DeThiHSGCacTinh_2009-2010

Ch ng minh.[r]

T P H P CÁC Đ THI H C SINH GI I Ậ Ợ Ề Ọ Ỏ NĂM H C 2009 – 2010 Ọ

KÌ THI CH N H C SINH GI I L P 12 THÀNH PH C N THỌ Ọ Ỏ Ớ Ố Ầ Ơ NĂM H C 2009 – 2010Ọ

KHÓA NGÀY 06/11/2009

Câu 1

Tìm t t c nghi m th c c a phấ ả ệ ự ủ ương trình Câu 2

Cho hàm s ố có đ th (C).ồ ị

1 G i M m t m thu c (C) có hồnh đ ọ ộ ể ộ ộ Ch ng minh ti p n c a (C) ứ ế ế ủ t i M c t (C) t i m t m ắ ộ ể khác M Xác đ nh hoành đ c a ị ộ ủ

2 Cho A, B, C m phân bi t, th ng hàng, có hồnh đ khác thu c (C).ể ệ ẳ ộ ộ Ti p n c a (C) t i A, B, C c t (C) l n lế ế ủ ắ ầ ượ ạt t i đôi m t khác ộ Ch ng minh ba m ứ ể th ng hàng.ẳ

Câu 3

1 Xác đ nh giá tr nh nh t c a hàm s ị ị ỏ ấ ủ ố kho ng ả Cho ba s dố ương Ch ng minh ứ

Câu Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ệ ọ ộ , vi t phế ương trình đường tròn qua hai m ể ti p xúc v i đế ường tròn

Câu Tìm đa th c ứ th a mãn: ỏ P x(  y2)P x y P x y(  ) (  ),x y,  

Câu Cho hình chóp S.ABC G i ọ theo th t m di đ ng ứ ự ể ộ c nh SA, SB, SC cho:

1 Ch ng minh m t ph ng ứ ặ ẳ qua m t m c đ nh.ộ ể ố ị

2 Xác đ nh v trí c a ị ị ủ đ th tích kh i đa di n ể ể ố ệ đ t giá tr ị l n nh t.ớ ấ

Câu 7

Tìm t t c s nguyên dấ ả ố ương th a mãn ỏ

Đ THI HSG THÀNH PH HÀ N IỀ Ố Ộ Năm 2009-2010

BÀI 1

Cho hàm s ố ( m tham s )ố

1.Bi n lu n theo m s giao m c a đ th hàm s v i tr c hoànhệ ậ ố ể ủ ị ố ụ

2.Xác đ nh m đ đ th hàm s c t tr c hoành t i m phân bi t có hồnh đ ị ể ị ố ắ ụ ể ệ ộ tương ng l p thành c p s công.ứ ậ ấ ố

BÀI 2

1.Gi i phả ương trình

2.Cho dãy s ố s ch nh h p ch p n c a (n+2) ph n t làố ỉ ợ ậ ủ ầ s hoán v c a t p h p g m n ph n t v i n s nguyên dố ị ủ ậ ợ ầ ố ương

Tìm BÀI 3

Cho hình l p phậ ương ABCDA'B'C'D' c nh b ng a V i M m t m thu c c nh AB, ằ ộ ể ộ Ch n m N thu c c nh D'C' cho AM+D'N=aọ ể ộ

1.Ch ng minh MN qua m t m c đ nh M thay đ iứ ộ ể ố ị ổ

2.tính th tích chóp B'.A'MCN theo a Xác đ nh v trí c a M đ kho ng cách t B' t i ể ị ị ủ ể ả mp(A'MCN) max.Tính kho ng cách l n nh t theo a.ả ấ

3.Tìm quỹ tích hình chi u vng góc c a C xu ng MN M ch y AB.ế ủ ố BÀI 4

1 Cho hai s th c ố ự th a mãn ỏ

ch ng minh: ứ

Đ THI CH N Đ I TUY N D THI HSG QU C GIAỀ Ọ Ộ Ể Ự Ố KON TUM

Câu (4 m)ể

Gi i h phả ệ ương trình: Câu (4 m)ể

Cho dãy s th c ố ự xác đ nh nh sau: ị

Ch ng minh: ứ

Câu (5 m)ể

Cho tam giác ABC nh n có AB > AC, H chân đọ ường cao k t A, M trung m ẻ ể c a đo n AH, g i D ti p m c a đủ ọ ế ể ủ ường tròn n i ti p tam giác ABC v i c nh BC, ộ ế DM c t đắ ường tròn n i ti p t i m th hai N Ch ng minh ND tia phân giác c a ộ ế ể ứ ứ ủ góc BNC

Câu (4 m)ể

Cho phương trình có nghi m Ch ng minh:ệ ứ

Câu (3 m)ể

Đ THI CH N Đ I TUY N ĐHKHTN HÀ N I Ề Ọ Ộ Ể Ộ VÒNG 1

Ngày th nh tứ ấ

Câu 1: Gi i h phả ệ ương trình

Câu 2:

Gi i pt nghi m nguyên dả ệ ương

Câu 3:

Cho tam giác ABC, đường tròn n i ti p ti p xúc c nh t i A1, B1, C1, độ ế ế ạ ường bàng ti p ti p xúc t i A2, B2, C2 CM: tr ng tâm tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2 ế ế ọ th ng hàngẳ

Câu 4: Tìm t t c hàm s ấ ả ố th a mãnỏ

Ngày th haiứ

Câu 1: Cho đa th c ứ có h s nguyên Bi t t n t i s nguyên phân bi t ệ ố ế ố ệ cho cmr: n u ế có nghi m h u t ệ ữ ỉ

Câu 2: Cho đa th

L p dãy ậ theo cơng th

Tìm

Câu 3: Trên c nh đáy BC c a tam giác cân ABC l y P,Q cho P n m BQ Tìm ạ ủ ấ ằ s đo góc c a tam giác ABC bi tố ủ ế

Câu 4: a) Tìm t t c nghi m nguyên c a ấ ả ệ ủ

Đ THI CH N Đ I TUY N THI HSG ĐHKHTN-ĐHQG HÀ N I Ề Ọ Ộ Ể Ộ NĂM H C 2009-2010Ọ

VÒNG 2 Ngày th nh tứ ấ

Bài 1: Dãy s ố xác đ nh nh sau: ị

a, CMR chia h t cho ế v i m i ọ

b, CMR dãy s ố có vơ h n s chia h t cho ố ế

Bài 2: Tìm t t c hàm ấ ả cho v i m iớ ọ

Bài 3: Cho đường tròn (O) hai m biên B,C cho B,C không ph i để ả ường kính Đi m A chuy n đ ng cung l n BC (khác B,C) G i M trung m c nh ể ể ộ ọ ể AB N hình chi u vng góc c a M lên AC Cho trế ủ ướ ố ực s th c a khác g i K làọ m chia đo n HN theo t s a, v i H trung m c nh BC Vẽ để ỉ ố ể ường th ng d qua ẳ K vng góc v i HN CMR d ti p xúc v i m t đớ ế ộ ường cong c đ nh.ố ị

Bài 4: Cho t p h p A g m ậ ợ ph n t Xét k t p b t kì g m ph n t c a A ầ ậ ấ ầ ủ Hãy tìm s k nh nh t cho v i m i cách ch n k t p t n t i t p ố ỏ ấ ọ ọ ậ ậ con có chung ph n t ầ

Ngày (22/11/2009) Th i gian: 180 phútờ

Bài 1:

Tìm t t c b s t nhiên ấ ả ộ ố ự đôi m t phân bi t th a mãnộ ệ ỏ

Bài 2:

Tìm t t c hàm liên t c ấ ả ụ th a mãnỏ 1/ đ n ánhơ

2/

3/ T n t i cho Bài 3:

Bài 4:

Cho Ch ng minh r ng t n t iứ ằ

không đ ng th i b ng cho ằ

Đ THI H C SINH GI I TOÁN ĐHKHTN HÀ N IỀ Ọ Ỏ Ộ VÒNG 3

Bài 1

v i m i n l n h n ho c b ng , xét ỗ ặ ằ ước chung l n nh t c a tâts c c p c p có ấ ủ ả ặ ặ th c a hai s khác t đ n n G i A(n), B(n) l n lể ủ ố ế ọ ầ ượt trung bình c ng ộ trung bình nhân c a ủ ướ ốc s

a) ch ng minh r ng A(n)< ln n+1 tính lim A(n)ứ ằ b) Ch ng minh r ng B(n) < ứ ằ

Bài 2

Ch ng minh r ng v i m i dãy ứ ằ ọ ( n nguyên dương) ta ch n đọ ượ ố ực s t nhiên cho

| | max{ }

Bài 3

Hai đường tròn tâm O O' ti p xúc v i t i A ( (O') n m (O)) Gi ế ằ ả s dây cung BC c a đử ủ ường tròn O c t (O') t i M,N cho MB=MC N đo n ắ ạ MB AN c t (O) l n hai t i E cung BEC ta l y m K cho OK qua M Dây ắ ầ ấ ể AK c t BC t i F Ch ng minh r ng m E, F, M, K n m m t đắ ứ ằ ể ằ ộ ường tròn Bài 4

Đ THI CH N Đ I TUY N THÀNH PH H I PHÒNG Ề Ọ Ộ Ể Ố Ả Bài 1:

Tìm đa th c ứ h s th c th a mãn: ệ ố ự ỏ Bài 2:

Ch ng minh r ng: ứ ằ

Bài 3:

Cho KL KN ti p n c a đế ế ủ ường tròn C, v i L y M b t kỳ ấ ấ đường th ng KN (M, K khác phía so v i N) Gi s C c t đẳ ả ắ ường tròn ngo i ti p tam ế giác KLM t i m th P Q chân đạ ể ứ ường vng góc h t N xu ng ML ố

Ch ng minh r ng: ứ ằ

Bài 4:

Cho dãy s : ố

Ch ng minh r ng: ứ ằ

Bài 5:

Đ THI HSG T NH PHÚ YÊN Ề Ỉ NĂM H C 2009-2010Ọ

Câu (5 m) Cho hàm s ể ố có đ th (C).ồ ị

a) Kh o sát vẽ đ th hàm s (C), t suy đ th ả ị ố ị c a hàm s ủ ố b) D a vào đô thự ị , bi n lu n theo tham s ệ ậ ố s nghi m ố ệ thu c đo n ộ c a ủ phương trình:

Câu (5 m)ể a) Gi i phả ương trình: b) Tìm x,y,z bi t ế

Câu (5 m) Cho hình vng ể Trên c nh CB CD l n lạ ầ ượ ất l y m E,F cho ể , v iớ Đo n th ng BD c t AE AF t i H ẳ ắ G tương ng Đứ ường vng góc v i EF k t A c t BD t i P Ch ng minh r ngớ ẻ ắ ứ ằ

Câu (3 m) Trong m t ph ng (P) cho m O c đ nh d để ặ ẳ ể ố ị ường th ng quay ẳ quanh O L y S ngồi (P) có hình chi u vng góc (P) H, v i ấ ế Qua S d ng đự ường vng góc v i m t ph ng xác đ nh b i S d Đớ ặ ẳ ị ường th ng c t (P) ẳ ắ t i N Tìm quỹ tích m N d thay đ i.ạ ể ổ

Câu (2 m) Cho đa th c : ể ứ , v i a s ố nguyên Ch ng minh r ng đa th c khơng th có hai nghi m nguyên (phân bi t hay ứ ằ ứ ể ệ ệ trùng nhau)

Đ CH N Đ I TUY N ĐHSP HÀ N I 2009-2010Ề Ọ Ộ Ể Ộ

Bài Cho s nguyên dố ương khác Xét t p h p:ậ ợ

Ch ng minh r ng có th trích t ứ ằ ể m tộ t p có vơ h n ph n t cho hai ph n t b t kì c a t p nguyên t ậ ầ ầ ấ ủ ậ ố

Bài Cho hai dãy s :ố ;

Ch ng minh r ng ứ ằ s phố ương v i m i ọ nguyên dương

Bài Tìm hàm s ố th a mãn:ỏ liên t c t i ụ

2

Bài Cho tam giác cân t i m t m di chuy n c nh ộ ể ể hình chi u c a ế ủ Ch ng minh r ng:ứ ằ

1 Tr ng tâm tam giác ọ di chuy n m t để ộ ường th ng c đ nh.ẳ ố ị Đường th ng qua ẳ vng góc qua m t m c đ nh.ộ ể ố ị

Bài Cho m m t ph ng cho ba m th ng hàng ể ặ ẳ ể ẳ th a mãn t ng kho ng cách gi a t t c m b ng ỏ ổ ả ữ ấ ả ể ằ Ch ng minh r ng:ứ ằ T n t i đồ ường g p khúc khép kín n i t t c m v i nhau.ấ ố ấ ả ể

KỲ THI CH N HSG C P T NH KONTUMỌ Ấ Ỉ NĂM H C 2009-2010Ọ

Câu (3.5 m)ể Gi i b t phả ấ ương trình:

Câu (4.0 m)ể Gi i h phả ệ ương trình:

và Câu (3.5 m)ể

Cho dãy s (xn), n nguyên dố ương , xác đ nh nh sau:ị , V i m i n nguyên dớ ọ ương Tính

Câu (5.5 m)ể

Cho tam giác nh n ABC có trung n CM vng góc v i phân giác AL t i ọ ế đ nh A (V i M, L l n lỉ ầ ượt thu c c ng AB, BC; AC = b, AB = c)ộ

a)Ch ng minh: ứ

b)Gi s CM = k.AL (k s th c dả ố ự ương) Ch ng minh: ứ

Câu (3.5 m)ể

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ

NINH BÌNH Đ THI CH N H C SINH GI I L P 12 THPTỀ Ọ Ọ Ỏ Ớ Năm h c: 2009 – 2010ọ

MƠN TỐN (VỊNG 2)

Th i gian làm 180 phút (không k th i gianờ ể ờ giao đ )ề

Đ thi g m 05 câu, 01 trangề ồ

Câu (5 m)ể

a) Tìm đa th c ứ f(x) khác đa th c khơng, có h s h u t có b c nh nh t th a ứ ệ ố ữ ỉ ậ ỏ ấ ỏ mãn:

3 3

( 9)

f    .

b) Cho hai s nguyên dố ương p, q l n h n 1, nguyên t Ch ng minhớ ố ứ r ng t n t i s nguyên k cho ằ ố (pq1)nk1 h p s v i m i s nguyên dợ ố ớ ọ ố ương n.

Câu (5 m)ể

Cho s th c a, b, c th a mãn ố ự ỏ

1 , ,

8

a b c abc      

a) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ

2

A

b c

 

b) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ị ấ ủ ể ứ B a b c   .

Câu (4 m)ể

Tìm t t c hàm s ấ ả ố f(x) liên t c R th a mãn:ụ ỏ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,

f x y  f xy f x f y  f x f y x y R .

Câu (4 m) ể

Cho l c giác l i ABCDEF có AB = BC, CD = DE, EF = FA ụ Ch ng minh r ng:ứ ằ

BC DE FA

+ +

BE DA FC 2

Câu (2 m)ể

Trong m t lộ ưới vng có 2010 dịng, 2010 c t, ngộ ười ta vi t vào ô vuôngế s t nhiên t đ n 4040100 theo cách nh sau: dòng th nh t, t trái sangố ự ế ứ ấ ph i, vi t s t đ n 2010; dòng th hai, t trái sang ph i, vi t s tả ế ố ế ả ế ố 2011 đ n 4020; c nh v y cho đ n h t dịng th 2010 Sau c t b ng hìnhế ứ ậ ế ế ứ ắ ả

vuông thành nh ng hình ch nh t c x (g m ba liên ti p dịng) ho c xữ ữ ậ ỡ ế ặ (g m ba ô liên ti p c t) Trong m i hình ch nh t ngồ ế ộ ỗ ữ ậ ười ta tính t ng cácổ tích c a hai ba s (g i ba s hình a, b, c ngủ ố ọ ố ười ta tính ab + bc + ca) sau tính t ng k t qu c a t t c hình ch nh t đổ ế ả ủ ấ ả ữ ậ ượ ốc s S Tìm giá tr nhị ỏ nh t giá tr l n nh t c a S.ấ ị ấ ủ

Đ THI CH N H C SINH GI I L P 12 THPT T NH NINH BÌNHỀ Ọ Ọ Ỏ Ớ Ỉ Năm h c: 2009 – 2010ọ

Câu (7 m)ể

a) Cho hàm s y =x - 3x - m Tìm m đ đ th hàm s c t tr c Ox t i ba m phân ố ể ị ố ắ ụ ể bi t ệ

b) Cho ba s th c a,b,c th a mãn CMR:ố ự ỏ (-2) < abc < (-2) <a < -1 < b< <c <2

c) Cho hàm s y = 2x + có đ th (C) Tìm m tên tr c Oy mà qua ch có ố ị ể ụ ỉ th k t i (C) m t ti p n ể ẻ ộ ế ế

Câu ( m )ể

a) Gi i h phả ệ ương trình: , (0 <a < 1)

b) Trong m t tr i hè có 20 h c sinh trộ ọ ường A ,25 h c sinh trọ ường B 28 h c sinh ọ trường C H i có cách ch n 22 h c sinh ,sao cho m i trỏ ọ ọ ỗ ường có nh t ấ m t em?ộ

Câu (2 m )ể

Cho dãy s ( u ) xác đ nh b i công th c: ố ị ứ , n N*

Ch ng minh r ng dãy s (uứ ằ ố n) có gi i h n tìm gi i h n đó.ớ

Câu 4(5 m)ể

Cho kh i t di n ABCD có th tích V Số ứ ệ ể ,S2 l n lầ ượt di n tích c a tam giácệ ủ

ABC, ABD, g i ọ  s đo góc t o b i hai m t ph ng (ABC) (ABD).G i M m ố ẳ ọ ể thu c c nh CD cách đ u hai m t ph ng (ABC) và(ABD).ộ ề ặ ẳ

a) CMR: V = =

Câu 5(2 m)ể

Cho hàm s f : Nố *  N* Th a mãn:ỏ

f(xy)=f(x)f(y), v i m i x,y ọ  N*& (x,y) = 1

Đ THI H C SINH GI I T NH B C NINHỀ Ọ Ỏ Ỉ Ắ Năm h c 2009 – 2010 ọ

VÒNG 1 Bài 1:

Gi i phả ương trình : 2008x 2010x 4016x2

Bài : Cho dãy s ố  xn :

*

0 1

1 (1 ) ,

4 n

n n

x

x  x n

         

  .Ch ng minh r ng: ứ ằ

1 lim x

2 n 

Bài 3: Cho s dố ương x,y, z th a mãn: x + y + z = Ch ng minh r ng: ỏ ứ ằ

4

4

1 1 1

1 1 1 768

x y z

 

   

     

     

     

Đ ng th c x y nào?ẳ ứ ả

Bài 4: Cho tam giác ABC D chân đường cao h t A G i d đạ ọ ường th ng ẳ qua D n m m t ph ng ch a tam giác ABC, E F m n m ằ ặ ẳ ứ ể ằ đường th ng d cho ẳ AEBE, AF CF E, F không trùng D G i M, N ọ trung m tể ương ng c a BC EF Ch ng minh r ng ứ ủ ứ ằ AN NM.

VÒNG 2

Bài Gi i h phả ệ ương trình:

2009

2009

2009

3 3 ln( 1)

3 3 ln( 1)

3 3 ln( 1)

x x x x y

y y y y z

z z z z x

                        

Bài 2: Tìm t t c hàm s f(x) xác đ nh v i m i x th a mãn u ki n sau:ấ ả ố ị ọ ỏ ề ệ

2

(1) 2010

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,

f

a b f a b a b f a b ab a b a b

 



        

 

Bài 3: Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế abc (s t nhiên có ch s h th p phân) làố ự ữ ố ệ ậ m t s nguyên t phộ ố ố ương trình ax2 + bx + c = khơng có nghi m h u t ệ ữ ỉ

Bài : Cho đường th ng dẳ 1, d2, d3, d4 đôi m t song song khơng có ba độ ường

Đ THI H C SINH GI I T NH PHÚ THỀ Ọ Ỏ Ỉ Ọ Năm h c: 2009-2010ọ

Th i gian làm bài: 180 phútờ

Câu 1: Gi i phả ương trình:

Câu 2: Gi i h phả ệ ương trình:

Câu 3: Cho hai đường trịn và ti p xúc ngồi t i ế M

Đi m A di đ ng để ộ ường tròn , m B di đ ng để ộ ường trịn cho MA vng góc v i MB.ớ

1) Ch ng minh đứ ường th ng AB qua m c đ nh N.ẳ ể ố ị

2) Ch ng minh trung m I c a đo n AB thu c đứ ể ủ ộ ường tròn c đ nh (C).ố ị 3) Đường th ng vuông góc v i ẳ t i M c t đạ ắ ường tròn (C) t i E,F.ạ

Ch ng minh NE, NF ti p n c a (C).ứ ế ế ủ

Câu 4: Cho dãy s ố : 1) Ch ng minh r ng ứ ằ

2) Tìm s h ng t ng quát c a ố ổ ủ

Câu 5: Cho x,y,z s th c dố ự ương th a mãn x+y+z=9.ỏ Ch ng minh r ng: ứ ằ

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O PHÚ YÊNỞ Ụ Ạ

KÌ THI CH N H C SINH GI I C P T NH L P 12 THPTỌ Ọ Ỏ Ấ Ỉ Ớ NĂM H C 2009-2010Ọ

Mơn thi: TỐN Th i gian: 180 phútờ (Không k th i gian giao đ )ể ờ ề

****

Câu (5 m) Cho hàm s ể ố có đ th (C).ồ ị

a) Kh o sát vẽ đ th hàm s (C), t suy đ th ả ị ố ị c a hàm s ủ ố b) D a vào đô thự ị , bi n lu n theo tham s ệ ậ ố s nghi m ố ệ thu c đo n ộ c a ủ phương trình:

Câu (5 m)ể

a) Gi i phả ương trình: b) Tìm x,y,z bi t :ế

3 3

(1 )(1 )(1 ) (1 )

x y z

x y z xyz

            

Câu (5 m) Cho hình vng ể Trên c nh CB CD l n lạ ầ ượ ất l y m E,F cho ể , v iớ Đo n th ng BD c t AE AF t i H ẳ ắ G tương ng Đứ ường vng góc v i EF k t A c t BD t i P Ch ng minh r ngớ ẻ ắ ứ ằ

Câu (3 m) Trong m t ph ng (P) cho m O c đ nh d để ặ ẳ ể ố ị ường th ng quay ẳ quanh O L y S ngồi (P) có hình chi u vng góc (P) H, v i ấ ế Qua S d ng đự ường vng góc v i m t ph ng xác đ nh b i S d Đớ ặ ẳ ị ường th ng c t (P) ẳ ắ t i N Tìm quỹ tích m N d thay đ i.ạ ể ổ

Đ THI H C SINH GI I NINH BÌNH NĂM H C 2009-2010 Ề Ọ Ỏ Ọ MƠN TỐN - VÒNG 1

TH I GIAN : 180 PHÚTỜ

Bài 1

a) Tìm m đ đ th hàm s ể ị ố c t tr c ắ ụ t i m phân bi tạ ể ệ b) Cho a, b, c s th c th a mãnố ụ ỏ

CMR

c) Tìm m ể k đ n đ th hàm s ẻ ế ị ố ti p ế nế

Bài 2

a) Gi i h phả ệ ương trình

(Trong )

b)T nhóm g m 20 h c sinh trừ ọ ường A, 25 h c sinh trọ ường B, 28 h c sinh trọ ường C có cách ch n 22 h c sinh cho m i trọ ọ ỗ ường có nh t h c sinhấ ọ Bài 3

Cho dãy

CMR dãy có gi i h n Tìm gi i h n đóớ Bài 4

Cho kh i t di n ABCD có th tích V, Di n tích tam giác ABC , ABD l n lố ứ ệ ể ệ ầ ượ G iọ s đo góc t o b i m t ph ng (ABC) (ABD) M m thu c ố ặ ẳ ể ộ c nh CD cho kho ng cách t M đ n hai m t ph ng (ABC) và(ABD) b ng nhauạ ả ế ặ ẳ ằ

a)CMR

Bài 5 Cho

v i m i x, y th a mãn (x,y)=1ớ ọ ỏ v i x, y b s nguyên tớ ộ ố ố Tính