Cac De Thi HSG Cua DHSPHN

B¹n Ph¬ng thùc hiÖn mét trß ch¬i nh sau: Mçi lÇn Ph¬ng lÊy ra hai viªn ë hai hép nµo ®ã vµ bá vµo hép thø ba.. Chøng minh r»ng sau mét sè bíc, b¹n Ph¬ng cã thÓ bá hÕt c¸c viªn bi vµo mét[r]

(1)

Trờng đại học s phạm Hà Nội

Khội THPT chuyàn Cờng hoẾ x hời chũ nghịa Việt Namườc lập – Tỳ - HỈnh phục·

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 10

Năm häc 2006-2007

Thêi gian lµm bµi 150

Câu Cho số thực dơng a, b, c thoả mãn a4b4c4 3 Chứng minh bất đẳng thức sau

    

2 2 2 2 2

2 2

a) a b c a b b c c a

a b c

b) a b c

b c a

C©u Cho n số nguyên dơng, n1và n ớc của3n2n Chứng minh r»ng n chia hÕt cho

C©u Cho đa thức hệ số thực P(x)x3ax2bx c   

Q(x) x x 2007

BiÕt r»ng P(x) cã ba nghiƯm thùc ph©n biƯt đa thức P(Q(x)) vô nghiệm Chứng minh

rằng



P(2007) 64

Câu Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đờng tròn   O, R

vµ ABCDEF VỊ phÝa

ngồi lục giác ta dựng tam giác MAB, NBC, PCD, QDE, REF, SFA đồng dạng cân M, N, P, Q, R, S

a) Chøng minh r»ng hai lục giác ABCDEF MNPQRScó trọng tâm

b) Gäi O , O1 2 theo thø tù lµ trọng tâm tam giácMPR, NQS Chứng minh

rằng ba điểm O, O , O1 2 thẳng hµng

(2)

Năm học 2006-2007

Thời gian làm 150 phút

Câu Cho số dơng x, y, z tho¶ m·n

  3

x y z

2 Chøng minh r»ng:

     

  

6 6

4 4

x 2x y y 2y z z 2z x 243

x y z

Câu Cho tam giác ABC vuông A B < C Tiếp tuyến A đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đờng thẳng BC điểm D Gọi E điểm đối xứng với A qua đ ờng thẳng BC X chân đờng cao hạ từ A xuống đờng thẳng BE Y trung điểm đoạn thẳng AX Đờng thẳng BY cắt đờng trịn nói điểm thứ hai Z Chứng minh đ-ờng thẳng BD tiếp tuyến đđ-ờng tròn ngoai tip tam giỏc ADZ

Câu Cho hàm số f: thoả mÃn điều kiện sau: 1) Với m, n mà mnthì f(m) f(n)

2)



n 4f(x)   

f(f(x)) , n

5

Chøng minh r»ngf(n)   n, n 

Chó thÝch:  tập hợp số nguyên dơng

Cõu Cho m viên bi đựng n hộpm, n4, có hộp khơng có bi số bi hộp không thiết phải Bạn Phơng thực trò chơi nh sau: Mỗi lần Phơng lấy hai viên hai hộp bỏ vào hộp thứ ba Chứng minh sau số bớc, bạn Phơng bỏ hết viên bi vào hộp Hãy giải toán với trờng hợp sau m, n

 

1) m n



2) m, n 4 tuú ý

Đề thi Chọn đội dự tuyển tốn

(3)

Thêi gian lµm bµi 150

Câu Cho a, b, clà độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

3 3 2

3 3 3 2 2 2

a b c a b c

1

a (b c) b (a c) c (a b) a (b c) b (a c) c (a b)

 

       

 

             

Câu Cho tập hợpX2, 3, 4, 2006 Một tập M X đợc gọi có tính chất T M có 1003 phần tử với hai phần tử u, v thuộc M (uv) ta có

uv kh«ng thc M

a) H·y chØ mét tËp cña M cã tÝnh chÊt T

b) Chứng minh tồn tập M X có tính chất T cho phần tử nhỏ M không vợt 1001

Câu Cho tam giác ABC điểm A , B , C1 1 tơng ứng thuộc cạnh BC, CA, AB. Gọi A , B , C2 2 theo thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua trung điểm của

1 1 1

B C , C A , A B

Chøng minh r»ng

a) AA , BB , CC1 1đồng quy AA , BB , CC2 2đồng quy

b) S A B C 1 1 S A B C 2 2

(KÝ hiƯu S MNP lµ diƯn tÝch cđa tam giác MNP)

Câu Tìm tất hàm sè f:  sao cho:

 

f x 22y.f x f y f y f y , x, y      

Đề thi Chọn đội d tuyn toỏn

Năm học 2007-2008

(4)

Bài Chứng minh rằng, tồn vô số cặp số nguyên dơng (x, y) nghiệm phơng trình sau:   2 x

y 4x

y

 

   

 

 

Bµi Cho số a, b, cdơng Chứng minh rằng:

2 2

a b c

2(a b c) 9ab (a b c) 9bc (a b c) 9ac (a b c)

  

 

        

Bài Cho dãy  fn n 1 xác định nh sau (dãy Fibonaci)

1 n n n

f f 1; f f  f  n 3

Giả sử, với số n đó, a, b hai số nguyên thoả mãn điều kiện:

                 

n n n n

f f a f f

min ; max ;

f f b f f

Chøng minh r»ng   n 1 b f

Bài Tìm tất đa thức P(x) khác 0, hệ số số thực không âm, có bậc nhỏ 2007 thoả mÃn điều kiện sau:

      

 

2

1

P x P P x 0,

x

Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) ngoại tiếp đờng tròn (I) A ', B ', C ' theo thứ tự hình chiếu vng góc I tiếp tuyến với (O) A, B, C R, r theo thứ tự bán kính (O), (I) Chứng minh

      

3

A '/(I) B '/(I) C'/(I) A/(I) B/(I) C/(I)

P P P

2r

R P P P

Đề kiểm tra đội dự tuyển lần I Năm học 2007-2008

Câu Giải hệ phơng trình sau:

                        3

x 27 x x 135 9y

y 27 y y 135 9z

(5)

C©u Chứng minh rằng, tồn vô số cặp số nguyên d¬ng

m, n

sao cho

   

 

2

5mn n

Câu Cho m số nguyên dơng Tìm tất số nguyên dơng k để:

   

  

m n 2n

k

C , n m

m n

Câu Đặt

       

   

x

1

f x 1 ,(x 0)

x 4x Chøng minh r»ng:

        *

f n f n , n

Câu Cho hàm f : 0; thoả mÃn điều kiện:

i) Tồn sè thùc a cho

  f a

ii)

                

a a

f x f x f f 2f xy , x 0, y

x y

Chøng minh r»ng f lµ hµm h»ng

Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Điểm P thay đổi đờng thẳng BC, đ-ờng thẳng AP cắt đđ-ờng tròn (O) điểm thứ hai N, đđ-ờng trịn đđ-ờng kính AP cắt đđ-ờng trịn (O) điểm thứ hai E, đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC M Chứng minh

a) Đờng thẳng MN qua điểm cố định

b) Đờng trịn ngoại tiếp tam giác AMN ln qua điểm cố định

C©u Cho tËpA  a ; a ; , a1 2 10, ai, i 1,10 Xét số tự nhiên m1024 Chứng minh tồn tập hợp SAsao cho aSthì a S tổng phần tử S chia hÕt cho m

Trờng đại học s phạm Hà Ni

Khối THPT chuyên Cộng hoà x hội chủ nghĩa Việt NamĐộc lập Tự - Hạnh phúcÃ

Đề thi học sih giỏi toán lớp 10

Năm học 2007-2008

(6)

    

  

2

3a 3b ab

a b

b a a b

Bµi Chøng minh r»ng nÕu p số nguyên tố lẻ, a số tự nhiên n số tự nhiên thoả

mÃn điều kiện 2p3p anthì n1

Bài Giả sử ®a thøc  

 2008 1 2007 2 2006  2007  2008

P x x a x a x a x a

cã 2008

nghiÖm thùc Chøng minh r»ng 

1

2007a 4016a

Bài Chứng minh 53 số nguyên dơng khác có tổng khơng vợt q 2008 ln tìm đợc hai số có tổng 32

Bài Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân A, nội tiếp đờng trịn (O) Tiếp tuyến với (O) A cắt BC S SO theo thứ tự cắt AB, AC E, F M, N theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh AO, EN, FM đồng quy

Đề thi chọn i tuyn toỏn

Năm học 2007-2008

Thời gian làm 180 phút (ngày 1)

Bài Giải hệ phơng trình:

 

   

 

x y 45 y

y x 45 x

Bài Tìm tất số tự nhiên k cho tồn số tự nhiên a, b, , d thoả mÃn điều kiện sau



 

   

 

 

2

k

i) a b x d

2

(7)

Bài Cho dãy số Sn xác định nh sau:

 



  

i n

*

n n 1

i

n

S , n

i

a) Chøng minh r»ng tån tai n cho  

n n

S S

b) Chøng minh r»ng d·y Sncã giíi h¹n, tÝnh giíi h¹n cđa d·y

Bài Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB vµ

khác A, B, C Chứng minh m MNP  2m ABC (m XYZ  độ dài đờng cao nhỏ tam giác XYZ

Bài Trên mặt phẳng cho 21 điểm phân biệt A , A , A , A1 21mỗi điểm đợc tô một ba màu đỏ, xanh, vàng cho màu khơng có điểm c tụ

a) Tìm số lớn cặp điểm (không kể thứ tự) màu

b) Chng minh tồn ba điểm đôi khác màu m n p A , A , A

víi m n p

Trờng đại học s phạm Hà Nội Khối THPT chuyên

Céng hoµ x héi chđ nghÜa ViƯt Nam· §éc lËp – Tù - Hạnh phúc

Năm học 2007-2008

Bài Cho số a, b, c thuộc tập hợp nghiệm bất phơng trình

  

2

x 3x

cho

các số m, n thuộc tập nghiệm bất phơng trình

x 8x 19

Gi¶ sư

    

a b c m n 12 Tìm giá trị lớn tích abcnm

Bài Tìm hàm số f : thoả mÃn điều kiện sau:

  

 

      





1)f x y f x f y 2008xy 2007, x,y

(8)

Bài Cho số nguyên tố p số nguyên dơng n thoả mÃn điều kiệnnp số ph-ơng Chứng minh n tổng p số phơng (các số phơng nµy cã thĨ b»ng nhau)

Bài Cho tam giác ABC không với trọng tâm G đờng tròn nội tiếp (I) M, N, P theo thứ tự tiếp điểm đờng tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C với cạnh BC, CA, AB

1) Chøng minh r»ng AM, BN, CP GI dồng quy điểm

2) Chứng minh điểm đồng quy nói thuộc đờng tròn (I) 3a b c

3b a c 3c a b   

   

  

 với a, b, c theo thứ tự độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC

Đề chọn đội tuyn toỏn THPT chuyờn

Năm học 2007-2008

Thêi gian lµm bµi 180 (ngµy 2)

Bµi Chứng minh không tồn hàm f : 

 sao cho

 

f f x x  2008, x  

Bµi Cho

p5lµ mét sè nguyên tố Giả sử tập hợp A1, 2, , p 1  cã thÓ

chọn năm số đội phân biệt x, y, z, t, wthoả mãn điều kiện

 

5 5 5

x y z t w mod p

a) Chøng minh r»ng  

2 2 2

6 x y z t w

chia hÕt cho x y   z t w

b) Chøng minh r»ng tån t¹i vô hạn số nguyên n thoả mÃn

n n n n n

6 x y z t w

(9)

Bµi Cho ba số nguyên dơng a, b, c thoả mÃn điều kiện a  b c Chøng minh r»ng

     

a b c

3 abc 4 b ac 5 c ab 5

Bài Cho tứ giác ABCD có ACBD, ACDBP O , O1 2theo thứ tự tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác PAB PCD Chứng minh O O1 2 song song trùng với đờng phân giác chung góc đối đỉnh APB, CDP 

Bài Trong mặt phẳng toạ độ cho tập hợp Sa, b ,1 a, b5;a, bc Giả sử T tập hợp gồm điểm nguyên mặt phẳng toạ độ cho với điểm ngyên P thuộc S tồn điểm Q thuộc T, P≠Q đồng thời đoạn thẳng PQ không chứa điểm ngun ngồi điểm P, Q Hãy tìm số phần tử nhỏ T (điểm nguyên điểm có toạ độ nguyên

Khội THPT chuyàn Cờng hoẾ x hời chũ nghịa Việt Namườc lập – Tỳ - Hnh phcÃ

Năm học 2007-2008

Bài Tìm nghiệm tự nhiên phơng trình

x y

2

Bài Giả sử đa thức

2008

P(x)x  mxm m0

có đủ 2008 nghiệm thực Chứng

minh r»ng c¸c nghiƯm cđa P(x) cã Ýt nhÊt mét nghiƯm x0 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn

0

x 

Bµi Chứng minh tồn dÃy vô hạn sô phơng thoả mÃn ba điều kiện sau;

a) Trung b×nh céng cđa hai sè lien tiÕp dÃy số phơng

b) Hai số liên tiếp dÃy hai số nguyên tố cïng

(10)

 

i i K

X a : K 1, 2, , 2007



 

 

  

 

 

Chứng minh số phần tử X không nhỏ h¬n 2015028

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	187,92 KB