Gi ải phương trình bậc bốn trường số phức GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hố, Ngoại ngữ Trường Sĩ quan Chính trị - Thành phố Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh Số điện thoại: 0987730790 Đã có nhiều phương pháp đưa để giải phương trình bậc trường số phức phương pháp hệ số bất định, công thức Cardano Sau xin đưa phương pháp để giải phương trình bậc 4: x4+ax3+bx2+cx+d=0 a , b, c , d ∈ R trường số phức, phân tích vế trái phương trình cho thành nhân tử Và cách phân tích cụ thể sau: 1.Phương trình dạng x4+ax2+bx+c=0 (*) Cách giải chung: phân tích x + ax + bx + c = ( x + m ) − p( x + n ) 2 = x + ( 2m − p ) x − 2pnx + m − pn 2m − p = a sau ta đồng hệ số − pn = b m − pn = c Từ (1) ta có: m = (1) ( 2) ( 3) −b p+a ; từ (2) ta có n = vào (3) ta : 2p ( p + a)2 b2 − p = c ( 4) 4p Trong phương trình (4) ta cần tìm nghiệm p mà khơng cần giải phương trình (4) Sau thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m giải phương trình ban đầu Ví dụ 1: Giải phương trình sau trường số phức: z4-24z-32=0 Giải: Tr i ệu Thu Thủy Trang Gi ải phương trình bậc bốn trường số phức Ta có: z + 24 z − 32 = ( z + m ) − p( z + n ) 2 = z + ( 2m − p ) z − pnz + m − pn 2m − p = Đồng hệ số ta có: − pn = −24 m − pn = −32 (1) ( 2) Để giải hệ (1), (2), (3) ta ( 3) rút hai ẩn m, n theo p từ (1) (2) sau vào phương trình (3) Từ (1) ta có: m = 12 p ; từ (2) ta có n = vào (3) ta : p p2 144 − p = −32 ⇔ p − 20 p + 128 p − 576 = ( 4) p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ m=2, n=3 Vậy phương trình cho trở thành: (z + ) − 4.( z + 3) = 2 ⇔ ( z − z − ) ( z + z + 8) = z − 2z − = ⇔ z + 2z + = Vậy phương trình cho có nghiệm phức : z = ± , z = −1 ± i Ví dụ : Giải phương trình sau trường số phức : z − z − 18 z − = Giải : Ta có: z − z − 18 z − = ( z + m ) − p( z + n ) 2 = z + ( 2m − p ) z − pnz + m − pn 2m − p = −5 Đồng hệ số ta có: − pn = −18 m − pn = −5 Tr i ệu Thu Thủy (1) ( 2) ( 3) Trang Gi ải phương trình bậc bốn trường số phức Từ (1) ta có: m = p−5 ; từ (2) ta có n = vào (3) ta : p ( p − 5) 81 − p = −5 ⇔ p − 10 p + 45 p − 324 = (4) p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=9, từ m=2, n=1 Vậy phương trình cho trở thành: (z + ) − 9.( z + 1) = 2 2 ⇔ ( z − z − 1) ( z + z + 5) = z − 3z − = ⇔ z + 3z + = Vậy phương trình cho có nghiệm phức : z= ± 13 − ± i 11 ,z = 2 Phương trình bậc tổng quát : z4+az3+bz2+cz+d=0 a , b, c , d ∈ R Chúng ta đưa phương trình tổng quát dạng phương trình phần cách đặt : z = y − a , hệ số bậc bị triệt tiêu Ví dụ : Giải phương trình sau trường số phức : z + z + 24 z − 16 z − 220 = (1) Giải : Đặt z=y-2, với ẩn y phương trình (1) trở thành: ( y − 2) + 8.( y − 2) + 24( y − ) − 16( y − 2) − 220 = ⇔ y − y + 24 y − 32 y + 16 + y − 48 y + 96 y − 64 + 24 y − 96 y + 96 − 16 y + 32 − 220 = ⇔ y − 48 y − 140 = ( 2) Ta có : y − 48.y − 140 = ( y + m ) − p ( y + n ) 2 = y + ( 2m − p ) y − 2pny + m − pn Tr i ệu Thu Thủy Trang Gi ải phương trình bậc bốn trường số phức 2m − p = Đồng hệ số ta có: − pn = −48 m − pn = −140 Từ (3) ta có: m = ( 3) ( 4) ( 5) 24 p ; từ (4) ta có n = vào (5) ta : p p2 576 − p = −140 ⇔ p − 560 p − 4.576 = ( 6) p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ m=2, n=6 Vậy phương trình (6) trở thành: (y + ) − 4.( y + 6) = 2 2 ⇔ ( y + y + 14 ) ( y − y − 10 ) = y + y + 14 = ⇔ y − y − 10 = Phương trình (6) có nghiệm : y = ± 11 , y = −1 ± i 13 Khi phương trình cho (1) có nghiệm là: z = −1 ± 11 , z = −3 ± i 13 Ví dụ : Giải phương trình sau trường số phức : z + z + 19 z + 48 z + 45 = Giải : Đặt z=y-1 Khi phương trình trở thành : ( y − 1) + 4.( y − 1) + 19( y − 1) + 48( y − 1) + 45 = ⇔ y − y + y − y + + y − 12 y + 12 y − + 19 y − 38 y + 19 + 48 y − 48 + 45 = ⇔ y + 13 y + 18 y + 13 = ( * *) Ta có : y + 13.y + 18.y + 13 = ( y + m ) − p ( y + n ) 2 = y + ( 2m − p ) y − 2pny + m − pn Tr i ệu Thu Thủy Trang Gi ải phương trình bậc bốn trường số phức 2m − p = 13 Đồng hệ số ta có: − pn = 18 m − pn = 13 Từ (1) ta có: m = (1) ( 2) ( 3) p + 13 ; từ (2) ta có n = − vào (3) ta : p ( p + 13) 81 − p = 13 ⇔ p + 26 p + 117 p − 324 = ( 4) p Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=-9, từ m=2, n=1 Vậy phương trình (4) trở thành: (y + ) + 9.( y + 1) = 2 2 ⇔ ( y + 3iy + + 3i ) ( y − 3iy + − 3i ) = y + 3iy + + 3i = ⇔ y − 3iy + − 3i = Các bạn giải phương trình với ẩn y sau thay trở lại để ẩn z Một số tập tương tự : Giải phương trình sau trường số phức : a z + z − z + 14 = b z − 4z − = c z − 10 z + 16 z − = d z − z − z − 10 z − = e Tr i ệu Thu Thủy z − z + 31 z − 62 z + 63 = Trang