực x.
Thử lại, hai hàm tìm thỏa mãn (3.11)
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) ≡ f (x) ≡ 1.
Bài tốn 43 (Iran MO 2018 (Vịng 3)) Tìm tất hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa mãn
f x3 + xf (xy) = f (xy) + x2f (x + y) (3.15)
với số thực không âm x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Gọi a nghiệm
thực dương phương trình x3+ f (1)x − = Ta cho x = a y =
a
vào (3.15)
f a + a
! = 0.
Ta suy f (b) = 0, với b = a +
a Với số thực t không âm, phương
trình x3 + f (t)x − b = ln có nghiệm dương xt Trong (3.15), ta
lại cho x = xt và y = t xt
thì
f (t) + x2tf xt+ t xt
(65)với số thực không âm t Do đó, f (t) = với số thực không âm
t Tức là, f (x) = với số thực không âm x.
Thử lại, hàm số thỏa mãn (3.15)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) ≡ 0.
Bài tốn 44 (Iran MO 2018 (Vịng 2)) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
f (x + y)f x2 − xy + y2 = x3 + y3 (3.16)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho y = vào
(3.49)
f (x)f x2 = x3 (3.17)
với số thực x Ta cho x = vào (3.17) f (0) = Ta lại cho
x = vào (3.17) f (1) = f (1) = −1.
Nếu f (1) = đặt g(x) = f (x)
x , từ (3.17), ta có
g(x)gx2 = (3.18)
với số thực x khác Trong (3.18), ta thay x −x được
g(−x)gx2 = (3.19)
với số thực x khác Từ (3.18) (3.19), ta suy g hàm số chẵn
trên R \ {0}
Trong (3.16), ta thay y − x được
f 3x2 − 3x + 1 = 3x2 − 3x + 1
với số thực x Vì tập giá trị hàm số h(x) = 3x2 − 3x + trên
R "1
4; +∞ !
nên f (x) = x với số thực x thuộc "1
4; +∞ !
(66)g(x) = với số thực x thuộc
"1
4; +∞ !
Ta chứng minh g(x) = với số thực x thuộc 0;
!
Giả sử tồn
tại số thực a thuộc 0;
!
mà g(a) 6= Trong (3.18), ta cho x = √a
được
g(a)g(√a) = 1.
Trong (3.18), ta lại cho x = √4 a được
g(√a)g(√4 a) = 1.
Do g(a) = g(√4 a) Bằng phương pháp quy nạp, ta thu được
g(a) = g 2n√
a
với số nguyên dương n Vì < a <
4 nên tồn số nguyên dương
N cho 2N√a ≥
4 Dẫn đến, g
2N√a= hay g(a) = Điều mâu
thuẫn
Vì vậy, g(x) = với số thực x khác Mặt khác f (0) = nên
f (x) = x với số thực x.
Nếu f (1) = −1 cách đặt h(x) = −f (x) theo trường hợp
trên, ta tìm f (x) = −x với số thực x.
Thử lại, hai hàm số tìm thỏa mãn (3.16)
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = x với số thực x
và f (x) = −x với số thực x.
Bài toán 45 (Vietnam MO 2017) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
(67)với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = vào
(3.20)
f (f (y) − f (1)) = 2f (1) + y (3.21)
với số thực y Từ (3.21), ta suy f song ánh Do đó, tồn tại
số thực a cho f (a) = Bây giờ, ta cho x = y = a vào (3.20) được
f (0) = a2 Còn cho x = a y = vào (3.20), ta f (a3) = Từ tính đơn ánh f , ta rút a = a3, tức a ∈ {−1; 0; 1} Như
thế, f (0) = f (0) = 1.
Nếu f (0) = cho y = vào (3.20) sử dụng tính tồn ánh của
hàm số f , ta rút f (−x) = 2x với số thực x, hay f (x) = −2x
với số thực x.
Nếu f (0) = ta cho x = y = vào (3.20) f (−1) = Ta tiếp
tục cho x = y = vào (3.20) f (1) = Ta cho x = vào (3.20)
được
f (f (y)) = y (3.22)
với số thực y Ta thay y f (y) (3.20) sử dụng (3.22)
được
f (xy − f (x)) = 2f (x) + xf (y) (3.23)
với số thực x, y Trong (3.23), ta thay y bởi f (x)
x
f
f (x) x
=
1 − 2f (x)
x (3.24)
với số thực x khác Ta lại thay y bởi f (x)
x (3.20) sử dụng
(3.24)
(68)với số thực x khác Mặt khác, ta cho x = −1 y = vào (3.20)
được f (−2) = Do đó,
f (1 − 3f (x)) = 3f (x) (3.25)
với số thực x Từ (3.25) tính tồn ánh hàm số f , ta thu được
f (1 − 3x) = 3x
với số thực x Dẫn đến, f (x) = − x với số thực x.
Thử lại, f (x) = − x với số thực x thỏa mãn (3.20).
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = − x với số
thực x.
Bài tốn 46 (Japan MO 2019) Tìm tất hàm số f : R+ → R+
thỏa mãn
f
f (y) f (x) +
= f x +
y x +
!
− f (x) (3.26)
với số thực dương x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta chứng minh f
là đơn ánh Khơng tính tổng quát, giả sử tồn hai số thực
dương a, b cho f (a) = f (b) a < b Khi đó, tồn số thực c
sao cho < c < b − a Ta cho x = c cho y = a, y = b vào
(3.26) thu
f c + a c +
!
= f c + b c +
!
.
Đặt x0 = c+
a
c+1 y0 = c+ b
c+1, ta có f (x0) = f (y0) y0−x0−1 > 0.
Ta lại cho x = x0 và y = x0(y0 − x0 − 1) vào (3.26)
f
f (x0(y0 − x0 − 1))
f (x0)
+
(69)Dẫn đến, f (y0) > f (x0) Điều mâu thuẫn với f (y0) = f (x0)
Ta cho x = vào (3.26) được
f y
2 + !
= f
f (y) f (2) +
+ f (2) (3.27)
với số thực dương y Ta thay y x (3.26) được
f (x + 2) = f (x) + f (2) (3.28)
với số thực dương x Ta lại thay x bởi f (y)
f (2) + (3.28)
f
f (y) f (2) +
= f
f (y) f (2) +
+ f (2) (3.29)
với số thực dương y Từ (3.27), (3.29) kết hợp với tính đơn ánh
của f , ta thu f (y) = cy với số thực dương y (c số thực
dương)
Thử lại, hàm số tìm thỏa (3.26)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = cx với số thực dương
x (c số thực dương).
Bài tốn 47 (Balkan TST 2017) Tìm tất hàm số f : R+ → R+ sao cho
f (x)f (y)f (z) = 9f (z + xyf (z)) (3.30)
với số thực dương x, y, z.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta thay x xy và
cho y = (3.30) được
(70)với số thực dương x, y, z Từ (3.30) (3.31), ta suy ra
f (x)f (y) = f (xy)f (1) (3.32)
với số thực dương x, y Ta nhân hai vế (3.32) với f (z) sử
dụng (3.32)
f (x)f (y)f (z) = f (xyz)f (1)2 (3.33)
với số thực dương x, y, z Từ (3.32), ta có
f (xyz)f
xy + f (z)
z
= f (z + xyf (z))f (1) (3.34)
với số thực dương x, y, z Ta nhân (3.33) (3.34) vế theo vế sử
dụng (3.30)
9f
xy + f (z)
z
= f (1)
3 (3.35)
với số thực dương x, y, z Ta cho z = vào (3.35) được
f
xy + f (1)
!
= f (1)
9
với số thực dương x, y Do đó, f (x) = f (1)
9 với số thực x lớn hơn f (1) Từ (3.30), ta suy f (1) = Vì vậy, f (x) = với số
thực x lớn Trong (3.30), ta cho y = z = f (x) = với
mọi số thực dương x.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (3.30)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) ≡ 3.
(71)R+ sao cho
f (x)2 − f (y)f (z) = f (xy)f (y)f (z)[f (yz) − f (zx)] (3.36)
với số thực dương x, y, z.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta nhân f (x) vào
hai vế (3.36)
f (x)3 − f (x)f (y)f (z) = f (x)f (y)f (z)f (xy)[f (yz) − f (zx)] (3.37)
với số thực dương x, y, z Ta thay x y, y z z x trong
(3.37)
f (y)3 − f (x)f (y)f (z) = f (x)f (y)f (z)f (yz)[f (zx) − f (xy)] (3.38)
với số thực dương x, y, z Ta tiếp tục thay x z, y x z bởi
y (3.37) được
f (z)3 − f (x)f (y)f (z) = f (x)f (y)f (z)f (zx)[f (xy) − f (yz)] (3.39)
với số thực dương x, y, z Ta cộng (3.37), (3.38) (3.39) vế theo
vế
f (x)3 + f (y)3 + f (z)3 = 3f (x)f (y)f (z)
với số thực dương x, y, z Do đó,
f (x) = f (y) = f (z)
với số thực dương x, y, z Vì vậy, f (x) = c với số thực dương x
(c số thực dương).
Thử lại, hàm tìm thỏa mãn (3.36)
(72)Bài tốn 49 (IMO 2017) Hãy tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
f (f (x)f (y)) + f (x + y) = f (xy) (3.40)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Nếu f (0) = ta
cho y = vào (3.40) f (x) = với số thực x Nếu f (0) 6= thì
ta khẳng định : "Với số thực x, f (x) = x = 1" Giả sử tồn
tại số thực x0 để f (x0) = x0 6= Ta cho x =
x0
x0 −
và y = x0
vào (3.40) f (0) = Điều mâu thuẫn Do đó, khẳng định
trên mệnh đề
Ta cho x = y = vào (3.40) f (f (0)2) = Kéo theo, f (0) = 1
hoặc f (0) = −1.
Nếu f (0) = −1 ta cho y = vào (3.40) được
f (x + 1) = f (x) + 1
với số thực x Bằng phương pháp quy nạp, ta thu được
f (x + n) = f (x) + n (3.41)
với số thực x, với số nguyên dương n.
Tiếp theo, ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, với hai số thực a,
b nhỏ thỏa mãn f (a) = f (b), tồn hai số thực r s sao
cho rs + = a r + s = b, ta cho x = r y = s vào (3.40) được
f (f (r)f (s)) + f (b) = f (a − 1).
Từ (3.41), ta suy f (a − 1) = f (a) − Do đó, f (f (r)f (s)) = −1.
Dẫn đến, f (f (r)f (s) + 1) = Vì thế, f (r)f (s) = 0, tức r = hoặc
(73)f (a) = f (b), tồn số nguyên dương m cho a − m b − m nhỏ
hơn 1, từ (3.41), ta f (a − m) = f (b − m) Kéo theo, a − m = b − m,
tức a = b.
Trong (3.40), ta thay y −x được
f (f (x)f (−x)) − = f −x2
với số thực x Dẫn đến,
f (f (x)f (−x)) = f1 − x2
với số thực x Từ tính đơn ánh f , ta suy ra
f (x)f (−x) = − x2 (3.42)
với số thực x Mặt khác, (3.40), ta thay y − x được
f (f (x)f (1 − x)) = f (x(1 − x))
với số thực x Từ tính đơn ánh f (3.41), ta suy ra
f (x)(1 + f (−x)) = x − x2 (3.43)
với số thực x Từ (3.42) (3.43), ta thu f (x) = x − với mọi
số thực x.
Nếu f (0) = cách đặt g(x) = −f (x) theo trường hợp trên,
ta thu g(x) = x − với số thực x Do đó, f (x) = − x với mọi
số thực x.
Thử lại, ba hàm số tìm thỏa mãn (3.40)
Vậy tốn có ba nghiệm hàm f (x) ≡ 0, f (x) = x − với
(74)Bài toán 50 (APMO 2016) Hãy tìm tất hàm số f : R+ → R+
thỏa mãn
(z + 1)f (x + y) = f (xf (z) + y) + f (yf (z) + x) (3.44)
với số thực dương x, y, z.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = y = 1
vào (3.44)
(z + 1)f (2) = 2f (f (z) + 1)
với số thực dương z Do đó, hàm f không bị chặn trên.
Ta chứng minh
f (a) + f (b) = f (c) + f (d) (3.45)
với số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a + b = c + d Thật vậy, xét
bốn số thực dương a, b, c d thỏa mãn a + b = c + d Vì f khơng
bị chặn nên tồn số thực dương e cho f (e) lớn 1, a
b, b a, c d d
c Khi đó, ta tìm số thực dương u, v, w, t thỏa mãn
f (e)u + v = a u + f (e)v = b
f (e)w + t = c w + f (e)t = d.
Từ a + b = c + d, ta suy u + v = w + t Ta cho x = u, y = v z = e
vào (3.44)
(e + 1)f (u + v) = f (a) + f (b).
Còn cho x = w, y = t z = e vào (3.44), ta lại được
(75)Từ đó, ta thu f (a) + f (b) = f (c) + f (d).
Tiếp theo, ta thay x y bởi x
2 (3.44)
(z + 1)f (x) = f x
2f (z) +
x
2 !
+ f x
2f (z) +
x
2 !
(3.46)
với số thực dương x, z Theo (3.45), ta có
f x
2f (z) +
x
2 !
+ f x
2f (z) +
x
2 !
= f (xf (z)) + f (x) (3.47)
với số thực dương x, z Từ (3.46) (3.47), ta được
zf (x) = f (xf (z)) (3.48)
với số thực dương x, z.
Đặt a = f
f (1)
Ta cho x = z =
f (1) vào (3.48) f (a) = 1.
Ta lại cho x = z = a vào (3.48) af (a) = f (af (a)), suy a = 1
hay f (1) = Ta cho x = vào (3.48) được
z = f (f (z)) (3.49)
với số thực dương z Mặt khác, từ (3.45), ta thu được
f (x + y) + f (1) = f (x) + f (y + 1)
với số thực dương x, y và
f (y + 1) + f (1) = f (y) + f (2)
với số thực dương y Do đó,
f (x + y) = f (x) + f (y) + C (3.50)
với số thực dương x, y (C = f (2) − 2) Ta thay x = y = f (2) vào
(3.50)
(76)Từ (3.48) (3.49), ta có
f (2f (2)) = 2f (2) = 2(C + 2) f (f (2)) = 2.
Do đó, 2(C + 2) = + C, dẫn đến C = Vì vậy,
f (x + y) = f (x) + f (y)
với số thực dương x, y Vì vậy, f (x) = x với số thực dương x.
Thử lại, hàm số tìm thỏa mãn (3.44)
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = x với số thực
dương x.
Bài toán 51 (Zhautykov MO 2018) Tìm tất số thực a để tồn tại hàm số f : R → R thỏa mãn
f (x − f (y)) = f (x) + a[y] (3.51)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn số thực a thỏa mãn đề bài.
Nếu a = ta chọn f hàm khơng.
Nếu a 6= trước tiên, ta có khẳng định: "Với hai số thực u, v bất kỳ,
f (u) = f (v) [u] = [v]" Với hai số thực u, v bất kỳ, ta có
f (x − f (u)) = f (x) + a[u] (3.52)
f (x − f (v)) = f (x) + a[v] (3.53)
với số thực x Nếu f (u) = f (v) từ (3.52) (3.53), ta thu được
[u] = [v] Nếu [u] = [v] từ (3.52) (3.53), ta suy ra
f (x − f (u)) = f (x − f (v))
với số thực x Dẫn đến,
(77)với số thực x Do đó, f (u) = f (v) Như vậy, khẳng định là
mệnh đề
Tiếp theo, ta chứng minh f (x) số nguyên với số thực x Thật
vậy, giả sử tồn số thực x0 mà f (x0) không số nguyên Khi đó, tồn
tại hai số thực x1, x2 cho
[x1] = [x2] [x1 − f (x0)] 6= [x2 − f (x0)].
Ta cho x = x1 và y = x0 vào (3.51)
f (x1 − f (x0)) = f (x1) + a[x0]. (3.54)
Ta cho x = x2 và y = x0 vào (3.51)
f (x2 − f (x0)) = f (x2) + a[x0] (3.55)
Theo khẳng định trên, ta có f (x1) = f (x2) Từ (3.54) (3.55), ta suy
ra
f (x1 − f (x0)) = f (x2 − f (x0)).
Cũng theo khẳng định trên, ta
[x1 − f (x0)] = [x2 − f (x0)].
Điều mâu thuẫn
Bằng phương pháp quy nạp, ta thu
f (x − nf (y)) = f (x) + an[y] (3.56)
với số thực x, y, với số nguyên dương n Ta thay x x + nf (y)
trong (3.56)
f (x + nf (y)) = f (x) − an[y] (3.57)
với số thực x, y, với số nguyên dương n Từ (3.56) (3.57), ta
suy
(78)với số thực x, y, với số nguyên n Dẫn đến,
f (x − f (z)f (y)) = f (x) + af (z)[y] (3.58)
với số thực x, y, z Ta đổi chỗ y z (3.58) được
f (x − f (y)f (z)) = f (x) + af (y)[z] (3.59)
với số thực x, y, z Từ (3.58) (3.59), ta thu được
f (z)[y] = f (y)[z] (3.60)
với số thực y, z Ta cho z = vào (3.60) f (y) = C[y] với mọi
số thực y (C số nguyên) Từ (3.51), ta tìm a = −C2 (C là
số nguyên khác 0)
Thử lại, với giá trị tìm a, ta tìm một
hàm số thỏa mãn (3.51)
Vậy a = −C2 (C số nguyên) thỏa mãn đề bài.
Bài tốn 52 (USAJMO 2016) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
(f (x) + xy)f (x − 3y) + (f (y) + xy)f (3x − y) = f (x + y)2 (3.61)
với số thực x, y.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Đầu tiên, ta cho x = y = vào (3.61) f (0) = Ta tiếp tục cho x = vào (3.61)
được
f (y)f (−y) = f (y)2
với số thực y Dẫn đến,
(79)với số thực y Vì thế, f hàm số chẵn Trong (3.61), ta lại thay x
bởi −y được
f (y) − y2f (4y) = 0
với số thực y Do đó,
f (x) = x2 hoặc f (4x) = 0 (3.62)
với số thực x.
Ta có khẳng định: "Với số thực x, f (x) = f (2x) = 0".
Trong (3.61), ta thay x 3y được
f (y) + 3y2f (8y) = f (4y)2 (3.63)
với số thực y Khi thay y bởi x
4, (3.63) trở thành
f
x
4 !
+ 3x
16
f (2x) = f (x)2 (3.64)
với số thực x Từ (3.64), "Với số thực x, f (2x) = thì
f (x) = 0" mệnh đề Mặt khác, với số thực x khác 0, nếu f (4x) 6= từ (3.62), ta suy f (x) = x2, kéo theo f (2x) 6= (do (3.64)) Như thế, "Với số thực x, f (x) = f (2x) = 0" là
mệnh đề Do đó, khẳng định mệnh đề
Từ khẳng định (3.62), ta có
f (x) = x2 hoặc f (x) = 0 (3.65)
với số thực x Giả sử tồn hai số thực dương a, b khác sao
cho f (a) = f (b) = b2 Khi đó, tồn số tự nhiên N để 2Na > b.
Đặt c = 2Na Từ khẳng định trên, ta có f (c) = Lúc này, ta tìm
được hai số thực dương u, v cho
(80)Cụ thể,
u = 3c + b
4
v = c − b
4 . Ta cho x = u y = v vào (3.61) được
(f (u) + uv)f (b) + (f (v) + uv)f (3u − v) = 0.
Điều vơ lí, theo (3.65), ta có f (x) ≥ với số thực x Cuối
cùng, f (x) = x2 với số thực x f (x) = với số thực x.
Thử lại, hai hàm số tìm thỏa mãn (3.61)
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) = x2 với số thực
x f (x) ≡ 0.
Bài toán 53 (European MO 2016) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn
f (x + y + yf (x)) = f (x) + f (y) + xf (y) (3.66)
với số thực x, y.
Lời giải Hàm không hàm đồng hai nghiệm hàm toán.
Giả sử tồn hàm số f khác hàm không hàm đồng thỏa
mãn đề Ta cho x = y = vào (3.66) f (0) = Ta cho x = −1
vào (3.66)
f [(f (−1) + 1)y − 1] = f (−1)
với số thực y Vì f khác hàm không nên f (−1) = −1 Nếu tồn tại
số thực α để f (α) = −1 ta cho x = α y = −1 vào (3.66) được
α = −1 Từ đó, ta có mệnh đề đúng: "Với số thực x, f (x) = −1 khi
và x = −1".
(81)Nếu ta đặt a = f (x0) − x0 thì a 6= Ta cho x = x0 và y = −1 vào (3.66)
được f (−a − 1) = a − Ta tiếp tục cho x = −a − vào (3.66) được
f (ay − a − 1) = a − − af (y) (3.67)
với số thực y Trong (3.67), ta cho y = f (1) = Bây
giờ, ta lại cho x = y = vào (3.66) f (3) = Trong (3.67), ta cho
y = f (2a − 1) = −2a − Mặt khác, cho x = thay y
bởi y − (3.66), ta được
f (2y − 1) = 2f (y − 1) + 1 (3.68)
với số thực y Ta cho y = a vào (3.68) f (2a−1) = 2f (a−1)+1.
Do đó, f (a − 1) = −a − Trong (3.66), ta lại cho x = a − thay y
bởi − y được
f (ay − a − 1) = −a − + af (2 − y) (3.69)
với số thực y Từ (3.67) (3.69), ta thu được
f (y) + f (2 − y) = 2 (3.70)
với số thực y Khi thay y + 2x, (3.70) trở thành
f (1 + 2x) + f (1 − 2x) = 2 (3.71)
với số thực x Ngoài ra, ta thay y x + vào (3.68) được
f (1 + 2x) = 2f (x) + 1 (3.72)
với mói số thực x Trong (3.68), ta lại thay y − x được
f (1 − 2x) = 2f (−x) + 1 (3.73)
với số thực x Từ (3.71), (3.72) (3.73), ta thu được
(82)với số thực x Vì thế, f hàm số lẻ Ta tiếp tục thay y −y
trong (3.66) sử dụng tính lẻ hàm f được
f (x − y − yf (x)) = f (x) − f (y) − xf (y) (3.74)
với số thực x, y Từ (3.66) (3.74), ta thu được
f (x + y + yf (x)) + f (x − y − yf (x)) = 2f (x) (3.75)
với số thực x, y Trong (3.75), ta thay y bởi y
1 + f (x)
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)
với số thực y, với số thực x khác −1 Từ tính lẻ hàm số f
và (3.70), ta suy
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) (3.76)
với số thực x, y Ta thay y x (3.76) được
2f (x) = f (2x) (3.77)
với số thực x Với hai số thực x, y bất kì, tồn hai số thực x0, y0
sao cho x0 + y0 = x x0 − y0 = y Từ (3.76) (3.77), ta suy ra
f (x) + f (y) = f (x + y) (3.78)
với số thực x, y Áp dụng tính cộng tính f vào (3.66), ta được
f (yf (x)) = xf (y) (3.79)
với số thực x, y Ta cho y = vào (3.79) được
f (f (x)) = x (3.80)
với số thực x Từ (3.79) (3.80), ta thu được
(83)với số thực x, y Từ (3.78) (3.81), ta f (x) = x với số
thực x Điều mâu thuẫn.
Vậy tốn có hai nghiệm hàm f (x) ≡ f (x) = x với
mọi số thực x.
Bài toán 54 (USAMO 2018) Tìm tất hàm số f : R+ → R+
sao cho
f x + y
!
+ f y + z
!
+ f z + x
!
= (3.82)
với số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1.
Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn đề Ta cho x = b c, y =
c a
và z = a
b vào (3.82)
f a + b c
!
+ f c + a
b
!
+ f b + c
a
!
= (3.83)
với số thực dương a, b, c Xét hàm số g : (0; 1) → (0; 1) xác
định
g(x) = f 1 − x x
!
.
Từ (3.83), ta suy
g(a) + g(b) + g(c) = 1 (3.84)
với số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Xét hàm số
h : −1 3;
2
!
→ −1 3;
2
!
được xác định
h(x) = g x +
3 !
− 3. Từ (3.84), ta suy
(84)với số thực x, y, z thuộc −1 3;
2
!
thỏa mãn x + y + z = Ta cho
x = y = z = vào (3.85) h(0) = Ta lại cho z = thay y bởi
−x (3.85) được
h(−x) = −h(x) (3.86)
với số thực x thuộc −1 3;
1
!
Ta tiếp tục thay z −x − y vào
(3.85) áp dụng (3.86)
h(x) + h(y) = h(x + y) (3.87)
với số thực x, y thuộc −1 3;
2
!
thỏa mãn |x + y| <
3 Với số thực x, tồn số nguyên dương n cho |x| < n
3, ta xét tương ứng
H : R → R xác định bởi
H(x) = nh x n
!
.
H hàm số xác định đắn Thật vậy, với số thực x, nếu
tồn hai số nguyên dương m, n phân biệt cho |x| < n
3 và |x| <
m
3 từ (3.87), ta suy
nh x n
!
= nh m. x mn
!
= mnh x
mn
!
= mh n. x mn
!
= mh x
m
!
.
Ngồi ra, H cịn hàm cộng tính R Thật vậy, với số thực x,
y, tồn số nguyên dương n thỏa mãn |x| < n
3, |y| <
n
3 và |x + y| <
n
3, ta có
H(x) + H(y) = nh x n
!
+ nh y
n
!
= nh x + y
n
!
= H(x + y).
Cuối cùng, H(x) = h(x) với số thực x thuộc −1 3;
1
!
Như vậy, hàm
số H cộng tính R bị chặn trên −1 3;
1
!
Vì vậy, H(x) = Cx với
(85)x thuộc −1 3;
1
!
Như thế, g(x) = Cx + 1 − C
3 với số thực x thuộc
0;2
!
(C số thực) Ta lại có
g 1 − x
2 !
+ g 1 − x
!
+ g(x) = 1
với số thực x thuộc "2
3; !
Do đó, g(x) = Cx + 1 − C
3 với số
thực x thuộc "2
3; !
(C số thực) Tóm lại, f (x) = C
x + 1+
1 − C với số thực dương x (C số thực).
Thử lại, hàm số f (x) = C
x + 1+
1 − C
3 với số thực dương
x, C số thực thuộc
" −1
2; #
, thỏa mãn đề
Vậy tốn có nghiệm hàm f (x) = C
x + 1+
1 − C
3 với số thực dương x, C số thực thuộc
" −1
2; #
(86)TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Trọng Tuấn, Bài tốn hàm số qua kì thi Olympic, Nhà
xuất Giáo dục, 2004
[2] Nguyễn Tài Chung, Lê Hồnh Phị, Chun khảo Phương trình hàm,
Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013
[3] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, Nhà xuất Giáo dục, 2001.
[4] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, Nhà xuất Giáo dục, 1997.
Tiếng Anh
[5] B J Venkatachala, Functional Equations A Problem Solving
Ap-proach, Bangalore India, 2002.
[6] Titu Andreescu, Iurie Boreico, Functional Equations, Electronic